10 - Квант

10
öîì?  ýòîì ñëó÷àå â êàæäîé âåðøèíå ãðàôà, ê êîòîðîé ïîäõîäèò õîòÿ
áû îäíî ðåáðî, ñõîäÿòñÿ, êàê ìèíèìóì, äâà ðåáðà. Ïî ýòîé ïðè÷èíå â
ãðàôå G ìîæíî íàéòè ïðîñòîé çàìêíóòûé ðåáåðíûé ïóòü. Çàìêíóòûé
– ýòî ïóòü, êîòîðûé âîçâðàùàåòñÿ
òóäà, îòêóäà îí âûøåë, à ïðîñòîé
ïóòü, ïîäîáíî îêðóæíîñòè, íå ïåðåñåêàåò ñàì ñåáÿ. Â ãðàôå íà ðèñóíêå
5 «íîñ» è «ðîò» îáðàçóþò ïðîñòîé
çàìêíóòûé êîíòóð. Îïÿòü æå, ïîäîáíî îêðóæíîñòè, ïðîñòîé çàìêíóòûé ïóòü ðàçáèâàåò ñôåðó íà äâå
îáëàñòè. Ýòî î÷åâèäíîå íà ïåðâûé
âçãëÿä óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ
î÷åíü íåïðîñòî è èçâåñòíî â ìàòåìàòèêå êàê òåîðåìà Æîðäàíà.
Ïî÷åìó â ãðàôå G, íå ñîäåðæàùåì
ðåáåð ñî ñâîáîäíûì êîíöîì, èìåþòñÿ ïðîñòûå çàìêíóòûå ðåáåðíûå
ïóòè? Äàâàéòå îòïðàâèìñÿ â ïóòü èç
ïðîèçâîëüíîãî ðåáðà ãðàôà, ïåðåõîäÿ êàæäûé ðàç îò îäíîãî ðåáðà ÷åðåç
åãî êîíöåâóþ âåðøèíó ê ñîñåäíåìó
ðåáðó. Òàê êàê â êàæäîé âåðøèíå, â
êîòîðóþ ìû ïðèõîäèì, ñõîäèòñÿ íå
ìåíüøå äâóõ ðåáåð, òî ìîæíî ïóòåøåñòâîâàòü ïî ðåáðàì ãðàôà ñêîëü
óãîäíî äîëãî. Íî âåðøèí â ãðàôå
êîíå÷íîå ÷èñëî. Ïîýòîìó ðàíî èëè
ïîçäíî íàñòóïèò òàêîé ìîìåíò, êîãäà ìû âïåðâûå ïðèäåì â âåðøèíó,
ñêàæåì À, â êîòîðîé áûëè óæå ïðåæäå. Òîãäà ðåáåðíûé ïóòü w, ïðîéäåííûé îò âåðøèíû À äî ïåðâîãî âîçâðàùåíèÿ â ýòó æå âåðøèíó, áóäåò
î÷åâèäíî ïðîñòûì è çàìêíóòûì.
Óäàëèì èç ïóòè w êàêîå-íèáóäü ðåáðî e. ×èñëî âåðøèí íå èçìåíèòñÿ:
B ′ = B . ×èñëî ðåáåð óìåíüøèòñÿ íà
åäèíèöó: P′ = P − 1 . Òàê êàê ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò óäàëåííîãî ðåáðà e
ëåæàëè ðàçíûå îáëàñòè, òî ïîñëå
óäàëåíèÿ ðåáðà îíè îáúåäèíÿòñÿ â
îäíó îáëàñòü. Çíà÷èò, ÷èñëî îáëàñòåé óìåíüøèòñÿ íà åäèíèöó:
à ′ = à − 1 . Ïðè ýòîì ÷èñëî êîìïîíåíòîâ â ãðàôå íå óìåíüøèòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, êîíöåâûå âåðøèíû óäàëåííîãî ðåáðà e ìîæíî ñîåäèíèòü è
â ãðàôå G ′ . Äëÿ ýòîãî íóæíî ïðîéòè
îò îäíîé êîíöåâîé âåðøèíû ðåáðà e
ê äðóãîé ïî äîïîëíèòåëüíîé ÷àñòè
çàìêíóòîãî ïóòè w. Ïîýòîìó ëþáûå
äâå âåðøèíû v è v ′ , ñîåäèíåííûå
íåêîòîðûì ïóòåì â ãðàôå G, ìîæíî
ñîåäèíèòü è â ãðàôå G ′ , çàìåíèâ ïðè
íåîáõîäèìîñòè âûêèíóòîå ðåáðî å íà
ïóòü, ñîåäèíÿþùèé êîíöåâûå âåðøèíû ýòîãî ðåáðà.
Èòàê, è â ñëó÷àå 2) âñåãäà ìîæíî
íàéòè ðåáðî, ïðè óäàëåíèè êîòîðîãî
Ê Â À Í T 2001/№5
ñóììà
B ′ − P ′ + à ′ − K ′ = B – (P – 1) +
+ (à – 1) – K = B − P + à − K
òàêæå íå ìåíÿåòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ìû èç ëþáîãî ãðàôà ìîæåì óäàëèòü ðåáðî, íå ìåíÿÿ
ïðè ýòîì ñóììû  – Ð + à – K. Â
ðåçóëüòàòå ïîñëåäîâàòåëüíîãî óäàëåíèÿ âñåõ ðåáåð ìû ïðèõîäèì ê
ãðàôó «çâåçäíîå íåáî», äëÿ êîòîðîãî îáîáùåííàÿ ôîðìóëà, êàê áûëî
ïðîâåðåíî âûøå, âåðíà. Ñëåäîâàòåëüíî, îáîáùåííàÿ ôîðìóëà âåðíà
è äëÿ èñõîäíîãî ãðàôà G.
Îáîáùåííàÿ òåîðåìà Ýéëåðà äîêàçàíà.
Следствия из теоремы
Эйлера
Òåîðåìà Ýéëåðà èãðàåò îãðîìíóþ
ðîëü â ìàòåìàòèêå. Ñ åå ïîìîùüþ
áûëî äîêàçàíî îãðîìíîå êîëè÷åñòâî
òåîðåì. Íàõîäÿñü â öåíòðå ïîñòîÿííîãî âíèìàíèÿ ñî ñòîðîíû ìàòåìàòèêîâ, òåîðåìà Ýéëåðà ïîëó÷èëà äàëåêî èäóùèå îáîáùåíèÿ. Áîëåå òîãî,
ýòà òåîðåìà îòêðûëà íîâóþ ãëàâó â
ìàòåìàòèêå, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ
òîïîëîãèåé.
Âî âðåìÿ ðàáîòû íàä ñâîåé òåîðåìîé Ýéëåð âûâåë èç íåå íåñêîëüêî
óòâåðæäåíèé, îòíîñÿùèõñÿ ê âûïóêëûì ìíîãîãðàííèêàì:
1) P + 6 ≤ 3 B è P + 6 ≤ 3 Ã ;
2) Ã + 4 ≤ 2 B è B + 4 ≤ 2 Ã ;
3) ó âñÿêîãî ìíîãîãðàííèêà åñòü
õîòÿ áû îäíà òðåóãîëüíàÿ, ÷åòûðåõóãîëüíàÿ èëè ïÿòèóãîëüíàÿ ãðàíü, à
òàêæå õîòÿ áû îäèí òðåõãðàííûé,
÷åòûðåõãðàííûé èëè ïÿòèãðàííûé
ïðîñòðàíñòâåííûé óãîë;
4) ñóììà ïëîñêèõ óãëîâ âñåõ ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà ðàâíà 2πB – 4π.
Ìû äîêàæåì ïåðâîå íåðàâåíñòâî è
ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå, îñòàâèâ îñòàëüíîå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.
Äîêàæåì íåðàâåíñòâî P + 6 ≤ 3 B .
Ïåðåïèøåì ñîîòíîøåíèå Ýéëåðà
äâàæäû, îäèí ðàç â âèäå
Ð + 2 = Â +Ã
è äðóãîé ðàç â âèäå
4 = 2 – 2Ð + 2Ã.
Ñêëàäûâàÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì
Ð + 6 = 3 + 3à – 2Ð.
Òàê êàê ó êàæäîé ãðàíè ìíîãîãðàííèêà íå ìåíåå òðåõ ñòîðîí, òî
3 à ≤ 2 P . Îòñþäà ñðàçó ïîëó÷àåì
P + 6 ≤ 3B .
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå 4). Îáîçíà÷èì ÷åðåç à i ÷èñëî i-óãîëüíûõ ãðàíåé â ìíîãîãðàííèêå M. ßñíî, ÷òî
à = Ã3 + Ã4 + Ã5 + K
(1)
ßñíî òàêæå, ÷òî êàæäàÿ i-óãîëüíàÿ
ãðàíü ñîäåðæèò i ðåáåð ìíîãîãðàííèêà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàæäîå
ðåáðî ìíîãîãðàííèêà ïðèíàäëåæèò
â òî÷íîñòè äâóì ãðàíÿì. Ïîýòîìó â
ñóììå 3 Ã 3 + 4 Ã 4 + 5 Ã 5 + K êàæäîå
ðåáðî ìíîãîãðàííèêà ïîäñ÷èòàíî,
ïðè÷åì ïîäñ÷èòàíî äâàæäû. Îòñþäà
èìååì
2P = 3Ã3 + 4 Ã 4 + 5Ã5 + K
(2)
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñóììó S ïëîñêèõ
óãëîâ ìíîãîãðàííèêà:
S = Ã 3 ⋅ π + Ã 4 ⋅ 2π + K
+ K + Ã i ⋅ i − 2 π + K (3)
> C
Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (1) è (2) è
òåîðåìû Ýéëåðà ñîîòíîøåíèå (3)
ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
>
C
>
C
S = Ã3 3 − 2 π + Ã4 4 − 2 π + K
> C
K + Ãi i − 2 π + K = 2Pπ − 2Ãπ =
= 2Bπ − 4 π .
Óòâåðæäåíèå 4) äîêàçàíî.
Óïðàæíåíèÿ
2. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà a) P + 6 ≤ 3 Ã ; á) Ã + 4 ≤ 2B ;
â) B + 4 ≤ 2Ã .
3. Äîêàæèòå, ÷òî ó âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà åñòü ëèáî ïî ìåíüøåé ìåðå
îäíà òðåóãîëüíàÿ ãðàíü, ëèáî òðåõãðàííûé óãîë ïðè âåðøèíå.
Óòâåðæäåíèå 4) ïî ñóùåñòâó ýêâèâàëåíòíî âàæíîé òåîðåìå î ìíîãîãðàííèêàõ, äîêàçàííîé ôðàíöóçñêèì
ìàòåìàòèêîì Ðåíå Äåêàðòîì (1596–
1650). 2
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó v
ìíîãîãðàííèêà è ñîîòâåòñòâóþùèé
ìíîãîãðàííûé óãîë ñ âåðøèíîé â v.
Ïóñòü α v – ñóììà âñåõ ïëîñêèõ
óãëîâ ýòîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî óãëà.
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ó âûïóêëîãî
ìíîãîãðàííîãî óãëà ñóììà ïëîñêèõ
óãëîâ ñòðîãî ìåíüøå 2π . Ðàçíîñòü
ω v = 2 π − α v íàçûâàåòñÿ êðèâèçíîé âåðøèíû v. Òàêèì îáðàçîì, êðèâèçíà âåðøèíû âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà. Íàïðèìåð, êðèâèçíà âåðøèíû êóáà
>C
>C
>C
2 Ñîçäàâ êîîðäèíàòíûé ìåòîä, ÷òîáû
«ïîâåðèòü àëãåáðîé» ãåîìåòðèþ, è òåì
ñàìûì, ïî ìíåíèþ íåêîòîðûõ âåñüìà óâàæàåìûõ ìàòåìàòèêîâ, «çâóêè (ãåîìåòðèè) óìåðòâèâ», Äåêàðò â òî æå âðåìÿ
áûë ïåðâûì ãåîìåòðîì, êîòîðûé ïîñëå
äðåâíèõ ãðåêîâ çàíèìàëñÿ îáùåé òåîðèåé
ìíîãîãðàííèêîâ.