Çàêîíû Ïàñêàëÿ è Àðõèìåäà

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Çàêîíû
Ïàñêàëÿ è Àðõèìåäà
À.ØÅÐÎÍÎÂ
Î ÇÀÊÎÍÓ ÏÀÑÊÀËß, ÄÀÂëåíèå â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ
â æèäêîñòè èëè ãàçå, ïåðåäàåòñÿ âî âñå ñòîðîíû áåç
èçìåíåíèé. Â ñîîòâåòñòâèè
ñ çàêîíîì Àðõèìåäà, íà òåëî, ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü èëè ãàç, äåéñòâóåò
âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ âåñó
æèäêîñòè èëè ãàçà, âûòåñíåííîãî ýòèì
òåëîì. Â ïîëå òÿæåñòè â æèäêîñòÿõ
èëè ãàçàõ äàâëåíèå â òî÷êàõ, îòëè÷àþùèõñÿ ïî âûñîòå íà h, èçìåíÿåòñÿ
íà ρgh , ãäå ρ – ïëîòíîñòü æèäêîñòè
èëè ãàçà, g – óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå õàðàêòåðíûå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ çàêîíîâ Ïàñêàëÿ è Àðõèìåäà ïðè ðåøåíèè
çàäà÷.
Çàäà÷à 1. Àòìîñôåðà Âåíåðû ñîñòîèò â îñíîâíîì èç óãëåêèñëîãî ãàçà
( CO 2 ), òåìïåðàòóðà êîòîðîãî âáëèçè ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû Ò = 800 Ê, à
ïëîòíîñòü ρ = 6,6 ã/ë. Îöåíèòå çàïàñû CO 2 íà Âåíåðå, ñ÷èòàÿ, ÷òî
òîëùèíà àòìîñôåðû ìíîãî ìåíüøå ðàäèóñà ïëàíåòû r = 6300 êì. Êàêîé
òîëùèíû áûëà áû àòìîñôåðà Âåíåðû, åñëè áû îíà áûëà ðàâíîïëîòíîé ñ
äàâëåíèåì è òåìïåðàòóðîé ãàçà, ðàâíûìè èõ çíà÷åíèÿì ó ïîâåðõíîñòè
ïëàíåòû? Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïà2
äåíèÿ íà Âåíåðå g = 8,2 ì ñ , óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R =
= 8,31 Äæ ìîëü ⋅ Ê , ìîëÿðíàÿ ìàññà
óãëåêèñëîãî ãàçà Ì = 44 ã/ìîëü.
Ïî óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî
ãàçà, äàâëåíèå ó ïîâåðõíîñòè Âåíåðû
ðàâíî ð = ρRT Μ . Ýòî æå äàâëåíèå
ðàâíî âåñó àòìîñôåðû, äåëåííîìó íà
ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû: p =
b
e
2
g
j
= mg 4 πr . Îòñþäà íàõîäèì ìàññó
óãëåêèñëîãî ãàçà:
4 πr 2 ρRT
19
≈ 6 ⋅ 10 êã.
m=
Μg
 ðàâíîïëîòíîé àòìîñôåðå òîëùèíîé h äàâëåíèå ó ïîâåðõíîñòè (íà ãëóáèíå h) ðàâíî ρgh . Ñðàâíèâàÿ ýòî
âûðàæåíèå ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ,
íàõîäèì òîëùèíó ðàâíîïëîòíîé àòìîñôåðû:
RT
≈ 2 ⋅ 104 ì .
h=
Μg
Çàäà÷à 2. Ìûëüíûé ïóçûðü íàäóâàþò àçîòîì. Ïðè êàêîé âåëè÷èíå
äèàìåòðà ïóçûðÿ îí íà÷íåò âñïëûâàòü â àòìîñôåðíîì âîçäóõå òîé æå
òåìïåðàòóðû? Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå ìûëüíîãî ðàñòâîðà σ =
= 45 ìÍ/ì, ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà
Μ â = 29 ã/ìîëü, àçîòà Μ a =
= 28 ã/ìîëü, àòìîñôåðíîå äàâëåíèå
p0 = 10 5 Ïà, ìàññîé ïëåíêè ïðåíåáðå÷ü.
Àçîò âíóòðè ìûëüíîãî ïóçûðÿ íàõîäèòñÿ ïîä èçáûòî÷íûì, ïî ñðàâíåíèþ ñ àòìîñôåðíûì, äàâëåíèåì ∆p =
= 8σ d , ãäå d – äèàìåòð ïóçûðÿ. Ýòîò
ðåçóëüòàò ïðîùå âñåãî ïîëó÷èòü, åñëè
ìûñëåííî ðàçðåçàòü ïóçûðü íà äâå ðàâíûå ïîëîâèíêè ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð, è ðàññìîòðåòü
óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ýòèõ ïîëîâèíîê.
Åñëè èçáûòî÷íîå äàâëåíèå â ïóçûðå
ðàâíî ∆p , òî ïîëîâèíêè îòðûâàþòñÿ
2
äðóã îò äðóãà ñ ñèëîé ∆pπd 4 . Ñ
äðóãîé ñòîðîíû, îíè ïðèòÿãèâàþòñÿ
äðóã ê äðóãó ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî
íàòÿæåíèÿ ìûëüíîé ïëåíêè, äåéñòâóþùèìè íà äëèíå îêðóæíîñòè πd è
ðàâíûìè 2σπd (êîýôôèöèåíò «2» ó÷èòûâàåò íàëè÷èå äâóõ ïîâåðõíîñòåé ó
ïëåíêè). Ñðàâíåíèå ýòèõ äâóõ ñèë è
äàåò âåëè÷èíó èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ
ïîä ïëåíêîé: ∆p = 8σ d .
Ïóçûðü âñïëûâåò ïðè óñëîâèè, ÷òî
âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ âåñó âûòåñíåííîãî ïóçûðåì âîçäóõà ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè p0 , áîëüøå âåñà
àçîòà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè ïóçûðÿ
ïîä äàâëåíèåì p0 + ∆p . Ïî óðàâíåíèþ
ñîñòîÿíèÿ ãàçà,
Μ â p0 πd
3
≥
c
h
Μ a p0 + ∆p πd
3
6 RT
6 RT
îòêóäà íàõîäèì
8 σΜ a
−4
≈ 10 ì.
d≥
p0 Μ â − Μ a
c
h
,
Çàäà÷à 3. Áàòèñêàô ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé øàð ðàäèóñîì r = 2 ì. Ïðè
èñïûòàíèÿõ â ìîðå â íèæíåé ÷àñòè
áàòèñêàôà îáðàçîâàëàñü òå÷ü, è îí
çàòîíóë, à â åãî âåðõíåé ÷àñòè îáðàçîâàëàñü âîçäóøíàÿ ïðîñëîéêà â âèäå
øàðîâîãî ñåãìåíòà òîëùèíîé h = 1 ì.
×åìó ðàâíà ãëóáèíà ìîðÿ Í, íà êîòîðîé çàòîíóë áàòèñêàô? Êàêàÿ ìàññà
âîçäóõà ïîíàäîáèòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû
âûòåñíèòü èç áàòèñêàôà âñþ âîäó?
Íà÷àëüíîå (àòìîñôåðíîå) äàâëåíèå
âîçäóõà â áàòèñêàôå ðàâíî äàâëåíèþ,
êîòîðîå ñîçäàåò ñëîé âîäû òîëùèíîé
H0 = 10 ì. Óêàçàíèå: îáúåì øàðîâîãî
ñåãìåíòà òîëùèíîé h ðàâåí ∆V =
2
= πh (3r − h) 3 .
Ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòü âîäû âíóòðè áàòèñêàôà ãîðèçîíòàëüíà. Äàâëåíèå âáëèçè íåå, ðàâíîå äàâëåíèþ âîçäóõà â áàòèñêàôå, ìåíüøå äàâëåíèÿ â
íèæíåé ÷àñòè áàòèñêàôà (òî÷êà À íà
ðèñóíêå 1) íà âåëè÷èíó ρg 2 r − h , ãäå
3
3
ρ = 10 êã ì – ïëîòíîñòü âîäû. Â
ñâîþ î÷åðåäü, äàâëåíèå â òî÷êå À (äíî
b
g
0
D
)
Ðèñ. 1
âîäîåìà) ñêëàäûâàåòñÿ èç àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ è äàâëåíèÿ ñëîÿ âîäû
òîëùèíîé Í. ×òîáû íàéòè ãëóáèíó âîäîåìà, íåîáõîäèìî äëÿ âîçäóõà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè áàòèñêàôà (åãî ìàññà ïî óñëîâèþ íå èçìåíèëàñü), çàïèñàòü çàêîí Áîéëÿ – Ìàðèîòòà:
b
c
gh
ρg H0 + H − 2 r − h ⋅ ∆V =
= ρgH0 ⋅
4
3
3
πr .
Ïî óñëîâèþ, h = r/2, ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî íàõîäèì
H=
27
5
H0 +
3
2
r = 57 ì.
×òîáû íàéòè ìàññó âîçäóõà, íåîáõîäèìóþ äëÿ âûòåñíåíèÿ èç áàòèñêàôà
âîäû, ó÷òåì, ÷òî â êîíöå, êîãäà âîçäóõ
çàïîëíÿåò âåñü îáúåì áàòèñêàôà, åãî
äàâëåíèå ïðåâûøàåò àòìîñôåðíîå íà
ρgH . Èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ íàõî-
!#