Çàêîíû Ïàñêàëÿ è Àðõèìåäà

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Çàêîíû
Ïàñêàëÿ è Àðõèìåäà
À.ØÅÐÎÍÎÂ
Î ÇÀÊÎÍÓ ÏÀÑÊÀËß, ÄÀÂëåíèå â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ
â æèäêîñòè èëè ãàçå, ïåðåäàåòñÿ âî âñå ñòîðîíû áåç
èçìåíåíèé. Â ñîîòâåòñòâèè
ñ çàêîíîì Àðõèìåäà, íà òåëî, ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü èëè ãàç, äåéñòâóåò
âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ âåñó
æèäêîñòè èëè ãàçà, âûòåñíåííîãî ýòèì
òåëîì. Â ïîëå òÿæåñòè â æèäêîñòÿõ
èëè ãàçàõ äàâëåíèå â òî÷êàõ, îòëè÷àþùèõñÿ ïî âûñîòå íà h, èçìåíÿåòñÿ
íà ρgh , ãäå ρ – ïëîòíîñòü æèäêîñòè
èëè ãàçà, g – óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå õàðàêòåðíûå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ çàêîíîâ Ïàñêàëÿ è Àðõèìåäà ïðè ðåøåíèè
çàäà÷.
Çàäà÷à 1. Àòìîñôåðà Âåíåðû ñîñòîèò â îñíîâíîì èç óãëåêèñëîãî ãàçà
( CO 2 ), òåìïåðàòóðà êîòîðîãî âáëèçè ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû Ò = 800 Ê, à
ïëîòíîñòü ρ = 6,6 ã/ë. Îöåíèòå çàïàñû CO 2 íà Âåíåðå, ñ÷èòàÿ, ÷òî
òîëùèíà àòìîñôåðû ìíîãî ìåíüøå ðàäèóñà ïëàíåòû r = 6300 êì. Êàêîé
òîëùèíû áûëà áû àòìîñôåðà Âåíåðû, åñëè áû îíà áûëà ðàâíîïëîòíîé ñ
äàâëåíèåì è òåìïåðàòóðîé ãàçà, ðàâíûìè èõ çíà÷åíèÿì ó ïîâåðõíîñòè
ïëàíåòû? Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïà2
äåíèÿ íà Âåíåðå g = 8,2 ì ñ , óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R =
= 8,31 Äæ ìîëü ⋅ Ê , ìîëÿðíàÿ ìàññà
óãëåêèñëîãî ãàçà Ì = 44 ã/ìîëü.
Ïî óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî
ãàçà, äàâëåíèå ó ïîâåðõíîñòè Âåíåðû
ðàâíî ð = ρRT Μ . Ýòî æå äàâëåíèå
ðàâíî âåñó àòìîñôåðû, äåëåííîìó íà
ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû: p =
b
e
2
g
j
= mg 4 πr . Îòñþäà íàõîäèì ìàññó
óãëåêèñëîãî ãàçà:
4 πr 2 ρRT
19
≈ 6 ⋅ 10 êã.
m=
Μg
 ðàâíîïëîòíîé àòìîñôåðå òîëùèíîé h äàâëåíèå ó ïîâåðõíîñòè (íà ãëóáèíå h) ðàâíî ρgh . Ñðàâíèâàÿ ýòî
âûðàæåíèå ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ,
íàõîäèì òîëùèíó ðàâíîïëîòíîé àòìîñôåðû:
RT
≈ 2 ⋅ 104 ì .
h=
Μg
Çàäà÷à 2. Ìûëüíûé ïóçûðü íàäóâàþò àçîòîì. Ïðè êàêîé âåëè÷èíå
äèàìåòðà ïóçûðÿ îí íà÷íåò âñïëûâàòü â àòìîñôåðíîì âîçäóõå òîé æå
òåìïåðàòóðû? Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå ìûëüíîãî ðàñòâîðà σ =
= 45 ìÍ/ì, ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà
Μ â = 29 ã/ìîëü, àçîòà Μ a =
= 28 ã/ìîëü, àòìîñôåðíîå äàâëåíèå
p0 = 10 5 Ïà, ìàññîé ïëåíêè ïðåíåáðå÷ü.
Àçîò âíóòðè ìûëüíîãî ïóçûðÿ íàõîäèòñÿ ïîä èçáûòî÷íûì, ïî ñðàâíåíèþ ñ àòìîñôåðíûì, äàâëåíèåì ∆p =
= 8σ d , ãäå d – äèàìåòð ïóçûðÿ. Ýòîò
ðåçóëüòàò ïðîùå âñåãî ïîëó÷èòü, åñëè
ìûñëåííî ðàçðåçàòü ïóçûðü íà äâå ðàâíûå ïîëîâèíêè ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð, è ðàññìîòðåòü
óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ýòèõ ïîëîâèíîê.
Åñëè èçáûòî÷íîå äàâëåíèå â ïóçûðå
ðàâíî ∆p , òî ïîëîâèíêè îòðûâàþòñÿ
2
äðóã îò äðóãà ñ ñèëîé ∆pπd 4 . Ñ
äðóãîé ñòîðîíû, îíè ïðèòÿãèâàþòñÿ
äðóã ê äðóãó ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî
íàòÿæåíèÿ ìûëüíîé ïëåíêè, äåéñòâóþùèìè íà äëèíå îêðóæíîñòè πd è
ðàâíûìè 2σπd (êîýôôèöèåíò «2» ó÷èòûâàåò íàëè÷èå äâóõ ïîâåðõíîñòåé ó
ïëåíêè). Ñðàâíåíèå ýòèõ äâóõ ñèë è
äàåò âåëè÷èíó èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ
ïîä ïëåíêîé: ∆p = 8σ d .
Ïóçûðü âñïëûâåò ïðè óñëîâèè, ÷òî
âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ âåñó âûòåñíåííîãî ïóçûðåì âîçäóõà ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè p0 , áîëüøå âåñà
àçîòà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè ïóçûðÿ
ïîä äàâëåíèåì p0 + ∆p . Ïî óðàâíåíèþ
ñîñòîÿíèÿ ãàçà,
Μ â p0 πd
3
≥
c
h
Μ a p0 + ∆p πd
3
6 RT
6 RT
îòêóäà íàõîäèì
8 σΜ a
−4
≈ 10 ì.
d≥
p0 Μ â − Μ a
c
h
,
Çàäà÷à 3. Áàòèñêàô ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé øàð ðàäèóñîì r = 2 ì. Ïðè
èñïûòàíèÿõ â ìîðå â íèæíåé ÷àñòè
áàòèñêàôà îáðàçîâàëàñü òå÷ü, è îí
çàòîíóë, à â åãî âåðõíåé ÷àñòè îáðàçîâàëàñü âîçäóøíàÿ ïðîñëîéêà â âèäå
øàðîâîãî ñåãìåíòà òîëùèíîé h = 1 ì.
×åìó ðàâíà ãëóáèíà ìîðÿ Í, íà êîòîðîé çàòîíóë áàòèñêàô? Êàêàÿ ìàññà
âîçäóõà ïîíàäîáèòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû
âûòåñíèòü èç áàòèñêàôà âñþ âîäó?
Íà÷àëüíîå (àòìîñôåðíîå) äàâëåíèå
âîçäóõà â áàòèñêàôå ðàâíî äàâëåíèþ,
êîòîðîå ñîçäàåò ñëîé âîäû òîëùèíîé
H0 = 10 ì. Óêàçàíèå: îáúåì øàðîâîãî
ñåãìåíòà òîëùèíîé h ðàâåí ∆V =
2
= πh (3r − h) 3 .
Ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòü âîäû âíóòðè áàòèñêàôà ãîðèçîíòàëüíà. Äàâëåíèå âáëèçè íåå, ðàâíîå äàâëåíèþ âîçäóõà â áàòèñêàôå, ìåíüøå äàâëåíèÿ â
íèæíåé ÷àñòè áàòèñêàôà (òî÷êà À íà
ðèñóíêå 1) íà âåëè÷èíó ρg 2 r − h , ãäå
3
3
ρ = 10 êã ì – ïëîòíîñòü âîäû. Â
ñâîþ î÷åðåäü, äàâëåíèå â òî÷êå À (äíî
b
g
0
D
)
Ðèñ. 1
âîäîåìà) ñêëàäûâàåòñÿ èç àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ è äàâëåíèÿ ñëîÿ âîäû
òîëùèíîé Í. ×òîáû íàéòè ãëóáèíó âîäîåìà, íåîáõîäèìî äëÿ âîçäóõà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè áàòèñêàôà (åãî ìàññà ïî óñëîâèþ íå èçìåíèëàñü), çàïèñàòü çàêîí Áîéëÿ – Ìàðèîòòà:
b
c
gh
ρg H0 + H − 2 r − h ⋅ ∆V =
= ρgH0 ⋅
4
3
3
πr .
Ïî óñëîâèþ, h = r/2, ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî íàõîäèì
H=
27
5
H0 +
3
2
r = 57 ì.
×òîáû íàéòè ìàññó âîçäóõà, íåîáõîäèìóþ äëÿ âûòåñíåíèÿ èç áàòèñêàôà
âîäû, ó÷òåì, ÷òî â êîíöå, êîãäà âîçäóõ
çàïîëíÿåò âåñü îáúåì áàòèñêàôà, åãî
äàâëåíèå ïðåâûøàåò àòìîñôåðíîå íà
ρgH . Èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ íàõî-
!#
äèì èñêîìóþ ìàññó âîçäóõà:
m=
ΜρgH ⋅ 4 πr
3
3
RT
≈ 225 êã,
ãäå Ì = 29 ã/ìîëü – ìîëÿðíàÿ ìàññà
âîçäóõà, Ò = 290 Ê – åãî òåìïåðàòóðà.
Ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî â ñòàíäàðòíîì
áàëëîíå îáúåìîì 40 ëèòðîâ ïîä äàâëåíèåì 200 àòìîñôåð ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå ñîäåðæèòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî
10 êã âîçäóõà.
Çàäà÷à 4. Ñâàÿ â âèäå äâóõ ñîîñíûõ
öèëèíäðîâ çàáèòà â ãðóíò äíà âîäîåìà
ãëóáèíîé Í (ðèñ.2). Êàêàÿ ñèëà äåéñòâóåò íà ñâàþ ñî ñòîðîíû âîäû?
5
0
D
D
5
òíàÿ ïëîòíîñòü íà ïîâåðõíîñòè. Äëÿ
èçìåðåíèÿ êîíñòàíòû α â æèäêîñòü
íà íèòè, ïðèêðåïëåííîé ê äèíàìîìåòðó, îïóñêàþò öèëèíäðè÷åñêîå òåëî
äëèíîé L è ñå÷åíèåì S. Êîãäà òåëî
ïåðåìåùàåòñÿ ïî âåðòèêàëè íà Í,
îñòàâàÿñü öåëèêîì ïîãðóæåííûì â
æèäêîñòü, ïîêàçàíèÿ äèíàìîìåòðà èçìåíÿþòñÿ íà ∆F . ×åìó ðàâíà êîíñòàíòà α ?
Âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì Àðõèìåäà è
íàéäåì ðàçíîñòü âûòàëêèâàþùèõ ñèë
ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà ïî âåðòèêàëè íà
Í. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè òåëî îïóñêàåòñÿ,
âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà óâåëè÷èâàåòñÿ, à
ïîêàçàíèÿ äèíàìîìåòðà, ðàâíûå ðàçíîñòè âåñà òåëà è ñèëû Àðõèìåäà, óìåíüøàþòñÿ. Ïóñòü â íà÷àëå âåðõíÿÿ ãðàíü
öèëèíäðà íàõîäèòñÿ íà ãëóáèíå h1 ,
íèæíÿÿ íà ãëóáèíå h1 + L, à â êîíöå –
âåðõíÿÿ íà ãëóáèíå h1 + Í, íèæíÿÿ íà
ãëóáèíå h1 + Í + L. Òàê êàê ïëîòíîñòü
æèäêîñòè ìåíÿåòñÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó, âåñ âîäû, âûòåñíåííîé òåëîì â
íà÷àëå, ïðîïîðöèîíàëåí ïëîùàäè òðàïåöèè, çàøòðèõîâàííîé íà ðèñóíêå 3:
Ðèñ. 2
Ñå÷åíèå âåðõíåãî öèëèíäðà S1 , åãî
âûñîòà h1 , ñå÷åíèå íèæíåãî öèëèíäðà
S2 , âûñîòà åãî ÷àñòè, íàõîäÿùåéñÿ â
âîäå, h2 .
Ñèëû äàâëåíèÿ âîäû íà áîêîâûå ïîâåðõíîñòè ñâàè êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà. Âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà íèæíþþ ÷àñòü âåðõíåãî öèëèíäðà ñâàè ñå÷åíèåì S1 – S2 , ðàâíà
ρg H − h2 S1 − S2 , ãäå ρ – ïëîòíîñòü
âîäû. Ñèëà, ïðèæèìàþùàÿ ñâàþ ê ãðóíòó, äåéñòâóåò íà âåðõíåå îñíîâàíèå ñâàè
ñå÷åíèåì S1 è ðàâíà ρg H − h1 − h2 S1 .
Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ðàâíà
?
D?
?
?
D
+ h S D − ρgHS .
2
2
2
Êàê âèäíî, ñòðóêòóðà îòâåòà ïðîñòàÿ: îò îáû÷íîé âûòàëêèâàþùåé ñèëû,
íàéäåííîé ïî çàêîíó Àðõèìåäà (ñîîòâåòñòâóþùèé îáúåì ñâàè íà ðèñóíêå
çàøòðèõîâàí), îòíèìàåòñÿ ñèëà äàâëåíèÿ âîäû íà íèæíåå îñíîâàíèå ñâàè,
êàê áû íàõîäÿùååñÿ íà óðîâíå äíà
âîäîåìà. Â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó h1 , h2 , S1 , S2 , Í ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ìîæåò áûòü êàê âûòàëêèâàþùåé, òàê è ïðèæèìàþùåé ñâàþ êî
äíó âîäîåìà. Â ïðèâåäåííûõ ôîðìóëàõ
îòñóòñòâóåò òàêæå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå. Âîïðîñ î òîì, ïðîíèêàåò ëè âîçäóõ
÷åðåç ãðóíò è òåì ñàìûì ïåðåäàåò ñâîå
äàâëåíèå íà íèæíåå îñíîâàíèå ñâàè,
çàáèòîé â ãðóíò, ìû îñòàâëÿåì íà ñóä
÷èòàòåëÿ.
Çàäà÷à 5.  ñòðàòèôèöèðîâàííîé
æèäêîñòè ïëîòíîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ
ñ ãëóáèíîé h ïî ëèíåéíîìó çàêîíó
ρ(h) = ρ(0)(1 + αh) ,ãäå ρ(0) – èçâåñ-
ÊÂÀÍT 1999/¹1
? D ?
D.
ρ h1 + ρ h1 + L
2
Àíàëîãè÷íî, âåñ âîäû, âûòåñíåííîé
ρ
ρ()
D
F = ρg h1 S1
!$
F1 = gSL
h
Ðèñ. 3
h+L
òåëîì â êîíöå, ðàâåí
F2 = gSL
?
D ?
h
D.
÷åì âî âòîðîì. Íàéäèòå âûñîòó Í
ñëîÿ æèäêîñòè, çàøåäøåé â òðóáêó â
ïåðâîì ñëó÷àå. Îòíîøåíèå âíóòðåííåãî ñå÷åíèÿ òðóáêè S1 ê âíåøíåìó
S2 ðàâíî 0,5.
Ñèëà òÿæåñòè òðóáêè îñòàåòñÿ íåèçìåííîé, ïîýòîìó è âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà
â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäíà è òà æå.  ïåðâîì
S
S
L
H
Ðèñ. 4
ñëó÷àå (ðèñ.4), ïî çàêîíó Àðõèìåäà,
îíà ðàâíà ρgL1 S2 – ρgHS1 , âî âòîðîì
ρgL2 S2 , ãäå ρ – ïëîòíîñòü âîäû. Ïðèðàâíÿâ ýòè ñèëû, ïîëó÷èì
?
H = L1 − L2
D SS
2
= ∆L
1
S2
S1
= 10 ñì.
Ïðèâåäåì âòîðîé âàðèàíò ðåøåíèÿ –
ñ èñïîëüçîâàíèåì çàêîíà Ïàñêàëÿ, õîòÿ
â äàííîì ïðèìåðå îí è áîëåå ãðîìîçäêèé.  ïåðâîì ñëó÷àå ñèëà òÿæåñòè
òðóáêè mg è ñèëà àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ p0 íà äíî ñå÷åíèåì S2 óðàâíîâåøåíû ñèëîé äàâëåíèÿ âîçäóõà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè òðóáêè ïðè äàâëåíèè p1 , íà
âíóòðåííþþ ïîâåðõíîñòü äíà S1 è ñèëîé äàâëåíèÿ âîçäóõà è âîäû íà ïîâåðõíîñòü áîêîâûõ ñòåíîê ïðîáèðêè ïëîùàäüþ S2 – S1 :
?
D?
D
ρ h1 + H + ρ h1 + H + L
mg + p0 S2 =p1 S1 + p0 + ρgL1 S2 − S1 .
2
Ïðè ýòîì èìååò ìåñòî î÷åâèäíîå ðàâåíñòâî
p1 = p0 + ρg L1 − H .
Ïðè ýòîì ðàçíîñòü ïîêàçàíèé äèíàìîìåòðà ñîñòàâëÿåò
>C
∆F = F2 − F1 = gSLρ 0 αH ,
îòêóäà è íàõîäèì êîíñòàíòó α :
α=
∆F
>C
gSLρ 0 H
.
Ýòó êîíñòàíòó ìîæíî íàéòè è èç
ðàçíîñòè äàâëåíèé íà âåðõíåå è íèæíåå
îñíîâàíèÿ öèëèíäðà äëèíîé L ïðè åãî
ïåðåìåùåíèè ïî âåðòèêàëè íà Í (óáåäèòåñü â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî).
Çàäà÷à 6. Òðóáêà, çàïàÿííàÿ ñ îäíîãî êîíöà, îïóñêàåòñÿ â æèäêîñòü
ñíà÷àëà îòêðûòûì êîíöîì âíèç, à
çàòåì ââåðõ è ïëàâàåò, íàõîäÿñü â
âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè. Äëèíà ïîãðóæåííîé â æèäêîñòü ÷àñòè òðóáêè
â ïåðâîì ñëó÷àå íà ∆L = 5 ñì áîëüøå,
?
D
Âî âòîðîì ñëó÷àå ñèëà òÿæåñòè òðóáêè
óðàâíîâåøåíà ñèëîé äàâëåíèÿ âîäû íà
äíî ñå÷åíèåì S2 :
mg = ρgL2 S2 .
Ñèëû äàâëåíèÿ àòìîñôåðû íà ïîâåðõíîñòü òðóáêè â ýòîì ñëó÷àå ñêîìïåíñèðîâàíû. Èç ïðèâåäåííûõ ðàâåíñòâ íàõîäèì èñêîìóþ âûñîòó Í.
Çàäà÷à 7. Íà äíå ëóíêè êóáè÷åñêîé
ôîðìû ðàçìåðîì 10 × 10 × 10 ñì ëåæèò
øàð, äèàìåòð êîòîðîãî íåìíîãî ìåíüøå 10 ñì. Â ëóíêó íàëèâàþò âîäó
3
ïëîòíîñòüþ ρ = 1 ã ñì äî òåõ ïîð,
ïîêà øàð íå íà÷èíàåò ïëàâàòü, êàñàÿñü äíà ëóíêè. Ïîñëå ýòîãî â ëóíêó
äîëèëè åùå m = 250 ã âîäû òàê, ÷òî
ëóíêà îêàçàëàñü çàïîëíåííîé âîäîé äî
c
h
= Vc + Vë S . Êîãäà ëåä ðàñòàåò, âîäà,
ïîëó÷èâøàÿñÿ èç íåãî, çàéìåò îáúåì
V = Vë ρ ë ρ . Ñëåäîâàòåëüíî, â êîíöå
óâåëè÷åíèå óðîâíÿ âîäû â ñîñóäå áóäåò
ðàâíî h2 = Vc + V S , à èñêîìîå ïîíèæåíèå ñîñòàâèò ∆h = h1 – h2 . Ñâÿçü
ìåæäó îáúåìîì ëüäà è ñòåêëà íàéäåì
èç óñëîâèÿ ïëàâàíèÿ:
c
h
c
L
h
B
ρ Vë + Vc = ρcVc + ρëVë ,
îòêóäà
Ðèñ. 5
âåðõà (ðèñ.5). Êàêóþ ìàññó âîäû íàëèëè â ëóíêó âíà÷àëå? ×åìó ðàâíà ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà øàðà? Óêàçàíèå:
îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà âûñîòîé h
2
ðàâåí ∆V = πh (3d 2 − h) 3 , ãäå d –
äèàìåòð øàðà.
Ïî óñëîâèþ, ñíà÷àëà øàð êàñàåòñÿ
äíà, à çàòåì ïëàâàåò â ëóíêå, çàïîëíåííîé âîäîé. Î÷åâèäíî, ÷òî îí âñïëû2
âàåò ïðè ýòîì íà âûñîòó h = m ρd =
= 2,5 ñì = d/4. Çíà÷èò, èìåííî òàêîâà
âûñîòà ÷àñòè øàðà îáúåìîì ∆V , íàõîäÿùåéñÿ íàä âîäîé. Ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà øàðà ρ ø îïðåäåëèì èç çàêîíà
Àðõèìåäà:
e j
ρ
îòêóäà
F
GH
F πd
GH 6
ρø = ρ 1 −
− ∆V = ρ ø
2
d
I
JK
3
3
h
2
πd
6
3
,
FG 3 d − hIJ I =
H 2 K JK
=
27
32
ρ = 0,84 ã ñì 3 .
Äàëåå, êîãäà øàð ïëàâàåò â ëóíêå,
çàïîëíåííîé âîäîé, â íåé íàõîäèòñÿ
3
3
îáúåì âîäû, ðàâíûé d – πd 6 − ∆V ,
ïîýòîìó ìàññà âîäû, íàëèòàÿ â ëóíêó
âíà÷àëå, ðàâíà
e
F
GG
H
j
II − m =
JK JJ
K
F 27 πd I − m = 310 ã.
= ρG d −
H 32 6 JK
3
m0 = ρ d −
F πd
GH 6
3
3
− ∆V
3
Çàäà÷à 8.  ñîñóä ñ âîäîé (áîêîâûå
ñòåíêè ñîñóäà âåðòèêàëüíû) îïóñòèëè êóñîê ëüäà, â êîòîðûé áûë âìîðîæåí îñêîëîê ñòåêëà. Â ðåçóëüòàòå
óðîâåíü âîäû â ñîñóäå ïîäíÿëñÿ íà h1 =
= 11 ìì, à ëåä ñòàë ïëàâàòü, öåëèêîì
ïîãðóçèâøèñü â âîäó. Íà ñêîëüêî îïóñòèòñÿ óðîâåíü âîäû â ñîñóäå çà âðåìÿ
òàÿíèÿ ëüäà? Ïëîòíîñòü ñòåêëà ρ c =
3
3
= 2,0 ã ñì , âîäû ρ = 1 ã ñì , ëüäà
3
ρ ë = 0,9 ã ñì .
Ïóñòü îáúåì ñòåêëà Vc , ëüäà Vë , à
ñå÷åíèå ñîñóäà S. Óâåëè÷åíèå óðîâíÿ
âîäû â ñîñóäå â íà÷àëå ðàâíî h1 =
Vc = Vë
a
C
ρ − ρë
.
ρc − ρ
Ïîäñòàâèâ ýòî ñîîòíîøåíèå â ôîðìóëû
äëÿ h1 è h2 , íàéäåì îêîí÷àòåëüíî ∆h :
∆h = h1
ρ − ρë ρc − ρ
ρc − ρë
ρ
= 1 ìì .
Çàäà÷à 9. Òðîéíèê ñ äâóìÿ îòêðûòûìè â àòìîñôåðó è îäíîé çàêðûòîé
âåðòèêàëüíûìè òðóáêàìè öåëèêîì
çàïîëíåí âîäîé. Êîãäà òðîéíèê ñòàëè
äâèãàòü ïî ãîðèçîíòàëè (â ïëîñêîñòè
ðèñóíêà 6) ñ íåêîòîðûì óñêîðåíèåì,
èç íåãî âûëèëàñü 1/8 ÷àñòü âñåé ìàññû
ñîäåðæàâøåéñÿ â íåì âîäû. ×åìó ðàâíî äàâëåíèå â íèæíåé ÷àñòè (òî÷êà À)
çàêðûòîé òðóáêè âî âðåìÿ äâèæåíèÿ ñ
óñêîðåíèåì? Âíóòðåííèå ñå÷åíèÿ âñåõ
òðóáîê îäèíàêîâû, äëèíû òðóáîê L.
→
Ïðè äâèæåíèè ñ óñêîðåíèåì a âïðàâî âîäà èç ïðàâîãî îòêðûòîãî â àòìîñôåðó êîëåíà ïåðåòåêàåò â ëåâîå êîëåíî
è îòòóäà âûëèâàåòñÿ íàðóæó. Ïî óñëîâèþ, âûëèëàñü ïîëîâèíà âîäû, íàõîäÿùåéñÿ â ïðàâîì êîëåíå (äëèíà âñåõ
òðóáîê 4L, âûëèëàñü 1/8 ÷àñòü âñåé
ìàññû âîäû). Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ âîäû, íàõîäÿùåéñÿ â êàêèõëèáî äâóõ ãîðèçîíòàëüíûõ ó÷àñòêàõ
òðóáêè. Äëÿ ó÷àñòêà ÂÑ èìååì
cp
B
h
− pC S = aρS
L
2
,
ãäå pB = ρgL + p0 – äàâëåíèå â òî÷êå Â,
pC — äàâëåíèå â òî÷êå C, p0 – àòìîñôåðíîå äàâëåíèå, S – ñå÷åíèå òðóáêè,
ρ – ïëîòíîñòü âîäû. Íà ó÷àñòêå BD
æèäêîñòü äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ðàçíîñòè äàâëåíèé ρgL 2 , òàê êàê àòìîñôåðíûå äàâëåíèÿ â òî÷êàõ  è D ñêîìïåíñèðîâàíû:
L
ρg S = aρSL .
2
Ðàçäåëèâ ýòè äâà óðàâíåíèÿ äðóã íà
äðóãà, íàõîäèì
3
pC = ρgL + p0 .
4
Äàâëåíèå â èñêîìîé òî÷êå À îòëè÷àåòñÿ
îò íàéäåííîé âåëè÷èíû íà ρgL , ïîýòîìó äàâëåíèå â íèæíåé ÷àñòè çàêðûòîé
òðóáêè ðàâíî
7
p A = ρgL + p0 .
4
Ðèñ. 6
Óïðàæíåíèÿ
1. Îöåíèòå ìàññó êèñëîðîäà, ñîäåðæàùåãîñÿ â àòìîñôåðå Çåìëè. Òåìïåðàòóðà âîçäóõà ó ïîâåðõíîñòè Ò = 290 Ê, ðàäèóñ Çåìëè
r = 6370 êì. Ìàññà êèñëîðîäà, ñîäåðæàùåãîñÿ â îäíîì ëèòðå âîçäóõà ó ïîâåðõíîñòè
Çåìëè, ðàâíà ρ = 0,26 ã/ë, ïðîöåíòíîå
ñîäåðæàíèå êèñëîðîäà (ïî ìàññå) â àòìîñôåðå ïîñòîÿííîå, òîëùèíà àòìîñôåðû ìíîãî ìåíüøå ðàäèóñà ïëàíåòû. Ñëîé êàêîé
òîëùèíû çàíÿë áû êèñëîðîä ó ïîâåðõíîñòè,
åñëè áû åãî òåìïåðàòóðà è äàâëåíèå áûëè
ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì çíà÷åíèÿì òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè?
2. Ãåðìåòè÷íî çàêðûòàÿ ñ îäíîãî êîíöà
òðóáêà îïóñêàåòñÿ â âîäó çàêðûòûì êîíöîì
êâåðõó è ïëàâàåò â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè, ÷òî îáåñïå÷èâàåòñÿ íåçíà÷èòåëüíûìè
âíåøíèìè áîêîâûìè óñèëèÿìè. Äëèíà ÷àñòè òðóáêè, ïîãðóæåííîé â âîäó, Í = 1,75 ì,
äëèíà âñåé òðóáêè L = 2 ì. Íàéäèòå âûñîòó
ñëîÿ âîäû, çàøåäøåé â òðóáêó. Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå ïðèíÿòü ðàâíûì äàâëåíèþ,
ñëîÿ âîäû âûñîòîé H0 = 10,5 ì.
3. Ìûëüíûé ïóçûðü íàäóâàåòñÿ âîçäóõîì, òåìïåðàòóðà êîòîðîãî âûøå êîìíàòíîé. Ïðè äèàìåòðå ïóçûðÿ d = 0,3 ìì îí
íà÷èíàåò âñïëûâàòü (â êîìíàòå). Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ òåìïåðàòóðà âîçäóõà â ïóçûðå
âûøå êîìíàòíîé? Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå ìûëüíîãî ðàñòâîðà σ = 40 ìÍ/ì.
5
Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 = 10 Ïà. Ìàññîé
ïëåíêè ïðåíåáðå÷ü.
4.  ëóíêó êóáè÷åñêîé ôîðìû ðàçìåðîì
10 × 10 × 10 ñì, öåëèêîì çàïîëíåííóþ âîäîé, îïóñêàþò öèëèíäðè÷åñêîå òåëî (îñü
öèëèíäðà âåðòèêàëüíà).  ðåçóëüòàòå ÷àñòü
âîäû èç ëóíêè âûëèâàåòñÿ, à òåëî íà÷èíàåò
ïëàâàòü â íåé. Ïîñëå ýòîãî èç ëóíêè îòëèëè
åùå m = 250 ã âîäû òàê, ÷òî òåëî ñòàëî
ïëàâàòü, êàñàÿñü äíà ëóíêè. Êàêàÿ ìàññà
âîäû îñòàëàñü â ëóíêå? ×åìó ðàâíà ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà öèëèíäðà? Äèàìåòð öèëèíäðà d íåìíîãî ìåíüøå 10 ñì, âûñîòà
öèëèíäðà ðàâíà åãî äèàìåòðó, ïëîòíîñòü
3
âîäû ρ = 1 ã ñì .
!%