äèì èñêîìóþ ìàññó âîçäóõà: gH r 4

äèì èñêîìóþ ìàññó âîçäóõà:
m=
ΜρgH ⋅ 4 πr
3
3
RT
≈ 225 êã,
ãäå Ì = 29 ã/ìîëü – ìîëÿðíàÿ ìàññà
âîçäóõà, Ò = 290 Ê – åãî òåìïåðàòóðà.
Ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî â ñòàíäàðòíîì
áàëëîíå îáúåìîì 40 ëèòðîâ ïîä äàâëåíèåì 200 àòìîñôåð ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå ñîäåðæèòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî
10 êã âîçäóõà.
Çàäà÷à 4. Ñâàÿ â âèäå äâóõ ñîîñíûõ
öèëèíäðîâ çàáèòà â ãðóíò äíà âîäîåìà
ãëóáèíîé Í (ðèñ.2). Êàêàÿ ñèëà äåéñòâóåò íà ñâàþ ñî ñòîðîíû âîäû?
5
0
D
D
5
òíàÿ ïëîòíîñòü íà ïîâåðõíîñòè. Äëÿ
èçìåðåíèÿ êîíñòàíòû α â æèäêîñòü
íà íèòè, ïðèêðåïëåííîé ê äèíàìîìåòðó, îïóñêàþò öèëèíäðè÷åñêîå òåëî
äëèíîé L è ñå÷åíèåì S. Êîãäà òåëî
ïåðåìåùàåòñÿ ïî âåðòèêàëè íà Í,
îñòàâàÿñü öåëèêîì ïîãðóæåííûì â
æèäêîñòü, ïîêàçàíèÿ äèíàìîìåòðà èçìåíÿþòñÿ íà ∆F . ×åìó ðàâíà êîíñòàíòà α ?
Âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì Àðõèìåäà è
íàéäåì ðàçíîñòü âûòàëêèâàþùèõ ñèë
ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà ïî âåðòèêàëè íà
Í. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè òåëî îïóñêàåòñÿ,
âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà óâåëè÷èâàåòñÿ, à
ïîêàçàíèÿ äèíàìîìåòðà, ðàâíûå ðàçíîñòè âåñà òåëà è ñèëû Àðõèìåäà, óìåíüøàþòñÿ. Ïóñòü â íà÷àëå âåðõíÿÿ ãðàíü
öèëèíäðà íàõîäèòñÿ íà ãëóáèíå h1 ,
íèæíÿÿ íà ãëóáèíå h1 + L, à â êîíöå –
âåðõíÿÿ íà ãëóáèíå h1 + Í, íèæíÿÿ íà
ãëóáèíå h1 + Í + L. Òàê êàê ïëîòíîñòü
æèäêîñòè ìåíÿåòñÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó, âåñ âîäû, âûòåñíåííîé òåëîì â
íà÷àëå, ïðîïîðöèîíàëåí ïëîùàäè òðàïåöèè, çàøòðèõîâàííîé íà ðèñóíêå 3:
Ðèñ. 2
Ñå÷åíèå âåðõíåãî öèëèíäðà S1 , åãî
âûñîòà h1 , ñå÷åíèå íèæíåãî öèëèíäðà
S2 , âûñîòà åãî ÷àñòè, íàõîäÿùåéñÿ â
âîäå, h2 .
Ñèëû äàâëåíèÿ âîäû íà áîêîâûå ïîâåðõíîñòè ñâàè êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà. Âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà íèæíþþ ÷àñòü âåðõíåãî öèëèíäðà ñâàè ñå÷åíèåì S1 – S2 , ðàâíà
ρg H − h2 S1 − S2 , ãäå ρ – ïëîòíîñòü
âîäû. Ñèëà, ïðèæèìàþùàÿ ñâàþ ê ãðóíòó, äåéñòâóåò íà âåðõíåå îñíîâàíèå ñâàè
ñå÷åíèåì S1 è ðàâíà ρg H − h1 − h2 S1 .
Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ðàâíà
?
D?
?
?
D
+ h S D − ρgHS .
2
2
2
Êàê âèäíî, ñòðóêòóðà îòâåòà ïðîñòàÿ: îò îáû÷íîé âûòàëêèâàþùåé ñèëû,
íàéäåííîé ïî çàêîíó Àðõèìåäà (ñîîòâåòñòâóþùèé îáúåì ñâàè íà ðèñóíêå
çàøòðèõîâàí), îòíèìàåòñÿ ñèëà äàâëåíèÿ âîäû íà íèæíåå îñíîâàíèå ñâàè,
êàê áû íàõîäÿùååñÿ íà óðîâíå äíà
âîäîåìà. Â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó h1 , h2 , S1 , S2 , Í ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ìîæåò áûòü êàê âûòàëêèâàþùåé, òàê è ïðèæèìàþùåé ñâàþ êî
äíó âîäîåìà. Â ïðèâåäåííûõ ôîðìóëàõ
îòñóòñòâóåò òàêæå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå. Âîïðîñ î òîì, ïðîíèêàåò ëè âîçäóõ
÷åðåç ãðóíò è òåì ñàìûì ïåðåäàåò ñâîå
äàâëåíèå íà íèæíåå îñíîâàíèå ñâàè,
çàáèòîé â ãðóíò, ìû îñòàâëÿåì íà ñóä
÷èòàòåëÿ.
Çàäà÷à 5.  ñòðàòèôèöèðîâàííîé
æèäêîñòè ïëîòíîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ
ñ ãëóáèíîé h ïî ëèíåéíîìó çàêîíó
ρ(h) = ρ(0)(1 + αh) ,ãäå ρ(0) – èçâåñ-
ÊÂÀÍT 1999/¹1
? D ?
D.
ρ h1 + ρ h1 + L
2
Àíàëîãè÷íî, âåñ âîäû, âûòåñíåííîé
ρ
ρ()
D
F = ρg h1 S1
!$
F1 = gSL
h
Ðèñ. 3
h+L
òåëîì â êîíöå, ðàâåí
F2 = gSL
?
D ?
h
D.
÷åì âî âòîðîì. Íàéäèòå âûñîòó Í
ñëîÿ æèäêîñòè, çàøåäøåé â òðóáêó â
ïåðâîì ñëó÷àå. Îòíîøåíèå âíóòðåííåãî ñå÷åíèÿ òðóáêè S1 ê âíåøíåìó
S2 ðàâíî 0,5.
Ñèëà òÿæåñòè òðóáêè îñòàåòñÿ íåèçìåííîé, ïîýòîìó è âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà
â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäíà è òà æå.  ïåðâîì
S
S
L
H
Ðèñ. 4
ñëó÷àå (ðèñ.4), ïî çàêîíó Àðõèìåäà,
îíà ðàâíà ρgL1 S2 – ρgHS1 , âî âòîðîì
ρgL2 S2 , ãäå ρ – ïëîòíîñòü âîäû. Ïðèðàâíÿâ ýòè ñèëû, ïîëó÷èì
?
H = L1 − L2
D SS
2
= ∆L
1
S2
S1
= 10 ñì.
Ïðèâåäåì âòîðîé âàðèàíò ðåøåíèÿ –
ñ èñïîëüçîâàíèåì çàêîíà Ïàñêàëÿ, õîòÿ
â äàííîì ïðèìåðå îí è áîëåå ãðîìîçäêèé.  ïåðâîì ñëó÷àå ñèëà òÿæåñòè
òðóáêè mg è ñèëà àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ p0 íà äíî ñå÷åíèåì S2 óðàâíîâåøåíû ñèëîé äàâëåíèÿ âîçäóõà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè òðóáêè ïðè äàâëåíèè p1 , íà
âíóòðåííþþ ïîâåðõíîñòü äíà S1 è ñèëîé äàâëåíèÿ âîçäóõà è âîäû íà ïîâåðõíîñòü áîêîâûõ ñòåíîê ïðîáèðêè ïëîùàäüþ S2 – S1 :
?
D?
D
ρ h1 + H + ρ h1 + H + L
mg + p0 S2 =p1 S1 + p0 + ρgL1 S2 − S1 .
2
Ïðè ýòîì èìååò ìåñòî î÷åâèäíîå ðàâåíñòâî
p1 = p0 + ρg L1 − H .
Ïðè ýòîì ðàçíîñòü ïîêàçàíèé äèíàìîìåòðà ñîñòàâëÿåò
>C
∆F = F2 − F1 = gSLρ 0 αH ,
îòêóäà è íàõîäèì êîíñòàíòó α :
α=
∆F
>C
gSLρ 0 H
.
Ýòó êîíñòàíòó ìîæíî íàéòè è èç
ðàçíîñòè äàâëåíèé íà âåðõíåå è íèæíåå
îñíîâàíèÿ öèëèíäðà äëèíîé L ïðè åãî
ïåðåìåùåíèè ïî âåðòèêàëè íà Í (óáåäèòåñü â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî).
Çàäà÷à 6. Òðóáêà, çàïàÿííàÿ ñ îäíîãî êîíöà, îïóñêàåòñÿ â æèäêîñòü
ñíà÷àëà îòêðûòûì êîíöîì âíèç, à
çàòåì ââåðõ è ïëàâàåò, íàõîäÿñü â
âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè. Äëèíà ïîãðóæåííîé â æèäêîñòü ÷àñòè òðóáêè
â ïåðâîì ñëó÷àå íà ∆L = 5 ñì áîëüøå,
?
D
Âî âòîðîì ñëó÷àå ñèëà òÿæåñòè òðóáêè
óðàâíîâåøåíà ñèëîé äàâëåíèÿ âîäû íà
äíî ñå÷åíèåì S2 :
mg = ρgL2 S2 .
Ñèëû äàâëåíèÿ àòìîñôåðû íà ïîâåðõíîñòü òðóáêè â ýòîì ñëó÷àå ñêîìïåíñèðîâàíû. Èç ïðèâåäåííûõ ðàâåíñòâ íàõîäèì èñêîìóþ âûñîòó Í.
Çàäà÷à 7. Íà äíå ëóíêè êóáè÷åñêîé
ôîðìû ðàçìåðîì 10 × 10 × 10 ñì ëåæèò
øàð, äèàìåòð êîòîðîãî íåìíîãî ìåíüøå 10 ñì. Â ëóíêó íàëèâàþò âîäó
3
ïëîòíîñòüþ ρ = 1 ã ñì äî òåõ ïîð,
ïîêà øàð íå íà÷èíàåò ïëàâàòü, êàñàÿñü äíà ëóíêè. Ïîñëå ýòîãî â ëóíêó
äîëèëè åùå m = 250 ã âîäû òàê, ÷òî
ëóíêà îêàçàëàñü çàïîëíåííîé âîäîé äî