Êàê óçðåòü ñâîé 34

34
ÀÍT$ 2002/¹4
Ô È Ç È × Å ÑÊÊÂ È
É ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Êàê óçðåòü ñâîé
çàòûëîê âäàëè
À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ
ãäå c (R + Dr ) è n ( R + Dr ) = n ( R) + Dn – ñêîðîñòü âîëíû
è êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ íà âûñîòå Dr . Ïîñêîëüêó
AA¢ = Rϕ , BB¢ = (R + Dr ) ϕ , èç âûðàæåíèÿ (1) ïîëó÷èì
...Âèäèøü, ñ êàêîé áûñòðîòîé âîñõîäÿùåå ñîëíöå âíåçàïíî
Âñå îáëåêàåò êðóãîì ïîòîêàìè ÿðêîãî ñâåòà!..
Íî è òîò æàð, ÷òî èäåò îò ñîëíöà, è ñâåò åãî ÿñíûé
Íå â ïóñòîòå ñîâåðøàþò ñâîé ïóòü; è äâèãàòüñÿ òèøå
Ñâåò ïðèíóæäåí, ïîêà îí ðàññåêàåò âîçäóøíûå âîëíû...
Ëóêðåöèé
Î
×ÅÍÜ ËÅÃÊÎ ÍÀÁËÞÄÀÒÜ «ÏÐÅËÎÌËÅÍÈÅ» ×ÀÉ-
íîé ëîæêè â ñòàêàíå âîäû. Åùå äðåâíèå ãðåêè ïûòàëèñü
ïîëó÷èòü êîëè÷åñòâåííîå âûðàæåíèå çàêîíà ïðåëîìëåíèÿ. Â
ñëó÷àå ïðîçðà÷íûõ æèäêîñòåé ýòî ÿâëåíèå íàáëþäàåòñÿ
ëåãêî, ïîñêîëüêó êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ n äëÿ íèõ
çíà÷èòåëåí – íàïðèìåð, ñêîðîñòü ñâåòà câ â âîäå â 4/3 ðàçà
ìåíüøå, ÷åì ñêîðîñòü ñâåòà c â âàêóóìå: n = ñ ñâ = 4 3 . Â
ãàçàõ ýòîò êîýôôèöèåíò çíà÷èòåëüíî áëèæå ê åäèíèöå – òàê,
â âîçäóõå îí îòëè÷àåòñÿ îò åäèíèöû ãäå-òî â ÷åòâåðòîì çíàêå.
Íî è ýòî îòëè÷èå âïîëíå îùóòèìî: çà ñ÷åò èñêðèâëåíèÿ
ñîëíå÷íûõ ëó÷åé â àòìîñôåðå ìû âèäèì Ñîëíöå ðàíüøå åãî
«ãåîìåòðè÷åñêîãî» âîñõîäà è ïîçäíåå çàõîäà (ñì. ðèñóíîê).
Òàêèì îáðàçîì â ñóòêè íàáèðàåòñÿ äîïîëíèòåëüíî íåñêîëüêî
«ëèøíèõ» ìèíóò ñâåòîâîãî äíÿ, à çà ãîä – íåñêîëüêî ñóòîê,
÷òî íåìàëîâàæíî äëÿ êîëõîçíûõ ïîëåé è ëè÷íûõ îãîðîäîâ.
Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ àòìîñôåðíîé ðåôðàêöèåé. Åå ïðè÷èíà ïîíÿòíà: àòìîñôåðà ñ ïðèáëèæåíèåì ê Çåìëå ñòàíîâèòñÿ âñå ïëîòíåå, à ëó÷è îòêëîíÿþòñÿ â ñòîðîíó ñëîåâ ñ
áóëüøèì êîýôôèöèåíòîì ïðåëîìëåíèÿ.
À íåëüçÿ ëè âîîáðàçèòü ïëàíåòó ñ òàêîé àòìîñôåðîé, â
êîòîðîé ëó÷ èñêðèâëÿåòñÿ íàñòîëüêî ñèëüíî, ÷òî âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíóþ òî÷êó? Òîãäà, â ïðèíöèïå, ìîæíî áûëî áû
óâèäåòü ñâîþ ñïèíó âäàëåêå (ñì. ðèñóíîê á; ëó÷ OBB¢O ).
Ïðàâäà, î÷åíü âäàëåêå, íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà 2πR , ãäå R
– ðàäèóñ ïëàíåòû. Òàêîå ÿâëåíèå óìåñòíî íàçâàòü ñâåðõðåôðàêöèåé.
∆PH
a
P
â
á
Çåìëÿ
B¢ ∆r
A¢
ϕ
B A
R
Âåíåðà
( R + Dr ) ϕ (n ( R) + Dn) = Rϕn ( R) .
Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè è ïðåíåáðåãàÿ ìàëîé âåëè÷èíîé âòîðîãî
ïîðÿäêà ( DrDn = 1 ), ïîëó÷èì ïðîñòîå óðàâíåíèå
1
Dn
= .
(2)
nDr
R
Çíà÷èò, îòíîñèòåëüíàÿ óáûëü êîýôôèöèåíòà ïðåëîìëåíèÿ, îòíåñåííàÿ ê ïðèðàùåíèþ âûñîòû, äîëæíà áûòü ðàâíîé
êðèâèçíå ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû (îáðàòíîìó çíà÷åíèþ åå
ðàäèóñà).
Íî êàê êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ ñâÿçàí ñî ñâîéñòâàìè
àòìîñôåðû? Ðàçóìíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî åãî îòëè÷èå îò
åäèíèöû (ýòî çíà÷åíèå äëÿ âàêóóìà) ïðîïîðöèîíàëüíî êîíöåíòðàöèè N ìîëåêóë: n - 1 = αN , ãäå α – íåêîòîðûé
êîýôôèöèåíò. Ñëåäîâàòåëüíî,
Dn αDN
=
» αDN
(3)
n
n
(òàê êàê ñàìî çíà÷åíèå n äëÿ ãàçîâ î÷åíü áëèçêî ê åäèíèöå).
Ïîñêîëüêó ðàçìåðíîñòü êîíöåíòðàöèè ìîëåêóë [ N ] = ì-3 ,
êîýôôèöèåíò α äîëæåí èìåòü ðàçìåðíîñòü îáúåìà: [ α] = ì 3 .
Îáúåìà ÷åãî? Íó êîíå÷íî æå, îí êàê-òî äîëæåí áûòü ñâÿçàí
ñ îáúåìîì ìîëåêóë ãàçîâ, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ àòìîñôåðû.
Âîçüìåì Çåìëþ. Äëÿ âîçäóõà (èç ñîîòâåòñòâóþùèõ òàá-3
25
ëèö) αN » 3 × 10-4 , N = 2,7 × 10 ì ; çíà÷èò, α » 10-29 ì 3 .
Äèàìåòð ìîëåêóëû àçîòà (îñíîâíîé êîìïîíåíò âîçäóõà)
ðàâåí d » 3 × 10-10 ì , åå îáúåì ñîñòàâëÿåò
-
3
4 æç d ÷ö
4 π × 27 × 10-30 3
ì » 4π × 10-30 ì3 : α .
π çç ÷÷ =
3 è2 ø
3×8
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå αN åñòü
ñóììàðíàÿ äîëÿ îáúåìà, çàíÿòîãî («âûòåñíåííîãî») ñàìèìè
ìîëåêóëàìè.
À ÷òî òâîðèòñÿ, íàïðèìåð, íà Âåíåðå? Òàì èìååòñÿ ãîðÿ÷àÿ
( T » 800 Ê) è ïëîòíàÿ ( p » 100 àòì) àòìîñôåðà óãëåêèñëîãî ãàçà (åãî ìîëÿðíàÿ ìàññà ðàâíà 44 × 10-3 êã ìîëü ). Êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë ó ïîâåðõíîñòè ðàâíà
N=
θ
R
Ñîëíöå
O
Äëÿ òîãî ÷òîáû ôðîíò âîëíû ÀÂ ïîñëå ïîâîðîòà ðàäèóñàâåêòîðà íà óãîë ϕ îñòàëñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíûì ïîâåðõíîñòè
ïëàíåòû ( A¢B¢ ), íóæíî, ÷òîáû ó÷àñòêè ëó÷åé AA¢ è BB¢
ïðîõîäèëèñü âîëíîé çà îäíî è òî æå âðåìÿ:
BB¢
AA¢
,
t=
=
c ( R + Dr ) c ( R)
èëè
(1)
BB¢ × n ( R + Dr ) = AA¢ × n ( R) ,
p
100 × 105
=
ì-3 : 1027 ì-3
kT 1,4 × 10-23 × 800
(çäåñü k – ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà). Ðàäèóñ ìîëåêóë óãëåêèñëîãî ãàçà â 1,25 ðàçà áîëüøå, ÷åì ó àçîòà; çíà÷èò, îáúåì
áîëüøå ïî÷òè â äâà ðàçà, è α » 2 × 10-29 ì 3 . Èòàê, ó ïîâåðõíîñòè Âåíåðû èìååì αN » 0,02 , ÷òî íà äâà ïîðÿäêà áîëüøå,
÷åì äëÿ àòìîñôåðû Çåìëè.
Äàëåå, èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ñòîëáà ãàçà âûñîòîé Dr è
ñå÷åíèåì S:
– DpS = NmgDrS
è èç âûðàæåíèÿ äëÿ äàâëåíèÿ ãàçà:
p = NkT
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ
ìîæíî ïîëó÷èòü
mg
DN
=N
.
(4)
–
kT
Dr
Èç âûðàæåíèé (3) è (4) íàéäåì îêîí÷àòåëüíî
mg
Dn
» αN
.
nDr
kT
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà çíà÷åíèÿ íóæíûõ âåëè÷èí äëÿ îáåèõ
ïëàíåò, ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ òàáëèöó (çäåñü mp =
= 1,67 × 10-27 ê㠖 ìàññà ïðîòîíà):
m /m p Τ, Κ g, ì/ñ2
R, ì
1/R, cì–1 |∆n|/n∆r,ì–1
Çåìëÿ
29
300
9,8
6,4 · 106 1,6 · 10–7
3,4 · 10–8
 åíåðà
44
800
8,5
6,2 · 106 1,6 · 10–7
1,1 · 10–6
Èç ïîñëåäíåãî ñòîëáöà ñëåäóåò, ÷òî êðèâèçíà ëó÷à íà óðîâíå
Çåìëè ìåíüøå, ÷åì êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû, â òî
âðåìÿ êàê â àòìîñôåðå Âåíåðû ëó÷ «êðèâåå» åå ïîâåðõíîñòè.
Ýòî ÿâëåíèå è íàçûâàþò ñâåðõðåôðàêöèåé.
Íàïîìíèì, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèÿõ èñïîëüçîâàëîñü çíà÷åíèå
êîíöåíòðàöèè ìîëåêóë ó ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû. Ïîäíèìàÿñü
âñå âûøå – â ãîðû èëè íà àýðîñòàòå, – ìîæíî íàéòè òàêóþ
òî÷êó Î íàä ïîâåðõíîñòüþ Âåíåðû, ÷òî ëó÷, âûïóùåííûé
ãîðèçîíòàëüíî, âîçâðàòèòñÿ ê íàì, îáîãíóâ ïëàíåòó. È
îñóùåñòâèòñÿ ìå÷òà: ìû óâèäèì-òàêè ñâîé çàòûëîê äàëåêî
âïåðåäè. Åñëè, êîíå÷íî, ïðåíåáðå÷ü ïîãëîùåíèåì ñâåòà â
àòìîñôåðå.
Ðåôðàêöèÿ èìååò ìåñòî è â àòìîñôåðå Ñîëíöà (ôîòîñôåðå). Êàçàëîñü áû, êàêîå íàì äåëî äî òîé ðåôðàêöèè? À âîò
è åñòü äåëî. Ó÷åíûå êàê-òî ðåøèëè ïîíàáëþäàòü, êàê ñâåò
çâåçäû, çàõîäÿùåé çà äèñê Ñîëíöà, îòêëîíÿåòñÿ â ïîëå
òÿãîòåíèÿ. Âåäü êàæäûé ôîòîí îáëàäàåò ìàññîé hν c2 (h –
ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, ν – ÷àñòîòà); ñëåäîâàòåëüíî, ïðîëåòàÿ
ó ïîâåðõíîñòè ãðàâèòèðóþùåãî òåëà, îí äîëæåí èñïûòûâàòü
îòêëîíåíèå â ñòîðîíó åãî öåíòðà.
Îöåíèì ïðåæäå âñåãî ïîðÿäîê âåëè÷èíû ýòîãî óãëà îòêëîíåíèÿ θ . Î÷åâèäíî, ÷òî íàèáîëüøàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà
ôîòîí, áóäåò íà ñàìîì êðàþ ñîëíå÷íîãî äèñêà:
Fmax
æ hν ö M
= -G ççç 2 ÷÷÷ 2/ ,
è c ø R/
ãäå G – ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ, / – àñòðîíîìè÷åñêèé
çíàê Ñîëíöà. Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî íàèáîëåå ñóùåñòâåííîå
îòêëîíåíèå ôîòîí áóäåò èñïûòûâàòü íå âäàëåêå, à ãäå-òî â
ïðåäåëàõ ðàññòîÿíèé, ñðàâíèìûõ ñ ðàçìåðàìè ñàìîãî Ñîëíöà, è çà âðåìÿ Dt : 2 R/ c . Òàêèì îáðàçîì, ðàäèàëüíîå
èçìåíåíèå èìïóëüñà ôîòîíà áóäåò ðàâíî
DPr = Fmax Dt .
Çíà÷èò, èñêîìûé óãîë (à îí çàâåäîìî ìàë) áóäåò ïîðÿäêà
(ñì. ðèñóíîê â)
F Dt
DPr
2M
θ:
: -G 2 / .
= max
P
hν c
c R/
Èíòåðåñíî, ÷òî îí îäèíàêîâ äëÿ ôîòîíîâ ëþáîé ÷àñòîòû.
Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ( M/ = 2 × 1030 êã ,
R/ = 0,7 × 10 9 ì ) , íàéäåì
θ :
2 × 2 × 1030 êã × 6,67 × 1011 ì3 êã× ñ2
(3 × 108
2
ì ñ) × 0,7 × 109 ì
=
= 4,2 × 10-6 ðàä = 0,87¢¢
(ìåíüøå îäíîé óãëîâîé ñåêóíäû). Çíà÷åíèå, ïðåäñêàçûâàå-
35
ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
ìîå îáùåé òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè (ÎÒÎ), âäâîå áîëüøå:
θÎÒÎ = 1,7¢¢ (ýòî îáúÿñíÿåòñÿ èñêðèâëåíèåì ïðîñòðàíñòâà
îêîëî ãðàâèòèðóþùåãî òåëà – ÷òî íå ó÷èòûâàåò íüþòîíîâñêàÿ òåîðèÿ òÿãîòåíèÿ).
Êîíå÷íî, èçìåðåíèå ýòîãî óãëà ïðèíöèïèàëüíî âàæíî äëÿ
ïðîâåðêè òåîðèè. Íî äåëî â òîì, ÷òî íåîäíîðîäíîñòü àòìîñôåðû Ñîëíöà ìîæåò êàê-òî ìàñêèðîâàòü èññëåäóåìûé ýôôåêò. Ðàññìîòðèì ïîýòîìó è ðåôðàêöèþ ýëåêòðîìàãíèòíîé
âîëíû â ïëàçìå ôîòîñôåðû.
r
ßñíî, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû E
ñòðåìèòñÿ ñìåñòèòü ïîëîæèòåëüíûå çàðÿäû âäîëü ñâîåãî
íàïðàâëåíèÿ, îòðèöàòåëüíûå çàðÿäû (ýëåêòðîíû) – â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Íî ïåðâûå ãîðàçäî ìàññèâíåå
âòîðûõ (äàæå ñàìûé ëåãêèé èç èîíî⠖ ïðîòîí – ïî÷òè â 2000
ðàç «òÿæåëåå» ýëåêòðîíà), òàê ÷òî ñìåùåíèåì èîíîâ ìîæíî
ïðåíåáðå÷ü. Ñèëà æå, äåéñòâóþùàÿ íà ýëåêòðîí, ðàâíà
-eE (t) . Ïóñòü ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â âîëíå êîëåáëåòñÿ ñ
÷àñòîòîé ω , òàê ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå åãî ìîæíî
çàïèñàòü, íàïðèìåð, â âèäå
E (t) = Em sin ωt ,
ãäå Em – àìïëèòóäà. Ýòî ïîëå ñòðåìèòñÿ ìíîãî ðàç â ñåêóíäó
( ν = ω (2π) ) «òàñêàòü» ýëåêòðîíû ââåðõ-âíèç. Íî êàæäûé
èç íèõ îáëàäàåò ìàññîé me , êîòîðàÿ åñòü ìåðà èíåðòíîñòè,
ò.å. íåæåëàíèÿ ñìåùàòüñÿ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Åñëè â
åäèíèöå îáúåìà íàõîäèòñÿ Ne ýëåêòðîíîâ, èõ ìàññîâàÿ
ïëîòíîñòü ðàâíà me Ne . Ïîíÿòíî, ÷òî âñå ïåðå÷èñëåííûå
ôàêòîðû êàê-òî äîëæíû âîéòè â îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå
äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â ïëàçìå cï . Îñòàâëÿÿ
â ñòîðîíå ñòðîãèé âûâîä (â íåãî âõîäÿò åùå ðàññóæäåíèÿ î
ðàçëè÷èè ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòåé âîëíû), ïðèâåäåì
îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò:
cï = c 1 -
ω*2
,
ω2
ãäå â âûðàæåíèå äëÿ ω* (ïëàçìåííîé ÷àñòîòû) âîøëè
ïåðå÷èñëåííûå âûøå ïàðàìåòðû:
ω*2 =
Ne e2
ε0me
(5)
(ìíîæèòåëü ε0 ñâèäåòåëüñòâóåò îá èñïîëüçîâàíèè Ìåæäóíàðîäíîé ñèñòåìû åäèíèö). Çíà÷èò, êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå ðàâåí
c
1
=
> 1.
(6)
cï
1 - ω2* ω2
È çíà÷èò, ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà, ïðîõîäÿ ó êðàÿ äèñêà
Ñîëíöà, äîëæíà îòêëîíÿòüñÿ îò «ïðÿìîé ëèíèè». Òàêèì
îáðàçîì, èñêîìûé ýôôåêò, äåéñòâèòåëüíî, ìîæåò áûòü çàìàñêèðîâàí àòìîñôåðíîé ðåôðàêöèåé.
Íî ìîæíî ïîäîáðàòü òàêèå ÷àñòîòû ω , íà êîòîðûõ ðåôðàêöèÿ áûëà áû íåñóùåñòâåííîé.  ñàìîì äåëå, ïëàçìåííàÿ
÷àñòîòà çàâèñèò îò êîíöåíòðàöèè ýëåêòðîíîâ (5), à ïîñëåäíÿÿ – îò âûñîòû íàä ïîâåðõíîñòüþ Ñîëíöà. Ñëåäîâàòåëüíî,
Dn
ìîæíî íàéòè îòíîñèòåëüíîå ïðèðàùåíèå (ïðîäèôôåDr
ðåíöèðîâàâ (6) ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ω èëè ãðàôè÷åñêè) è ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ýòà âåëè÷èíà áûëà ìíîãî
ìåíüøå, ÷åì êðèâèçíà 1 Re , – òî÷íî òàê æå, êàê ýòî áûëî
ñäåëàíî äëÿ Çåìëè è Âåíåðû. À îòñþäà è ìîæíî íàéòè
äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ω . Íî ýòó ðàáîòó ïðåäîñòàâèì ñäåëàòü
ïåðåä ñíîì ñàìîìó ×èòàòåëþ.
n=