Закон сохранения энергии для одноатомного идеального газа

ÈÊ
Ì
Ï Ð À ÏÊÐ ÒÀ ÊÈÒ Ê
ÓÓÌ
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè
äëÿ îäíîàòîìíîãî
èäåàëüíîãî ãàçà
À.ØÅÐÎÍÎÂ
Â
Î ÂÑÅÕ ÒÅÏËÎÂÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÀÕ
âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè, èëè ïåðâûé çàêîí (ïåðâîå
íà÷àëî) òåðìîäèíàìèêè, êîòîðûé óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå
Q = ∆U + A .
Çäåñü Q – ïîäâåäåííîå êîëè÷åñòâî
òåïëîòû, À – ñîâåðøåííàÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ðàáîòà è ∆U –
èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ñèñòåìû.
Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé
ñèñòåìû è äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà çàâèñèò
òîëüêî îò åãî òåìïåðàòóðû Ò. Äëÿ
îäíîãî ìîëÿ îäíîàòîìíîãî ãàçà îíà
ðàâíà U = 3/2 RT (ãäå R – óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ). Ëþáîå
(êàê áåñêîíå÷íî ìàëîå, òàê è êîíå÷íîå
ïî âåëè÷èíå) èçìåíåíèå âíóòðåííåé
ýíåðãèè îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü ðàçíîñòüþ
òåìïåðàòóð êîíå÷íîãî è íà÷àëüíîãî
ñîñòîÿíèé:
∆U =
3
2
R∆T
è íå çàâèñèò îò ñïîñîáà ïåðåõîäà èç
íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå. Ýòî
îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è â òîì ñëó÷àå, êîãäà ãàç ïåðåâîäèòñÿ èç íà÷àëüíîãî ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå â ðåçóëüòàòå íåðàâíîâåñíîãî íåîáðàòèìîãî
ïðîöåññà.
Íàïðîòèâ, ðàáîòà À, êîòîðàÿ ñîâåðøàåòñÿ ãàçîì çà ñ÷åò ïîäâåäåííîãî òåïëà èëè èçìåíåíèÿ åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè, çàâèñèò îò ïóòè ïåðåõîäà ìåæäó äâóìÿ ðàâíîâåñíûìè ñîñòîÿíèÿìè. Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ∆A â
ëþáîì îáðàòèìîì ïðîöåññå ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äàâëåíèÿ ð íà ìàëîå èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà
∆V â äâóõ ñîñåäíèõ ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèÿõ ýòîãî ïðîöåññà: ∆A = p∆V .
Ïðè êîíå÷íîì èçìåíåíèè îáúåìà îò
V1 äî V2 â îáðàòèìîì ïðîöåññå ðàáîòà ãàçà ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ïîä
êðèâîé çàâèñèìîñòè åãî äàâëåíèÿ îò
îáúåìà p V , îãðàíè÷åííîé èçîõîðàìè V1 è V2 , ò.å.
b g
zbg
V2
A=
p V dV .
V1
 çàäà÷àõ íà ðàñ÷åò òåïëîâûõ ïðîöåññîâ ñ èäåàëüíûì ãàçîì ïîëåçíûì
îêàçûâàåòñÿ ââåäåíèå ïîíÿòèÿ òåïëîåìêîñòè Ñ ãàçà â äàííîì ïðîöåññà:
ãäå ∆T – ìàëîå èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà ïðè ïîäâåäåíèè ê íåìó ìàëîãî
êîëè÷åñòâà òåïëîòû ∆Q . Çàìåòèì, ÷òî
ââåäåííàÿ òàêèì îáðàçîì òåïëîåìêîñòü
çàâèñèò îò âèäà ïðîöåññà p V è ìîæåò
ìåíÿòü ñâîþ âåëè÷èíó è äàæå çíàê â
õîäå ýòîãî ïðîöåññà.
Íàïîìíèì òåïåðü îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ïðîöåññîâ.
 èçîõîðè÷åñêîì ïðîöåññå íàãðåâà
èëè îõëàæäåíèÿ ãàçà ðàáîòà ãàçîì
(èëè âíåøíèìè ñèëàìè) íå ïðîèçâîäèòñÿ. Ïîýòîìó ïîäâåäåííîå (èëè îòâåäåííîå) êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q ðàâíî èçìåíåíèþ âíóòðåííåé ýíåðãèè
ãàçà: Q = ∆U = 3 2 R∆T (äëÿ îäíîãî
ìîëÿ ãàçà). Ýòî ñîîòíîøåíèå îêàçûâàåòñÿ âåðíûì äëÿ ëþáîãî èçìåíåíèÿ
òåìïåðàòóðû ãàçà – êàê ìàëîãî, òàê è
êîíå÷íîãî, ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùàÿ
èçîõîðè÷åñêîìó ïðîöåññó òåïëîåìêîñòü îêàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé è äëÿ
îäíîãî ìîëÿ ãàçà ðàâíîé 3/2 R. Îíà
íàçûâàåòñÿ ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòüþ
ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå è îáîçíà÷àåòñÿ CV . Òàêèì îáðàçîì,
b g
CV =
3
2
R,
à âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé
3
U = RT = CV T .
2
 àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå òåïëî ê
ãàçó íå ïîäâîäèòñÿ è íå îòâîäèòñÿ îò
íåãî. Ðàáîòà ãàçîì (èëè íàä íèì)
ñîâåðøàåòñÿ çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ åãî
âíóòðåííåé ýíåðãèè: À = – ∆U =
= − 3 2 R T2 − T1 , ãäå T2 è T1 – òåìïåðàòóðû â êîíå÷íîì è íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèÿõ. Ýòî îêàçûâàåòñÿ âåðíûì êàê
äëÿ ìàëîãî, òàê è äëÿ êîíå÷íîãî èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû ãàçà, ïîýòîìó â
àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå äëÿ ýëåìåíòàðíîé ðàáîòû èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
∆A = p∆V = −CV ∆T ,
c
h
ãäå ∆V è ∆T – ìàëûå, ïî ñðàâíåíèþ ñ
ïåðâîíà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè, èçìåíåíèÿ îáúåìà è òåìïåðàòóðû ãàçà. Òåïëîåìêîñòü â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå,
î÷åâèäíî, ðàâíà íóëþ ( ∆Q = C∆T =
= 0).
 èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå ïîäâîäà
èëè îòâîäà òåïëà âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ
ãàçà íå èçìåíÿåòñÿ. Ïðè ðàñøèðåíèè
îäíîãî ìîëÿ ãàçà îò îáúåìà V1 äî
îáúåìà V2 ãàç ñîâåðøàåò ðàáîòó, êîòîðóþ ìîæíî íàéòè, âîñïîëüçîâàâøèñü
óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ ãàçà pV = RT:
zbg z
V2
A=
∆Q = C∆T ,
49
V2
p V dV =
V1
V1
RT
V
dV = RT ln
V2
V1
.
Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ïîäâåäåííîå ê ãàç êîëè÷åñòâî òåïëîòû ðàâíî
ñîâåðøåííîé ãàçîì ðàáîòå:
Q = A.
Ïðè ðàñøèðåíèè ãàçà A > 0, ïðè
ñæàòèè A < 0 (ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ
âíåøíèìè ñèëàìè, òåïëî îò ãàçà îòâîäèòñÿ). Òàê êàê òåìïåðàòóðà ãàçà íå
èçìåíÿåòñÿ ( ∆T = 0), òåïëîåìêîñòü
ãàçà â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå îêàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé.
 èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå íàãðåâà ñ
ïîñòîÿííûì äàâëåíèåì ð = p0 ðàáîòà
îäíîãî ìîëÿ ãàçà ïðè ðàñøèðåíèè îò
îáúåìà V1 äî îáúåìà V2 ðàâíà
c
h c
h
A = p0 V2 − V1 = R T2 − T1 .
Ïîäâåäåííîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q
èäåò íà ñîâåðøåíèå ðàáîòû è íà óâåëè÷åíèå ∆U = CV T2 − T1 âíóòðåííåé
ýíåðãèè ãàçà. Äëÿ íàõîæäåíèÿ òåïëîåìêîñòè Cp â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå
âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì ïðîöåññà
ð = p0 è óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ pV =
= RT:
∆Q = Cp ∆T = ∆U + p∆V =
c
h
c
h
= CV ∆T + R∆T = CV + R ∆T .