слайды к теме 12

§ 4. Исследование поведения функции
Аналитические признаки монотонности функции
Опр. Функция y = f( x ) называется
а) возрастающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2
f(x1)<f(x2);
b) убывающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2
f(x1)>f(x2);
c) невозрастающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2
f(x1)≥f(x2);
а) неубывающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2
f(x1)≤f(x2).
Пример невозрастающей функции
y
y=f(x)
f(x1)= f(x2) > f(x3)
x1 < x2 < x3
x
Теорема 8. (Достаточное условие строгой монотонности)
Пусть y=f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b),
тогда если
а) f '(x) >0 на (a,b), то f(x) возрастает на (a,b);
b) f '(x) <0 на (a,b), то f(x) убывает на (a,b).
Замечание. Обратное утверждение (необходимость) не верно.
Контр пример: функция может быть возрастающей на (a,b) ,
а ее производная удовлетворяет нестрогому неравенству f '(x) ≥0 .
y=x3
y '=3x2
y‘(0)=0
y
y=x3
x
Опр. Говорят, что f
'(x) меняет знак в точке x0 , если существует
окрестность точки x0: (x0 - δ, x0 + δ), в которой при x < x0 f '(x) сохраняет
один знак, а при x > x0 – противоположный.
Опр. Точки, в которых f '(x) =0 называются стационарными точками.
Опр. Точки, в которых f
критическими точками.
'(x) =0 или не существует, называются
Возможные варианты стационарных и критических точек
y
стационарные f '(x)=0 y
экстр.
x0
нет экстр.
x0
x
критические f '(x) 
экстр.
x0
y
нет экстр.
x0
x
критические f '(x) 
экстр.
x0
нет экстр.
x0
x
Теорема 9. (1ый достаточный признак экстремума)
Пусть y = f (x) непрерывна в интервале, содержащем критическую точку
x0, дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме может
быть самой x0, тогда
а) если при переходе слева направо через x0 производная f '(x) меняет
знак с «+» на «-», то в точке x0 функция f (x) имеет максимум;
b) если знак производной меняется с «-» на «+», то в точке
f(x) имеет минимум.
x0
функция
Теорема 10. (2ой достаточный признак экстремума)
Если в критической точке x0 функции y = f(x) обращается в ноль не только
первая производная но и все последующие до (n - 1) - ой включительно, т.е.
f '(x0)= f '' (x0)= f ''' (x0)=…= f (n-1)(x0)=0,
а
f (n)(x0)≠0,
тогда x0 будет точкой экстремума, если n – четное;
x0 не будет точкой экстремума, если n – нечетное.
Характер экстремума определяется знаком f (n)(x0)≠0.
При f (n)(x0)<0 - в x0 максимум,
при f (n)(x0)>0 - в x0 минимум.
Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на [a, b]
Вспомним:
Опр 10.
b] выполняется неравенство f ( x ) ≤ f ( x0 ), то говорят,
функция y = f ( x ) имеет в точке x0 глобальный максимум
Если ∀ x ∈ [a, b] f ( x ) ≥ f ( x0 ), то в точке x0 глобальный минимум
Если
∀ x ∈ [a,
План
1. Найти критические точки
с (f
2. Для каждой критической точки
3. Вычислить
4. Сравнить.
(x)=0 )
xi
f ( xi ), f ( a ), f ( b )
выяснить max или min