  Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных.

Точки в пространстве  n будем обозначать векторами x  ( x1 ,..., xn ). д-окрестность


O (a ) точки a будем обозначать множество:


2
2
O (a )  {x : x1  a1   ...  xn  an    }

f
Функцией f (x ) будем называть отображение:  n 
, определенное на
n
некотором множестве D   .


Будем говорить, что функция f (x ) непрерывна в точке a , если




  0 : x  O (a )  f ( x )  f (a )   .
Пример функции непрерывной по каждой из переменных, но разрывной по
совокупности переменных в данной точке.
 0, если x1  x2  0

Рассмотрим функцию f ( x1 , x2 )   x1 x2
, если x12  x22  0
2
2

 x1  x2
Исследование эту функцию на непрерывность в точке (0,0).
Заметим, что f(0, x2)=f(x1,0)≡0, те по каждой из переменных x1 и x2 при
фиксированном значении второй переменной эта функция непрерывна. Предположим, что
1
1
1
f x1 , x2   C(0). Пусть   и x12  x22    f x1 , x2   . Если x1=x2, то f x1 , x2   .
2
4
4
Следовательно, f(x1, x2) разрывна в 0 .
В дальнейшем мы в основном будем рассматривать только функции от двух
переменных f(x, y) для того, чтобы формулировать утверждения и доказательства было
проще.
Дифференцируемость функции f(x, y) в точке (x0, y0).
Определение. Функция f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) (или сокращенно
f ( x, y)  D( x0 , y0 ) ), если справедливо равенство:
(1)
f(x, y)=f(x0, y0) + A(x - x0) + B(y - y0) + o(  ), где A, B   - некоторые
константы, а   ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2 .
Зафиксируем одну из переменных, например: y=y0. Тогда f(x0, y0) будет функцией от
x и равенство (1) примет вид: f(x0, y)=f(x0, y0) + A(x - x0) + B(y - y0) + o(x - x0).
Следовательно, число A есть производная функции f(x0, y) в точке x=x0. Эта
f
производная обозначается так: A  ( x0 , y 0 ) и называется частной производной
x
f
f(x, y) по x в точке (x0, y0). Аналогично: B  ( x0 , y0 ). Таким образом условие
y
дифференцируемости функции f(x, y) в точке (x0, y0) можно представить в виде:
f ( x0 , y0 )
f(x, y)=f(x0, y0) ++
( y  y0 ) + o(  ).
y
Функция может быть дифференцируема по каждой из переменных в отдельности и
при этом не быть дифференцируемой по совокупности переменных (см. разобранный
выше пример разрывной в 0 функции).
Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции в точке).
Пусть функция f(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0) и f(x, y),
f ( x0 , y 0 ) f ( x0 , y0 )
,
 C ( x0 , y0 ). Тогда f ( x, y)  D( x0 , y0 ).
x
y
Доказательство.
Рассмотрим разность: f(x, y) - f(x0, y0) = f(x, y) - f(x0, y) + f(x0, y) - f(x0, y0).
Используя формулу Лагранжа, получим равенства:
f ( x1 , y )
f ( x0 , y1 )
 ( x  x0 ), f(x0, y) - f(x0, y0) =
f(x, y) - f(x0, y) =
 ( y  y0 ); где
x
y
x1  ( x0 , x), y1  ( y0 , y ).
f
f
Далее, ввиду непрерывности частных производных
и
в точке (x0, y0),
x
y
f ( x1 , y ) f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y1 ) f ( x0 , y0 )

 o(1) и
справедливы соотношения:

 o(1).
x
x
y
y
Следовательно, имеют место равенства:
f ( x1 , y )
 ( x  x0 ) +
f(x, y) - f(x0, y0) = f(x, y) - f(x0, y) + f(x0, y) - f(x0, y0) =
x
f ( x0 , y1 )
f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 )
 ( y  y0 ) =
( y  y0 ) + o(y – y0) =
( x  x0 ) + o(x – x0) +
y
y
x
f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 )
( y  y0 ) + o(  ), так как o(x – x0) = o (  ) и o(y – y0) =
( x  x0 ) +
y
x
o(  ).
Теорема доказана.
Замена переменных.
f ( x, y)  D( x0 , y0 )
x  x(u, v)  D(u0 , v0 )
y  y(u, v)  D(u0 , v0 )
y  y(u0 , v0 ), x  x( x0 , y0 )
f ( x(u, v), y(u, v))  D(u0 , v0 )
 f f x f y
 u  x  u  y  u
 f f x f y
    
 v x v y v
f
f
f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  ( x  x0 )  ( y  y0 )  o(  ).
x
y
x
x
x  x0  x(u, v)  x(u 0 , v0 )  (u  u 0 )  (v  v0 )  o(  )
u
v
y
y
y  y0  y (u, v)  y (u 0 , v0 )  (u  u 0 )  (v  v0 )  o(  )
u
v
f  x
x
y
 f  y

f ( x(u, v), y (u, v))  f ( x0 , y0 )   (u  u 0 )  (v  v0 )    (u  u 0 )  (v  v0 )   o(  ) 
x  u
v

y

u

v



 f x f y 
 f x f y 
f
f
    (u  u0 )      (v  v0 )  o(  )  (u  u0 )  (v  v0 )  o(  )
u
v
 x u y u 
 x v y v 
При u=v:
df f dx f dy
    .
du x du y du