решение интегрального уравнения Фредгольма 2

.
16.
Âàðèàíòû çàäàíèÿ
×èñëåííîå ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ
Ôðåäãîëüìà 2-ãî ðîäà
Ïóñòü òðåáóåòñÿ ðåøèòü óðàâíåíèå
Zb
u(x) −
H(x, y)u(y)dy = f (x),
(1)
f (x) ∈ C[a,b] ,
a
ãäå ÿäðî H(x, y) äîñòàòî÷íîå êîëè÷åñòâî ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìî.
16.1.
Ìåòîä çàìåíû ÿäðà íà âûðîæäåííîå
16.1.1.
Ïîñòðîåíèå ðåøåíèÿ è ðåçîëüâåíòû
Âûðîæäåííûì íàçûâàåòñÿ ÿäðî, ïðåäñòàâèìîå â âèäå
H̃(x, y) =
n
X
(2)
αi (x)βi (y),
i=1
ãäå α1 , α2 , . . . , αn ëèíåéíî íåçàâèñèìû è β1 , β2 , . . . , βn ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Ïóñòü H(x, y) ≈ H̃(x, y) è áóäåì ðåøàòü óðàâíåíèå
Zb
ũ(x) −
(3)
H̃(x, y)ũ(y)dy = f (x).
a
Åñëè óðàâíåíèå (3) èìååò ðåøåíèå, òî îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå:
ũ(x) = f (x) +
n
X
(4)
ci αi (x),
i=1
ãäå
ci =
Rb
βi (y)ũ(y)dy =
Îáîçíà÷èì
a
Rb
a
βi (y)(f (y) +
n
P
cj αj (y)) dy =
j=1
Zb
γij =
n Rb
P
Rb
βi (y)αj (y)dy cj + βi (y)f (y)dy.
j=1 a
a
Zb
βi (y)f (y)dy, aij = δij − γij ,
βi (y)αj (y)dy, bi =
a
(5)
a
(δij ñèìâîë Êðîíåêåðà), òîãäà ci ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé AC = B .
Çäåñü A = {aij } ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ, B = (b1 , b2 , . . . , bn )ò âåêòîð ïðàâûõ
÷àñòåé, C = (c1 , c2 , . . . , cn )ò èñêîìûé âåêòîð.
Åñëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A íå ðàâåí íóëþ, òî íåòðóäíî ïîñòðîèòü ðåçîëüâåíòó ÿäðà
H̃ , òî åñòü òàêóþ ôóíêöèþ G̃(x, y), ÷òî
Zb
ũ(x) = f (x) +
G̃(x, y)f (y)dy.
a
ci
Îáîçíà÷èì D = {dij } ìàòðèöó, îáðàòíóþ ìàòðèöå A :
âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
1
D = A−1
(6)
. Òîãäà êîýôôèöèåíòû
ci =
dij bj
j=1
è ïîòîìó
ũ(x) = f (x) +
n
X
n
X
ci αi (x) = f (x) +
i=1
n X
n
X
Zb
dij
i=1 j=1
G̃(x, y) =
Zb
βj (y)f (y)dy αi (x) = f (x) +
a
n X
n
X
G̃(x, y)f (y)dy,
a
(7)
dij αi (x)βj (y),
i=1 j=1
G̃(x, y)
16.1.2.
ðåçîëüâåíòà ÿäðà H̃.
Îöåíêà ïîãðåøíîñòè
Òåîðåìà 1
(îá îöåíêå ïîãðåøíîñòè)
ðåøèìî, åãî ðåøåíèå åñòü
.
Ïóñòü èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå
(3) îäíîçíà÷íî ðàç-
ũ(x) è äëÿ ðåçîëüâåíòû G̃ ÿäðà H̃ âûïîëíåíà îöåíêà
Zb e
G(x, y)dy ≤ B̃ (x ∈ [a, b]).
(8)
a
Ïóñòü ÿäðà
H è H̃ ñâÿçàíû íåðàâåíñòâîì
Zb H(x, y) − H̃(x, y dy ≤ η (x ∈ [a, b]),
(9)
a
ïðè÷åì (1 + B̃)η < 1.
Òîãäà óðàâíåíèå (1) òàêæå îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî è äëÿ åãî ðåøåíèÿ
åòñÿ îöåíêà
|u∗ − ũ(x)| ≤
16.1.3.
u∗ (x) âûïîëíÿ-
(1 + B̃)η
kũ∗ kC .
1 − (1 + B̃)η
(10)
Çàäàíèå
1.
2.
3.
4.
5.
Ïîäîáðàòü âûðîæäåííîå ÿäðî ðàíãà 3 è íàéòè ũ(3) (x).
Âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ũ(3) (x) â òî÷êàõ a, (a + b)/2, b.
Ïîäîáðàòü âûðîæäåííîå ÿäðî ðàíãà 4 è íàéòè ũ(4) (x).
Âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ũ(4) (x) â òî÷êàõ a, (a + b)/2, b.
Âû÷èñëèòü ∆˜ = i=1,2,3
max |ũ(4) (xi ) − ũ(3) (xi )|, x1 = a, x2 = (a + b)/2, x3 = b.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ïàêåòà Maple âû÷èñëèòü ∆˜ = ũ(4) (x) − ũ(3) (x)C .
6. Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ũ(3) (x). Ñðàâíèòü ñ ∆˜ .
7. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ïàêåòà Maple ïîñòðîèòü ãðàôèê ðàçíîñòè ðåøåíèé
(4)
ũ
(x).
Ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâèòü â âèäå òàáëèöû 1.
2
ũ(3) (x)
è
x
ũ(3) (x)
ũ(4) (x)
˜
∆
Òàáëèöà 1
a
(a + b)/2
b
Îöåíêà
Óêàçàíèå
Ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèÿ íà Maple ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôóíêöèè:
• Hn := taylor(Hz(z), z = c, n); ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Hz(z) â ðÿä Òåéëîðà ïî ñòåïåíÿì (z− c) â îêðåñòíîñòè òî÷êè z = c. Ïàðàìåòð n îïðåäåëÿåò ïîðÿäîê óäåðæèâàåìûõ
â ðàçëîæåíèè ôóíêöèè ÷ëåíîâ;
• convert(Hn, polynom); ïðåîáðàçîâàíèå ïîëó÷åííîãî âûøå ðàçëîæåíèÿ â ïîëèíîì;
• plot3d(H _Hn, x = a..b, y = a..b, axes = BOXED); ïîñòðîåíèå ïîâåðõíîñòè, çàäàâàåìîé âûðàæåíèåì H _Hn, â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîâåðõíîñòü çàêëþ÷åíà â îõâàòûâàþùèé ïàðàëëåëåïèïåä ñ íàíåñåííûìè øêàëàìè ïî òðåì ãðàíÿì. Ýòà
ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê, èñïîëüçóåìûõ â òåîðåìå î
ïîãðåøíîñòè.
Ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ïóíêòû ðåøåíèÿ çàäà÷è äëÿ ðàíãà ÿäðà n.
1. Ïîñòðîåíèå âûðîæäåííîãî ÿäðà, òî åñòü
îïðåäåëåíèå ôóíêöèé αi (x), βi (x),
n
P
i = 1, 2, . . . , n, òàêèõ, ÷òî H̃(x, y) =
αi (x)βi (y) ≈ H(x, y).
i=1
2.
3.
4.
5.
Ïîñòðîåíèå ìàòðèöû A è ñòîëáöà ïðàâûõ ÷àñòåé .
Ðåøåíèå ñèñòåìû AC = B.
Ïîëó÷åíèå ðåøåíèÿ â òî÷êàõ x = a, (a + b)/2, b.
Âû÷èñëåíèå àïîñòåðèîðíîé îöåíêè.
16.2.
16.2.1.
Ìåòîä ìåõàíè÷åñêèõ êâàäðàòóð
Ïîñòðîåíèå ðåøåíèÿ
Âûáåðåì êàêóþ-íèáóäü êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó
Zb
v(x)dx ≈
n
X
Ak v(xk ),
(11)
k=1
a
óçëû xk ∈ [a, b], xk 6= xj ïðè k 6= j.
Çàìåíèâ èíòåãðàë â óðàâíåíèè (1) ïðèáëèæåííî íà êâàäðàòóðíóþ ñóììó, ïîëó÷èì íîâîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî íîâîé íåèçâåñòíîé ôóíêöèè u(n) (x):
u(n) (x) −
n
X
Ak H(x,xk )u(n) (xk ) = f (x).
(12)
k=1
Åñëè êâàäðàòóðíàÿ ñóììà äîñòàòî÷íî õîðîøî ïðèáëèæàåò èíòåãðàë, òî åñòü îñíîâàíèÿ
íàäåÿòüñÿ, ÷òî ðåøåíèå u(n) (x) óðàâíåíèÿ (12) áëèçêî ê ðåøåíèþ u(x) óðàâíåíèÿ (1).
Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (12) áóäåì ïîëàãàòü x ïîî÷åðåäíî ðàâíûì x1 , x2 , . . . , xn .
Îáîçíà÷èì ςj = u(n) (xj ), òîãäà ςj îáÿçàíû óäîâëåòâîðÿòü ñèñòåìå óðàâíåíèé
ςj −
n
X
Ak H(xj , xk )ςk = f (xj ), j = 1, 2, . . . , n
k=1
3
(13)
èëè, â ìàòðè÷íîé çàïèñè, Dz = g, ãäå
(14)
D = {djk } , djk = δjk − Ak H(xj , xk ), g = (f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn )),
z = (ς1 , ς2 , . . . , ςn ) èñêîìûé âåêòîð.
Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (13) z
ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ïî ôîðìóëå
u(n) (x) =
n
X
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (12)
= (ς1 , ς2 , . . . , ςn )
(15)
Ak H(x, xk )ςk + f (x).
k=1
Òåîðåìà 2
(î ñõîäèìîñòè ìåòîäà ìåõàíè÷åñêèõ êâàäðàòóð)
.
Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
1. ßäðî H(x,y) è ïðàâàÿ ÷àñòü f(x) èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ
2. Èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå
(1) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî.
(1) íåïðåðûâíû.
3. Êâàäðàòóðíûé ïðîöåññ ñõîäèòñÿ.
Òîãäà
à) ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
, ê êîòîðûì ïðèâîäèò ìåòîä ìåõàíè÷åñêèõ êâàäðàòóð, îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìû;
á) ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè µ∞ (D) ìàòðèö ýòèõ ñèñòåì ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû;
, ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ ê
â) ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ u(n) (x), ïîñòðîåííûå ïî ôîðìóëå
òî÷íîìó ðåøåíèþ u(x).
(13)
(15)
16.2.2.
Çàäàíèå
Íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ
Zb
u(x) −
K(x, y)u(y)dy = f (x),
a
èñïîëüçóÿ îäíó èç êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë:
1. Ñîñòàâíàÿ ôîðìóëà òðàïåöèé.
2. Ñîñòàâíàÿ ôîðìóëà ñðåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ.
3. Ñîñòàâíàÿ ôîðìóëà Ñèìïñîíà.
4. Ôîðìóëû Ãàóññà ñ 2, 3, 4 è ò.ä. óçëàìè.
5. Ñîñòàâíàÿ ôîðìóëà Ãàóññà ñ äâóìÿ óçëàìè.
6. Ñîñòàâíàÿ ôîðìóëà Ãàóññà ñ òðåìÿ óçëàìè.
Êîëè÷åñòâî ðàçáèåíèé â ñîñòàâíûõ ôîðìóëàõ ðåêîìåíäóåòñÿ óäâàèâàòü äî òåõ ïîð, ïîêà
çíà÷åíèÿ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé â òî÷êàõ a, (a + b)/2, b íå áóäóò ñîâïàäàòü ñ òî÷íîñòüþ
ε=0.00001.  ôîðìóëàõ Ãàóññà (íå ñîñòàâíûõ) äî äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè ðåêîìåíäóåòñÿ óâåëè÷èâàòü êîëè÷åñòâî óçëîâ íà åäèíèöó.
Ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâèòü â âèäå òàáëèöû 2.
Òàáëèöà 2
x
u (x)
u(2∗n) (x)
u(4∗n) (x)
···
(m∗n)
u
(x)
u(2∗m∗n) (x)
u(2∗m∗n) (x) − u(m∗n) (x)
a
(n)
Ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå â 1-îì ìåòîäå
Îöåíêà, ïîëó÷åííàÿ â 1-îì ìåòîäå
4
(a + b)/2
b
Çäåñü n íà÷àëüíîå êîëè÷åñòâî ðàçáèåíèé â ñîñòàâíîé ôîðìóëå, à m òàêîå, ÷òî
max | u(2∗m∗n) (xi ) − u(m∗n) (xi )| < ε,
x1 = a, x2 = (a + b)/2, x3 = b.
i=1,2, 3
Åùå ðàç çàìåòèì, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ôîðìóë Ãàóññà (íå ñîñòàâíûõ) êîëè÷åñòâî óçëîâ íå ñëåäóåò óäâàèâàòü, à äîñòàòî÷íî óâåëè÷èâàòü íà åäèíèöó. Ñîîòâåòñòâåííî ïîñëåäíåå
óñëîâèå ïðèìåò âèä
max | u(n+m+1) (xi ) − u(n+m) (xi )| < ε,
x1 = a, x2 = (a + b)/2, x3 = b.
i=1,2,3
Êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû ïåðâûõ ÷åòûðåõ ìåòîäîâ õîðîøî èçâåñòíû, óêàçàíèÿ ïî ïîñòðîåíèþ ñîñòàâíûõ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë Ãàóññà ïðèâåäåíû çäåñü.
Äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà ñîñòàâèòü ïðîãðàììó, ñîäåðæàùóþ ïîäïðîãðàììó, âû÷èñëÿþùóþ ðåøåíèå â çàäàííûõ òî÷êàõ ìåòîäîì ìåõàíè÷åñêèõ êâàäðàòóð ñ n óçëàìè, ãäå n ïàðàìåòð. Ïðîìåæóòî÷íûå ðåçóëüòàòû äîëæíû ñîäåðæàòü
• êîëè÷åñòâî óçëîâ êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû;
• óçëû êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû;
• êîýôôèöèåíòû êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû;
• ìàòðèöó ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî çíà÷åíèé ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ â óçëàõ è âåêòîð
ïðàâûõ ÷àñòåé (òîëüêî ïðè íåáîëüøîì ÷èñëå óçëîâ: 2 èëè 3);
• ðåøåíèå ñèñòåìû çíà÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ â óçëàõ êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû;
• çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ â òî÷êàõ a, (a + b)/2, b;
• max | u(2∗m∗n) (xi ) − u(m∗n) (xi )|
i=1,2,3
èëè
max | u(n+m+1) (xi ) − u(n+m) (xi )| < ε,
x1 = a, x2 = (a + b)/2, x3 = b.
i=1,2,3
Âàðèàíòû çàäàíèÿ
5