ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА

Íåðóõ Àëåêñàíäð Ãåîðãèåâè÷, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê,
ïðîôåññîð, çàâ. êàôåäðîé âûñøåé ìàòåìàòèêè ÕÒÓÐÝ.
Íàó÷íûå èíòåðåñû: íåñòàöèîíàðíàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà.
Àäðåñ: 310726, Óêðàèíà, Õàðüêîâ, ïð. Ëåíèíà, 14, òåë.
(0572) 40-93-72.
Ðûáèí Îëåã Íèêîëàåâè÷, àñïèðàíò êàôåäðû âûñøåé
ìàòåìàòèêè ÕÒÓÐÝ. Íàó÷íûå èíòåðåñû: ðàñïðîñòðàíå-
ÓÄÊ 537.87; 621.371
ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÈÌÏÓËÜÑÀ
ÂÐÅÌÅÍÍÛÌ ÂÎÇÁÓÆÄÅÍÈÅÌ
ÑÐÅÄÛ Â ÏÎËÓÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ
ÐÛÁÈÍ Î.Í., ÑÀÕÍÅÍÊÎ Í.Ê.
Ðàññìîòðåíî ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî
èìïóëüñà, âûçâàííîå ñêà÷êîîáðàçíûì èçìåíåíèåì âî
âðåìåíè ïàðàìåòðîâ îãðàíè÷åííîé ñðåäû. Èçìåíåíèå
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîóãîëüíûå èìïóëüñû äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè è ïðîâîäèìîñòè ïðîèçâîëüíîé äëèòåëüíîñòè è àìïëèòóäû. Ïîëó÷åíû è ïðîàíàëèçèðîâàíû âûðàæåíèÿ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âî âñåì
ïðîñòðàíñòâå.
1. Ââåäåíèå
Ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â íåñòàöèîíàðíûõ ñðåäàõ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà ñ çàâèñÿùèìè îò âðåìåíè ïàðàìåòðàìè. Êàê
ïðàâèëî, òàêèå çàäà÷è ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè [1,2]. Îäíàêî îñíîâíûå îñîáåííîñòè
ýâîëþöèè ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèãíàëîâ íåñòàöèîíàðíûìè ñðåäàìè ìîæíî ïîëó÷èòü
àíàëèòè÷åñêèì ïóòåì [3-9].
Íàèáîëåå ïðîñòûì ñ òî÷êè çðåíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî
èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé òðàíñôîðìàöèè ïîëÿ
ïðè ñêà÷êîîáðàçíîì èçìåíåíèè äèýëåêòðè÷åñêîé
ïðîíèöàåìîñòè èëè ïðîâîäèìîñòè ñðåäû. Îäíàêî,
êàê ïðàâèëî, ðàññìàòðèâàåòñÿ èçìåíåíèå òîëüêî
îäíîãî ïàðàìåòðà. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå èññëåäóåòñÿ
âîçäåéñòâèå íà ýëåêòðîìàãíèòíûé èìïóëüñ ñèíõðîííîãî èìïóëüñíîãî èçìåíåíèÿ äèýëåêòðè÷åñêîé
ïðîíèöàåìîñòè ε(t ) è ïðîâîäèìîñòè σ(t ) ñðåäû, êîòîðîå ïðîèñõîäèò â îáëàñòè ïîëóïðîñòðàíñòâà x ≥ 0 .
Èçìåíåíèå âî âðåìåíè ýòèõ ïàðàìåòðîâ îïèñûâàåòñÿ
ôîðìóëàìè
ε(=
t ) ε 0[ θ( −t ) + θ(t − τ)] + ε1[ θ(t ) − θ(t − τ)],
σ(=
t ) σ1[ θ(t) − θ(t − τ)],
ãäå ε 0 – äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü íåâîçìóùåííîé ñðåäû; ε1 è σ1 – äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü è ïðîâîäèìîñòü ñðåäû â ïîëóïðîñòðàíñòâå
x ≥ 0 íà âðåìåííîì èíòåðâàëå t ∈(0, τ) ; θ(t ) –
åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà. Ñðåäà â ïîëóïðîñòðàíñòâå x < 0 âñå âðåìÿ îñòàåòñÿ íåïðîâîäÿùåé è èìååò
äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü ε 0 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðâè÷íîå ïîëå ïàäàåò ïî
íîðìàëè íà ãðàíèöó îáëàñòè ïîëóïðîñòðàíñòâà x ≥ 0 ,
èìååò òîëüêî ñîñòàâëÿþùóþ, íå çàâèñÿùóþ îò ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò.
ÐÈ, 1998, ¹ 1
íèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â íåñòàöèîíàðíûõ ñðåäàõ.
Àäðåñ: 310726, Óêðàèíà, Õàðüêîâ, ïð. Ëåíèíà, 14, òåë.
(0572) 40-93-72.
Ùåðáàòêî Èãîðü Âëàäèìèðîâè÷, äîöåíò êàôåäðû
âûñøåé ìàòåìàòèêè ÕÒÓÐÝ. Íàó÷íûå èíòåðåñû: íåñòàöèîíàðíàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. Àäðåñ: 310726, Óêðàèíà,
Õàðüêîâ, ïð. Ëåíèíà, 14, òåë. (0572) 40-93-72.
Åñëè E 0(t, x) — ïåðâè÷íîå ïîëå â íåâîçìóùåííîé
ñðåäå, òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â íåñòàöèîíàðíîé
îáëàñòè îïèñûâàåòñÿ èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì Âîëüòåððà âòîðîãî ðîäà [1,2,6]:
∞ ∞
=
E(t, x) E 0 (t, x) + ∫ dt' ∫ dx'K (t, t ' , x, x' )E(t ', x' ),
0 0
(1)
Çäåñü K (t, t ', x, x') – ÿäðî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ,
K (t, t ', x, x' ) =
− δ(v 0 (t − t ' ) − x − x' ) a 2 (t ' ) ×


1
∂

× σ(t ' ) + (1 − a 2 (t ' )) ,
2
∂
t

ãäå a (t ) = ε 0 ε(t ) ; =
v0 c
(2)
ε 0 ; σ(t ) = 2 πσ(t ) ε1 ; c
– ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå; δ(t ) – äåëüòà-ôóíêöèÿ
Äèðàêà.
 îáëàñòè x < 0 ïîëå îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ
òîãî æå ñîîòíîøåíèÿ (1), êîòîðîå â ýòîì ñëó÷àå
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó, âûðàæàþùóþ âíåøíåå ïîëå ÷åðåç âíóòðåííåå.
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) â îáëàñòè x ≥ 0 çàïèñûâàåòñÿ ÷åðåç ðåçîëüâåíòó R (t, t', x, x') :
∞ ∞
=
E(t, x) E 0 (t, x) + ∫ dt' ∫ dx' R (t, t ', x, x' )E 0 (t ', x' ),
0 0
êîòîðàÿ ìîæåò áûòü íàéäåíà èç óðàâíåíèÿ
(3)
R=
(t, t ', x, x') K (t, t', x, x') +
∞ ∞
+ ∫ dt '' ∫ dx"K (t, t ", x, x")R (t ", t', x", x').
0 0
(4)
 ñëó÷àå, åñëè ε(t ) = ε1 , σ(t ) = σ1 , ðåçîëüâåíòà
ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà
R (t, t ', x, x') = e −σ1τ
α + i∞ dp
p
∫ 2πie τ [ S1( p) + S2 ( p)]. (5)
α − i∞
Çäåñü
x − x'
a p 2 − σ12  p − σ1
1  − v1
S1( p) =
−

e
2v 0
 p + σ1 a 2 
a p 2 − σ12
S2 ( p) =
2v 0
1
 −
a
p 2 − σ12
,
x + x' 2
2
p − σ1  − v1 p − σ1
e
,.
p + σ1 
31
ãäå
a = ε 0 ε1 , τ = t − t' α > σ1, σ1 = 2πσ1 ε1 , v=
1
t
−1 2
F0 (t, b) = a σ1b ∫ d τ e −σ1(t − τ) τ 2 − b 2
×
b
(
c ε1 ,
×I1(σ1 τ 2 − b 2 ), F1(t, b) =
−4a 2 (1 − a 2 ) −1σ1 ×
R e p 2 − σ12 > 0.
−1
t
−(1+a 2 ) 1−a 2 σ1(t − τ) 
2
2
× ∫ dτ e
I 0 (σ1 τ − b ) −

b
− τ − (1 + a 2 )(2a) −1b ( τ 2 − b 2 ) −1 2 ×
Ôîðìóëà (5) â îòñóòñòâèå S2 ( p, x, x' ) — ðåçîëüâåíòà áåçãðàíè÷íîé çàäà÷è. Ñëàãàåìîå S2 ( p, x, x' ) ó÷èòûâàåò âëèÿíèå ãðàíèöû ïîëóïðîñòðàíñòâà x ≥ 0 .
Ïîëó÷åííàÿ ðåçîëüâåíòà ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü
âîçäåéñòâèå èìïóëüñíîãî âîçáóæäåíèÿ ñðåäû äëÿ
ëþáîãî ïåðâè÷íîãî ïîëÿ.
(
Ïóñòü ïåðâè÷íîå ïîëå E 0(t, x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ïðÿìîóãîëüíûé èìïóëüñ
E 0 (t,=
x) θ(v 0 (t − t1) − x) − θ(v 0 (t − t 2 ) − x)),
t 1 < t 2 < 0.
Ïîäñòàâëÿÿ (5) â (3) è èñïîëüçóÿ òåîðåìó î
âû÷åòàõ è òåîðåìó Ýôðîñà [10], ïîëó÷àåì, ÷òî ïîëå
â îáëàñòè íåñòàöèîíàðíîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà x ≥ 0
èìååò âèä
E1(t, x=
) a 2θ( −x − v 0t1)θ(x + v 0t 2 )e −2σ1t +
2
+ ∑ ( −1) i −1[ E1i (t, x) + E 2i (t, x) + E bi (t, x)].
i =1
Çäåñü
E ji (t, x) = (a 2)θ(−x − v 0t i )θ(v1(t + t i a ) + x) ×

× I 0(σ1 t 2 − (t i a + x v1) 2 ) −

−ae −σ1(t + t i a + x v1) − F0(t, −(t i a + x v1)) e −σ1t ;
}
E ii (=
t, x) (a 2)θ(x + v 0t i )θ(v1(t − t i a ) − x) ×

× I 0(σ1 t 2 − (t i a + x v1) 2 ) +

+ae −σ1(t − t i a − x v1) + F0 (t, t i a + x v1) e −σ1t ;
}
E bi (=
t, x) (a 2)θ(v1(t + t i a ) − x)e −σ1t ×

× I 0(σ1 t 2 − (t i a − x v1) 2 ) − (1 − a 2 ) 2 (2a) −1 ×

×e
−1
σ1(t + t i a − x v1)
+
2

+e −σ1(t + t i a − x v1) + ∑ F k (t,−(t i a − x v1)) ;
k =1

ãäå
32
(6)
)

t, b) a σ1b ×
×I1(σ1 τ 2 − b 2 ) . F2 (=

t
× ∫ d τ e −σ1(t − τ) (τ 2 − b 2 ) −1 2 I1(σ1 τ 2 − b 2 ).
b
Ïîëå â îáëàñòè ïîëóïðîñòðàíñòâà x < 0 íà âðåìåí-
2. Ðåàêöèÿ ïîëÿ íà âîçáóæäåíèå îãðàíè÷åííîé
îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà (ïðîìåæóòîê âðåìåíè
t ∈(0, τ) )
−(1+a 2 ) 1−a 2
)
íîì èíòåðâàëå t ∈(0, τ) íàéäåì, ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå
(6) â ôîðìóëó (1):
1

2
E 2 (t, x=
) E 0 (t, x) + a 2 σ1 + (1 − a 2 ) ∑ (−1) i ×
2

i =1
{
× θ(v 0(t + t i a ) + x)(1 σ1)sh (σ1(t + t i a + x v 0 )) +
(
×((3 + a 2 )a −1 − (1 + a 2 )(1 − a 2 ) −1)(t + t i a + x v 0) ×
+ (1 σ1)sh (σ1(t + t i a + x v 0 )) + 2(1 − a 2 ) −1 ×
×e
−(1+ a 2 ) 1−a 2
−1
σ1(t + t i a + x v 0 )
(7)
+
5
 
+ ∑ F k (t + x v 0 , t i a ) e −σ1(t + x v 0 ) .
 
k =3
Çäåñü
t
F3(t, b) =
−b ∫ d τ sh (σ1(t − τ))(τ 2 − b 2 ) −1 2 ×
−b
2σ1
×I1(σ1 τ 2 − b 2 ). F4 (t, b) =
−
×
1− a2
t
 3 + a2
1 + a2
× ∫ d τ
b+
a
1 − a2
−b 
 −(1+a 2 ) 1−a 2
τe

−1
σ1(t − τ)
×
I (σ τ 2 − b 2 )
2σ1
×(t − τ) 1 1
. F5(t, b) = −
×
1 − a2
τ2 − b 2
t
× ∫ d τ (t − τ)e
−b
−(1+a 2 ) 1−a 2
−1
σ1(t − τ)
I 0(σ1 τ 2 − b 2 ).
Àíàëèç ôîðìóë (6) è (7) óäîáíî ïðîâîäèòü ñ
èñïîëüçîâàíèåì ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé äèàãðàììû, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â [7], ãäå ðàññìàòðèâàëñÿ ñêà÷îê ïðîâîäèìîñòè ñðåäû â ïîëóïðîñòðàíñòâå.
Îñíîâíûì êà÷åñòâåííûì îòëè÷èåì äàííîé äèàãðàììû ÿâëÿåòñÿ íåðàâåíñòâî óãëîâ “ïàäåíèÿ” è “îòðàæåíèÿ” îò êâàçèïëîñêîñòè t = 0 , â òî âðåìÿ êàê â ðàáîòå
[7] äàííûå óãëû ñîâïàäàþò. Ìèðîâûå ëèíèè, ñîîòâåòñòâóþùèå âûðàæåíèÿì äëÿ ïîëåé (6) è (7),
ÐÈ, 1998, ¹ 1
ðàñïîëîæåíû íà ðèñóíêå ñëåâà îò ëèíèè t = τ ,
ñîîòâåòñòâóþùåé ìîìåíòó ñêà÷êîîáðàçíîãî âîçâðàùåíèÿ ïàðàìåòðîâ â îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà x ≥ 0 ê
ïåðâîíà÷àëüíûì çíà÷åíèÿì.
−(1+a 2 ) 1−a 2
±
F7 (t, b) = −e
−1
σ1 ( t − b)
+ ch (σ1(t − b)) ±
−1
t
−(1+a 2 ) 1−a 2 σ1(t − ξ)
3. Îñòàòî÷íûå ÿâëåíèÿ ïîñëå ñíÿòèÿ âîçáóæäåíèÿ
± σ1 ∫ d ξ e
I0 (σ1 ξ 2 − b 2 ) +
cðåäû
b
Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âî âñåì ïðîñòðàíñòâå, ïîñëå
−1


t 
−(1+a 2 ) 1−a 2 σ1(t − ξ) 
ñêà÷êîîáðàçíîãî âîçâðàùåíèÿ ïàðàìåòðîâ ñðåäû â
+ σ1b ∫ d ξ ch( σ1(t − ξ)) − e
×
ïîëóïðîñòðàíñòâå x ≥ 0 ê ïåðâîíà÷àëüíîìó ñîñòîÿ

b 
íèþ, âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

1
∂


1
2
−
E(t, x=
) E 0 (t, x) − (1 a 2 ) σ1 + (1 − a 2 )  ×
I1( σ1 ξ 2 − b 2 ).
F8 ( t , b ) =
× ξ 2 − b 2 
2
∂t 



∞
τ
(8)
t
I (σ ξ 2 − b 2 )
× ∫ dt ' ∫ dx' δ(v 0 (t − t ') − x − x' )E1(t ', x').
.
= sh ( σ1(t − b)) + σ1b ∫ d ξ sh(σ1( t − ξ) ) 1 1
0 −∞
b
ξ2 − b 2
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (6) ïîëó÷èì çíà÷åíèå
E(t, x) =θ(x + v 0( τ − t ))E 0 (t, x) + (1 2σ1) ×
1
∂ 2

× σ1 + (1 − a 2 )  ∑ ( −1) i −1{E 3i (t, x) +
2
∂t i =1

+E 4i (t, x)} + θ(t + x v 0 )θ(v 0 (t − τ) − x)E 2(t. x).
(9)
F9(t, b) =
×e
Çäåñü
E 3i (t, x) = θ(x + v0(τ − t)) ×
{
× θ( f (t, x))e−2σ1τ − (1 2)θ(− f (t, x))e−σ1( f (t, x) v 0 + τ) ×
−1
(1+a 2 ) 1−a 2 σ1( f (t,x) v 0 + τ)
×(1 − eσ1( f (t, x) v 0 + τ) + 2e
)−
−1
−θ(−f (t, x))a σ11 − a 2 e−σ1( f (t,x) v 0 + τ) F6(τ, f (t, x) v1) −
−θ(−f (t, x))θ(v1τ + f (t, x))e−σ1τ F7+ (τ,− f (t, x) v1) −
−θ(v1τ + g(t, x))e−σ1τ F7− (τ,− g(t, x) v1) + θ(x + v0(t − τ)) ×
}
[
×(1 2)θ(−q(t, x))θ(q(t, x) − v0τ) e−2σ1((q(t, x) v 0 ) + τ) + 1 −

−2e−2σ1τ + θ(q(t, x))θ(v1τ − q(t, x))e−σ1τ F8(τ, q(t, x) v1) −
]
}
−(1 2)θ(v1τ − h(t, x))e−σ1τ F9(τ, h(t, x) v1) ,
ãäå
f (t, x) = v 0 (t − τ − t i ) − x, g(t, x) = x + v 0 ( τ − t − t i ),
h (t, x) = v 0 ( τ − t + t i ) − x, q (t, x) = x + v 0 (t + t i − τ);
à òàêæå
b
−(1+a 2 ) 1− a 2
F 6 ( t , b) = ∫ d ξ e
0
ÐÈ, 1998, ¹ 1
−1
σ1( t − ξ)
I 0 ( σ1ξ).
×e
2

 3 + a 2 − a 2 1 + 3a  (t − b ) ×


1 − a2 
1 − a2 
2
−(1+ a 2 ) 1− a 2
−(1+ a 2 ) 1− a 2
−1
−1
(
(
σ1(t − b)
+ 2σ1 1 − a 2
)
−1 t
∫ dξ ×
0
σ1(t − ξ) 
1 + 3a 2
2
 (3 + a ) − a
1 − a2

× I1(σ1 ξ2 − b 2 ) ξ2 − b2
)
−1

ξ ×


− (σ1 a ) I0 (σ1 ξ2 − b 2 ).

Âûðàæåíèå E 3i (t, x) îïèñûâàåò ñîñòàâëÿþùóþ
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà âîçâðàùåíèå
ïàðàìåòðîâ ñðåäû íåñòàöèîíàðíîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà ê èñõîäíûì çíà÷åíèÿì ïðîèñõîäèò ïîñëå òîãî,
êàê îáðàòíûé èìïóëüñ ad, îáðàçîâàâøèéñÿ ïðè
ðàñùåïëåíèè ïåðâè÷íîãî èìïóëüñà, äîñòèã ãðàíèöû
x = 0 . Àíàëèç îáëàñòåé ñóùåñòâîâàíèÿ êàæäîãî ñëàãàåìîãî âûðàæåíèÿ äëÿ E 3i (t, x) ïîêàçûâàåò, ÷òî â
ìîìåíò ñêà÷êîîáðàçíîãî âîçâðàùåíèÿ ïàðàìåòðîâ
ñðåäû îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ê ïåðâîíà÷àëüíûì çíà÷åíèÿì êàæäàÿ ìèðîâàÿ ëèíèÿ, îáðàçîâàâøàÿñÿ äî
ýòîãî ìîìåíòà, ðàñùåïëÿåòñÿ íà äâå. Â ðåçóëüòàòå
îáðàçóþòñÿ äâà ïðÿìûõ èìïóëüñà (bk è ue, ðèñóíîê)
è äâà îáðàòíûõ (bp è eh, ðèñóíîê). Èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ
ïîñòîÿíñòâà àðãóìåíòà íåîäíîðîäíûõ àìïëèòóä F7 ±
è F8 äàííîãî âûðàæåíèÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî ôàçû ïîëÿ
ïîñëå ñíÿòèÿ âîçáóæäåíèÿ çàâèñÿò îò ïðîñòðàíñòâåííîé è âðåìåííîé êîîðäèíàò. Ïîýòîìó ó îáðàçîâàâøèõñÿ èìïóëüñîâ áóäåò èìåòü ìåñòî “äèôôóçèÿ”
ïîëÿ ÷åðåç çàäíèé ôðîíò, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò âîçáóæäåíèþ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà âîëí â îáëàñòè ïîçàäè
çàäíèõ ôðîíòîâ èìïóëüñîâ. Îáëàñòü ìåæäó îáðàçîâàâøèìèñÿ èìïóëüñàìè çàïîëíåíà ïðåîáðàçîâàííûì
íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì âîëí, îáóñëîâëåííûì “äèôôóçèåé” ïîëÿ ÷åðåç çàäíèå ôðîíòû èìïóëüñîâ,
îáðàçîâàâøèõñÿ â ðåçóëüòàòå ðàñùåïëåíèÿ ïåðâè÷íîãî èìïóëüñà.
33
Cîñòàâëÿþùàÿ E 4i (t, x) âûðàæàåòñÿ â âèäå
E 4i (t, x) =θ( x + v0 (τ − t))e −σ1τ ×
−1



−2 1−a 2 σ1(f (t, x) v0 + τ)  −σ τ


σ
τ
1 ×
1
×θ(−f (t, x))e
1 − 2e
 −e






f (t, x)
×θ(f (t, x)) − θ(−f (t, x))θ( v1τ + f (t, x))F7+ (τ,−
)+
v1
f (t, x) 
+θ(f (t, x))θ(v1τ − f (t, x))F7+ ( τ,
) + θ(x + v0 (t − τ)) ×
v1 

×θ(−q(t, x))1 − e −2σ1τ  + θ(q(t, x))θ(v1τ − q(t, x))e −σ1τ ×



×F8(τ,
q(t, x)
q(t, x) 
) − θ(−q(t, x))θ( v1τ + q(t, x))e−σ1τ F8(τ,−
).
v1
v1 
îïèñûâàåò ñëó÷àé, êîãäà îáðàòíûé èìïóëüñ ad “íå
óñïåë“ ïåðåîòðàçèòüñÿ îò ãðàíèöû x = 0 äî ñíÿòèÿ
âîçáóæäåíèÿ îãðàíè÷åííîé cðåäû. Äàííûé ñëó÷àé
êà÷åñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäûäóùåãî òåì, ÷òî
èìïóëüñ ed íå îáðàçóåòñÿ è ðàñùåïëåíèþ ïîäâåðãàþòñÿ ìèðîâûå ëèíèè îáðàòíîãî èìïóëüñà ad.
x
k
n
b
a
p
c
u
e
v0 t
d
y
l
h
Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ äèàãðàììà
Ïåðâîå ñëàãàåìîå â âûðàæåíèè (9) ïîêàçûâàåò,
÷òî â ñëó÷àå, êîãäà äî ìîìåíòà âðåìåíè τ ïåðâè÷íûé
èìïóëüñ íå óñïåë ïîëíîñòüþ ïåðåéòè ÷åðåç ïëîñêîñòü x = 0 , ïîñëå ñíÿòèÿ âîçáóæäåíèÿ ñðåäû “îñòàâøàÿñÿ” ÷àñòü ïðîäîëæàåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â ïðîñòðàíñòâå (äàííûé ìîìåíò íå îòðàæåí íà ðèñóíêå).
34
Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â (9) îïèñûâàåò ïîëå â
ñòàöèîíàðíîé îáëàñòè äî ñêà÷êîîáðàçíîãî âîçâðàùåíèÿ ñðåäû â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå.
4. Çàêëþ÷åíèå
 ðàáîòå ïîêàçàíî, ÷òî ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå
ïàðàìåòðîâ ñðåäû â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðèâîäèò
ê ðàñùåïëåíèþ ìèðîâûõ ëèíèé ôðîíòîâ ïðîèçâîëüíîãî èìïóëüñà íà äâå ëèíèè. Â ðåçóëüòàòå îáðàçóþòñÿ
èìïóëüñû ñ íåîäíîðîäíûìè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûìè êîîðäèíàòàìè è àìïëèòóäàìè. Âçàèìîäåéñòâèå ïåðâè÷íîé âîëíû ñ ãðàíèöåé âîçáóæäåííîé
îáëàñòè ïîëóïðîñòðàíñòâà õàðàêòåðèçóåòñÿ íåðàâåíñòâîì óãëîâ “ïàäåíèÿ” è “îòðàæåíèÿ” îò êâàçèïëîñêîñòè t = 0 , ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì íàëè÷èÿ ñêà÷êà
äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè. Òàêæå ïîêàçàíî,
÷òî ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ ïîñëå ñíÿòèÿ âîçáóæäåíèÿ
ïðîñòðàíñòâà çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ äëèòåëüíîñòåé
âîçáóæäàþùåãî è îáðàòíîãî èìïóëüñîâ. Ïîñëåäíèé
âîçíèêàåò â ðåçóëüòàòå ðàñùåïëåíèÿ ïåðâè÷íîãî.
Àâòîðû âûðàæàþò ãëóáîêóþ ïðèçíàòåëüíîñòü
ïðîôåññîðó Íåðóõó À.Ã. çà ïîìîùü, îêàçàííóþ èì
ïðè íàïèñàíèè äàííîé ñòàòüè.
Ëèòåðàòóðà: 1. Nerukh A.G., Scherbatko I.V., Nerukh D.A.
Using evolutionary recursion to solve an electromagnetic
problem with time-varying parameters // Microwave and
Optical Technology Letters. 1997. Vol. 14, N1. P. 31-36.
2. Nerukh A.G., Scherbatko I.V., Rybin O.N. The direct
numerical of an integral Volterra equation for an
electromagnetic signal in a time-varying dissipative medium
// Journ. of Electromagnetic Waves and Applications. 1998.
Vol. 12, N1. P.163-176. 3. Àâåðêîâ Ñ.È., Áîëäèí Â.Ï. Âîëíû
â íåäèñïåðãèðóþùèõ íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ // Èçâ. âóçîâ
Ðàäèîôèçèêà. 1980. T.23, N9. C. 1060-1066. 4. Áîðèñîâ Â.Â.
Íåóñòàíîâèâøèåñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû. Ë.: Èçäâî ËÃÓ, 1987. 240ñ. 5. Áîðèñîâ Â.Â. Òðàíñôîðìàöèÿ
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðè èçìåíåíèè ïðîâîäèìîñòè
ñðåäû âî âðåìåíè // Ãåîìàãíåòèçì è àýðîíîìèÿ. 1989.
T.29, N5. C. 730-737. 6. Íåðóõ À.Ã., Õèæíÿê Í.À. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû íåñòàöèîíàðíîé ìàêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Õ.: ÍÏÎ Òåñò-Ðàäèî. 1991. 280c. 7. Íåðóõ À.Ã.,
Øàâîðûêèíà È.Þ. Ðàñùåïëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî
èìïóëüñà ïðè ñêà÷êå ïðîâîäèìîñòè îãðàíè÷åííîé cðåäû
// ÆÒÔ. 1992. T.62, N5. C. 108-118. 8. Harfoush F.A., Taflove A.
Scattering of electromagneticwaves by a materuial halfspace with a time-varying conductivity // IEEE Trans. on
Antennas and Propag. 1991. Vol.39, N7. P. 898-906.
9. Áàðñóêîâ Ê.À., Ãðèãîðüåâà Í.Þ. Ê âîïðîñó îá èçëó÷åíèè â íåñòàöèîíàðíîé è íåîäíîðîäíîé ïîëóáåñêîíå÷íîé ñðåäå // ÆÒÔ. 1996. T.66, N7. C. 134-140. 10. Ëàâðåíòüåâ Ì.À., Øàáàò Á.Â. Ìåòîäû òåîðèè ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ì.: Íàóêà, 1976. C. 465.
Ïîñòóïèëà â ðåäêîëëåãèþ 18.02.98
Ðûáèí Îëåã Íèêîëàåâè÷, àñïèðàíò êàôåäðû âûñøåé
ìàòåìàòèêè ÕÒÓÐÝ. Íàó÷íûå èíòåðåñû: ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â íåñòàöèîíàðíûõ ñðåäàõ.
Àäðåñ: 310726, Óêðàèíà, Õàðüêîâ, ïð. Ëåíèíà, 14, òåë.
(0572) 40-93-72.
Càõíåíêî Íàòàëüÿ Êîíñòàíòèíîâíà, àññèñòåíò êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè ÕÒÓÐÝ. Íàó÷íûå èíòåðåñû:
ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â íåñòàöèîíàðíûõ ñðåäàõ. Àäðåñ: 310726, Óêðàèíà, Õàðüêîâ, ïð.
Ëåíèíà, 14, òåë. (0572) 40-93-72.
ÐÈ, 1998, ¹ 1