Лекция 1 (2 сентября)
advertisement
Ëåêöèÿ 1 Àíàëèç II Ëåêöèÿ 1 (2 ñåíòÿáðÿ) Íà ïåðâîì êóðñå ìû ïîñòîÿííî èñïîëüçîâàëè ñèñòåìû êîîðäèíàò è èõ çàìåíû, íå äàâàÿ ôîðìàëüíûõ îïðåäåëåíèé. Ïðèøëî âðåìÿ ýòî èñïðàâèòü.  àíàëèçå ìû îïåðèðóåì ñ îáúåêòàìè, îïðåäåëåííûìè íà èíòåðâàëå êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé R1 (áîëåå îáùî, íà îáëàñòè â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå Rn ). Òåì ñàìûì èñõîäíî ó íàñ îïðåäåëåíû êîîðäèíàòû. Îäíàêî, òàêæå êàê è â ëèíåéíîé àëãåáðå, íå ñóùåñòâóåò âûäåëåííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò . Òàê ôóíêöèÿ tan( π2 x) îòîæäåñòâëÿåò èíòåðâàë (−1, 1) ñî âñåé êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé R1 , à ôóíêöèÿ x3 ñ òåì æå èíòåðâàëîì (−1, 1); ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû îòîæäåñòâëÿþò äîïîëíåíèå ê îòðèöàòåëüíîìó ëó÷ó â êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ]BbbR2 ñ ïîëóïîëîñîé r > 0, −πi < φ < πi â êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè R2 . Ïîñêîëüêó îáëàñòü êîîðäèíàòèçèðîâàíà èçíà÷àëüíî, òî îáû÷íî ãîâîðÿò î çàìåíå êîîðäèíàò. Ôèêñàöèÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò íåîáõîäèìà ïðè îïðåäåëåíèè äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèé, äèôôåðåíöèðóåìàÿ çàìåíà ñîõðàíÿåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü, à, ñêàæåì, çàìåíà y = x1/3 - íåò. Òåì ñàìûì, òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî èíòåðâàë ñíàáæàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîé ñòðóêòóðîé íàáîðîì êîîðäèíàò, ñâÿçàííûõ äèôôåðåíöèðóåìûìè çàìåíàìè. Òàêîå îïèñàíèå ñòðóêòóðû ìíîãèìè ñ÷èòàåòñÿ íåýñòåòè÷íûì è åãî çàìåíÿþò íà ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå êàê ïîäêîëüöà äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé êîëüöà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Âòîðîé ñþæåò ëåêöèè ïîñâÿùåí âîïðîñó, ÷òî æå ìû èíòåãðèðóåì, ïîñêîëüêó äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ôóíêöèè íåîáõîäèìà êîîðäèíàòà, à ïðè çàìåíå êîîðäèíàòû íåîáõîäèìî (äëÿ ïîëó÷åíèÿ òîãî æå ðåçóëüòàòà) ôóíêöèþ äîìíîæèòü íà ïðîèçâîäíóþ çàìåíû. Àññîöèàöèÿ èç ëèíåéíîé àëãåáðû: âåêòîð çàäàåòñÿ íàáîðîì êîîðäèíàò (= ôóíêöèåé íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå) ôèêñàöèåé áàçèñà. ïðè çàìåíå áàçèñà êîîðäèíàòû ïðåîáðàçóþòñÿ. Äèàãîíàëüíîñòü çàìåíû áàçèñà îòâå÷àåò ñëåäóþùåé ñèòóàöèè: êàæäîé òî÷êå êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà (áàçû) ñîîòâåòñòâóåò îäíîìåðíîå (íåêîîðäèíàòèçèðîâàííîå) âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî (ñëîé) è âåêòîð ïðîñòðàíñâà ýòî ñîïîñòàâëåíèå êàæäîé òî÷êå áàçû âåêòîðà â ñëîå íàä íèì. Íàáîð îäíîìåðíûõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ (ñëîåâ)Ls , ïàðàìåòðèçîâàííûõ òî÷êàìè s ìíîæåñòâà S íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ðàññëîåíèåì L íàä áàçîé S (îò ëèíèÿ - îäíîìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî) , ñîïîñòàâëåíèå êàæäîé òî÷êå S âåêòîðà íàçûâàåòñÿ ñå÷åíèåì.  òîïîëîãèè è â àíàëèçå ñèòóàöèÿ íåñêîëüêî ñëîæíåå; õîòåëîñü áû, ÷òîáû ñëîé íàä òî÷êîé íåïðåðûâíî èëè äèôôåðåíöèðóåìî çàâèñåë îò òî÷êè áàçû. Ìû îòëîæèì ôîðìàëüíûå îïðåäåëåíèÿ è íà÷íåì ñ ïðèìåðîâ. ÏËÎÑÊÎÑÒÜ. Ñîïîñòàâèì òî÷êå íà îñè àáñöèññ âåðòèêàëüíóþ ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ýòó òî÷êó (üùæíî ñêàçàòü ÷òî ýòî ñëîé âåðòèêàëüíîéïðîåêöèè, ÷òî è îáúÿñíÿåò ïðèìåíåíèå ñëîâà ñëîé â îáùåé ñèòóàöèè). òîãäà ñå÷åíèå ýòî ãðàôèê ôóíêöèè, è ìîæíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ îáëàäàëà êàêèìè-íèáóäü äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè áûëà áû íåïðåðûâíîé èëè äèôôåðåíöèðóåìîé ... ÖÈËÈÍÄÐ Ñêëåèì ïîëîñó 0 6 x 6 1 ïî êðàÿì. Òîãäà ñëîè âåðòèêàëüíîé ïðîåêöèè îáðàçóþò ëèíåéíîå ðàññëîåíèå, à ñå÷åíèÿ ýòî ãðàôèêè ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ïîñêîëüêó äëÿ ïåðèîäè÷åêèõ ôóíêöèé îñìûñëåííî ïîíÿòèå áûòü íåïðåðûâíîé èëè äèôôåðåíöèðóåìîé ..., ìîæíî ãîâîðèòü î àíàëîãè÷íûõ ñâîéñòâàõ ñå÷åíèÿ öèëèíäðà ËÈÑÒ ÌÅÁÈÓÑÀ Ñêëåèì ïîëîñó 0 6 x 6 1 ïî êðàÿì ñ ïåðåâîðîòîì. Òîãäà ñëîè âåðòèêàëüíîé ïðîåêöèè îáðàçóþò ëèíåéíîå ðàññëîåíèå, òàê êàê óìíîæåíèå íà −1 ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì. Ñå÷åíèÿ ýòî ãðàôèêè àíòèïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé. Äëÿ àíòèïåðèîäè÷åêèõ ôóíêöèé îñìûñëåííî ïîíÿòèå áûòü íåïðåðûâíîé èëè äèôôåðåíöèðóåìîé ..., òàê êàê óìíîæåíèå íà −1 íå ìåíÿåò ýòèõ ñâîéñòâ ôóíêöèè. Ïîýòîìó, êàê è â ñëó÷àå öèëèíäðà, ìîæíî îïðåäèëèòü íåïðåðûâíîñòü ... ñå÷åíèÿ. Ïåðåéäåì ê ôîðìàëüíîìó îïðåäåëåíèþ. Ïóñòü S òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî à L ëèíåéíîå ðàññëîåíèå íàä íèì. L ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ëèíåéíûì ðàññëîåíèåì, åñëè äëÿ Àíàëèç II Ëåêöèÿ 1 êàæäîãî äîñòàòî÷íî ìàëîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà U ⊂ S ìîæíî âûáðàòü áàçèñíûé âåêòîð eUs â êàæäîì ñëîå Ls , s ∈ U òàê,÷òî íà ïåðåñå÷åíèÿõ U1 ∩ U2 äâóõ òàêèõ ìíîæåñòâ êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè c12 ìåæäó ýòèìè âåêòîðàìè eUs 1 = c1 2(s)eUs 2 áóäåò íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé s. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîå ðàññëîåíèå.
