1 Что такое двумерные поверхности

Í. Á. Ãîí÷àðóê, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ
Ñîâìåñòíûé áàêàëàâðèàò ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12 ó÷. ãîä.
Òîïîëîãèÿ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé
Ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå ìíîãîîáðàçèÿ (8 íîÿáðÿ)
Í. Á. Ãîí÷àðóê, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ
1
×òî òàêîå äâóìåðíûå ïîâåðõíîñòè
Îáîçíà÷åíèÿ
X.
~r = (x, y, z) òî÷êà â òð¼õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (â R3 ).
k~rk äëèíà âåêòîðà ~r.
B(X, ε) = {r ∈ R3 | kr − Xk < ε} øàð â R3 ðàäèóñà ε c öåíòðîì â òî÷êå X .
D(X, ε) = {r ∈ R2 | kr − Xk < ε} êðóã (äèñê) â R2 ðàäèóñà ε c öåíòðîì â òî÷êå
1.1
Äâà ïîäõîäà ê îïðåäåëåíèþ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé
 ýòîì ëèñòêå ìû äàäèì îïðåäåëåíèå ïîíÿòèþ äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè. Äâóìåðíóþ
ïîâåðõíîñòü ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîäìíîæåñòâî òð¼õìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, à
ìîæíî êàê àáñòðàêòíîå ìíîãîîáðàçèå : ðåçóëüòàò ñêëåéêè äâóìåðíûõ äèñêîâ. Ïåðâûé ïîäõîä áîëåå íàãëÿäåí, âòîðîé áîëåå ôóíêöèîíàëåí.
Äëÿ íà÷àëà ìû êîðîòêî îïèøåì îáà ïîäõîäà. Ñòðîãîå îïðåäåëåíèå âëîæåííîé
ïîâåðõíîñòè ìû äàäèì â ñëåäóþùåì ïóíêòå; ðåçóëüòàòû ðàçäåëà 1.2 ñóùåñòâåííî îáëåã÷àò ðàáîòó ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì. Ñòðîãîå îïðåäåëåíèå àáñòðàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ
ìû äàäèì â ðàçäåëå 1.4.
1.1.1
Âëîæåííàÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü â R3
Äëÿ ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ f : R2 → R å¼ ãðàôèêîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê
(x, y, f (x, y)) ∈ R3 . Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê ãðàôèêó ôóíêöèè f ýòî ïðåäåëüíîå
ïîëîæåíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé.
Áîëåå òî÷íî:
Îïðåäåëåíèå 1 (Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü). Äâå ïëîñêîñòè ìû áóäåì íàçûâàòü áëèçêèìè, åñëè îíè çàäàíû óðàâíåíèÿìè âèäà z = ax + by + c ñ áëèçêèìè a, b, c.
Ôèêñèðóåì òî÷êó X ∈ Oxy è ðàññìîòðèì ïàðó ïåðïåíäèêóëÿðíûõ âåêòîðîâ åäèíè÷íîé äëèíû v, w â ïëîñêîñòè Oxy. Ñåêóùèìè äëÿ ãðàôèêà ôóíêöèè f ìû áóäåì
íàçûâàòü ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òðîéêè òî÷åê (X, f (X)); (X + ε1v, f (X +
ε1 v)); (X + ε2 w, f (X + ε2 w)) äëÿ âñåâîçìîæíûõ ïàð åäèíè÷íûõ ïåðïåíäèêóëÿðíûõ
âåêòîðîâ v, w.
Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê ãðàôèêó ôóíêöèè f â òî÷êå (X, f (X)) ýòî ïëîñêîñòü,
áëèçêàÿ êî âñåì ñåêóùèì ïëîñêîñòÿì ñ äîñòàòî÷íî ìàëûìè ε1, ε2.
Çàäà÷à 1. Äàéòå îïðåäåëåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ãðàôèêó ôóíêöèè íà ÿçûêå
ε, δ .
ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12, ¾Òîïîëîãèÿ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé¿
1
1.1
Íåôîðìàëüíûå îïðåäåëåíèÿ
Í. Á. Ãîí÷àðóê, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ
Çàìåòèì, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü íå ìîæåò áûòü âåðòèêàëüíîé (òàê êàê âåðòèêàëüíóþ ïëîñêîñòü íåëüçÿ çàäàòü óðàâíåíèåì z = ax + by + c).
Åñëè êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê ãðàôèêó ñóùåñòâóåò â êàæäîé òî÷êå ãðàôèêà, òî
îòîáðàæåíèå f : R2 → R íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûì. Åñëè êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü
íåïðåðûâíî çàâèñèò îò òî÷êè (òî åñòü êîýôôèöèåíòû a, b, c íåïðåðûâíî çàâèñÿò îò
òî÷êè (x0, y0), â êîòîðîé ïðîâåäåíà êàñàòåëüàÿ ïëîñêîñòü), îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ
ãëàäêèì (èëè C 1−ãëàäêèì ).
Îïðåäåëåíèå 2. Äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü â R3 ýòî òàêîå ìíîæåñòâî M ∈ R3 ,
÷òî äëÿ ëþáîé åãî òî÷êè X = (x0, y0, z0) ñóùåñòâóåò ε > 0, òàêîå, ÷òî ïåðåñå÷åíèå
B(X, ε) ∩ M ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì ãëàäêîé ôóíêöèè: ëèáî ãðàôèêîì ôóíêöèè f (x, y) =
z , ëèáî ãðàôèêîì ôóíêöèè f (x, z) = y , ëèáî ãðàôèêîì ôóíêöèè f (y, z) = x.
Ïðè ýòîì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f äîëæíà ñîäåðæàòü, ñîîòâåòñòâåííî,
ëèáî êàêîé-íèáóäü êðóã â ïëîñêîñòè Oxy ñ öåíòðîì â òî÷êå (x0, y0), ëèáî êàêîéíèáóäü êðóã â ïëîñêîñòè Oxz ñ öåíòðîì â òî÷êå (x0, z0), ëèáî êàêîé-íèáóäü êðóã â
ïëîñêîñòè Oyz ñ öåíòðîì â òî÷êå (y0, z0).
Äðóãèìè ñëîâàìè, äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü âáëèçè êàæäîé ñâîåé òî÷êè ÿâëÿåòñÿ
ãðàôèêîì ãëàäêîé ôóíêöèè.
Çàäà÷à 2. Äîêàæèòå, ÷òî ñôåðà ýòî äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü â R3 .
Çàäà÷à 3. Íàéäèòå êàñàòåëüíûå ê ãðàôèêó ôóíêöèè
(a) (x, y) 7→ x2;
(b) (x, y) 7→ x2 + y;
(c) (x, y) 7→ x3
â íà÷àëå êîîðäèíàò.
1.1.2
Àáñòðàêòíîå äâóìåðíîå ìíîãîîáðàçèå
Ìíîæåñòâî A ∈ Rn (ãäå n = 2, 1 èëè 3) íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì,
åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ñâîåé òî÷êîé x ∈ A îíî ñîäåðæèò êðóã (ñîîòâ. èíòåðâàë, øàð)
ñ öåíòðîì â ýòîé òî÷êå: {y ∈ Rn | kx − yk < ε} ⊂ A.
Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè åãî äîïîëíåíèå îòêðûòî.
Àáñòðàêòíîå äâóìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ýòî ðåçóëüòàò ñêëåéêè íåñêîëüêèõ äèñêîâ. Áîëåå òî÷íî, ïóñòü ó íàñ åñòü íåñêîëüêî ïëîñêèõ äèñêîâ D1 . . . Dn ∈ R2 è íàáîð
îòîáðàæåíèé hi,j ; êàæäîå îòîáðàæåíèå hi,j ãëàäêîå, îïðåäåëåíî â íåêîòîðîì îòêðûòîì ïîäìíîæåñòâå äèñêà Di è îòîáðàæàåò åãî â íåêîòîðîå îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî
äèñêà Dj . Òåïåðü ìû õîòèì îòîæäåñòâèòü êàæäóþ òî÷êó x ∈ Di ñ òî÷êîé hi,j (x) ∈ Dj
(äëÿ âñåâîçìîæíûõ ïàð (i, j)) è ïîëó÷èòü ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå.
Åñëè íå íàêëàäûâàòü íèêàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà ñêëåéêè hi,j , ðåçóëüòàò áóäåò ïëà÷åâíûì. Íàïðèìåð, åñëè ó äâóõ äèñêîâ ðàäèóñà 1 ñêëåèòü ëåæàùèå
âíóòðè íèõ äèñêè ðàäèóñà 21 , ìíîãîîáðàçèÿ íå ïîëó÷èòñÿ (è ýòî äàëåêî íå ñàìûé
íåïðèÿòíûé ñëó÷àé, êîòîðûé ìîæåò âîçíèêíóòü). Çàìåòèì, ÷òî ïðè òàêîé ñêëåéêå
Îïðåäåëåíèå 3.
ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12, ¾Òîïîëîãèÿ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé¿
2
1.2
Êðýø-êóðñ ïî ìíîãîìåðíîìó àíàëèçó
Í. Á. Ãîí÷àðóê, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ
òî÷êè íàøèõ äèñêîâ ñ êîîðäèíàòàìè ( 12 , 0) íå ñêëåèâàþòñÿ, íî îêàçûâàþòñÿ ¾íà áåñêîíå÷íî ìàëîì ðàññòîÿíèè¿: âåäü òî÷êè ( 12 −ε, 0) íàøèõ äèñêîâ óæå ñêëååíû. Èìåííî
òàêóþ ñèòóàöèþ íàäî çàïðåòèòü.
Äëÿ ýòîãî ìû ââåä¼ì â ïóíêòå 1.3 ïîíÿòèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (ìíîæåñòâà, â êîòîðîì îïðåäåëåíû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè). Çàòåì ìû
äàäèì áîëåå òî÷íîå îïðåäåëåíèå àáñòðàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ.
1.2
Êðýø-êóðñ ïî ìíîãîìåðíîìó àíàëèçó
(Ïðîèçâîäíàÿ â îäíîìåðíîì ñëó÷àå). Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå f : I →
R, ãäå I èíòåðâàë âåùåñòâåííîé ïðÿìîé. Ýòî îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûì â òî÷êå x0 ∈ I , åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî a, ÷òî
Îïðåäåëåíèå 4
f (x) = f (x0 ) + a(x − x0 ) + ξ(x),
ξ(x)
= 0 (äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ , ÷òî äëÿ
ïðè÷¼ì limx→x x−x
âñÿêîãî x, äëÿ êîòîðîãî |x − x0| < δ, âûïîëíåíî |ξ(x)| < ε|x − x0|).
×èñëî a íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé îòîáðàæåíèÿ f â òî÷êå x0 è îáîçíà÷àåòñÿ f 0(x0).
Îòîáðàæåíèå f : I → R íàçûâàåòñÿ ãëàäêèì, åñëè åãî ïðîèçâîäíàÿ íåïðåðûâíà.
Çàäà÷à 4. Äîêàæèòå, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå ñîâïàäàåò ñî ñòàíäàðòíûì îïðåäåëåíèåì
ïðîèçâîäíîé:
0
0
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
Äîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè f â òî÷êå x0 ïàðàëëåëüíà
ïðÿìîé y = ax, ãäå a = f 0(x0) (êàñàòåëüíàÿ ýòî ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ñåêóùèõ).
Çàäà÷à 6. Êàê âûãëÿäÿò ãðàôèêè îòîáðàæåíèé:
p
(a) (x, y) 7→ 1 − x2 − y2; (c) (x, y) 7→ xy;
(e) (x, y) 7→ x2 − y2;
(b) (x, y) 7→ x2;
(d) (x, y) 7→ x2 + y2;
¾Ïðîèçâîäíóþ¿ îòîáðàæåíèÿ èç R2 â R ìîæíî îïðåäåëèòü ïî àíàëîãèè ñ ïðîèçâîäíîé îòîáðàæåíèÿ èç R â R:
Îïðåäåëåíèå 5. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå f : D → R, ãäå D = D(X, r) äèñê íà
ïëîñêîñòè. Ýòî îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûì â òî÷êå (x0, y0) ∈ D,
åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå A(x, y) = ax + by, ÷òî
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + A(x − x0 , y − y0 ) + ξ(x, y),
(1)
ïðè÷¼ì
Çàäà÷à 5.
ξ(x, y)
=0:
(x,y)→(x0 ,y0 ) k(x, y) − (x0 , y0 )k
lim
äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè (x, y), äëÿ êîòîðîé k(x, y) −
(x0 , y0 )k < δ , âûïîëíåíî |ξ(x, y)| < εk(x, y) − (x0 , y0 )k.
ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12, ¾Òîïîëîãèÿ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé¿
3
1.2
Êðýø-êóðñ ïî ìíîãîìåðíîìó àíàëèçó
Í. Á. Ãîí÷àðóê, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ
Äðóãèìè ñëîâàìè, âáëèçè òî÷êè (x0, y0) çíà÷åíèå ôóíêöèè f (x, y) ïðèìåðíî ðàâíî
çíà÷åíèþ ëèíåéíîé ôóíêöèè (x, y) 7→ f (x0, y0) + A(x − x0, y − y0).
Ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå (x, y) 7→ A(x, y) = ax + by íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì
îòîáðàæåíèÿ f â òî÷êå (x0, y0) è îáîçíà÷àåòñÿ df |(x ,y ).
Åñëè îòîáðàæåíèå äèôôåðåíöèðóåìî â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, îíî
íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûì.
Åñëè äèôôåðåíöèàë äèôôåðåíöèðóåìîãî îòîáðàæåíèÿ íåïðåðûâíî çàâèñèò îò
òî÷êè (x0, y0) (òî åñòü ÷èñëà a, b íåïðåðûâíî çàâèñÿò îò òî÷êè (x0, y0)), îòîáðàæåíèå
f íàçûâàåòñÿ ãëàäêèì. Åñëè îòîáðàæåíèå f ãëàäêîå, îáðàòèìîå, è îáðàòíîå îòîáðàæåíèå òîæå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì, ìû áóäåì íàçûâàòü îòîáðàæåíèå f äèôôåîìîðôèçìîì.
Çàäà÷à 7. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ó ãðàôèêà îòîáðàæåíèÿ f åñòü êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü
â òî÷êå (x0, y0, f (x0, y0)), òî ýòî îòîáðàæåíèå äèôôåðåíöèðóåìî â òî÷êå (x0, y0). Ïðè÷¼ì åñëè êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü èìååò âèä z = ax + by + c, òî A(x, y) = ax + by äèôôåðåíöèàë îòîáðàæåíèÿ f .
Äðóãèìè ñëîâàìè, ïëîñêîñòü, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ ãðàôèêà â òî÷êå (x0, y0, f (x0, y0)),
ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè ãðàôèêó îòîáðàæåíèÿ (x, y) 7→ df |(x ,y )(x, y).
Çàäà÷à 8. ∗ Äîêàæèòå, ÷òî åñëè îòîáðàæåíèå ãëàäêîå â òî÷êå (x0 , y0 ), òî ó åãî ãðàôèêà åñòü êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü â òî÷êå (x0, y0).
Îïðåäåëåíèå 6. Âîçüì¼ì ôóíêöèþ f : R2 → R. Çàìåòèì, ÷òî åñëè c íåêîòîðîå
ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî, òî fc(y) := f (c, y) ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé.
×àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f ïî ïåðåìåííîé y â òî÷êå (c, d) íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ fc0 (d). Îáîçíà÷åíèå: ∂f∂y |(c,d). Ïðîèçâîäíàÿ ïî ïåðåìåííîé x îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.
Çàäà÷à 9. Âû÷èñëèòå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé f (x, y) = x2 + y 2 è f (x, y) = x2
ïî x è ïî y.
Çàäà÷à 10. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà, òî ÷èñëà a è b â
îïðåäåëåíèè äèôôåðåíöèàëà ðàâíû ÷àñòíûì ïðîèçâîäíûì ôóíêöèè f (x, y) ïî x è y.
Óêàçàíèå: ïðèìåíèòå ôîðìóëó (1) äëÿ (x, y) = (x0 + δ, y0).
Îêàçûâàåòñÿ, âåðíî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå:
df
df
Òåîðåìà 11. Åñëè ôóíêöèÿ èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå dx , dy , òî
îíà äèôôåðåíöèðóåìà. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè èìååò âèä
0
0
0
df |(x0 ,y0 ) (u, v) = u
0
df
df
|(x0 ,y0 ) + v |(x0 ,y0 ) .
dx
dy
Äîêàæèòå òåîðåìó 11.
Òåîðåìà 11 äà¼ò óäîáíûé ñïîñîá ïðîâåðêè òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ f ãëàäêàÿ. Äëÿ
ýòîãî íàäî ïîñ÷èòàòü ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè f è óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî îíè
íåïðåðûâíû. Ýòî ãîðàçäî ïðîùå, ÷åì ïðîâåðÿòü íàëè÷èå êàñàòåëüíûõ ó ãðàôèêà ïî
îïðåäåëåíèþ 1.
Çàäà÷à 12.
∗
ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12, ¾Òîïîëîãèÿ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé¿
4
1.3
Êðýø-êóðñ ïî ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâàì
Í. Á. Ãîí÷àðóê, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ
Äîêàæèòå, ÷òî ñôåðà, òîð, êðåíäåëü è ëèñò ̼áèóñà ÿâëÿþòñÿ äâóìåðíûìè ïîâåðõíîñòÿìè â R3 (ïðè ïîäõîäÿùåì ðàñïîëîæåíèè â ïðîñòðàíñòâå).
Äëÿ äàëüíåéøåãî íàì ïîíàäîáèòñÿ ïîíÿòèå äèôôåðåíöèðóåìîãî îòîáðàæåíèÿ èç
ïëîñêîñòè â ïëîñêîñòü.
Îïðåäåëåíèå 7. Îòîáðàæåíèå (x, y) 7→ (f1 (x, y), f2 (x, y)) íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûì, åñëè îáå ôóíêöèè f1 è f2 äèôôåðåíöèðóåìû, è ãëàäêèì, åñëè îáå ôóíêöèè
f1 è f2 ãëàäêèå.
Îòîáðàæåíèå (x, y) 7→ (f1(x, y), f2(x, y)) íàçûâàåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì, åñëè îíî
ãëàäêîå, îáðàòèìîå, è îáðàòíîå îòîáðàæåíèå òîæå ãëàäêîå.
Çàäà÷à 14. Íàéäèòå äèôôåðåíöèàëû îòîáðàæåíèé
(a) f (x, y) = x3 + xy;
(b) f (x, y) = xp2 + y2;
(c) f (x, y) = 1 − x2 − y2;
Çàäà÷à 15. Âûðàçèòå äèôôåðåíöèàë êîìïîçèöèè îòîáðàæåíèé f1 : R2 → R è f2 : R →
R ÷åðåç äèôôåðåíöèàëû îòîáðàæåíèé f1 è f2 .
Çàäà÷à 16. Êàêèå èç ñëåäóþùèõ îòîáðàæåíèé äèôôåîìîðôèçìû?
(a) (x, y) 7→ (y, −x);
(b) (x, y) 7→ (y, x3); y
x
(c) (x, y) 7→ ( x +y
, x +y )
Çàäà÷à 17. Ïîñòðîéòå äèôôåîìîðôèçì, îòîáðàæàþùèé:
(a) îòðåçîê â ïðÿìóþ;
(b) êðóã â ïëîñêîñòü;
(c) êðóã â êâàäðàò.
Çàäà÷à 13.
2
1.3
2
2
2
Êðýø-êóðñ ïî ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâàì
Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ åãî
òî÷åê x, y ∈ M çàäàíî ðàññòîÿíèå d(x, y) ∈ R, ïðè÷¼ì
• d(x, y) ≥ 0, è ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîëüêî â ñëó÷àå x = y .
• d(x, y) = d(y, x).
• d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) (¾íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà¿).
Ôóíêöèÿ d(x, y) íàçûâàåòñÿ ìåòðèêîé.
Îïðåäåëèâ íîâûé êëàññ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ, ïîëåçíî ñðàçó:
• ¾çàïàñòè¿ äîñòàòî÷íî ìíîãî ïðèìåðîâ;
• îïðåäåëèòüñÿ, êàêèå îáúåêòû ýòîãî êëàññà ñ÷èòàþòñÿ îäèíàêîâûìè.
Ñíà÷àëà ïðèâåä¼ì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ.
Çàäà÷à 18. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ôóíêöèè çàäàþò íà ïëîñêîñòè ñòðóêòóðó
ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà:
ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12, ¾Òîïîëîãèÿ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé¿
5
1.3
Êðýø-êóðñ ïî ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâàì
Í. Á. Ãîí÷àðóê, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ
(a) d2((x, y), (x̃, ỹ)) = (x − x̃)2 + (y − ỹ)2;
(b) d∞((x, y), (x̃, ỹ)) = max(|x − x̃|, |y − ỹ|);
(c) d1((x, y), (x̃, ỹ)) = |xp
− x̃| + |y − ỹ|;
(d) * dp((x, y), (x̃, ỹ)) = (x − x̃)p + (y − ỹ)p, p > 1.
Çàäà÷à 19. Íàðèñóéòå, êàê âûãëÿäèò êðóã ðàäèóñà r íà ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî
ìåòðèê d1, d2 è d∞ (êðóã ðàäèóñà r ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê, íàõîäÿùèõñÿ îò äàííîé
òî÷êè íà ðàññòîÿíèè íå áîëåå r).
Çàäà÷à 20. Äîêàæèòå, ÷òî
(a) d1((x, y), (x̃, ỹ)) = limp→1+0 dp((x, y), (x̃, ỹ));
(b) d∞((x, y), (x̃, ỹ)) = limp→+∞ dp((x, y), (x̃, ỹ)).
Òåïåðü îïðåäåëèì, êàêèå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà ìû ñ÷èòàåì îäèíàêîâûìè.
˜ íàçûâàåòñÿ
Îïðåäåëåíèå 8. Âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå f : (M, d) → (M̃ , d)
˜
èçîìåòðèåé, åñëè ∀x, y ∈ M d(x, y) = d(f (x), f (y)).
Çàäà÷à 21. Äîêàæèòå, ÷òî ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà (R2 , dp ), 1 ≤ p ≤ +∞, ïîïàðíî
íåèçîìåòðè÷íû.
Êàê âèäíî èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è, îòíîøåíèå èçîìåòðèè äîñòàòî÷íî ¾æ¼ñòêîå¿,
è ïîçâîëÿåò ðàçëè÷àòü ïðîñòðàíñòâà, êîòîðûå ìû â íåêîòîðûõ çàäà÷àõ ïðåäïî÷èòàåì ñ÷èòàòü îäèíàêîâûìè. ×òîáû äàòü áîëåå ¾ìÿãêîå¿ îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíûõ
ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ, íàì ïîòðåáóåòñÿ ïåðåíåñòè íà ñëó÷àé ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ èç îáû÷íîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.
˜ íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 ∈ M , åñëè
Îïðåäåëåíèå 9. Ôóíêöèÿ f : (M, d) → (M̃ , d)
äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ âñåõ òî÷åê x ∈ M , äëÿ êîòîðûõ
˜ (x) − f (x0 )) < ε.
d(x, x0 ) < δ , âûïîëíåíî d(f
Çàäà÷à 22. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê ìåòðè÷åñêîãî
ïðîñòðàíñòâà.
Çàäà÷à 23. Äîêàæèòå, ÷òî øàð {y ∈ M | d(X, y) < r} â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå
îòêðûòîå ìíîæåñòâî, à øàð {y ∈ M | d(X, y) ≤ r} çàìêíóòîå.
˜ ãîìåîÎïðåäåëåíèå 10. Âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå f : (M, d) → (M̃ , d)
ìîðôèçì, åñëè îòîáðàæåíèÿ f è f −1 íåïðåðûâíû.
Ìåòðèêè d è d0 íà ïðîñòðàíñòâå M íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îòîáðàæåíèå id : x 7→ x ãîìåîìîðôèçì.
Çàäà÷à 24. Äîêàæèòå, ÷òî âñå ìåòðèêè dp ýêâèâàëåíòíû.
Çàäà÷à 25. Ïóñòü d è d0 äâå ýêâèâàëåíòíûå ìåòðèêè íà ìíîæåñòâå M . Äîêàæèòå,
÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè d, íåïðåðûâíà è îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè d0.
Çàäà÷à 26. Ìîæåò ëè øàð íåíóëåâîãî ðàäèóñà â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿòü
èç îäíîé òî÷êè?
p
p
ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12, ¾Òîïîëîãèÿ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé¿
6
1.4
1.4
Îïðåäåëåíèå àáñòðàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ
Í. Á. Ãîí÷àðóê, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ
Îïðåäåëåíèå àáñòðàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ
Äâóìåðíîå ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå ýòî ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî M , â êîòîðîì âûáðàí íàáîð îòêðûòûõ ìíîæåñòâ Un ⊂ M , äëÿ êîòîðûõ ∪n∈NUn =
M , è íàáîð îòîáðàæåíèé hn : Un → D(0, 1), óäîâëåòâîðÿþùèõ òàêèì óñëîâèÿì:
• îòîáðàæåíèÿ hn è îáðàòíûå ê íèì íåïðåðûâíû.
• îòîáðàæåíèÿ ñêëåéêè hm ◦(hn )−1 îïðåäåëåíû â îòêðûòûõ ïîäìíîæåñòâàõ D(0, 1).
• îòîáðàæåíèÿ ñêëåéêè hm ◦(hn )−1 èíúåêòèâíûå è ãëàäêèå â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
Íàáîð îòêðûòûõ ìíîæåñòâ Un è îòîáðàæåíèé hn íàçûâàåòñÿ àòëàñîì ìíîãîîáðàçèÿ. Ãîâîðÿò, ÷òî îòîáðàæåíèå hi çàäà¼ò êîîðäèíàòû íà îêðåñòíîñòè Ui: êîîðäèíàòû
òî÷êè x ∈ Ui ýòî äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè hi(x) ∈ D.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèå n-ìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ (â
÷àñòíîñòè, òð¼õìåðíîãî è îäíîìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ). Äëÿ ýòîãî âìåñòî äèñêà D(0, 1) ∈
R2 íóæíî ðàññìàòðèâàòü øàð â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.
Çàäà÷à 27. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ ïîâåðõíîñòü â Rn ýòî ìíîãîîáðàçèå.
Çàäà÷à 28. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùèõ àáñòðàêòíûõ ìíîãîîáðàçèé (òî åñòü çàäàéòå êàðòû è îòîáðàæåíèÿ ñêëåéêè): ñôåðà, òîð, áóòûëêà Êëåéíà, ëèñò ̼áèóñà,
ñôåðà ñ g ðó÷êàìè.
Îïðåäåëåíèå 12. Ïóñòü íà ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå M çàäàíû äâà àòëàñà: {hn }, {Un }
è {gn}, {Wn}. Ãîâîðÿò, ÷òî ýòè äâà àòëàñà ýêâèâàëåíòíû, åñëè âñå êîìïîçèöèè hn ◦
(gm )−1 äèôôåîìîðôèçìû. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ýêâèâàëåíòíûå àòëàñû çàäàþò îäíî è òî
æå ìíîãîîáðàçèå.
Òî åñòü ìíîãîîáðàçèå ýòî ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî M è àòëàñ íà í¼ì, îïðåäåë¼ííûé ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè.
Îïðåäåëåíèå 13. Ïóñòü íà ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå M çàäàí àòëàñ {hn }, {Un }, à
íà ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå M̃ àòëàñ {h̃n}, {Ũn}.
Îòîáðàæåíèå F : M → M̃ íàçûâàåòñÿ ãëàäêèì îòîáðàæåíèåì ìíîãîîáðàçèé, åñëè
âñå êîìïîçèöèè h̃m ◦ F ◦ h−1
n ãëàäêèå â òåõ òî÷êàõ, ãäå îíè îïðåäåëåíû.
Äðóãèìè ñëîâàìè, îòîáðàæåíèå F äîëæíî áûòü ãëàäêèì îòîáðàæåíèåì â êîîðäèíàòàõ, çàäàííûõ îòîáðàæåíèÿìè hn è h̃m.
Çàäà÷à 29. Ïóñòü íà îäíîì è òîì æå ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíû äâà àòëàñà. Äîêàæèòå, ÷òî òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì îòîáðàæåíèåì èç
îäíîãî ìíîãîîáðàçèÿ â äðóãîå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòè àòëàñû ýêâèâàëåíòíû.
Çàäà÷à 30. Äîêàæèòå, ÷òî îïðåäåëåíèå 13 êîððåêòíî (íå çàâèñèò îò âûáîðà àòëàñîâ
íà ìíîãîîáðàçèÿõ).
Çàäà÷à 31. Äîêàæèòå, ÷òî êîìïîçèöèÿ ãëàäêèõ îòîáðàæåíèé ìíîãîîáðàçèé ãëàäêàÿ.
Îïðåäåëåíèå 11.
ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12, ¾Òîïîëîãèÿ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé¿
7
1.4
Îïðåäåëåíèå àáñòðàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ
Í. Á. Ãîí÷àðóê, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ
Íåïðåðûâíîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : M → M̃
ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé íàçûâàåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì, åñëè îòîáðàæåíèÿ F è F −1 ãëàäêèå.
Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãîîáðàçèÿ M è M̃ äèôôåîìîðôíû, åñëè ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì F : M → M̃ .
Äèôôåîìîðôíûå ìíîãîîáðàçèÿ ÷àñòî ñ÷èòàþò îäèíàêîâûìè. Òîãäà îêàçûâàåòñÿ,
÷òî â êà÷åñòâå ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ M äîñòàòî÷íî áðàòü òîëüêî ïîäìíîæåñòâà
Rn :
Òåîðåìà 32 (Òåîðåìà Óèòíè). Êàæäîå ìíîãîîáðàçèå äèôôåîìîðôíî íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè â Rn. Áîëåå òîãî, åñëè ðàçìåðíîñòü ìíîãîîáðàçèÿ ðàâíà m, ìîæíî âçÿòü
n ≤ 2m.
Íàïðèìåð, ëþáîå àáñòðàêòíîå äâóìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ìîæíî âëîæèòü â R4.
Ýòà òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî âëîæåííûå ïîâåðõíîñòè (ñì. ïóíêò 1.1.1) ýòî òî
æå ñàìîå, ÷òî àáñòðàêòíûå ìíîãîîáðàçèÿ.
Çàäà÷à 33. ×òî ïîëó÷èòñÿ, åñëè äèñêè ðàäèóñà 2 ñêëåèòü ïî îòîáðàæåíèþ (x, y) 7→
y
x
, x +y
)?
( x +y
Îïðåäåëåíèå 14.
2
2
2
2
ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12, ¾Òîïîëîãèÿ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé¿
8