Листок 6. Дифференциальные уравнениЯ: аналиЗ

Ëèñòîê
6.
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ: àíàëèç
Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, 28.10.2012
Åñëè âåêòîð x ∈ Rn îïèñûâàåò ñîñòîÿíèå ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû, à óðàâíåíèå x (t) = f x(t), t îïèñûâàåò çàêîí åå ýâîëþöèè âî âðåìåíè, òî
ìîæíî îæèäàòü, ÷òî íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû x(t0 ) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò âñå
ïîñëåäóþùèå x(t), t > t0 . Èíûìè ñëîâàìè, èìååò ðåøåíèå, è ïðèòîì åäèíñòâåííîå,
Çàäà÷à Êîøè: Äëÿ äàííîãî x0 ∈ Rn íàéòè ðåøåíèå x0 = f (x, t), òàêîå ÷òî x(t0 ) = x0 .
Äåòåðìèíèðîâàííîñòü:
0
61 Ïðèâåäèòå ïðèìåð ôóíêöèè f , îïðåäåëåííîé äëÿ âñåõ x ∈ Rn è t ∈ R, òàêîé ÷òî
Áåðèòå ðàçðûâíóþ f
ào ) çàäà÷à Êîøè íå èìååò ðåøåíèÿ íè íà êàêîì èíòåðâàëå (−a, a).
áv1 ) f íåïðåðûâíà, è çàäà÷à Êîøè èìååò ìíîãî ðåøåíèé íà ëþáîì èíòåðâàëå.
â2 ) f ïîëèíîì, è çàäà÷à Êîøè íå èìååò ðåøåíèÿ íà âñåé ïðÿìîé R.
Áåðèòå
deg f = 2
Ïåðâûå äâà ïóíêòà íàðóøàþò ïðèíöèï äåòåðìèíèðîâàííîñòè çà ñ÷åò ðàçðûâíîñòè/íåãëàäêîñòè f , òàêèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïðîèòâîðå÷èâû/íåïîëíû. Íî
äëÿ áîëüøèíñòâà èçó÷åííûõ íàìè óðàâíåíèé ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñóùåñòâóåò è
åäèíñòâåííî ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ x0 è t0 , ïîýòîìó äëÿ íèõ èìååò ñìûñë
Îïðåäåëåíèå
1. Ïóñòü t0 è t1 òàêîâû, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè x0 = f (x, t), x(t0 ) =
x0 , ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî íà îòðåçêå [t0 , t1 ] ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì óñëîâèè
x0 â îáëàñòè U ⊂ Rn . Îáîçíà÷èì çíà÷åíèå ýòîãî ðåøåíèÿ â ìîìåíò t ∈ [t0 , t1 ]
÷åðåç K(x0 , t). Îïðåäåëåííîå íàìè îòîáðàæåíèå K : U × [t0 , t1 ] → Rn íàçûâàåòñÿ
îïåðàòîðîì Êîøè. Îíî ïî òåêóùåìó ñîñòîÿíèþ ñèñòåìû îïðåäåëÿåò åå ñîñòîÿíèå
÷åðåç çàäàííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Ïîä îïåðàòîðîì Êîøè óðàâíåíèÿ âûñøåãî
ïîðÿäêà ïîíèìàþò îïåðàòîð Êîøè ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû ïåðâîãî ïîðÿäêà.
62 Íàéäèòå îïåðàòîðû Êîøè äëÿ óðàâíåíèé àv1 ) x0 = x + 1, áx1 ) x0 = sin x, âo )
x00 = x, ão ) x0 = x2 , ä2 ) ëèíåéíîé ñèñòåìû x0 = A · x.
Äëÿ êàêèõ f çàäà÷à Êîøè ðàçðåøèìà? Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ca,b öèëèíäð, çàäàííûé
íåðàâåíñòâàìè |x| 6 b è |t| 6 a â ïðîñòðàíñòâå Rn × R, íà êîòîðîì îïðåäåëåíà f .
Åñëè f íåïðåðûâíà, òî åå ìîäóëü äîñòèãàåò íà Ca,b ìàêñèìóìà, îáîçíà÷èì åãî M .
Òåîðåìà Ïåàíî. Åñëè f íåïðåðûâíà íà Ca,b , òî íà îòðåçêå |t| 6 min(a, b/M ) ñóùå
ñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ x0 = f x, t , òàêîå ÷òî x(0) = 0.
Òåîðåìà Ïèêàðà-Ëèíäåë¼ôà-Ëèïøèöà. Åñëè ïðè ýòîì f ëèïøèöåâà ïî x íà Ca,b ,
òî åñòü ∃L ∀x1 , x2 , t : |x1,2 | 6 b, |t| 6 a ⇒ |f (x2 , t) − f (x1 , t)| < L|x2 − x1 |, òî
ðåøåíèå íà óêàçàííîì èíòåðâàëå åäèíñòâåííî. (L íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì Ëèïøèöà.)
√
63 à2 ) f (x) = 3 x íå Ëèïøèöåâà íà (−1, 1), íî Ëèïøèöåâà íà (1, ∞), à f (x) = e|x| íàîáîðîò. Åñëè ôóíêöèÿ f á2 ) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà C èëè â2 )
a,b
ëèíåéíà ïî x ïðè êàæäîì t è íåïðåðûâíà íà Ca,b , òî îíà Ëèïøèöåâà íà Ca,b .
64 Äîêàæåì îáå òåîðåìû â ïðåäïîëîæåíèÿõ áîëåå ñèëüíîé. Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà:
àv1 ) Åñëè h : R → R ñæèìàþùàÿ (òî åñòü Ëèïøèöåâà ñ ÷èñëîì Ëèïøèöà < 1),
òî, ïðèìåíÿÿ h ìíîãîãðàòíî ê ëþáîìó x ∈ R, ïîëó÷èì ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. áv1 ) Åå ïðåäåë åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ x = h(x).
65
Âûáåðåì a0 < min(a, 1/L, b/M ), îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
èç îòðåçêà [−a0 , a0 ] â øàð |x| 6 b ÷åðåç Ca0 ,b . Âìåñòî h : R → R, ðàññìîòðèì
1
Rt
îòîáðàæåíèå H : Ca0 ,b → Ca0 ,b , îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé H(x) = 0 f (x(s), s)ds.
à2 ) Óðàâíåíèå x = H(x) ðàâíîñèëüíî çàäà÷å Êîøè x0 = f (x, t), x(0) = 0.
áv1 ) Åñëè x ∈ Ca0 ,b , òî çíà÷åíèå H(x) òàêæå ôóíêöèÿ îò t, ñîäåðæàùàÿñÿ â Ca0 ,b .
â2 ) Ïðîñòðàíñòâî Ca0 ,b ïîëíî â ñìûñëå íîðìû ||x|| = maxt∈[−a0 ,a0 ] |x(t)| (òî åñòü
ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìåþò â íåì ïðåäåë).
ã2 ) Îòîáðàæåíèå H ñæèìàþùåå â ñìûñëå íîðìû || · ||, òî åñòü ∃C < 1 ∀x :
||H(x)|| 6 C||x||, è ïðåäåë èòåðàöèé Ïèêàðà x0 = 0, x1 = H(x0 ), x2 = H(x1 ), . . . ,
ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ x = H(x) íà èíòåðâàëå (−a0 , a0 ).
Ìû äîêàçàëè òåîðåìû Ïåàíî è Ïèêàðà, òîëüêî îòðåçîê, íà êîòîðîì íàéäåíî ðåøåíèå, ïðè áîëüøèõ L îêàæåòñÿ ìåíüøå, ÷åì õî÷åòñÿ. Ýòî èñïðàâëÿåòñÿ òàê:
äx3 ) Ïîâòîðèòå ïóíêòû à-ã, ïåðåîáîçíà÷èâ a0 = min(a, b/M ) è ||x|| =
maxt∈[−a0 ,a0 ] e−2Lt |x(t)|. Ïîïðîáóéòå îáúÿñíèòü, êàê ìîæíî áûëî äîãàäàòüñÿ äî e−2Lt .
å3 ) Íàéäèòå êîíñòàíòû a0 è L è äâå èòåðàöèè Ïèêàðà äëÿ óðàâíåíèÿ x0 = (x −
1)2 ïðè a = 1, b = 3. Ñðàâíèòå ïîëó÷èâøååñÿ ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå è èíòåðâàë
(−a0 , a0 ) ñ íàñòîÿùèì ðåøåíèåì è åãî îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ.
æv1 ) Òåîðåìû Ïåàíî è Ïèêàðà ñôîðìóëèðîâàíû äëÿ çàäà÷è Êîøè, â êîòîðîé
t0 = 0 è x0 = 0. Ðàñïðîñòðàíèòå èõ íà ïðîèçâîëüíûå t0 è x0 .
ç3 ) Â óñëîâèÿõ òåîðåìû Ïèêàðà âûáåðåì b0 < b è a0 < b0 /M . Äîêàæèòå, ÷òî íà
öèëèíäðå Ca0 ,b−b0 îïðåäåëåí îïåðàòîð Êîøè óðàâíåíèÿ x0 = f (x, t).
66 (Ëèíåéíûå ñèñòåìû) à1 ) Ïóñòü f (x, t) = A(t)·x, è ìàòðèöà A íåïðåðûâíî çàâèñèò
îò t. Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ Ëèïøèöåâà íà Rn × [0, a] äëÿ ëþáîãî a.
á3 ) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû x0 = A(t)·x, ìàòðèöà êîòîðîé íåïðåðûâíî çàâèñèò îò t, îïåðàòîð Êîøè îïðåäåëåí íà Rn × [0, a] ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì a.
Èñïîëüçóéòå òåîðåìó Ïèêàðà ïðè
b → ∞, ïðè ýòîì b/M → 1/L (÷èñëî Ëèïøèöà èç ïóíêòà a), âîçüìèòå a < 1/L
â2 ) Äîêàæèòå, ÷òî îí îïðåäåëåí íà âñåì Rn × R.
Èñïîëüçóéòå êîìïàêòíîñòü ëþáîãî
[0, a]
Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì îïåðàòîðà Êîøè K â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè
t: îáîçíà÷èì K(x, t) ÷åðåç Kt (x), è áóäåì èçó÷àòü îòîáðàæåíèå Kt : Rn → Rn .
0t
ã2 ) Äîêàæèòå, ÷òî Kt ëèíåéíî. ä2 ) Íàéäèòå îïåðàòîð Êîøè äëÿ A(t) = −t 0 .
Çàìå÷àíèå
2. Ðàññóæäåíèå ñ èòåðàöèÿìè Ïèêàðà, äîêàçàâøåå ñóùåñòâîâàíèå îïåðà-
òîðà Êîøè, äîêàçûâàåò è åãî íåïðåðûâíîñòü, à åñëè f íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìî, òî è íåïðåðûâíóþ äèôôåðåíöèðóåìîñòü. Äåòàëè ñì. â ó÷åáíèêå Àðíîëüäà.
 ñâÿçè ñ óðàâíåíèÿìè ìàÿòíèêà óïîìèíàëîñü, ÷òî áëèçêèå ê íóëåâîìó ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ x0 = f (x, t), â êîòîðîì f (x, t) = a1 (t)x + a2 (t)x2 + . . ., ñâÿçàíû ñ ðåøåíèÿìè åãî ëèíåàðèçàöèè y 0 = a1 (t)y . Òåïåðü ìû ìîæåì óêàçàòü ýòó ñâÿçü:
67 ào ) ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå îïåðàòîðà Êîøè K óðàâíåíèÿ x0 = f (x, t) â òî÷êàõ åãî
(0, t) = 0, ∂K
(0, t) = y(t) ðåøåíèå ëèíåàðèçîâàííîé
íóëåâîãî ðåøåíèÿ òàêîâû: ∂K
∂t
∂x
Ýòî ∂/∂x ïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà Êîøè: ∂K(x, t)/∂t = f (K(x, t), t)
0
çàäà÷è Êîøè y = a1 (t)y, y(0) = 1.
á2 ) Íàéäèòå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îïåðàòîðà Êîøè óðàâíåíèÿ Çàäà÷è 19á â
òî÷êàõ ðåøåíèÿ x(t) = 0. âx2 ) Òî æå äëÿ ðåøåíèÿ x(t) = 1.
ãx2 ) Ñôîðìóëèðóéòå ðåçóëüòàò ïóíêòà à äëÿ ëèíåàðèçàöèé ñèñòåì óðàâíåíèé è
óðàâíåíèé âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Ïðîèëëþñòðèðóéòå íà ëèíåàðèçàöèè ìàÿòíèêà.
2