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Universität Karlsruhe (TH)
Lehrstuhl Informatik für Ingenieure und Naturwissenshaftler
Dr. Thomas Worsh
Matthias Shulz
23. April 2008
Einführung in die Informatik
Übungsblatt 2
Graphen Aufgabe 1:
a) Zeigen Sie: In jedem ungerihteten shlingenfreien Graphen U = (V, E) ist die Anzahl
von Knoten mit ungeradem Grad gerade.
b) Bonus: δ (U) sei der Minimalgrad von U , also δ (U) = min {d (x) | x ∈ V }.
Zeigen Sie:
1) U enthält einen wiederholungsfreien Weg der Länge δ (U).
2) Falls δ (U) > 1 ist, dann enthält U einen wiederholungsfreien Kreis, der eine
Länge von mindestens δ (U) + 1 hat.
Es sei U = (V, E) der ungerihtete Graph mit V = {1, . . . , 6} und der
Adjazenzmatrix


0 1 0 1 0 1
 1 0 1 1 1 0 


 0 1 0 1 0 0 

A=
 1 1 1 0 1 0 .


 0 1 0 1 0 1 
1 0 0 0 1 0
Aufgabe 2:
Zeihnen Sie U ! Ist U zusammenhängend, planar, bipartit? Falls U Ihrer Meinung nah
planar ist, sollte das in der Zeihnung erkennbar sein. Falls Ihrer Meinung nah U bipartit
ist, geben Sie eine Zerlegung V1 , V2 von V an, so dass es keine Kanten innerhalb von V1
und V2 gibt; begründen Sie ansonsten, warum U niht bipartit ist.
Aufgabe 3:
a) Zeigen Sie: Ein ungerihteter shlingenfreier Graph U = (V, E) ist genau dann
bipartit, wenn es zwei Mengen V1 , V2 ⊆ V gibt, so dass V1 ∪ V2 = V gilt und
∀u, v ∈ V1 : {u, v} ∈
/ E sowie ∀u, v ∈ V2 : {u, v} ∈
/ E gilt.
Mahen Sie sih den Untershied zur im Skript angegebenen Denition bewusst!
1
b) Sei U = (V, E) ein bipartiter ungerihteter shlingenfreier Graph. Zeigen Sie, dass
die beiden Mengen V1 , V2 mit V1 ∩ V2 = ∅, V1 ∪ V2 = V und ∀{u, v} ∈ E : u ∈ V1 ⇐⇒
v ∈ V2 bis auf Reihenfolge eindeutig sind, falls U zusammenhängend ist.
) Bonus: Geben Sie einen niht zusammenhängenden ungerihteten shlingenfreien bipartiten Graphen U = (V, E) an, für den die Zerlegung in V1 , V2 niht eindeutig
ist.
Geben Sie zu den folgenden vier Matrizen Mi jeweils entweder einen Graphen
Gi , für dessen Wegematrix WGi = Mi gilt, an oder begründen Sie kurz, weshalb es keinen
solhen Graphen geben kann.




1 1 0
1 0 0
a) M1 =  0 1 0 
) M2 =  1 1 0 
0 0 1
0 0 1




0 1 1
1 1 1
b) M3 =  1 0 1 
d) M4 =  1 1 0 
1 1 0
1 0 0
Aufgabe 4:
[autotool: Way-1, Way-2, Way-3, Way-4. Bestenliste: Kleinste Kantenzahl. Probieren Sie
auh die autotool-Aufgabe Way!℄
Beginnend mit diesem Übungsblatt wird für einige der autotool-Aufgaben eine
Bestenliste geführt. Bewertet wird dabei eine spezishe Gröÿe (z. B. für die Aufgaben Way*
dieses Blatts die Anzahl der Kanten der eingesendeten Graphen) und die Zeit der Einsendung.
Den aktuellen Stand in der Bestenliste nden Sie unter
Bestenliste:
http://liinwww.ira.uka.de/~autotool/sores.
Aus datenshutzrehtlihen Gründen wird in dieser Liste nur Ihre interne Kennung veröentliht.
Diese Kennung teilt Ihnen das System autotool auf der Verwaltungsseite http://liinwww.
ira.uka.de/~autotool/gi-bin/Super.gi mit. Dort nden Sie auh eine Übersiht über
alle Bewertungen, die das System autotool für Sie vorgenommen hat.
Die ersten Plätze in der Bestenliste werden am Ende des Semesters angemessen gewürdigt!
Kämpfen Sie darum!
Abgabe bis zum
30. April 2008
in der Vorlesung oder im Tutorium.
Falls Sie eine Bearbeitung abgeben möhten, geben Sie bitte den Namen Ihres Tutors und
Ihre Übungsgruppe an.
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