zanyatie49_EGE_Primenenie_proizvodnoy_k_issledov ()

Занятие №49. Применение производной к исследованию функций.
1. Промежутки монотонности.
Опр. Промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает, называются промежутками
монотонности.
Достаточный признак возрастания функции: если f ' ( x)  0 в каждой точке интервала I , то функция f
возрастает на I .
Достаточный признак убывания функции: если f ' ( x)  0 в каждой точке интервала I , то функция f
убывает на I .
2. Критические точки функции максимумы и минимумы.
Опр. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не
существует, называются критическими точками этой функции.
Опр. Критические точки, при переходе через которые производная меняет знак, называются точками
экстремума (минимума и максимума).
Признак максимума: если при переходе через точку x 0 производная меняет знак c плюса на минус, то это
есть точка максимума.
Признак минимума: если при переходе через точку x 0 производная меняет знак c минуса на плюс, то это
есть точка минимума.
Пример1. Определить промежутки монотонности и исследовать на экстремум функцию f ( x)  3x  x 3 .
Найдём производную: f ' ( x)  3  3x 2 - определена во всех точках. Найдём нули производной:
f ' ( x)  0 ; 3  3x 2  0 ; x  1; x  1
Построим эти точки на числовой прямой и определим знаки производной на каждом интервале (числа -2;
0; 2 подставляем в производную!!!).
Т.о., f ( x)  при x [-1;1]
f ( x)  при x  (-;-1] и [1;)
xmin  1
x max  1
1. Найдите точки минимума и максимума:
1)
f ( x)  5  12 x  x 3 ; 2) f ( x) 
1 4
x  x2 ;
2
2. Найдите промежутки монотонности функции:
1)
f ( x)  sin 2 x  cos x ; 2) f ( x)  2 x 
8
;
x2
3. Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстремумы:
1)
f ( x) 
1 4
3x
x  8 x 2 ; 2) f ( x) 
;
2
1  x2
4. Найдите промежутки возрастания, убывания функции:
1)
f ( x)  1  cos 2 x ; 2) f ( x)  4  2 x  7 x 2 ;
Дополнительные задания:
1. Найдите точки минимума и максимума:
1)
f ( x)  ( x  2) 3 ; 2) f ( x) 
x 3
 ;
3 x
Домашнее задание:
1. Найдите точки минимума и максимума:
1)
f ( x)  5  8x 2  x 4 ; 2) f ( x)  2 x 3  3x 2  4 ;
2. Найдите промежутки монотонности функции:
1)
f ( x)  10 cos x  sin 2 x  6 x ; 2) f ( x)  x 3  4 x  8 ;
3. Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстремумы:
1)
1 3
x 2  2x  2
f ( x)  2 x  x ; 2) f ( x) 
;
6
x 1
4. Найдите промежутки возрастания, убывания функции:
x3
1) f ( x)  x  2 sin x ; 2) f ( x)  4 x 
;
3