Исследование функций с помощью производной.

Тема 28. Исследование функций с помощью производной.
При исследовании функций удобно использовать производную. Производная характеризует
скорость изменения функции. Приведем вначале таблицу производных основных элементарных функций.
 c   0, для любой константы c;





( x c )  cx c 1 , для любого числа c;
(a x )  a x ln a, для любого числа a  0 (в частности (e x )  e x );
1
1
(log a x) 
, для любого числа a  0, a  1 (в частности (ln x )   );
x
x ln a
(sin x)  cos x, (cos x)   sin x;
1
1
(tgx) 
, (ctgx)  
.
2
cos x
sin 2 x
Следующие формулы нахождения производных от суммы, произведения, частного функций
называют правилами дифференцирования. Эти формулы справедливы для любых дифференцируемых
функций u ( x), v( x) и любого числа c .





(cu ( x))  cu ( x);
(u ( x)  v( x))  u ( x)  v ( x);
(u ( x)  v( x))  u ( x)  v( x)  u ( x)  v ( x);
u ( x)
u ( x)  v( x)  u ( x)  v ( x)
(
) 
, где v( x)  0 при всех значениях x .
v( x)
v 2 ( x)
При дифференцировании сложной функции f (u ( x )) используется формула
( f (u( x)))x  f u (u( x))u x ( x). Здесь нижний индекс указывает на аргумент соответствующей
функции, по которому вычисляется производная.
Теперь мы можем приступить к исследованию функции. Функция
y  f (x) называется
возрастающей на интервале (a, b), принадлежащем ее области определения, если для любых двух значений
аргумента из указанного множества большему значению аргумента соответствует большее значение
функции. Если же большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функцию
называют убывающей. Функция называется монотонной на (a, b), если на этом промежутке она возрастает
или убывает. Достаточные условия монотонности функций нам предоставляет следующая
Теорема 1. Если для всех x  ( a, b) функция y  f (x) дифференцируема и производная
f ( x)  0, то в промежутке ( a, b) функция возрастает. Если f ( x)  0, то в промежутке ( a, b)
функция убывает.
Точка x  c
y  f (x) , если существует такое
положительное число  , что при всех x  (c   , c   ), x  c имеет место неравенство f ( x)  f (c).
Точка x  c называется точкой минимума функции y  f (x) , если существует такое положительное
число  , что при всех x  (c   , c   ), x  c имеет место неравенство f ( x)  f (c). Точка минимума
называется точкой максимума функции
или максимума функции называется экстремальной. Значение функции в экстремальной точке называется
экстремумом функции.
Теорема 2. Если функция имеет экстремум в точке x  c , то производная в данной точке либо
равна нулю, либо не существует.
Теорема 3. Пусть функция y  f (x) непрерывна в некоторой окрестности точки x  c и
дифференцируема в ней всюду, кроме, быть может, самой точки x  c . Тогда
если f ( x )  0 при x  c, а при x  c f ( x)  0, то x  c - точка максимума;
если f ( x )  0 при x  c, а при
x  c f ( x)  0,
x  c - точка минимума.
y  x 4  2 x 2 . Вычислите экстремальные значения
то
Пример 1. Найти точки экстремумов функции
этой функции.
Решение. Областью определения функции является вся числовая ось. Находим производную
y   4 x 3  4 x. Определяем точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае
производная существует при всех x. Приравняв производную к нулю, находим корни:
4 x 3  4 x  0  x1  0, x 2  1, x3  1. Полученные точки разбивают числовую ось на четыре
промежутка. Узнаем на каждом из промежутков знак производной и исследуем поведение функции.
x
(;1)
1
(1;0)
0
(0;1)
1
(1;  )
y
-
0
+
0
-
0
+
y
Min
Max
Min
1
0
1
Ответ: точки
точка
x  1 - точки минимума, f (1)  1;
x  1 - точка максимума, f (0)  0.
Пример 2. Найти точки экстремумов функции y  x  1. Вычислите экстремальные значения
этой функции.
Решение. Областью определения этой функции является вся числовая ось. Находим производную
3
y 
2x
33 ( x 2  1) 2
2
. Производная равна нулю, если x1  0. Производная
не существует, тогда
33 ( x 2  1) 2  0 , т.е. x2  1, x3  1. Полученные точки разбивают числовую ось на четыре промежутка.
Узнаем на каждом из промежутков знак производной и исследуем поведение функции.
x
(;1)
1
(1;0)
0
(0;1)
1
(1;  )
y
-
нет
-
0
+
Нет
+
y
Min
0
0
1
Отметим, что в точках x  1 не происходит смены знака производной, эти точки не являются
экстремальными.
Ответ: точка x  0 - точка минимума , f (0)  1.
Пример
3.
Найти
наибольшее
и
наименьшее
на
отрезке
[0;4]
значения
функции
y  x  3x  9 x.
3
2
y   3x 2  6 x  9. Замечаем, что производная существует при
2
всех значениях x . Находим нули производной: 3( x  2 x  3)  0  x1  1; x2  3. Наибольшее и
Решение. Вычисляем производную
наименьшее значения функции могут достигаться либо на концах рассматриваемого отрезка, либо в
найденных выше нулях производной, попадающих в данный отрезок. Так как  1 [0;4], 3  [0;4], то
вычисляем
f (0); f (3); f (4) и выбираем наибольшее и наименьшее
f (0)  0; f (3)  27; f (4)  20.
Ответ: наибольшее значение y  0 достигается при x  0;
наименьшее значение y  27 достигается при x  3.
значения.
Получаем