«Возрастание и убывание функции на интервале» Проблемный урок

МОУ Дмитровская вечерняя (сменная)
общеобразовательная школа
Проблемный урок
Тема: «Возрастание
и убывание функции на
интервале»
Мансурова С.И.
Провел: учитель математики
г.Дмитров
1
Цели урока.
Образовательная:
 побудить учащихся применить свои знания для определения
характера поведения функции на интервале;
 создавать логическую схему ответа;
 вооружить учащихся умением самостоятельно мыслить;
 проверить усвоение учащимися изученного материала.
Развивающая:
 развитие математического мышления, внимания и памяти;
 развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;
 умение анализировать.
Воспитательная:
 воспитание интереса к математике и её приложениям;
 воспитывать у учащихся внимательное и бережное отношение
к друг другу, умения общаться.
Тип урока: проблемный.
Основная дидактическая цель: научить учащихся обращаться с
функциями, заданными формулами, видеть их поведение в точках,
на промежутках, выделять их главную часть, отбрасывать не
существенные в рассматриваемом вопросе добавки.
Оборудование. Плакаты с изображением графиков функций, тест.
Структура урока.
1. Сообщение темы, цели и задач урока. (3 мин.)
2. Подготовка к изучению нового материала повторением знаний теории
(определение возрастания и убывания функций), а также проверкой
умений находить по графику функции промежутки возрастания и
убывания, промежутки знакопостоянства. (10 мин.)
2
3. Ознакомление с новым материалом (решение поставленной
проблемы):
а) на конкретных примерах выявить связь возрастания и
убывания функции со знаками производной;
б) анализ полученных результатов и формулировка выводов;
в) обобщение полученных результатов исследования.(22 мин.)
4. Первичное осмысление и заучивание рассмотренных правил через их
применение в различных случаях и решение примеров.(10 мин.)
5. Постановка домашнего задания: при исследовании функции на
возрастания и убывания подумать над решением проблемы (как
определить max и min функции с помощью знака производной).
(5 мин.)
6. Подведение итогов урока проверкой знания (самостоятельная
работа). (25 мин.)
Ход урока.
1. Постановка темы и цели урока.
Учитель. Наша конечная цель изучения темы «Применения
производной» научиться строить графики различных функций
(показывает эскиз графика на плакате).
Начиная с 6 класса вы строили графики функций «по точкам». Во
многих случаях этот метод дает хорошие результаты, если конечно,
отметить достаточно большое число точек. Однако при этом приходиться
составлять большие таблицы значений функций, а главное, можно не
заметить существенных особенностей функции и в итоге ошибиться при
построении графика. Например, вычислив значения функции в 15 точек и
отметив соответствующие точки графика на координатной плоскости,
3
соединив их, мы увидим график функции. (Показываю этот график на
плакате).
Однако «настоящий» график может быть не похож на этот эскиз.
(Показываю второй график на плакате).
Поэтому для того чтобы избежать ошибок, надо научиться выявлять
характерные особенности функции, то есть предварительно провести ее
исследование.
Вы научились читать график, то есть выявлять свойства функции по ее
графику. Сейчас перед вами стоит обратная задача: научиться строить
график функции, зная необходимые для этого ее свойства. Одно из
важнейших свойств функции – промежутки монотонности (возрастание и
убывание) определяется с помощью производной.
Связь между свойствами функции и свойствами ее производной
функции вам и придется сейчас установить. (Проблема).
2. Решение проблемы.
По графику функции повторяем определение возрастания (убывания)
функции. (Показываю плакат с графиками функции).
Говорят, что функция возрастает на промежутки, если для любых Х1 и Х2
принадлежащих промежутку, из неравенства Х1 < Х2 следует неравенство
f (Х1) < f (Х2).
По готовому эскизу графика функции учащиеся находят промежутки
возрастания и убывания функции, а также промежутки знакопостоянства.
3. Актуализация прежних знаний и способов действий.
а) применение прежних знаний в новых ситуациях, их
углубление.
Проблемные ситуации и проблемные вопросы.
Возьмем несколько примеров известных функций, найдем их производные
и построим их графики. (Вызываю ученика к доске).
4
1) f (х) = х – возрастающая
f´ (х) = 1 > 0
у
у
+
0
+
х
0
х
Использование наглядности управляет вниманием учащихся, что дает им
эмоционально-психологический настрой.
2) f (х) = - х – убывающая
f´ (х) = -1 < 0
у
0
у
х
-
3) f (х) = х²
0
-
х
f´ (х) = 2х
у
у
-
+
0
0
х
х
f (х) – возрастает на (0; ∞) и убывает на (- ∞; 0).
б) Определяют связь, свойств функции по ее графику и свойств
производной функции по графику их производных.
Вывод. Если функция возрастает на интервале, то производная на
этом интервале имеет положительный знак, а если функция убывает на
интервале, то производная имеет отрицательный знак..
в) Проанализируем полученный вывод для всех функций в общем виде.
5
у
у = f (х) - возрастающая
α – острый, f´ (х) = tg α > 0 → f´ (х) > 0
α
х
0
у
у = f (х) -убывающая
α – тупой, f´ (х) = tg α < 0 → f´ (х) < 0
α
0
х
Одна и та же функция может на одних промежутках области ее
определения возрастать, а на других – убывать. Характер поведения
функции на каждом из этих промежутков определяется знаком ее
производной.
Выразим необходимые признаки возрастания и убывания функции на
промежутке.
Теорема 1. Если функция f (х) дифференцируема и возрастает на
промежутке (а;b), то ее производная на этом
промежутке положительна.
Теорема 2. Если функция f (х) дифференцируема и убывает на
промежутке (а;b), то ее производная на этом
промежутке отрицательна.
Но для решения задач особенно важны обратные теоремы, выражающие
достаточные признаки возрастания и убывания функции на промежутке.
(Учащиеся сами формулируют достаточные признаки).
Теорема 3. Если f´ (х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция
f (х) возрастает на интервале I.
Теорема 4. Если f´ (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция
f (х) убывает на интервале I.
6
Но есть точки, принадлежащие промежутку (а;b), в которых производная
равна нулю или не существует, они называются критическими
(стационарными) точками.
Из определения критической точки следует, что если производная функции
меняет знак, то это может произойти только при переходе через
критическую точку. Таким образом, промежутки убывания, возрастания
функции f (х) ограничены критическими точками. Поэтому, для того чтобы
определить промежутки монотонности функции, необходимо:
1. найти критические точки f (х) ( f´ (х)= 0);
2. определить знак производной функции внутри промежутков,
ограниченных критическими точками;
3. построить эскиз графика функции.
По графику функции определяем возрастания и убывания функции, а по
графику производной функции определяем знак производной.
(подготовка к тестированию, провожу пробный тест).
4. Первичное осмысление.
Исследовать функцию на возрастание и построить эскиз графика (вызываю
учащегося к доске).
у
1. f (х) = х² + х – 2
3)
1) f´ (х) = 2х + 1
2х = – 1
х=–
1
- критическая точка
2
2) f´ (х) f (х)
–
+
–
1
2
∞
7
1
2
0
х
2. f (х) = 2х³- 24 х
3)
у
1) f´ (х) = 6х² - 24 = 0
6х² = 24
х² = 4
х =  2 - критические точки
2) f´ (х) +
f (х)
-
0
-2
2
х
+
-2
2
3. f (х) = х 4 - 2 х² + 4
у
1) f´ (х) = 4х³ - 4х = 0
3)
4х( х²- 1) = 0
х = 0 – крит. точка; х² - 1 = 0
х =  1 - критические точки
2) f´ (х)
f (х)
-
+
-1
0
-1
0
1
х
+
1
5. Самостоятельная работа.
6. Домашнее задание.
Определите промежутки возрастания и убывания функции, построите эскиз
графика.
1) f (х) = 5 х² - 3х + 1;
2) f (х) = х³ - 27х;
3) f (х) = х³ + 3х² - 9х + 1;
4) f (х) = 2 – 9х + 3 х² - х³
8