программа - Государственный университет морского и речного

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Государственный университет морского и речного флота
имени адмирала С.О.МАКАРОВА»
Кафедра математики
П Р О Г РА М М А
вступительных испытаний по дисциплине
«МАТЕМАТИКА»
Санкт-Петербург
-2013 год-
2
Настоящая программа состоит из трех разделов.
В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми
должен владеть поступающий.
Во втором разделе указано, какие навыки и умения требуются от поступающего.
В последнем – содержится информация о проведении вступительных испытаний по
математике и приведен образец теста.
Объем знаний и степень владения материалом, описанным в программе,
соответствуют курсу математики средней школы. Поступающий может пользоваться всем
арсеналом средств из этого курса, включая и начала анализа. Однако для решения
экзаменационных задач достаточно уверенного владения лишь теми понятиями и их
свойствами, которые перечислены в настоящей программе.
I.
Основные понятия
1.
Натуральные числа. Делимость. Признаки делимости . Простые и составные
числа. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
2.
Целые, рациональные и действительные числа. Проценты. Модуль числа,
степень, корень, арифметический корень, логарифм. Синус, косинус, тангенс, котангенс
числа (угла). Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.
3.
Числовые и буквенные выражения. Равенства и тождества. Формулы
сокращенного умножения. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями.
Свойства арифметических корней. Свойства степеней с рациональными показателями.
Основное логарифмическое тождество. Логарифмы произведения, степени, частного.
Формула перехода к новому основанию.
4.
Уравнение, неравенства, системы. Решения (корни) уравнения, неравенства,
системы. Равносильность. Линейные уравнения и неравенства. Формула корней
квадратного уравнения. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные
множители. Теорема Виета.
5.
Функция, ее область определения и область значений. Возрастание,
убывание, периодичность, четность, нечетность. Наибольшее и наименьшее значения
функции. График функции.
6.
Основные элементарные функции. Степенная функция: свойства линейной
функции и ее график, свойства квадратичной функции и ее график. Свойства
3
показательной функции и ее график. Свойства логарифмической функции и ее график.
Тригонометрические функции.
Основное
7.
тригонометрическое
тождество.
Соотношения
между
тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы приведения,
сложения, двойного и половинного аргумента, суммы и разности тригонометрических
функций.
Выражение
тригонометрических
функций
через
тангенс
половинного
аргумента. Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму. Формулы
решений простейших тригонометрических уравнений.
II. Требования к поступающему
На экзамене по математике поступающий должен уметь:
1.
выполнять (без калькулятора) действия над числами и числовыми
выражениями; преобразовывать буквенные выражения;
2.
сравнивать числа и находить их приближенные значения (без калькулятора);
доказывать тождества и неравенства для буквенных выражений;
3.
пользоваться соотношениями и формулами, содержащими модули, степени,
корни, логарифмические, тригонометрические выражения.
4.
решать уравнения, неравенства, системы и исследовать их решения; сюда, в
частности, относятся уравнения и неравенства, содержащие степенные, показательные,
логарифмические и тригонометрические функции.
5.
строить графики линейной,
квадратичной, степенной, показательной,
логарифмической и тригонометрических функций.
III. Информация о проведения вступительных испытаний
На выполнение работы отводится 45 минут (один академический час). Во время
проведения
телефоном.
испытаний
нельзя
пользоваться
калькулятором
и
мобильным
Работа выполняется на официальном бланке тестирования. Бланк ответа нельзя
заполнять карандашом, зачеркивать и исправлять ответ. Дополнительно выдается лист для
черновика, который следует использовать при подготовке ответов и сдать вместе с
заполненным бланком.
4
В каждом варианте десять заданий. Первые восемь заданий экзаменационной
работы относятся к типу заданий с выбором ответа из четырёх предложенных, два задания
предусматривают полное решение.

В ответе на задание части А указывается только номер выбранного ответа.

Решение задания части С будет оценено максимальным числом баллов, если
приведено решение с обоснованием каждого этапа и получен правильный ответ.
Если при проверке выясняется, что при неправильном ответе в приведенном
решении была допущена ошибка, не имеющая принципиального значения, то
засчитываются баллы, меньше указанных для данного задания по усмотрению
членов предметной комиссии.
Ниже приведен образец теста вступительных испытаний по математике (маркером
отмечены верные ответы).
A1. Вычислить 10
1.
14
2
1
5
3
6
1
2
2.
1. 30
5
6
3.
16
1
3
4.
17
4.
109
7
18
 
A2. Вычислить 5  2
3
15
2 2
2.
44
3.
85
A3. Поступивший в продажу в мае мобильный телефон стоил 6000 рублей. В июне в
магазине была объявлена рекламная акция и цену снизили на 30%.
Сколько рублей стал стоить телефон?
1. 4200
2. 4500
3. 4800
4. 5100
 x  3 y  4
5x  2 y  3
A4. Решить систему уравнений 
1.
( 1;  2)
2.
(1; 3)
A5. Из формулы площади треугольника
1.
b
S sin 
2a
2.
b
2Sa
sin 
3.
(1;1)
1
S  ab sin 
2
3.
b
4.
(1; 2)
выразить сторону b
a sin 
2S
4.
b
2S
a sin 
5
A6. На одном из рисунков изображен график функции y  1  x . Укажите номер этого
2
рисунка.
y
2
1 2
x
y
y
y
4
4
2
1
2
2
1 2
1.
2.
1 2
1 2
x
4
x
x
3.
4.
y
A7. На рисунке изображен график функции
y  f (x) , заданной на отрезке  3; 7. Укажите
2
1
промежуток, на котором она принимает только
положительные значения:
1.
0; 3
2.
0;3
3.
2
1; 5
4.
1;7 
4.
9; 
A8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
16 x  2  12 x  3  9 x  0
1.
(;1)
2.
1;4 
C1.Решить неравенство: log 0,5
3.
4;9
15 
x2  x 

  0.
 log 0,5 log 6
4 
x  4 
7 

cos 7x 

2 

C2. Найти наибольший положительный корень уравнения
 0.
2
2x  x
5
x
6