План-конспект открытого урока по математике по теме «Тригонометрические функции»

План-конспект открытого урока по математике
по теме «Тригонометрические функции»
Составил: учитель математики МБОУ
«Кадыровская СОШ» Заинского муниципального
района РТ Фатихов Руслан Фидельянович
Кадырово 2015 г
2
Цели урока:

закрепить умение и навыки построения графиков тригонометрических
функций;

создать условия для поддержания интереса к математике через
использование обобщающих приёмов умственной деятельности;

продолжить работу с программой для построения графиков Advanced
Grapher;

создать условия для практического применения математического
моделирования;

формирование умения мыслить по аналогии;

способствовать самостоятельной деятельности учащихся;

развивать логическое мышление.
Оборудование: компьютер, проектор, справочный материал, экран.
3
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.
Над какой темой мы работаем?
Тригонометрические функции.
Сегодня мы с вами должны научится строить графики тригонометрических функций
и использовать их при решение задач.
II. Актуализация опорных знаний.
В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии,
землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и
представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали
вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века
произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и
сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время
тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции.
В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как функций
числового аргумента уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры и начал
анализа. Тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и
наглядное средство для изучения всех свойств функций, а в особенности такого
свойства многих природных процессов как периодичность. Поэтому их изучению
следует уделить пристальное внимание.
Данная тема очень важна при подготовке к ЕГЭ. На уроке мы построим графики
тригонометрических функций, ознакомимся свойствами этих функций, посмотрим
решение некоторых тригонометрических уравнений.
4
III. Объяснение новой темы.
Используя определение синуса в математическом анализе и окружность с
единичным радиусом, давайте построим график функции y=sinx.
Определение. Число, равное ординате единичной окружности, соответствующей
углуα и обозначают sinα.
Отметим некоторые свойства функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥.
1.
Функция 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 нечетная.
2.
Функция 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 периодическая с главным периодом 2π.
3.
Функция 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 непрерывна на промежутке (−∞; ∞).
4.
Функция 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 на отрезке [− ; ] возрастает, а на отрезке [ ;
𝜋 𝜋
𝜋 3𝜋
2 2
2
𝜋 3𝜋
Сначала поострим график в интервале [− ;
2
2
2
] убывает.
], потом учитывая, что функция
является периодичной с периодом 2π на всей числовой прямой. И график функции
имеет следующий вид.
5
6
IV. Практическая работа
Тренировочные задания по подготовке к ЕГЭ
Задача №1.
√3
Укажите ближайший к 𝜋 корень уравнения sin 𝑥 = . Ответ запишите в градусах.
2
Решение.
Сначала найдем все корни этого уравнения.
𝜋
√3
𝑥1 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
+ 2𝜋𝑛 = + 2𝜋𝑛, где 𝑛 ∈ 𝑁
2
3
𝜋
2𝜋
√3
𝑥2 = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
+ 2𝜋𝑘 = 𝜋 − + 2𝜋𝑛 =
+ 2𝜋𝑘, где 𝑘 ∈ 𝑁.
2
3
3
Найдем ближайший к 𝜋корень с помощью графика функции 𝑦 = sin 𝑥.
Нужный нам корень 𝑥 =
Ответ: 120
2𝜋
3
, осталось показать в градусах
2𝜋
3
=
2∙180°
3
= 120°.
7
Задача №2
1
5𝜋
Укажите число корней уравнения sin 𝑥 = на промежутке[ ; 5𝜋].
3
2
Решение
Если при решение использовать график функции y=sinx, то мы увидим множества
1
решений. Решениями будут все точки пересечения графиков y=sinx и y=
3
(−1)𝑛
1
Как мы уже знаем общее решение этого уравнения является 𝑥 =
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 +
3
𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍,
1
то есть когда n четное число 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍, а когда 𝑛 нечетное 𝑥 = 𝜋 −
3
1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
3
1
Давайте посмотрим два частных решения этого уравнения: 𝑥1 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 , 𝑥2 = 𝜋 −
3
1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 . А теперь посчитаем сколько раз нам надо прибавлять или отнимать 2𝜋 , что бы
3
все наши решения принадлежали в нужный нам промежуток (промежуток обведен
прямоугольником).
По рисунку мы видим, что корню 𝑥1 надо два раза прибавить 2𝜋; а корню 𝑥2 один и
1
два раза прибавить 2𝜋. В ответе у нас получится три корня: 4𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 , 3𝜋 −
3
1
1
3
3
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 , 5𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
8
V. Итог урока.
Как вы считаете над чем нам нужно еще поработать?

Построение графиков функции.

Упрощение выражений.

Решение тригонометрических уравнений.
Выставление оценок.
VI. Домашнее задание.
1. П. 10.1, №10.6, 10.7
2. y  2 sin x  1 построить график функции с помощью программы для построения
графиков.
VII. Резерв учебного времени
Давайте с помощью компьютерной программы построим графики функции №10.8 *