8 класс Задание 1 1) Доказать, что ни при каком целом n число n 2 1 не делится на 3. Решение. Пусть n 3q, n 2 1 9q 2 1, видно, что остаток 1, значит не делится на 3. При n 3q 1, n 2 1 3q 1 1 9q 2 6q 2 33q 2 2q 2. Остаток 2. 2 При n 3q 2, n 2 1 3q 2 1 9q 2 12q 4 1 33q 2 4q 1 2. Остаток 2. Утверждение доказано. 2 2) Не раскрывая скобок, представить в виде многочлена стандартного вида произведение x 1x 3x 5. Решение. Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене равен единице, а свободный член равен -15, в чем легко можно убедиться. Тогда запишем x 1x 3x 5 x 3 ax 2 bx 15, где a и b неизвестные коэффициенты. Для вычисления a b 14 0, их положим x 1, x 3, тогда получим: Решая систему, получим 9a 3b 42 0. a 7, b 7. Следовательно, многочлен имеет вид: x 3 7 x 2 7 x 15. Ответ: x 3 7 x 2 7 x 15. 3) Доказать, что для любого k, принадлежащего области действительных чисел, верно 1 2. неравенство k 2 1 2 k 1 2 2 1 k 2 1 1 2 k 2 1 k 2 11 k4 Решение. k 1 2 2 2 0, k 1 k 2 1 k 2 1 k 1 требовалось доказать. 2 что и 4) Цена на товар была повышена на 25 %. На сколько процентов ее надо снизить, чтобы получить первоначальную цену товара? Решение. Первоначальную цену на товар примем за единицу. После повышения она стала 1,25 единиц, что составляет 100%. Найдем, какой процент x от повышенной стоимости 1 100 составляет первоначальная цена: x 80%, 100 80 20%. 1,25 Ответ: 20%. 5) Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раза больше проведенной к ней высоты. Найти острые углы треугольника. 1 B K D A C Решение. Проведем медиану AK. Пусть AD = x, тогда BC =4x по условию задачи. BK = AK = KC (свойство медианы прямоугольного треугольника). ΔAKD – прямоугольный. AKD = 300, т.к. AD = x, AK = 2x. 180 0 150 0 15 0 , BKA = 1800 – 300 = 1500, B = C = 900 – 150 = 750. 2 Ответ: 150, 750. 2