Домашнее задание 9 класс

Домашнее задание 9 класс
1. Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющее
условиям:
а) |x | = |y| , б) (x - y) (|y| - 7) = 0, в) |у| ≤ | x2 - 1 |,
г) | x – 1 | + | x+1 |  1
2.
д) |x| > у2
Даны точки М, N, K - середины трех разных сторон выпуклого
четырехугольника. Постройте четырехугольник.
3. Дан круг и точка внутри него. Провести через данную точку хорду
заданной длины а.
4. Cреди точек данной прямой l найти такую, что сумма расстояний от
нее до двух данных точек А, B - наименьшая.
5. Внутри выпуклого четырехугольника найти точку, сумма расстояний
от которой до вершин имеет наименьшую длину.
6. Даны координаты двух вершин треугольника D (2 , -1). В(--3 ,
5)
и
координаты
точки
пересечения
медиан
этого
треугольника - М(1 , 1). Найти координаты вершины С.
7. Доказать, если x2 + y2 делится на 3 и x ,y - целые, то x и y делятся на 3.
6. Может ли квадратное уравнение a x2 + bx + c = 0 с целыми
коэффициентами иметь дискриминант, равный 23?
9. Можно ли 1973 телефона соединить между собой так, чтобы
каждый был соединен с 1971 телефоном?
10. Решить уравнения с параметром а:
а) | x - 5| + |x + 2| = a
b) |x - a| + |x + 7| = 5
11. Докажите, что при любом натуральном n число
55n + 1 + 45n+2 + 35n делится на 11.
12. Пусть а, b - положительные числа и a3 + b3 = a5 + b5 .
Доказать, что a2 + b2 ≤ 1 + ab
13. Доказать, что при любых целых положительных n число
25n + 3 + 5n 3n + 2 делится на 17.
14. Доказать, что 4a  1 + 4b  1 + 4c  1 ≥ 5 при условии, что
a + b + c = 1, 4a + 1 ≥ 0, 4b + 1 ≥ 0, 4c + 1 ≥ 0.
15. Доказать, что если x,y,z -- действительные числа,
удовлетворяющие равенствам x + у + z = 5 и ху +xz + уz = 8 ,
7
7
7
то 1 ≤ x ≤ , 1 ≤ y ≤ , 1 ≤ z ≤ .
3
3
3
1
19. Пусть a + b + c = 1. Доказать, что a2 + b2 + c2 ≥
3
16. Пусть для неотрицательных чисел a, b, c выполняется
условие a2 + b2 + c2 = 1. Доказать, что a + b + c ≤ 3
17. Доказать, что при любых действительных х, у имеет
место неравенство x2 + 2 xy + 3y2 +2x +6y +4 ≥ 1.
18. Доказать, что если a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, то
abc
a 2  b2  c 2
≤
.
3
3
Рациональные и иррациональные числа
1. Упростить а) 19  8 3
б) 14  6 5  6  2 5
в) 2 3  5  13  48
9  x  2 отложены на оси Ох.
2. Все решения неравенства
Какой длины получился отрезок?
3. Решить уравнения а) a  a  a  x  x
(  x )2  x 2
б)
 2012 в)
2x 2
x  3  4 x 1  x  8  6 x 1  1
4. Вычислить а) x  6 x  9  x  6 x  9 ,9  x  18
б)
3
5 2 73 5 2 7
Информатика
Задача 1. Рациональное выражение. Назовем рациональным
R1
выражением отношение
, где каждое из R1 и R2
R2
выражение вида ab + cd Здесь a, b, c, d -- заданные целые
числа. Написать программу, сравнивающую два рациональных
выражения, т.е. отвечающую на вопросы а)равны они или
нет?, в противном случае б)
которое из них больше?
7 * 8  ( 5) * 10
1
Например, выражения
,
равны.
8 2*2
2
Задача 2. Сектор. Из круга радиуса R с центром в начале
координат выделен сектор двумя радиусами, от угла 1 до
2 с положительным направлением оси Оx. Из конца дуги,
определяемой углом 1, проведена прямая, делящая
площадь сектора на две равные части. Определить ее
уравнение. Изобразить на экране ЭВМ.
Задача 3. Гири. Имеются гири с массами 1г. 2г. ...,N г (N 
10000), Написать алгоритм и программу, распределяющую
эти гири на максимально возможное количество пар так,
чтобы суммарный вес гирь в каждой паре выражался
простым числом.
Задача 4. Каждая координата каждой вершины треугольника
задана с погрешностью е. Определить максимальную и
минимальную возможные площади треугольника.
Центр масс
1. Пусть АВСD - выпуклый четырехугольник, K, L, M и N -середины сторон АВ, BС, СD и DА, Докажите, что точка
пересечения отрезков KM и LN является серединой этих
отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего
середины диагоналей.
2. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника AВС взяты точки
C1 , A1 и B1 так, что прямые CC1 , AA1 и BB1 пересекаются
в некоторой точке О. Докажите, что:
а)
CO CA1 CB1


OC1 A1 B B1 A
б)
AO BO CO
AO BO CO





28
OA1 OB1 OC1 OA1 OB1 OC1
Алгоритмы на графах
1. Задан граф (любым способом). Определить, связный он или
нет.
2. Задан произвольный многоугольник (координатами своих
вершин), где зафиксирована одна вершина, скажем, А.
Внутри многоугольника задана точка K. Из вершины А до
К протянули внутри многоугольника
шланг (самой
короткой длины). Определить длину шланга с точностью
до двух знаков после запятой.
Cравнения
1.
Найти остаток от деления
а) 31520 на 15;
б) 1021300 на 3;
в) 5100 + 1310 на 4;
г) 11100 ∙ 222 на 5.
2. Найти остаток от деления 520 ∙ 619 - 910 + 134 на 4.
3. Доказать, что на 3105 + 4105 делится нацело на 181.
4. Найти остаток от деления (96746 + 28)15 на 39.
5. При делении натурального числа n на 3 получается остаток 1, а при
делении n на 37, остаток равен 33. Найдите остаток от деления n на 111.
6. Доказать, что p2 – q2 делится нацело на 24, если p, q –
простые числа, большие 3.
7. Доказать, что если натуральное число делится на 99, то
сумма его цифр в десятичной записи не менее 18.
8. Решить сравнения
а) 5x  3 (mod 12);
в) 9x  6 (mod 3);
д) 256x  179 (mod 337).
б) 6x  7 (mod 3);
г) 7x  9 (mod 17);