Задачи по олимпиаде 8 класс
реклама
Задачи по олимпиаде 8 класс 1. Найти все значения x и y , для которых x y 1 x y . Решение: x y 1 x y, x y 1 x y 0, x ( y 1) ( y 1) 0, ( y 1) ( x 1) 0 Возможны два случая: а) y 1 0 или б) x 1 0 a) y 1 0 , б) x 1 0 y 1 x любое x 1 y любое Ответ: (x, 1); (1,y) 2. Из квадрата бумаги, сторона которого равна 3 единицам длины, нужно вырезать фигуру, представляющую собой развертку полной поверхности куба, длина ребра которого равна 1 единице длины. Как это можно сделать? Решение: 3. Любое число равно числу, в два раза большему его. Пусть a – какое угодно число. Возьмем тождество a2 - a2= a2 - a2. В левой части его вынесем a за скобки, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов. Тогда получим: (a - a)a = (a - a)(a + a). Упростив это тождество, получим: a = 2a. В чем здесь ошибка? Решение: Нельзя делить на a – a = 0. 4. Пусть a и b – катеты прямоугольного треугольника, а с – гипотенуза. Что больше: a3 + b3 или с3? Решение: Так как a, b – катеты прямоугольного треугольника, а c – его гипотенуза, то по теореме Пифагора, c2 = a2 + b2. Умножим обе части этого равенства на c: c3 = (a2 + b2) c или c3 = a2 с + b2 с (1). Так как с > a и с > b, то a2 с > a3 и b2 с > b3. Тогда a2 с + b2 с > a3 + b3. Но по (1) a2 с + b2 с = c3. Значит, a3 + b3 < c3. 5. Выразите в процентах изменение площади прямоугольника, если длина его увеличиться на 30%, а ширина уменьшиться на 30%. Решение: Пусть a – длина прямоугольника, b – его ширина. Тогда S = a b. По условию его ширину уменьшили на 30 %, а длину увеличили на 30%. Получим новый прямоугольник с шириной b1 = b – 0,3b, и длиной a1 = a + 0,3a. Его площадь S1 = (b – 0,3b)(a + 0,3a), S1 = ab(1-0,3)(1+0,3), S1 = 0,91ab. Тогда S ab , S1 0,91ab 6. S 100 S 91 0,91S. , S1 100 S1 91 Значит, площадь исходного прямоугольника уменьшилась на 9 %. Расшифруйте запись РЕШИ + ЕСЛИ СИЛЕН при условии, что «наибольшая» цифра в записи числа «силен» равна 5. Решение: 9382 + 3152 = 12 534.
