Литература - Орловский Государственный Университет

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ
по математическому анализу
по направлению подготовки 010100.68 «Математика
(программа: Уравнения в частных производных)
Квалификация (степень): магистр
Пояснительная записка
Математик должен быть подготовлен к выполнению деятельности в областях, использующих математические методы и компьютерные технологии; созданию и использованию математических моделей процессов и объектов; разработке
эффективных математических методов решения задач естествознания, техники,
экономики и управления; программно-управленческому обеспечению научноисследовательской,
проектно-конструкторской
и
эксплуатационно-
управленческой деятельности.
Объектами профессиональной деятельности математика являются научноисследовательские центры, органы управления, образовательные учреждения,
промышленное производство.
Цели и задачи вступительного испытания
Вступительные испытания предназначены для определения практической и
теоретической подготовленности поступающего в магистратуру бакалавра, либо
специалиста, и проводятся с целью определения соответствия знаний, умений и
навыков требованиям обучения в магистратуре по направлению подготовки.
Цель вступительных испытаний – определить готовность и возможность
лица, поступающего в магистратуру, освоить выбранную магистерскую программу.
Основные задачи вступительных испытаний:
·
проверить уровень знаний претендента;
·
определить склонности к научно-исследовательской деятельности;
·
выяснить мотивы поступления в магистратуру;
·
определить уровень научных интересов;
·
определить уровень научно-технической эрудиции претендента.
Требования к профессиональной подготовленности
Поступающий в магистратуру должен уметь решать задачи, соответствую-
щие его квалификации и отвечать следующим требованиям:
-знаком с основными учениями в области гуманитарных и социально2
экономических наук, способен научно анализировать социально-значимые проблемы и процессы, умеет использовать на практике методы этих наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности;
-знает этические и правовые нормы, регулирующие отношение человека к человеку, обществу, окружающей среде, умеет учитывать их при разработке экологических и социальных проектов;
- имеет целостное представление о процессах и явлениях, происходящих в неживой и живой природе, понимает возможности современных научных методов
познания природы и владеет ими на уровне, необходимом для решения задач,
имеющих естественнонаучное содержание и возникающих при выполнении профессиональных функций;
-способен продолжить обучение в аспирантуре, вести профессиональную деятельность в иноязычной среде;
-имеет научное представление о здоровом образе жизни, владеет умениями и
навыками физического самосовершенствования;
-владеет культурой мышления, знает его общие законы, способен в письменной и устной речи правильно (логически) оформить его результаты;
- умеет на научной основе организовать свой труд, владеет компьютерными
методами сбора, хранения и обработки (редактирования) информации, применяемой в сфере его профессиональной деятельности;
-способен в условиях развития науки и изменяющейся социальной практики к
переоценке накопленного опыта, анализу своих возможностей, умеет приобретать
новые знания, использовать различные формы обучения, включая самостоятельные, и информационно-образовательные технологии;
-понимает сущность и социальную значимость своей будущей профессии, основные проблемы дисциплин, определяющих конкретную область его деятельности, видит их взаимосвязь в целостной системе знаний;
-способен к проектной деятельности в профессиональной сфере на основе системного подхода, умеет строить и использовать модели для описания и прогнозирования различных явлений, осуществлять их качественный и количественный
3
анализ;
-способен поставить цель и сформулировать задачи, связанные с реализацией
профессиональных функций, умеет использовать для их решения методы изученных им наук;
- готов к кооперации с коллегами и работе в коллективе, знаком с методами
управления, умеет организовать работу исполнителей, находить и принимать
управленческие решения в условиях различных мнений, знает основы педагогической деятельности;
- методически и психологически готов к изменению вида и характера своей
профессиональной деятельности, работе над междисциплинарными проектами;
-способен к совершенствованию своей профессиональной деятельности в области математики.
Требования к вступительному экзамену по математическому анализу.
Порядок проведения и программа вступительного экзамена по специальности 010103 «Уравнения в частных производных» направления 010100 «Математика» определяются вузом на основании методических рекомендаций и соответствующей примерной программы, разработанных НМС по математике и механике
УМО университетов, Положения об вступительных экзаменах высших учебных
заведений, утвержденном Минобразованием России, и Федеральным государственного образовательного стандарта по специальности 010100.68 «Математика».
Экзамен по математическому анализу проводится в письменной форме.
Учебные дисциплины, вошедшие в перечень вопросов
вступительного экзамена
Вступительный экзамен по математическому анализу носит междисциплинарный характер и позволяет выявить теоретическую и практическую подготовку
к решению профессиональных задач.
Экзамен по математическому анализу предполагает наличие в экзаменационных билетах вопросов по курсам математического анализа, функционального анализа.
4
В магистратуру направления подготовки 010100.68 Математика по программе 010103 «Уравнения частных производных» поступают лица, которые имеют
высшее образование (специалисты, бакалавры).
Критерии оценок вступительного испытания
по математическому анализу
При оценке знаний на вступительном экзамене учитывается:
- правильность и осознанность ответа на вопросы, полнота раскрытия понятий и
закономерностей, точность употребления и трактовки общенаучных и специальных терминов;
- степень сформированности интеллектуальных и научных способностей экзаменуемого;
- самостоятельность ответа;
- речевая грамотность и логическая последовательность ответа.
Задание вступительного испытания по математике состоит из двух вопросов, максимальное количество баллов за ответ на которые составляет:
на теоретический вопрос – 50 баллов,
на практический вопрос – 50 баллов.
85-100 баллов выставляется, если:
- полно раскрыто содержание вопросов в объеме программы и рекомендованной
литературы;
- четко и правильно даны определения и раскрыто содержание концептуальных
понятий, закономерностей, корректно использованы научные термины;
- для доказательства использованы различные теоретические знания и выводы;
- ответ, исчерпывающий, с опорой на знания, приобретенные в процессе специализации по выбранному направлению подготовки.
70-84 баллов выставляется, если:
- раскрыто основное содержание вопросов;
- в основном правильно даны определения понятий и использованы научные
термины;
5
- определения понятий неполные, допущены нарушения последовательности изложения, небольшие неточности при использовании научных терминов или в выводах и обобщениях.
50-69 балло) выставляется, если:
- усвоено основное содержание учебного материала, но изложено фрагментарно,
не всегда последовательно;
- определение понятий недостаточно четкое;
- допущены ошибки при изложении доказательств;
- допущены ошибки и неточности в использовании научной терминологии,
определении понятий.
менее 50 баллов выставляется, если:
- ответ неверный, не раскрыто основное содержание программного материала;
- не даны ответы на вспомогательные вопросы экзаменаторов;
- допущены грубые ошибки в определении понятий, при использовании терминологии.
Содержательная часть программы
Разделы
1. Введение в анализ.
2. Дифференциальное исчисление для функции одного действительного переменного.
3. Интегральное исчисление для функции одного действительного переменного.
4. Ряды.
5. Дифференциальное исчисление функций многих действительных переменных.
6. Интегральное исчисление функции многих действительных переменных с
элементами теории поля.
7. Интегралы, зависящие от параметра.
8. Ряды Фурье.
Содержание
1. Действительные числа. Алгебраические свойства множества действительных чисел; аксиома полноты множества. Действия над действительными
6
числами. Принцип Архимеда. Изображение действительных чисел на прямой.
Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные множества: существование точной верхней (нижней) грани числового множества. Промежутки.
Отображения и функции. Отображения и их общие свойства. Действительная функция действительной переменной. Область определения и множество
значений. График функции. Способы задания. Арифметические действия над
функциями. Композиция функций. Сужение функции. Числовые последовательности. Подпоследовательности. Монотонность, ограниченность, четность и нечетность, периодичность. Обратная функция.
Предел. Предел числовой последовательности. Основные свойства и
признаки существования предела. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Предельные точки множества и теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности. Предел монотонной последовательности. Число e . Принцип вложенных отрезков. Представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями. Критерий
Коши существования предела числовой последовательности. Верхний и нижний
пределы числовой последовательности.
Предел функции в точке. Свойства пределов. Бесконечно малые и
бесконечно большие функции. Предел отношения синуса бесконечно малого аргумента к аргументу. Односторонние пределы. Критерий Коши существования
предела функции в точке.
Общая теория предела: предел функции по базису фильтра (по базе); основные свойства предела; критерий Коши существования предела; сравнение поведения функций на базе; символы « o », « O » .
Непрерывность. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства
непрерывных функций. Непрерывность функции от функции. Точки разрыва.
Ограниченность функции, непрерывной на отрезке. Существование наибольшего
и наименьшего значений. Прохождение через все промежуточные значения. Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке. Существование и непрерывность обратной функции. Определение и непрерывность элементарных
7
функций. Итерационные последовательности. Итерационный метод решения
функционального уравнения. Принцип неподвижной точки для сжимающего
отображения отрезка.
2. Дифференцируемые функции. Производная и дифференциал. Дифференцируемость функции в точке. Производная и дифференциал функции в точке, их
геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования. Производные и дифференциалы высших порядков; формула Лейбница.
Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения. Теоремы Ферма, Дарбу, Ролля, Лагранжа и Коши. Раскрытие неопределенностей. Локальная формула Тейлора. Асимптотические разложения элементарных функций.
Формула Тейлора с остаточным членом. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций: признаки постоянства, монотонности; экстремумы; выпуклость; точки перегиба. Геометрические приложения.
3.
Неопределенный интеграл. Первообразная функция и неопределенный
интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций.
Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл Римана. Критерии интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции и ограниченной функции с
конечным числом точек разрыва. Свойства определенного интеграла, теорема о
среднем значении. Дифференцирование по переменному верхнему пределу. Существование первообразной от непрерывной функции. Связь определенного интеграла с неопределенным: формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной. Интегрирование по частям. Длина дуги и другие геометрические, механические и физические приложения. Функции ограниченной вариации. Теорема о представлении функции ограниченной вариации и основные свойства. Интеграл Стилтьеса:
признаки существования, вычисление.
8
Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости.
4.
Числовые ряды. Сходимость и сумма числового ряда. Критерий Коши.
Знакопостоянные ряды: сравнение рядов, признаки сходимости Даламбера, Коши;
интегральный признак сходимости. Признак Лейбница. Абсолютная и условная
сходимость. Преобразование Абеля и его применение к рядам. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана. Операции над рядами. Двойные ряды. Понятие о бесконечных произведениях.
Функциональные последовательности и ряды. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости. Равномерная сходимость.
Признаки равномерной сходимости. Теорема о предельном переходе. Теоремы о
непрерывности, почленном интегрировании и дифференцировании.
Степенные ряды. Понятие степенного ряда. Интервал и радиус сходимости.
Формула Коши-Адамара. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
Ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Оценка с помощью формулы Тейлора погрешности при замене функции многочленом. Ряды с
комплексными членами. Формулы Эйлера. Применение рядов к приближенным
вычислениям. Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций
многочленами.
5.
Евклидово пространство n измерений. Обзор основных метрических и
топологических характеристик точечных множеств евклидова пространства.
Функции многих переменных. Действительная функция n действительных
переменных. Предел. Непрерывность. Свойства непрерывных функций.
Дифференцируемые действительные функции n действительных переменных. Частные производные и производные по направлению. Градиент. Дифференцируемость и дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Дифференцирование сложных
функций. Частные производные высших порядков. Свойства смешанных произ-
9
водных. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких независимых переменных. Экстремум.
Дифференцируемые отображения. Теоремы о неявных функциях. Замена
переменных. Зависимость функций. Условный экстремум.
6.
Двойной интеграл и интегралы высшей кратности. Двойной интеграл,
его геометрическая интерпретация и основные свойства. Приведение двойного
интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Понятие об
аддитивных функциях области. Площадь поверхности. Механические и физические приложения двойных интегралов. Интегралы высшей кратности: их определение, вычисление и простейшие свойства. Несобственные кратные интегралы.
Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности. Криволинейные
интегралы. Формула Грина. Интегралы по поверхности. Формула Остроградского. Элементарная формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути.
Элементы теории поля. Скалярное поле. Векторное поле. Поток. Расходимость. Циркуляция. Вихрь. Векторная интерпретация формул Остроградского и
Стокса. Потенциальное поле. Векторные линии и векторные трубки. Соленоидальное поле. Оператор «набла».
7.
Собственные интегралы, зависящие от параметра: непрерывность,
дифференцирование и интегрирование по параметру. Несобственные интегралы,
зависящие от параметра: равномерная сходимость, непрерывность, дифференцирование и интегрирование по параметру. Применение к вычислению некоторых
интегралов. Функции, определяемые с помощью интегралов, бета- и гаммафункции Эйлера.
8.
Ортогональные системы функций. Тригонометрическая система. Ряд
Фурье. Равномерная сходимость рядя Фурье. Признаки сходимости ряда Фурье в
точке. Принцип локализации. Минимальное свойство частных сумм ряда Фурье в
точке. Неравенство Бесселя. Достаточное условие разложимости функций в тригонометрический ряд Фурье. Сходимость в среднем. Равенство Парсеваля. Равно-
10
мерная аппроксимация непрерывной функции алгебраическими многочленами.
Теорема Вейерштрасса. Интеграл Фурье и преобразование Фурье.
Вопросы вступительного испытания.
1.
Предел и непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свой-
ства функций, непрерывных на отрезке.
2.
Производная и дифференциал функций одной и нескольких переменных.
Достаточные условия дифференцируемости.
3.
Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального
исчисления.
4.
Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости:
Даламбера, интегральный, Лейбница.
5.
Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
6.
Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.
7.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение
элементарных функций.
8.
Криволинейный интеграл, формула Грина.
9.
Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
Аналитическая функция.
10.
Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходи-
мости.
11.
Ряд Лорана. Классификация изолированных особых точек.
12.
Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равен-
ство Парсеваля, сходимость ряда Фурье.
13. Принцип сжимающих отображений в полных метрических пространствах.
Примеры применения.
14. Гильбертовы пространства. Теорема Леви об ортогональной проекции. Теорема Рисса о представлении линейного функционала.
15. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Вполне непрерывные
операторы. Компактные операторы.
11
Задачи для поступающих в магистратуру – 2013.
1. Найти
если
.
2. Построить график функции
.
3. Построить график функции
4. Найти
.
если
5. Доказать, что
6. Доказать, что если
то
7. Найти
8. Разложить функцию
по формуле Тейлора в окрестности точки
.
9. Найти асимптоту при
и
графика функции
10. Найти дифференциал функции
.
11. Доказать, пользуясь определением определенного интеграла, что
12
до
12. Вычислить
13. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
и прямой
.
14. Показать, что интеграл
сходится, и вычислить этот интеграл.
15. Исследовать на сходимость интеграл
16. Исследовать на сходимость ряд
, где
17. Доказать, что последовательность
на множестве
равномерно сходится
и найти её предельную функцию
18. Вычислить повторный интеграл
19. Изменить порядок интегрирования в интеграле
13
.
20. На отрезке
найти тригонометрический ряд Фурье функции
Литература
1. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.М.: Наука, 2007.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа.- М.: Физматлит, 2008.
3. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.- М.:
Высшая школа, 2010.
4. Батуров Д.П. Мощность множества. Метрические пространства.- Орел: ОГУ,
2011.
5. Батуров Д.П. Нормированные пространства.- Орел: ОГУ, 2009.
6. Треногин В.А. Функциональный анализ.- М.: Физматлит, 2008.
7. Треногин В.А Задачи и упражнения по функциональному анализу.- М.: Физматлит, 2010.
8. Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения.- Мн.: Издательство БГУ, 2008.
9. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ, т.1,т.2 –
М.: Наука, 2007, МГУ,2007.
14
Образец экзаменационного билета
ФГБОУ ВПО «ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Вступительные испытания - 2013
по направлению 010100.68 - Математика
дисциплина – Математический анализ
БИЛЕТ
1. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье.
2. Найти
если
ФГБОУ ВПО «ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Вступительные испытания - 2013
по направлению 010100.68 - Математика
дисциплина – Математический анализ
БИЛЕТ
1. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
Аналитическая функция.
2. Изменить порядок интегрирования в интеграле
15