Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»
Естественно-научный институт
УТВЕРЖДАЮ:
Заведующий кафедрой
профессор Смагин С.И.
__________________
___»_______2010 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
дисциплины
«Математический анализ»
для специальности: 01050165 Математик, системный программист
направления подготовки: 010500 Прикладная математика и информатика
квалификации: 01050062 Бакалавр прикладной математики и информатики
Составитель: доцент Прудников Виталий Яковлевич
Обсуждена на заседании кафедры «Прикладная математика»
«__» ____________ 20____ г., протокол № ___
Одобрена на заседании методической комиссии «Естественно-научного
института»
«___» ____________ 20____ г., протокол № ___
Одобрена на заседании методической комиссии «Естественно-научного
института»
«___» ____________ 20____ г., протокол № ____
2010 г.
1
Рабочая программа
по дисциплине
"Математический анализ"
направление 010500 Прикладная математика и информатика
квалификация 01050165 «Математик, системный программист»,
квалификация 01050162 «Бакалавр прикладной математики и информатики»
1 Цели и задачи дисциплины
Основная цель курса – фундаментальная подготовка по
математическому анализу
как составной части физико–
математической подготовки студентов.
Главными задачами курса являются:
1) освоение базовых математических моделей и методов
как общематематического так и прикладного характера;
2) развитие
логического
мышления
студентов
и
способностей к самостоятельному осмыслению и построения
математических моделей инженерных задач;
3) подготовка
к
овладению
вычислительным
экспериментом как современной научной методологией
решения прикладных задач.
Курс «Математический анализ»
является одним из
центральных общенаучных курсов всего процесса обучения по
специальности «Прикладная математика и информатика»
2 Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид занятий
всего
Лекции
Практические
занятия
Лабораторные
работы
Самостоятельная
работа
Курсовая работа
РГР
Итого часов
экзамен
198
216
Количество часов
Распределение по семестрам
1
2
3
4
72
54
36
36
54
54
54
54
-
-
-
-
-
414
114
106
97
97
+
828
+
+
240
+
+
214
+
+
187
+
+
187
+
2
3. Модульное содержание учебного материала
многосеместровой дисциплины «Математический анализ»
Математический анализ
Пространства Лебега
Интеграл Лебега
Измеримые функции
Общая теория множеств
Операционное исчисление
Теория вычетов
Преобразования Лапласа и Фурье
4 семестр
Теория функций комплексной переменной
Теория пол
Поверхностные интегралы
Криволинейные интегралы
Кратные интегралы
Экстремум функций и нескольких переменных
Произведение и дифференциал функций и нескольких переменных
3 семестр
Функции нескольких переменных
Степенные ряды
Ряды -Фурье
Множества в n – мерном пространстве
Функциональные ряды
2 семестр
Предмет математического анализа, множества и действия над ними
Числовые приделы
Пределы функции. Непрерывная
Производная и дифференциал
Исследования дифференцируемой функции
Неопределенный интеграл
Определенный интеграл
Приложения определенного интеграла
Интегралы, зависящие от параметра
Несобственные интегралы
Числовые ряды
1 семестр
4. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
Студент должен знать основные понятия математического анализа:
 понятия точной верхней и нижней граней множеств;
 определение предела, верхнего и нижнего пределов;
 основные свойства пределов, критерии существования пределов;
 1-й и 2-й замечательные пределы и следствия из них;
 основные свойства функций на компактах;
 определение производной;
 дифференцируемость функций, дифференциал;
 достаточное условие дифференцируемости функции;
 уравнения касательной и нормали к графику функции;
 формулу Тейлора, теорему Лагранжа;
 условия монотонности и экстремума функции;
 выпуклость функции;
 понятия гладкой кривой, поверхности;
3
 основные множества в n-мерном вещественном пространстве;
 равномерная непрерывность функции;
 теорема Кантора;
 производная по направлению, градиент;
 определение неопределенного и определенного интегралов;
 криволинейные, поверхностные и кратные интегралы;
 измеримость множеств;
 геометрические и физические приложения интегралов;
 несобственные интегралы;
 свойства интегралов с параметром;
 понятие ряда;
 признаки Даламбера, Коши, признак Лейбница;
 равномерная сходимость функциональных рядов;
 радиус и интервал сходимости степенных рядов;
 разложение основных элементарных функций в степенной ряд;
 приложения степенных рядов;
 тригонометрический ряд Фурье;
 элементы теории поля;
 понятие аналитической функции комплексной переменной;
 условия Коши-Римана;
 интегральная формула Коши;
 вычеты и их приложение;
 элементы операционного исчисления;
 определение интеграла Лебега; сравнение с интегралом Римана;
 Теорему Лебега, лемму Фату; теорему Фубини, понятие о пространствах
Лебега.
Проверка качества усвоения материала осуществляется:
 устно на практических занятиях по материалам прочитанных лекций (на каждом
практическом занятии);
 по письменным контрольным работам по пройденным темам (решения задач);
 по самостоятельным работам студентов.
5. Тематическое содержание дисциплины.
5. 1. Содержание лекционного курса (1 семестр).
Неделя
Содержание лекции
1
Вещественные числа и множества.
Вещественные числа. Упорядочение. Непрерывность
вещественной оси. Арифметические действия с
вещественными
числами.
Основные
свойства
вещественных чисел.
Числовые множества. Верхняя и нижняя грани
множества. Существование и единственность точных
верхней и нижней граней ограниченного множества.
Пределы.
Пределы.
Предел
последовательности.
Единственность предела. Существование предела
монотонной
ограниченной
последовательности.
2
Кол-во
Литература
часов
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
4
3
4
5
6
7
8
9
10
Свойства пределов, связанные с арифметическими
действиями над последовательностями.
Частичный
предел.
Теорема
БольцаноВейерштрасса.
Верхний
и
нижний
пределы
последовательности. Критерий Коши.
Пределы функций. Непрерывность.
Понятие функции, способы ее задания. Неявные
функции. Элементарные функции. Много члены.
Рациональные функции. Определение предела (по
Гейне). Различные виды пределов (конечные и
бесконечные) при двустороннем, одностороннем и
бесконечном предельных переходах аргумента.
Свойства
пределов
функций,
связанные
с
арифметическими действиями над функциями.
Замечательные пределы, бесконечно малые и
бесконечно большие функции. Сравнения порядков
бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Эквивалентные функции. Вычисление пределов с
помощью эквивалентных функций.
Непрерывность функции в точке. Разрыва первого и
второго рода. Непрерывность слева и справа.
Непрерывность суммы, разности, произведения и
частного непрерывных функций. Непрерывность
суперпозиции непрерывных функций. Непрерывность
элементарных функций.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
ограниченность, достижимость верхней и нижней
граней. Равномерная непрерывность. Теорема о
промежуточных
значениях.
Существование
и
непрерывность
функции,
обратной
данной
монотонной непрерывной функции.
Производная и дифференциал.
Производная функции в точке. Геометрический и
физический смысл производной. Непрерывность
функции,
имеющей
производную.
Правила
вычисления
производной,
связанные
с
арифметическими действиями над функциями.
Уравнение касательной и нормали к кривой.
Производная
сложной
функции.
Производная
обратной функции. Производные элементарных
функций.
Производная
функций,
заданных
параметрически. Дифференциал и его свойства.
Производная и дифференциал сложной функции.
Геометрический смысл дифференциала.
Производные и дифференциалы высших порядков,
их свойства. Формула Лейбница. Производные
высших порядков от сложных функций, от обратной
функции и от функций, заданных параметрически.
Исследование
дифференцируемых
функций.
Применения.
Теоремы
о
средних
значениях
(для
дифференцируемых функций). Теоремы Ферма,
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
5
11
12
13
14
15
16
17
18
Ролля, Лагранжа, Коши.
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
(случай 0/0, ∞/∞).
Формула Тейлора для многочленов. Вывод формулы
Тейлора для n+1 раз дифференцируемой функции.
Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано.
Многочлен Тейлора n-го порядка как многочлен n-ой
степени,
наилучшим
образом
приближающий
функцию в бесконечно малой окрестности данной
точки.
Формула
Тейлора
для
функций:
x
e , sin x, cos x, ln(1  x ) Раскрытие неопределенностей
с помощью формулы Тейлора. Метод выделения
главной части.
Исследование
поведения
функций.
Критерий
монотонности функций. Необходимое условие
экстремума. Достаточное условие экстремума.
Выпуклость вверх (вниз) графика функций, точки
перегиба и их критерий. Асимптоты. Построение
графиков функций.
Определенный и неопределенный интегралы.
Понятие
первообразной
функции.
Свойства
первообразной. Неопределенный интеграл и его
свойства. Табличные интегралы. Интегрирование
элементарных
рациональных
функций.
Интегрирование
некоторых
трансцендентных
функций.
Определенный
интеграл.
Основные
свойства.
Теоремы об интегрируемости. Теорема о среднем.
Определенный интеграл с переменным верхним
пределом.
Теорема
о
дифференцировании
интеграла по верхнему пределу.
Формула
Ньютона-Лейбница.
Вычисление
определенного и неопределенного интегралов
посредством замены переменных и посредством
интегрирования по частям.
Применение определенного интеграла.
Понятие о площади плоской фигуры. Вычисление
площади плоских фигур в декартовых, полярных
координатах. Вычисление объемов тел. Определение
и вычисление длины кривой. Дифференциал длины
дуги кривой. Механические и физические приложения
определенного интеграла.
Интеграл Римана-Стилтьеса.
Интеграл Римана-Стилтьеса и его свойства. Теоремы
о среднем. Вычисление интеграла Римана-Стилтьеса
в случае дифференцируемой и ступенчатой меры.
Интегралы, зависящие от параметра.
Собственные и несобственные интегралы, зависящие
от
параметра.
Равномерная
сходимость.
Непрерывность,
дифференцирование
и
интегрирование по параметру.
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
4
1-7, 11, 12
6
5. 2. Содержание лекционного курса (2 семестр).
Неделя
Содержание лекции
1
Несобственные интегралы.
Несобственные
интегралы
с
бесконечными
приделами. Теорема сравнения Абсолютная и
условная
сходимость.
Признак
абсолютной
сходимости. Признак Дирихле и Абеля.
Несобственные интегралы от неограниченных
функций. Теорема сравнения. Абсолютная и
условная сходимость.
Числовые ряды. Понятие числового ряда.
Сходимость ряда, сумма ряда. Критерий Коши
сходимости числовых рядов. Необходимое условие
сходимости ряда. Признаки сравнения рядов с
положительными членами. Признаки Коши и
Даламбера. Интегральный признак сходимости
ряда. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница
сходимости знакочередующихся рядов.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Поведение
“положительной” и “отрицательной” частей ряда в
случае абсолютной и условной сходимости.
Арифметические свойства сходящихся рядов.
Возможность перестановки членов абсолютно
сходящихся рядов.
Функциональные ряды. Последовательности и
ряды функций, область сходимости. Равномерная
сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной
сходимости
функциональных
рядов.
Непрерывность суммы функционального ряда.
Почленное интегрирование и дифференцирование
функциональных рядов.
Степенные ряды. Лемма Абеля. Радиус сходимости
и область сходимости степенного ряда. Свойства
суммы степенного ряда. Ряд Тейлора. Основные
разложения.
Ряды Фурье. Постановка задачи. Ортогональность
системы косинусов и синусов. Формулы ЭйлераФурье. Убывание коэффициентов Фурье и
дифференцируемость
функции.
Достаточное
условие равномерной сходимости ряда Фурье.
Теорема Дирихле. Сходимость рядов Фурье в
среднем. Разложение функций, суммируемых с
квадратом, в ряд Фурье, сходящийся в среднем
(формулировка).
Множества в n-мерном пространстве. Множества
на плоскости и в пространстве. Расстояние между
точками n-мерного евклидова пространства и его
свойства.
Окрестность
точки.
Предел
последовательности точек. Связь сходимости
последовательности
точек
со
сходимостью
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Кол-во Литератур
часов
а
4
1-7, 11, 12
2
1-7,11,12
4
1-7,11,12
2
1-7,11,12
4
1-7,11,12
2
1-7,11,12
4
1-7,11,12
2
1-7,11,12
4
1-7,11,12
7
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
координат.
Теорема
Больцано-Вейерштрасса.
Предельная
точка
множества.
Замкнутые
множества. Открытые множества. Область и ее
граница.
Функции нескольких переменных. Предел
функции нескольких переменных. Непрерывность в
точке и области. Непрерывность суперпозиции
непрерывных функций.
Ограниченность и достижимость верхней и нижней
граней непрерывных функций, определенных на
компактах. Теорема о промежуточном значении
функции, определенной в связной области.
Равномерная непрерывность, теорема Кантора.
Производные и дифференциалы. Частные
производные функции нескольких переменных.
Связь
между
существованием
частных
производных и дифференцируемостью функции.
Полный дифференциал. Геометрический смысл
полного дифференциала.
Частные
производные
высших
порядков.
Независимость частных производных от порядка
дифференцирования. Дифференциалы высших
порядков.
Неявные функции. Теорема о существовании,
единственности,
непрерывности
и
дифференцируемости неявной функции.
Экстремумы. Формула Тейлора и ее применение.
Экстремумы функций нескольких переменных.
Необходимое условие экстремума. Стационарные
точки.
Достаточные условия экстремума. Условный
экстремум. Необходимые условия экстремума
функции при наличии уравнений связи (метод
множителей Лагранжа).
Достаточные условия экстремума функции, при
наличии
уравнений
связи.
Наибольшее
и
наименьшее значение функции.
Производная по направлению. Градиент. Линии и
поверхности уровня. Выпуклые функции.
2
1-7,11,12
4
1-7,11,12
2
1-7,11,12
4
1-7,11,12
2
1-7,11,12
4
1-7,11,12
2
1-7,11,12
4
1-7,11,12
2
1-7,11,12
5. 3. Содержание лекционного курса (3 семестр).
1.
2.
3.
Мера Жордана. Измерение множества, критерий
измеримости.
Двойные и тройные интегралы. Определение
двойного интеграла по ограниченной области с
гладкой или кусочно-гладкой границей. Верхние и
нижние суммы. Критерий интегрируемости Дарбу.
Интегрируемость кусочно-непрерывной функции по
ограниченной области.
Основные свойства двойных интегралов. Теорема
о среднем. Вычисление двойного интеграла
2
1-7,11,12
2
1-7,11,12
2
1-7,11,12
8
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
повторным
интегрированием
(в
декартовых
координатах).
Замена переменных в двойном интеграле. Двойной
интеграл в полярных координатах.
Интеграл от функций трех переменных (тройной
интеграл), его простейшие свойства. Вычисление
тройного интеграла повторным интегрированием (в
декартовых координатах). Замена переменных в
тройном
интеграле.
Тройной
интеграл
в
сферических и цилиндрических координатах.
Криволинейные
интегралы.
Криволинейные
интегралы первого рода, их свойства.
Вычисление на кривой. Направление касательной,
согласованное с направлением на кривой.
Криволинейный
интеграл
второго
рода.
Приложения криволинейных интегралов.
Поверхностные
интегралы.
Определение
площади поверхности, ее выражение при помощи
двойного интеграла. Поверхностный интеграл
первого рода (определение, простейшие свойства).
Вычисление поверхностного интеграла первого
рода.
Ориентируемые и неориентируемые поверхности.
Поверхностные
интегралы
второго
рода.
Вычисление поверхностных интегралов второго
рода. Приложения.
Формула Грина. Теорема Стокса. Теорема
Остроградского-Гаусса.
Теория
поля.
Скалярное
поле.
Градиент
скалярного поля. Понятие векторного поля.
Непрерывность векторной функции, частные
производные. Работа векторного поля вдоль
кривой.
Поток
векторного
поля
сквозь
ориентированную поверхность.
Дивергенция векторного поля. Векторная форма
теоремы
Остроградского-Гаусса.
Основные
свойства дивергенции. Вихрь (ротор) векторного
поля. Векторная форма теоремы Стокса. Основное
свойство
ротора.
Инвариантность
основных
определений теории векторного поля. Оператор
“набла”. Выражение операций теории поля с
помощью оператора “набла”. Дифференцирование
операции второго порядка.
Потенциальные
векторные
поля,
потенциал
векторного
поля.
Условия
потенциальности
векторного поля в пространственно-односвязной
области.
Вычисление
потенциала.
Работа
потенциального поля как приращение потенциала.
Полный дифференциал. Условия независимости
криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Соленоидальное
поле.
Критерий
соленоидальности. Понятие гармонического поля и
2
1-7,11,12
2
1-7,11,12
2
1-7,8,11,12
2
1-7,8,11,12
2
1-7,8,11,12
2
1-7,8,11,12
2
1-7,8,11,12
2
1-7,8,11,12
2
1-7,8,11,12
2
1-7,8,11,12
2
1-7,11,12
9
15.
16.
17.
18.
гармонической
функции.
Дифференциальные
формы в трехмерном пространстве, формализм
дифференциальных форм.
Комплексные числа и действия над ними. Функция
комплексного переменного. Основные
элементарные функции.
Производная и дифференциал. Условия КошиРимана. Аналитичные функции. Связь между
аналитическими
гармоническими
функциями.
Геометрический смысл производной функции
комплексного переменного, понятие комфорного
отображения.
Интеграл от функции комплексного переменного.
Теорема Коши неопределенный интеграл. Формула
Ньютона-Лейбница.
Интегральная формула Коши и ее следствия.
Интеграл типа Коши.
Числовые ряды. Функциональные ряды. Степенные
ряды. Разложение функции на степенные ряды.
Ряд Тейлора.
Свойство
единственности
и
аналитическое продолжение.
Ряд Лорана. Классификация изолированных
особых точек. Вычет функции в особой точке,
поведение функции в окрестности бесконечно
удаленной точки.
Применение вычетов.
Преобразование Лапласа и его связь с
преобразованием Фурье.
Основные теоремы об оригиналах и изображениях.
Приложения операционного исчисления.
2
9,10
2
9,10
2
9,10
2
9,10
5. 4. Содержание лекционного курса (4 семестр)
1.
2.
3.
4
5
6
7
8
9
10
11
Множества в пространстве Rn. Гладкие поверхности.
Множества нулевой меры.
Измеримые функции.
Интеграл Лебега от неотрицательной функции
Аппроксимация последовательности непрерывных
функций последовательностью ступенчатых функций
Интеграл Лебега от неотрицательной функции.
Теорема
о
сходимости
убывающей
последовательности
непрерывных
функций
с
ограниченной последовательностью интегралов.
Функции интегрируемые по Лебегу.
Сравнение интегралов Римана и Лебега. Критерий
существования интеграла Римана.
Достаточные условия интегрируемости по Лебегу.
Теорема Леви. Лемма Фату.
Теорема Лебега о придельном переходе под знаком
интеграла.
Замена переменных под знаком интеграла.
2
2
2
12,14
14
13,14
2
13,14
2
13,14
2
13,14
2
13,14
13,14
2
2
2
2
13,14
13,14
13,14
10
12
13
14
15
16
17
18
Изменения множества. Интегралы по измененным
множествам. Абсолютная непрерывность интегралов.
Связь между кратными и повторными интегралами:
теорема Рубина
Интегралы типа потенциала. Интеграл Лебега от
комплекснозначных функций
Интеграл Лебега на (n-1)-мерной поверхности.
Пространства Lр. Неравенство Гельдера
Пространство
L2:
скальное
произведение,
ортогональность
Ряд Фурье.
Неравенство
Бесселя, равенство
Парсеваля.
2
2
13,14
13,14
2
13,14
2
2
2
13,14
13,14
13,14
2
13,14
5.5. Содержание практического курса (1 семестр)
неделя
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Содержание практических занятий
Вводное занятие; символика; множества. Понятие
sup x, inf x.
Последовательности. Предел. ВИДЗ1.
Бесконечно
большие
и
бесконечно
малые
последовательности.
Монотонные
последовательности.
Критерий Коши.
Функция. Предел функции. Замечательные пределы.
Бесконечно большие и бесконечно малые функции в
точке. Эквивалентность бесконечно малых.
Непрерывность функции в точке. Непрерывность на
отрезке.
Контрольная работа “Предел и непрерывность”.
СИДЗ 1.
Дифференцирование. ВИДЗ2.
Производные высших порядков.
Дифференциал; приложения.
Формула Тейлора.
Исследование функции.
Контрольная работа “Производные”. СИДЗ2.
Интегрирование. Сведение и замена. ВИДЗ3.
Интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование иррациональных функций.
Определенный интеграл.
Приложения интегралов.
Интегралы, зависящие от параметра.
Контрольная работа “Интегралы”. СИДЗ3.
Заключительное занятие.
Кол-во
часов
Литература
2
1-7
4
1-7
2
1-7
4
1-7
2
1-7
4
1-7
2
1-7
4
1-7
2
4
2
4
2
4
2
4
2
1-7
1-7
1-7
1-7
1-7
1-7
1-7
1-7
1-7
2
1-7
11
5.6. Содержание практического курса (2 семестр)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Несобственные интегралы.
Числовые ряды. Критерий Коши. Необходимое
условие сходимости ряда. ВИДЗ1.
Знакоположительные ряды. Признаки сходимости.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная
сходимость. Произведения рядов.
Функциональные ряды.
Степенные ряды. Разложение функций в степенные
ряды.
Ряды Фурье. СИДЗ1.
Ряды Фурье.
ФНП: ОДЗ, предел, непрерывность. ВИДЗ2.
Частные производные, полный дифференциал,
неявные функции.
Частные производные высших порядков. Формула
Тейлора.
Экстремум ФНП.
Наибольшее и наименьшее значение функции на
множестве
Условный экстремум.
Производная по направлению. Градиент.
Выпуклые функции.
Контрольная работа “Ряды, ФНП”. СИДЗ2.
Заключительное занятие.
4
1-7
2
1-7
4
1-7
4
1-7
2
1-7
4
1-7
2
4
2
1-7
1-7
1-7
4
1-7
2
1-7
4
2
1-7
1-7
4
2
4
1-7
1-7
1-7
2
1-7
4
2
2
4
2
4
2
1-7
1-7
1-7
1-7
1-7
1-7,8
1-7,8
4
1-7,8
2
1-7,8
4
2
4
2
1-7,8
1-7,8
1-7,8
9,10
4
9,10
2
9,10
4
9,10
2
4
9,10
9,10
5.7. Содержание практического курса (3 семестр)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Двойной интеграл. ВИДЗ.
Замена переменной в двойном интеграле.
Приложения двойных интегралов.
Тройной интеграл.
Замена переменной в тройном интеграле.
Криволинейные интегралы их приложения.
Поверхностные интегралы и их приложения.
Формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.
СИДЗ.
Скалярные и векторные поля. Градиент. Поток
векторного поля.
Дивергенция, вихрь векторного поля и их вычисления.
Потенциальные векторные поля.
Соленоидальные поля. Комплексные числа. ВИД3.
Аналитические функции. Конфорные отображения.
Интегральная
формула
Коши.
Разложение
аналитических функций в степенной ряд.
Ряд Лорана. Вычеты.
Приложения вычетов.
Преобразования Лорана.
Основные теоремы об оригиналах и изображениях.
Приложения операционного исчисления. СДИЗ.
12
5.8. Содержание практического курса (4 семестр)
1.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Множество в Rn
Измеримые функции
Интеграл Лебега
Интеграл Лебега от ступенчатых функций
Функции, интегрируемые по Лебегу
Достаточные условия интегрируемости функций
Теорема Лебега о придельном переходе под знак
интеграла
Замена переменных Измеримые функций
Теорема Фубини.
Интегралы типа потенциала
Интеграл Лебега от компликснозначных функций
Интеграл Лебега на (n-1)-мерной поверхности.
Пространства Lр.
Свойства пространства Lр. Неравенство Гельдера
Пространство L2.
Ряд Фурье. Неравенство Бесселя
Разложение функций в ряд Фурье.
Полнота ортонормированных систем функций
2
4
2
4
2
4
13,14
13,14
13,14
13,14
13,14
13,14
2
13,14
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
13,14
13,14
13,14
13,14
13,14
13,14
13,14
13,14
13,14
13,14
13,14
6. Задания в виде расчетно-графических работ
Содержание
1 СЕМЕСТР
1. Пределы. Дифференцирование
2. Графики
3. Интегралы
2 СЕМЕСТР
4. Числовые ряды
5. Функциональные ряды
6. Функции нескольких переменных
3 СЕМЕСТР
7. Кратные интегралы. Криволинейные интегралы и
поверхностные интегралы
8. Теория поля
9. Функции комплексной переменной
4 СЕМЕСТР
10. Изменение функций
11. интеграл Лебега
12. Пространство Lp
Срок выдачи
(неделя)
1
6
12
Срок сдачи
(неделя)
6
12
18
1
6
12
6
12
18
1
7
7
11
11
18
1
4
15
4
15
18
13
7. Научно-исследовательская работа студентов
Ниже приводится примерный перечень тем НИР, которые может
корректироваться и дополняться в течение учебного года. Каждая тема содержит
элемент новизны, требует от студентов углубленного изучения соответствующих
разделов математического анализа. В случаи успеха студент получает
возможность принять участие в ежегодной весенней научно-технической
студенческой конференции ДВГУПС, а также в других научно-технических
мероприятиях.
Примерный перечень тем НИР:
1. Приближенное решение уравнений методом половинного деления;
2. Метод хорд;
3. Метод касательных;
4. Выпуклые функции одной переменной;
5. Формула Тейлора и её приложения;
6. Нахождение наименьшего значения выпуклой функции одной переменно;
7. Использование интегралов с параметром для вычисления для
вычисления определенных интегралов.
8. Монотонные функции: структура и приложения.
9. Применение интегрального признака сходимости рядов для
приближенного вычисления суммы ряда.
10. Кратные функциональные ряды
11. Выпуклые функции нескольких переменных.
12. Нахождение меньшего значения выпуклой функции нескольких
переменных.
13. Применение двойных интегралов для вычисления несобственных
интегралов.
14. Гармонические функции
15. Применение операционного исчисления для решения дифференциальных
уравнений в частных производных.
16. Определение интеграла Лебега с помощью теоремы измеримых
множеств.
17. Неравенство Минковского и неравенство Иенсена
8. Контроль усвоения материала
Контроль осуществляется путем устного опроса на каждом практическом
занятии, письменно по результатам контрольных работ и срокам выполнения
СРС.
9. Вопросы к экзамену
1семестр
1. Множества и действия над ними
2. Действительные числа
3. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Существование точной
черхней и нижней граней.
4. Числовая последовательность, определение предела.
5. Единственность предела последовательности.
6. Ограниченность сходящейся последовательности.
7. Арифметические операции под сходящимися последовательностями.
8. Теорема о пределе промежуточной последовательности.
14
9. Переход к пределу в неравенствах для последовательностей.
10. Подпоследовательности. Верхний и нижний пределы последовательности.
11. Теорема Больцпно-Вейерштрасса.
12. Критерий Коши для сходящихся последовательностей.
13. Монотонные последовательности и их сходимость.
14. Число «е».
15. Теорема Кантора о вложенных отрезках.
16. Понятие функции. Обратная и сложная функции. График. Способы задания
функции. Основные элементарные функции. Элементарные функции.
17. Предел функции в точке.
18. Различные типы пределов.
19. Единственность предела функции.
20. Ограниченность функции, имеющей предел в данной точке.
21. Теорема о пределе промежуточной функции.
22. Теорема о пределе суммы, произведения и частного двух функций.
23. Предел монотонных функций.
24. Переход к пределу в неравенстве для функций.
25. Критерий Коши существования предела функции.
26. Непрерывные функции и их простейшие свойства.
27. Классификация точек разрыва функции.
28. Предел сложной функции. Непрерывность сложной функции.
29. Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке
функции.
30. Теорема Вейерштрасса о достижимости точных граней непрерывной
функции на отрезке.
31. Теорема Коши о нулях непрерывной функции. Промежуточные значения
непрерывной функции.
32. Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции.
33. Существование и непрерывность обратной функции.
34. Первый замечательный предел и следствия из него.
35. Второй замечательный предел и следствия из него.
36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно
малых. Эквивалентность бесконечно малых.
37. Определение производной. Геометрический и физический смысл.
Односторонние производные.
38. Дифференцируемость функции . Дифференциал и его свойства.
39. Дифференцирование суммы, произведения, частного двух функций.
40. Производная сложной функции.
41. Производная обратной функции.
42. Таблица производных основных элементарных функций.
43. Дифференцирование функций, заданных параметрически и в неявном
виде.
44. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
45. Теорема Ферма.
46. Теорема Ролля.
47. Теорема Лагранжа.
48. Теорема Коши.
49. Правило Лопиталя.
50. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
51. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
52. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.
53. Критерий возрастания (убывания) функции.
15
54. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия.
55. Наибольшее и наименьшее значения функции.
56. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции.
57. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
58. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
59. Интегрирование по частям неопределенного и определенного интегралов.
60. Замена переменной в неопределенном и определенном интегралах.
61. Интегрирование дробно-рациональных функций.
62. Интегрирование тригонометрических выражений.
63. Интегрирование иррациональных выражений.
64. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл.
65. Необходимое условие интегрируемости функции.
66. Сумма Дарбу и их свойства.
67. Критерий интегрируемости ограниченной функции.
68. Интегрируемость монотонных и непрерывных функций.
69. Интегрируемость суммы, произведения и частного двух функций.
70. Основные свойства определенного интеграла.
71. Интеграл с переменным верхним пределом.
72. Формула Ньютона-Лейбница.
73. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
74. Приближенное вычисление определенного интеграла.
75. Непрерывность интегралов, зависящих от параметров.
76. Дифференцируемость интегралов, зависящих от параметров.
77. Интегрирование интегралов, зависящих от параметра.
78. Интеграл Римана-Стильтьеса и его свойства.
79. Теоремы о среднем для интеграла Римана-Стильтьеса.
80. Вычисление интеграла Римана-Стильтьеса.
2 семестр
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Теорема сравнения.
2. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признак
абсолютной сходимости.
3. Признаки Дирихле и Абеля.
4. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теорема
сравнения.
5. Равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда.
Теорема Вейерштрасса.
6. Теоремы об изменении порядка предельного перехода для
функциональных последовательностей и рядов.
7. Теоремы о возможности почленного дифференцирования функциональных
последовательностей и рядов.
8. Теоремы о возможности почленного интегрирования функциональных
последовательностей и рядов.
9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости.
10. Непрерывность суммы степенного ряда. Дифференцируемость и
интегрируемость.
11. Общая теорема о равномерном приближении непрерывной функции.
12. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной
функции последовательностью полиномов.
13. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной
функции последовательностью тригонометрических полиномов.
16
14. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Критерий Коши.
15. Теоремы сравнивания для знакоположительных рядов.
16. Теорема Деламбера.
17. Теорема Коши ( радикальный признак).
18. Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов.
19. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
20. Действия над сходящимися рядами.
21. Ортогональные и ортонормированные системы функций. Сходимость в
среднем. Связь между равномерной сходимостью и сходимостью в
среднем.
22. Задача о наилучшем приближении в среднем. Неравенство Бесселя.
23. Ряд Фурье и его сходимость в среднем. Равенство Парсевеля.
24. Полнота ортонормированных систем. Критерий полноты.
25. Тригонометрический ряд Фурье.
26. Полнота тригонометрической системы функций.
27. Лемма об интеграле периодической функции.
28. Лемма Римана-Лебега.
29. Формула для частичной суммы ряда Фурье ( интеграл Дирихле).
30. Теорема о сходимости ряда Фурье в точке.
31. Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье.
32. Ряды Фурье функций периода 2L, четных и нечетных функций. Ряд Фурье
непериодической функции.
33. Пространство Rn.
34. Последовательность точек из Rn. Предел. Свойства предела.
35. Открытые и замкнутые множества в Rn. Область. Границы области.
36. Предел функции многих переменных. Простейшие свойства. Критерий
Коши.
37. Предел функции по множеству. Повторные пределы и их существование.
38. Непрерывность функции многих переменных, простейшие свойства.
39. Непрерывность сложной функции многих переменных.
40. Свойства непрерывных функций на компакте.
41. Частные производные. Дифференцируемость функции многих переменных.
Связь между дифференцируемостью и существованием у функции многих
переменных.
42. Достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных.
43. Дифференцируемость сложной функции многих переменных.
44. Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила
дифференцирования.
45. Формула конечных приращений Лагранжа для функции многих переменных.
46. Касательная плоскость к графику функции. Геометрический смысл
дифференциала.
47. Производная по направлению. Градиент и его свойства.
48. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о
смешанных производных.
49. Неявные функции, заданные одним уравнением.
50. Неявные функции, определяемые системой уравнений.
51. Локальная обратимость регулярного отображения.
52. Формула Тейлора для функции многих переменных.
53. Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия.
54. Достаточные условия. Экстремум функции многих переменных.
55. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
17
56. Выпуклые функции и их свойства.
57. Поиск наименьшего значения выпуклой функции градиентным методом.
3 семестр
1. Определение двойного интеграла по прямоугольнику и по ограниченному
множеству.
2. Внутренняя и внешняя мера множества в R2. Измеримость.
3. Множества меры нуль. Критерий измеримости по Жордану плоского
множества.
4. Доказательство измеримости криволинейной трапеции, образованной
интегрируемой функцией.
5. Второе определение двойного интеграла по измеримому множеству.
Сравнение двух определений.
6. Повторные интегралы. Вычисление двойных интегралов через повторные.
7. Критерий интегрируемости ограниченной функции.
8. Линейность двойного интеграла.
9. Интегрирование неравенств. Теорема о среднем.
10. Площадь поверхности (вывод общей формулы).
11. Площадь графика дифференцируемой функции.
12. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных
координатах.
13. Приложения двойных интегралов.
14. Тройной интеграл. Понятие об n-кратном интеграле.
15. Криволинейный интеграл I рода и его основные свойства.
16. Криволинейный интеграл I I рода и его основные свойства.
17. Приложения криволинейных интегралов.
18. Формула Грина.
19. Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования.
20. Теорема о восстановлении функции по ее полному дифференциалу.
21. Поверхностный интеграл I рода и его основные свойства.
22. Поверхностный интеграл I I рода и его основные свойства.
23. Формула Гаусса-Остроградского.
24. Скалярное поле. Поверхности уровня и линии уровня скалярного поля.
Векторные линии векторного поля.
25. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
26. Поток векторного поля через поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского.
27. Дивергенция векторного поля.
28. Циркуляция векторного поля.
29. Ротор ноля. Теорема Стокса.
30. Потенциальные и соленоидальные поля.
31. Оператор Гамильтона.
32. Цилиндрические и сферические координаты. Криволинейные координаты.
33. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная
формы записи комплексных чисел.
34. Формула Муавре. Корень n-ой степени из комплексного числа.
35. Множества на комплексной плоскости. Последовательности комплексных
чисел.
36. Ряды комплексных чисел. Степенные ряды.
37. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римена.
38. Критерий аналитичности функции.
18
39. Геометрический смысл производной аналитической функции. Конформные
отображения.
40. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции
комплексного переменного.
41. Логарифмическая функция. Обратные тригонометрические функции.
42. Интеграл функции комплексного переменного.
43. Основная теорема Коши.
44. Интегральная формула Коши.
45. Следствия из интегральной формулы Коши.
46. Ряд Тейлора.
47. Ряд Лорана.
48. Изолированные особые точки аналитической функции.
49. Вычет. Вычисление вычета.
50. Преобразование Лапласа. Оригиналы и изображения.
51. Аналитичность изображения.
52. Линейность изображения.
53. Теорема подобия.
54. Дифференцирование оригинала.
55. Дифференцирование изображения.
56. Теорема запаздывания.
57. Интегрирование оригинала.
58. Теорема Мелина. Нахождение оригинала по изображению.
4 семестр
1. Множество в пространстве Rn , гладкие поверхности. Множества нулевой
меры.
2. Измеримые функции.
3. Интеграл Лебега от неотрицательной функции.
4. Аппроксимация последовательности непрерывных функций
последовательности ступенчатых функций.
5. Теорема о сходимости убывающей последовательности непрерывных
функций с ограниченной последовательностью интегралов.
6. Функции, интегрируемые по Лебегу.
7. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Критерий существования
интеграла Римана
8. Достаточные условия интегрируемости по Лебегу. Теорема Леви. Лемма
Фату.
9. Теорема Лебега о придельном переходе под знаком интеграла.
10. Замена переменных под знаком интеграла.
11. Изменения множества. Интегралы по измененным множествам.
Абсолютная непрерывность интегралов.
12. Связь между кратными и повторными интегралами: теорема Рубина
13. Интегралы типа потенциала. Интеграл Лебега от комплекснозначных
функций
14. Интеграл Лебега на (n-1)-мерной поверхности.
15. Пространства Lр. Неравенство Гельдера
16. Пространство L2: скальное произведение, ортогональность
17. Ряд Фурье. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля.
19
10. Примерный календарный план
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
Занятия по дисциплине “Математический анализ”
в 1 семестре 20__/20__ учебного года
Число часов лекций ……………………………..72
Число практических занятий ………………… .54
Число лабораторных занятий ………………….0
Всего аудиторных занятий ………………….. ..126
Число часов индивидуальных занятий ……….0
Число часов самостоятельной работы ………122
Форма отчетности…………………………экзамен
1
2
1
Вещественные числа и множества..
Вещественные числа. Упорядочение. Непрерывность
вещественной оси. Арифметические действия с
4 вещественными числами. Основные свойства
вещественных чисел.
Числовые множества. Верхняя и нижняя грани
множества. Существование и единственность точных
верхней и нижней граней ограниченного множества.
Пределы .Предел последовательности
Единственность предела. Существование предела
4 монотонной ограниченной последовательности.
Свойства пределов, связанные с арифметическими
действиями над последовательностями.
2
3
4
5
3
4
5
2
4
4 Частичный предел. Теорема БольцаноВейеригтрасса. Верхний и нижний пределы
4 последовательности. Критерий Коши.
2
Пределы функций. Непрерывность Понятие функции,
способы ее задания. Неявные функции.
Элементарные функции. Многочлены.
4 Рациональные функции .Определение предела( по
Гейне). Различные виды пределов ( конечные и
бесконечные) при двустороннем, одностороннем и
бесконечном предельных переходах аргумента.
Свойства пределов функций. Связанные с
арифметическими действиями над функциями.
4
Замечательные пределы и др. бесконечно малые и
бесконечно большие функции. равнение порядков
2
Тема и содержание
практических,
лабораторных и
индивидуальных
занятий
6
ТСО
Тема и содержание лекций
Кол часов
Прудников В.Я.
Прудников В.Я.
ТСО
Кол.часов
№недели
Лектор
Руководители практических занятий
7
Контроль
качества
усвоения
материала
8
Вводное занятие:
символика,
множества.
Понятие sup x,inf
x.
Последовательно
сти. Предел
Бесконечно
большие и
бесконечно
малые
последовательно
сти. Монотонные
последовательно
сти.
Критерий Коши.
4
Функция.. Предел
функции.
Замечательные
пределы..
Бесконечно
большие и
бесконечно
малые функции в
точке.
Эквивалентность
бесконечно
малых.
Непрерывность
функции в точке.
20
6
7
8
9
бесконечно малых и бесконечно больших функций.
4 Эквивалентные функции. Вычисление пределов с
помощью эквивалентных функции.
Непрерывность функции в точке. Разрывы первого
второго рода. Непрерывность слева и справа.
Непрерывность суммы, разности, произведения и
частного непрерывных функций. Непрерывность
суперпозиции непрерывных функций. Непрерывность
элементарных функций.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
ограниченность, достижимость верхней и нижней
4 граней. Равномерная непрерывность. Теорема о
промежуточных значениях. Существование и
непрерывность функции, обратной данной
монотонной непрерывной функции.
.Производная и дифференциал. Производная
функции точке. Геометрический и физический смысл
4 производной. Непрерывность функции. Имеющей
производную Правила вычисления производной,
связанные с арифметическими действиями над
функциями. Уравнение касательной и нормали к
кривой..
Производная сложной функции. Производная
обратной функции. Производные элементарных
функций. Производная функций, заданных
4 параметрически. Дифференциал и его свойства.
Производная и дифференциал сложной функции
Геометрический смысл дифференциала.
Производные и дифференциалы высших порядков.,
4 их свойства. Формула Лейбница. Производные
высших порядков от сложных функций, от обратной
функции и от функции, заданных параметрически.
10
4
11
4
12
4
13
4
14
Непрерывность
на отрезке.
4
2
4
Формула
Тейлора.
Исследование
функции.
2
.Контрольная
работа»
Производные»
СИДЗ2.
Исследование дифференцируемых функций.
Применения. Теоремы о средних значениях( для
дифференцируемых функций). Теорема Ферма, Роля,
Лагранжа, Коши.
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
Формула Тейлора для многочленов. Вывод формулы
Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в
форме Пеано. Многочлен Тейлора n-порядка как
многочлен n-ой степени, наилучшим образом
приближающий функцию в бесконечно малой
коректности данной точки. Формула Тейлора для
функций. Раскрытие неопределенностей с помощью
формулы Тейлора. Метод выделения главной части.
Исследование поведения функций. Критерий
монотонности функций .Необходимое условие
экстремума .Достаточное условие экстремума.
Выпуклость вверх( вниз) графика функций, точки
перегиба и их критерий. А симтомы. Построение
графика функций.
Определенный и неопределенный интегралы.
Понятие первообразной функции. Свойства
первообразной. Неопределенный интеграл и его
свойства .Табличные интегралы. Интегрирование
элементарных рациональных функций.
Интегрирование некоторых трансцендентных
функций..
Определенный интеграл. Основные свойства.
Теоремы об интегрируемости. Теорема о среднем.
4
Интегрирование.
Сведение и
замена. ВИДЗЗ.
Определенный интеграл с переменным верхним
2
Интегрирование
по частям.
2
4
Интегрирование
рациональных
дробей.
2
Интегрирование
тригонометрическ
их функций.
4
Интегрирование
иррациональных
функций.
Определенный
4
15
Контрольная
работа» Предел и
непрерывность.
СИДЗ 1.
Дифференцирова
ние. ВИДЗ32.
Производные
высших порядков.
Дифференциал:
приложения.
21
16
17
18
пределом. Теорема о дифференцировании интеграла
4 по верхнему пределу.
Формула Ньютона - Лейбница. Вычисление
определенного и неопределенного интегралов
посредством замены переменных и посредством
интегрирования по частям.
Применение определенного интеграла. Понятие о
площади плоской фигуры. Вычисление площади
4 плоских фигур в декартовых, полярных координатах.
Вычисление объемов тел. Определение и
вычисление длины кривой. Дифференциал длины
дуги кривой. Механические и физические приложения
определенного интеграла.
4 Интеграл Римана-Стилтьеса. Интеграл РиманаСтилтьеса и его свойства. Теоремы о среднем.
Вычисление интеграла Римана-Стилтьеса в случае
дифференцируемой и ступенчатой меры.
4 Интегралы, зависящие от параметра. Собственные и
несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Равномерная сходимость. Непрерывность,
дифференцирование и интегрирование по параметру.
Все72
го
интеграл.
Приложения
интегралов.
4
2
Интегралы,
зависящие от
параметра.
2
Контрольная
работа «
Интегралы»
СИДЗЗ.
Заключительное
занятие.
54
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
Математический анализ
занятий по дисциплине
в 2 семестре 20__ / 20__ учебного года
Число часов лекций
Число часов практических занятий
Число часов лабораторных занятий
Всего аудиторных занятий
Число часов самостоятельной работы
Форма отчетности
108
106
экзамен
Прудников В.Я.
Прудников В.Я.
1. План лекций, практических и лабораторных занятий
ТСО
Тема и структура лекций
3
Несобственные интегралы. Несобственные интегралы с
бесконечными пределами. Теорема сравнения.
Абсолютная и условная сходимость. Признак абсолютной
сходимости.
Признак Дирихле и Абеля
4
Тема и
содержание
практических и
лабораторных
занятий
Контроль
качества
усвоения
материала
5
6
8
4
Несобственны
е интегралы
Количество
часов
Лектор
Руководители практических занятий
54
54
22
Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Теорема сравнения. Абсолютная и условная сходимость.
Числовые ряды Понятия числового ряда. Сходимость
ряда, сумма ряда. Критерии Коши сходимости числовых
рядов. Необходимые условие сходимости ряда. Признаки
Коши и Даламбера. Интегральный признак сходимости
ряда. Знакопеременные ряды. Признаки Лейбница
сходимости знакочередующихся рядов.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Поведение
«положительной» и «отрицательной» частей ряда в
случае абсолютной и условной сходимости.
Арифметические свойства сходящихся рядов.
Возможности перестановки членов абсолютно сходящихся
рядов.
Функциональные ряды. Последовательности и ряды
функций, область сходимости. Равномерная сходимость.
Признак Вейрштрасса равномерной сходимости
функциональных рядов. Непрерывность суммы
функционального ряда. Почленное интегрирование и
дифференцирование функциональных рядов.
Степенные ряды. Лема Абеля. Радиус сходимости и
области сходимости степенного ряда. Свойства суммы
степенного ряда. Ряд Тейлора. Основные разложения.
Ряд Фурье. Постановка задачи. Ортогональность системы
косинусов и синусов. Формулы Эйлера-Фурье. Убывание
коэффициентов Фурье и дифференцируемость функции.
Достаточное условие равномерной сходимости ряда
Фурье.
Теорема Дирихле. Сходимость рядов Фурье в среднем.
Разложение функций, суммируемых с квадратом, в ряд
Фурье, сходящийся в среднем (формулировка).
Множества в n-мерном пространстве. Множества на
плоскости и в пространстве. Расстояние между точками nмерного евклидова пространства и его свойства.
Окрестность точки. Предел последовательности точек.
Связь
сходимости
последовательности
точек
со
сходимостью
координат.
Теорема
БольцаноВейерштрасса. Предельная точка множества. Замкнутые
множества. Открытые множества. Область и ее граница.
Функции нескольких переменных. Предел функции
нескольких переменных. Непрерывность в точке и
области. Непрерывность суперпозиции непрерывных
функций.
Ограниченность и достижимость верхней и нижней граней
непрерывных функций, определенных на компактах.
Теорема
о
промежуточном
значении
функции,
определенной
в
связной
области.
Равномерная
непрерывность, теорема Кантора.
Производные и дифференциалы. Частные производные
функции
нескольких
переменных.
Связь
между
существованием
частных
производных
и
дифференцируемостью функции.
Полный дифференциал. Геометрический смысл полного
дифференциала. Частные производные высших порядков.
Независимость частных производных от порядка
дифференцирования. Дифференциалы высших порядков.
2
Числовые
ряды критерий
Коши
сходимости
ряда ВИДЗ1
4
Знакоположит
ельные ряды.
2
Знакоперемен
ные ряды.
Произведения
рядовв
4
Функциональн
ые ряды.
2
Степенные
ряды.
Разложение
функций
4
Ряды Фурье.
СИДЗ 1
2
Ряды Фурье.
2
ФНП: ОДЗ,
придел,
непрерывност
ь.
2
Предел
функции
4
Свойства
непрерывных
функций
2
4
Частные
производные.
Дифференциа
л
Частные
производные
высших
порядков
23
Неявные
функции.
Теорема
о
существовании,
единственности, непрерывности и дифференцируемости
неявной функции.
Экстремумы. Формула Тейлора и ее применение.
Экстремумы
функций
нескольких
переменных.
Необходимое условие экстремума. Стационарные точки.
Достаточные условия экстремума. Условный экстремум.
Необходимые условия экстремума функции при наличии
уравнений связи (метод множителей Лагранжа).
2
2
2
Рейтинговые баллы по неделям и видам работ
1
Рейтинг по виду
работ
Срок сдачи
Срок выдачи
Наименование вида
работы (подготовка к
аудиторным
занятиям, РГР, КП,
КР и т.д.)
Часы самост.
работы
Достаточные условия экстремума функции, при наличии
уравнений связи. Наибольшее и наименьшее значение
функции.
Производная по направлению. Градиент. Линии и
поверхности уровня. Выпуклые функции.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Практическое
задание 1
3
1
1
2
2
Практическое
задание 2
3
2
2
2
2
Практическое
задание 3
3
3
3
2
2
Практическое
задание 4
3
4
4
2
2
Практическое
задание 5
3
5
5
2
2
Практическое
задание 6
3
6
6
2
2
Практическое
задание 7
3
7
7
2
2
Практическое
задание 8
3
8
8
2
2
Практическое
задание 9
3
9
9
2
2
Практическое
задание 10
3
10
10
2
2
Практическое
задание 11
3
11
11
2
2
Практическое
задание 12
3
12
12
2
2
Практическое
задание 13
3
13
13
2
2
Практическое
задание 14
3
14
14
2
2
24
Практическое
задание 15
3
15
15
2
2
Практическое
задание 16
3
16
16
2
2
Практическое
задание 17
3
17
17
2
2
3
18
18
2
2
10
1
5
10
6
10
20
11
15
Практическое
задание 18
РГР 1.
Интегрируемые
функции
РГР 2.
Несобственные
интегралы
РГР 3. Числовые
ряды
экзамен
8
8
8
8
8
8
12
106
40
0
Рейтинг за неделю
0
4 0 4 0 12 0 4 0 12 0
4
100
Рейтинг с
нарастанием
0
4 4 8 8 20 20 24 24 36 36 40 40 44 44 56 56 60
60
4
0
4
0 12 0
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
Математический анализ
занятий по дисциплине
в 2 семестре 20__ / 20__ учебного года
Число часов лекций
Число часов практических занятий
Число часов лабораторных занятий
Всего аудиторных занятий
Число часов самостоятельной работы
Форма отчетности
54
54
108
106
экзамен
1
1
2
4
3
Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы с
бесконечными пределами.
Теорема сравнения. Абсолютная
и условная сходимость. Признак
абсолютной сходимости.
Признак Дирихле и Абеля
4
Количество
часов
Тема и структура лекций
ТСО
Количество
часов
Недели
Лектор
Прудников В.Я.
Руководители практических занятий
Прудников В.Я.
1. План лекций, практических и лабораторных занятий
5
4
Тема и содержание
практических и лабораторных
занятий
Контроль качества
усвоения
материала
6
8
Несобственные
интегралы
25
2
2
3
4
4
2
5
4
6
2
7
4
8
2
9
4
Несобственные интегралы от
неограниченных функций.
Теорема сравнения. Абсолютная и
условная сходимость.
Числовые ряды Понятия
числового ряда. Сходимость ряда,
сумма ряда. Критерии Коши
сходимости числовых рядов.
Необходимые условие сходимости
ряда. Признаки Коши и
Даламбера. Интегральный
признак сходимости ряда.
Знакопеременные ряды. Признаки
Лейбница сходимости
знакочередующихся рядов.
Абсолютно и условно
сходящиеся ряды. Поведение
«положительной» и
«отрицательной» частей ряда в
случае абсолютной и условной
сходимости. Арифметические
свойства сходящихся рядов.
Возможности перестановки членов
абсолютно сходящихся рядов.
Функциональные ряды.
Последовательности и ряды
функций, область сходимости.
Равномерная сходимость. Признак
Вейрштрасса равномерной
сходимости функциональных
рядов. Непрерывность суммы
функционального ряда.
Почленное интегрирование и
дифференцирование
функциональных рядов.
Степенные ряды. Лема Абеля.
Радиус сходимости и области
сходимости степенного ряда.
Свойства суммы степенного ряда.
Ряд Тейлора. Основные
разложения.
Ряд Фурье. Постановка задачи.
Ортогональность системы
косинусов и синусов. Формулы
Эйлера-Фурье. Убывание
коэффициентов Фурье и
дифференцируемость функции.
Достаточное условие
равномерной сходимости ряда
Фурье.
Теорема Дирихле. Сходимость
рядов
Фурье
в
среднем.
Разложение
функций,
суммируемых с квадратом, в ряд
Фурье, сходящийся в среднем
(формулировка).
Множества
в
n-мерном
пространстве.
Множества
на
плоскости и в пространстве.
Расстояние между точками nмерного евклидова пространства и
его свойства. Окрестность точки.
Предел
последовательности
2
Числовые ряды критерий
Коши сходимости ряда
ВИДЗ1
4
Знакоположительные
ряды.
2
Знакопеременные ряды.
Произведения рядовв
4
Функциональные ряды.
2
Степенные ряды.
Разложение функций
Ряды Фурье. СИДЗ 1
4
2
Ряды Фурье.
2
ФНП: ОДЗ, придел,
непрерывность.
26
10
2
11
4
12
2
13
4
14
2
15
2
16
2
17
18
2
точек.
Связь
сходимости
последовательности
точек
со
сходимостью координат. Теорема
Больцано-Вейерштрасса.
Предельная точка множества.
Замкнутые множества. Открытые
множества. Область и ее граница.
Функции
нескольких
переменных. Предел функции
нескольких
переменных.
Непрерывность в точке и области.
Непрерывность
суперпозиции
непрерывных функций.
Ограниченность и достижимость
верхней
и
нижней
граней
непрерывных
функций,
определенных
на
компактах.
Теорема
о
промежуточном
значении функции, определенной
в связной области. Равномерная
непрерывность, теорема Кантора.
Производные
и
дифференциалы.
Частные
производные функции нескольких
переменных.
Связь
между
существованием
частных
производных
и
дифференцируемостью функции.
Полный дифференциал.
Геометрический смысл полного
дифференциала. Частные
производные высших порядков.
Независимость частных
производных от порядка
дифференцирования.
Дифференциалы высших
порядков.
Неявные функции. Теорема о
существовании, единственности,
непрерывности
и
дифференцируемости
неявной
функции.
Экстремумы. Формула Тейлора и
ее
применение.
Экстремумы
функций нескольких переменных.
Необходимое
условие
экстремума. Стационарные точки.
Достаточные условия экстремума.
Условный
экстремум.
Необходимые условия экстремума
функции при наличии уравнений
связи
(метод
множителей
Лагранжа).
Достаточные условия экстремума
функции, при наличии уравнений
связи. Наибольшее и наименьшее
значение функции.
Производная по направлению.
Градиент. Линии и поверхности
уровня. Выпуклые функции.
2
Предел функции
Свойства непрерывных
функций
4
2
Частные производные.
Дифференциал
4
Частные производные
высших порядков
2
2
2
27
Рейтинг по виду
работ
Срок сдачи
Срок выдачи
Часы самост.
работы
Наименование
вида работы
(подготовка к
аудиторным
занятиям, РГР, КП,
КР и т.д.)
Рейтинговые баллы по неделям и видам работ
1
2 3 4
5 6
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Практическое
задание 1
3
1
1
2
2
Практическое
задание 2
3
2
2
2
2
Практическое
задание 3
3
3
3
2
2
Практическое
задание 4
3
4
4
2
2
Практическое
задание 5
3
5
5
2
2
Практическое
задание 6
3
6
6
2
2
Практическое
задание 7
3
7
7
2
2
Практическое
задание 8
3
8
8
2
2
Практическое
задание 9
3
9
9
2
2
Практическое
задание 10
3
10 10
2
2
Практическое
задание 11
3
11 11
2
2
Практическое
задание 12
3
12 12
2
2
Практическое
задание 13
3
13 13
2
2
Практическое
задание 14
3
14 14
2
2
Практическое
задание 15
3
15 15
2
2
Практическое
задание 16
3
16 16
2
2
Практическое
задание 17
3
17 17
2
2
3
18 18
2
2
10
1
5
10
6
10
Практическое
задание 18
РГР 1.
Интегрируемые
функции
РГР 2.
Несобственные
интегралы
8
8
8
8
28
РГР 3. Числовые
ряды
экзамен
20
11 15
8
8
12
106
40
0
Рейтинг за неделю
0
4 0 4
0 12 0 4 0 12 0 4 0 4 0 12 0
4
100
Рейтинг с
нарастанием
0
4 4 8
8 20 20 24 24 36 36 40 40 44 44 56 56 60
60
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
Занятия по дисциплине «Математический анализ»
в 3 семестре 20__/20__ учебного года
Число часов лекций практических занятий…36
Число часов практических занятий…………..54
Число часов лабораторных занятий…….……..0
Всего часов аудиторных занятий…………….90
Число часов индивидуальных занятий………...0
Число часов самостоятельной работы……......97
Форма отчетности………………………экзамен
ТСО
Кол. час
ТСО
Недели
Кол.
часов
1. План лекций, практических, лабораторных и индивидуальных занятий
Тема и содержание
практических,
Тема и содержание лекций
лабораторных и
индивидуальных
занятий
3
4 5 6
7
Множества в n-мерном пространстве. Множества
6 ФНП: ОДЗ предел,
на плоскости и в пространстве. Расстояние между
непрерывность.
точками. Расстояние между точками n-мерного
Суперпозиция
евклидова пространства и его свойства.
непрерывных функций.
Окрестность точки. Предел последовательности
Непрерывные функции,
точек. Теорема Больцано-Вейрштрасса. Предельная
определенные на
точка множества.
компактах.
1
1,
2
2
4
3,
4
4
1) Функции нескольких переменных. Предел
функции нескольких переменных. Непрерывность
суперпозиции непрерывных функций,
определенных на компактах. 2) Теорема о
промежуточном значении функции, определенной в
связной области. Равномерная непрерывность,
теорема Кантора.
6
Частные производные
функции нескольких
переменных.
5,
6
4
6
Частные производные
высших порядков.
Дифференциалы
высших порядков.
7,
8
4
1) Производные и дифференциалы ФНП. Частные
производные функции нескольких переменных.
Связь между существованием частных
производных и дифференцируемостью функции. 2)
Полный дифференциал. Геометрический смысл
полного дифференциала. Частные производные
высших порядков. Независимость частных
производных от порядка дифференцирования.
Неявные
функции.высших
Теорема
о существовании
Дифференциалы
порядков.
единственности, непрерывности и
дифференцируемости неявной функции. Формула
Тейлора и ее применение.
6
Применение формулы
Тейлора.
Контроль
качества
усвоения
материала
8
29
1) Экстремумы. ЭкС1рем\мы функций нескольких
переменных. Необходимое условие экстремума.
Стационарные точки. Достаточные условия
экстремума.
2) Условный экстремум. Необходимые условия
экстремума функции при наличия уравнения связи
(метод множителей Лаграюка).
1)Интегралы. зависящие от параметра.
Собственные и несобственные интегралы,
зависящие от параметра. 2)Равномерная
сходимость. Непрерывность, дифференцирование
и интегрирование по параметру.
9, 2
10
2
11, 2
12
2
1) Экстремумы функций
нескольких
3 переменных.
2) Стационарные точки.
Условный экстремум.
Метод множителей
Лагранжа.
3 1) Вычисление
интегралов, зависящих
3 от параметра.
2) Дифференцирование
и интегрирование по
параметру.
6 Двойной интеграл.
ВИДЗ.
3
13, 4 Двойные и тройные интегралы. Определение
14
двойного интеграла по ограниченной области с
гладкой или кусочно-гладкой границей. Верхние и
нижние суммы. Критерий интегрируемости Дарбу.
Интегрируемость кусочно-непрерывной функции по
ограниченной области. Основные свойства
двойных интегралов. Теорема о среднем.
4 Теория поля. Скалярное поле. Градиент скалярного
15,
поля. Понятие векторного поля. Непрерывность
векторной функции, частные производные. Работа
16
векторного поля вдоль кривой. Поток векторного
поля сквозь ориентированную поверхность.
Дивергенция векторного поля. Векторная форма
Теоремы Остро-градского -Гаусса. Основные
свойства дивергенции. Вихрь (ротор) векторного
поля. Векторная форма теоремы Стокса. Основное
свойство ротора. Инвариантность основных
определений теории векторного поля. Оператор
«набла». Выражение операций теории поля с
помощью оператора «набла». Дифференцирование
второгоПостановка
порядка. Задачи.
1) Ряды Фурье.
4 операции
17,
Ортогональные системы косинусов и синусов.
Формулы Эйлера-Фурье.
18
2) Убывание коэффициентов Фурье и
дифференцируемость функции. Достаточное
условие равномерной сходимости ряда Фурье.
Теорема Дирихле.
3) Сходимость рядов Фурье в среднем. Разложение
функций, суммируемых с квадратом, в ряд Фурье,
Сходящийся в среднем (формулировка).
5) Интеграл Фурье. Представление функции
интегралом Фурье. Главное значение интеграла.
11реобразование Фурье. Преобразование Фурье
абсолютно интегрируемых функций.
6 Формулы Грина,
Стокса, Осгроград-ско
го-Гаусса.
6 Ряды Фурье
периодических функций.
Дифференцируемость
ряда Фурье.
Равномерная
сходимость.
Разложение функций,
суммируемых с
квадратом, в ряд Фурье.
Преобразование Фурье.
Преобразование Фурье
абсолютно
интегрируемых
функций.
1 2 3
4
5
6
7
8
9
1
11
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
Рейтинг по
виду работ
Наименование
вида работы
54
Часы
самост.
работы
Срок
выдачи
Срок сдачи
36
Рейтинговые баллы по неделям и видам работ
Лекции
Практические
занятия
16
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
18
54
1 2 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
27
РГР
27
11
12
12
35
30
экзамен
Рейтинг за неделю
Рейтинг с
нарастанием
2 14
2
3
2
3
2
15
3
20
100
2 5 7 10 12 26
28
31
33
36
38
53 55 58 60 63 77 80
80
2 3 2
3
2
3
2
3
14
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
Математическому анализу
занятий по дисциплине
в 2 семестре 20__/ 20__ учебного года
Число часов лекций
Число часов практических занятий
Число часов лабораторных занятий
Всего аудиторных занятий
Число часов самостоятельной работы
Форма отчетности
36
54
90
93
Экзамен
Лектор
Руководитель групповых занятий
1
2
2
2
3
2
4
2
5-6
4
7-8
4
9
2
Тема и содержание
практических и
лабораторных занятий
3
4
5
6
Элементы общей теории множеств.
Множества. Простейшие операции
над множествами. Эквивалентные
множества. Мощность. Теоремы о
счетных множествах и множествах
мощности континуума.
Точечные множества на числовой
прямой и на плоскости. Строение
открытых и замкнутых множеств.
Дисконтинуумы. Точки конденсации.
Интегралы по абстрактным
множествам. Мера абстрактных
множеств.
Измеримые функции.
Интеграл
Мера и интеграл на числовой
4
2
4
2
6
6
4
Формы
проведения.
Использование
ТСО, ЭВМ
2
Количество часов
Количество часов
1
Тема и структура лекций
Формы
проведения.
Использование
ТСО, ЭВМ
Недели
1. План лекций, практических и лабораторных занятий
7
Контроль
качества
усвоения
материала
8
Открытые и
замкнутые
множества.
Мощность
множества. Понятие
меры множества.
Измеримые
множества на
прямой и плоскости.
Измеримые
функции. Интеграл
измеримой функции
по мере на прямой и
плоскости.
Пространства
31
10
2
11
2
1214
6
15
16
17
18
2
прямой и на плоскости. Основные
определения. Вспомогательные
леммы. Критерий измеримости.
Основные теоремы. Измеримые
функции одной вещественной
переменной. Интеграл Лебега на
числовой прямой. Мера и интеграл
на плоскости.
Пространства Лебега L(a,b) и
L2(a,b).Пространство
L(a,b).ПространствоL2(a,b).Сходимо
сть в среднем. Ортогональные
системы элементов и порождаемые
ими пространства.Ряды Фурье по
ортогональным системам.
L1(a,b) и L2(a,b) и
сходимость в них.
2
4
10
Монотонные
функции, функции с
ограниченной
вариацией и
абсолютно
непрерывные
функции.
2
Функции с ограниченной вариацией
и абсолютно непрерывные функции.
Интеграл Стилтьеса. Простейшие
свойства монотонных функций.
Дифференциальные свойства
монотонных функций. Функции с
ограниченной вариацией.
Абсолютно непрерывные функции.
Интеграл Стилтьеса.
Ортогональные
системы элементов.
Разложение в ряд
Фурье по
ортогональным
системам.
2
Интеграл
Стилтьеса.
Контрольная
работа.
Заключительное
занятие.
4
2
Рейтинговые баллы по неделям и видам работ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
2
2
2
2
2
13
14
2
15
16 17 18
2
2
Рейтинг по
виду работ
Срок сдачи
Наименование
вида работы
(подготовка к
аудиторным
занятиям, РГР,
КП, КР и т.д.)
Посещение
занятий
Часы самост.
работы
Срок выдачи
2. Выполнение плана самостоятельной работы*
18
Практическое
занятие 1
6
1
3
Практическое
занятие 2
6
3
5
Практическое
занятие 3
6
5
7
Практическое
занятие 4
6
7
9
Практическое
занятие 5
6
9
1
1
Практическое
занятие 6
6 11 13
Практическое
занятие 7
6 13 15
Практическое
занятие 8
6 15 17
4
4
Практическое
занятие 9
6 17 18
4
4
РГР №1
РГР №2
РГР №3
9 1 10
10 8 12
10 12 16
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
10
6
10
4
10
6
10
32
экзамен
14
97
Рейтинг за
неделю
Рейтинг с
нарастанием
20
0
0 2 0 6 0 6 0 6 0 16 0
12
0
6
0
16
0 10 100
0 2 2 8 8 14 14 20 20 36 36 48
48
54
54
70 70 80
80
12. Перечень обязательной литературы
1. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными: учеб.; МГУ им.
М.В. Ломоносова. - 3-е изд., испр.. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 260
с.
2. Герасимчук В. С. Курс классической математики в примерах и задачах: учеб.
пособие для вузов : в 3 т - М.: Физматлит - 2008.
3. Каширин А.А. Математический анализ: Конспект лекций: учеб. пособие;
ДВГУПС. Каф. "Прикладная математика". - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2010. - 120
с.
4. Шарма Дж.Н. Уравнения в частных производных для инженеров: учеб.; пер.
англ. Б. В. Карпова. - М.: ТЕХНОСФЕРА, 2002. - 320 с.
5. Фихтенгольц Г. М.Основы математического анализа: учеб. для вузов : в 2-х ч. СПб.: Лань Ч. 1. - 9-е изд., стер.. - 2008. - 448 с.
6. Фихтенгольц Г. М.Основы математического анализа: учеб. для вузов : в 2-х ч СПб.: Лань Ч. 2. - 9-е изд., стер.. - 2008. - 464 с
Перечень дополнительной литературы
1. Уваров В.Б. математический анализ М.: Высшая школа. 1984
2. Архипов Г.И., Садовничий В.А. Лекции по математическому анализу М.:
Высшая школа. 1999
3. Рудик У. Основы математического анализа М.: мир. 1976.
4. Никольский С.М. Курс математического анализа Т I,II. М.: Наука. 1990
5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа Т III. М.: Высшая школа 1981
6. Ильин В.А. Позняк Э.Г. Основы математического анализа Ч.1. издание 4-е
переработанное и дополненное, 1982, Ч.2. изд. 2-е стереотип., 1980 М.: Наука.
7. Зорин
В.А.
Математический
анализ.
Ч.1.
Изд.
2-е
исправленное
и
дополненное М.:
8. Фазис 1997 , Ч.2. М.: Наука 1990
33
9. Лаптев Г.Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука 1975
10.
Привелов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
М.: ФИЗМАТИЗ. 1960
11.
Маркушевич А.И. Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических
функций М.: Просвещение. 1977
12.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И, Курс математического анализа М.:
ФИЗМАТ 2003.
13.
Ильин В,А,, Садовничий В.А , Сендов Б.Х. Математический анализ. Ч 1,2.
М.: МГУ, 2004
14.
Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл. Мера и производная. М.: Наука 1964.
15.
Соболев В.И, Лекции по дополнительным главам математического
анализа. М.: Наука, 1968
34
13. Технологическая карта изучения дисциплины по семестрам
Направление 010500 – Прикладная математика и информатика
Число часов в семестре 240
Специальность 01050165 – Прикладная математика и информатика
Число часов в неделе 7
Квалификация 01050062 – Бакалавр прикладной математики и информатики
лекций 72
лабораторных работ 0
Семестр 1
практических (семинарских) занятий 54
самостоятельной работы 122
Форма отчетности экзамен
Семестровая технологическая карта дисциплины «Математический анализ»
Учебнометодическая
литература
-
-
-
3
6
-
[4], [6], [9],
[12], [19]
-
-
-
-
4
-
1
3
2
3
-
6
[4], [5], [6],
- [9], [12], [13],
[19]
3
4
[4], [6], [9],
[12], [13],
[19]
Рейтинговый балл
ТСО
Затраты времени
в часах
Номер лекции
-
-
Неделя рубежного
контроля
3
[4], [6], [9],
[10], [12],
[19]
-
Учебно-методическая
литература
[4], [6],
[9], [12]
-
-
[2], [3], [4],
[5], [6], [7],
[9], [11], [12],
[13]
Затраты времени
в часах
3
Пределы функций
3
Учебнометодическая
литература
2
-
ТСО
[4], [6],
[9], [10],
[12]
Практические (семинарские)
занятия
Затраты времени
в часах
2
Числовые пределы
3
[2], [7], [9],
[10], [12],
[14], [19]
1
2
Лабораторные работы
ТСО
Учебнометодическая
литература
Номер
практического
(семинарского)
занятия
1
[2], [7], [9]
[10], [12],
[14]
Лекции
Номер
лабораторной
работы
Затраты времени
в часах
Номера разделов
основных учебников
Предмет математического
анализа. Множества и
действия с ними.
Неделя начала изучения
элемента модуля
Наименование элемента
модуля
Самостоятель Рубежны
ная
й
работа
контроль
Аудиторная работа
3
[2], [3], [4],
[5], [6], [19]
2
5
3
[4], [6], [9],
[12], [13],
[19]
4
13
3
[4], [5], [6],
[9], [12],
[13], [19]
6
25
35
Производная и
дифференциал
Исследование
дифференцируемой
функции
5
[4], [6],
[9], [12]
7
[4], [7],
[9], [12]
5
6
6
-
[4], [6], [9],
[12], [19]
-
[4], [7], [9],
[12], [19]
-
-
-
-
7
8
9
-
-
-
-
10
11
9
-
-
-
-
-
13
14
16
[2], [4],
[19]
Интегралы зависящие от
параметра
17
[7], [12]
16
17
17
18
33
8
9
[4], [5], [7],
- [9], [12], [13],
[19]
5
[4], [5], [7],
[9], [12],
[13], [19]
10
45
11
9
[4], [5], [7],
- [9], [12], [13],
[19]
5
[4], [5], [7],
[9], [12],
[13], [19]
12
53
9
[4], [5], [7],
- [9], [12], [13],
[19]
5
[4], [5], [7],
[9], [12],
[13], [19]
14
60
6
-
4
[2], [4], [5],
[13], [19]
16
68
3
- [7], [12], [13]
3
[7], [12],
[13]
18
80
13
9
-
[4], [7], [9],
[12]
-
-
-
-
15
Приложения
определенного интеграла
8
12
13
[4], [7],
[9], [12]
4
[4], [5], [6],
[9], [12],
[13], [19]
10
[4], [7], [9],
[12], [19]
12
Определенный интеграл
[4], [5], [6],
- [9], [12], [13],
[19]
9
10
[4], [7],
[9], [12]
6
6
7
9
Неопределенный
интеграл
5
14
15
6
- [2], [4], [19]
-
-
-
-
3
-
-
-
-
-
[7], [12]
16
17
18
[2], [4], [5],
[13], [19]
36
Направление 010500 – Прикладная математика и информатика
Число часов в семестре 214
Специальность 01050165 – Прикладная математика и информатика
Число часов в неделе 6
Квалификация 62 – Бакалавр прикладной математики и информатики
лекций 54
лабораторных работ 0
Семестр 2
практических (семинарских) занятий 54
самостоятельной работы 106
Форма отчетности экзамен
Семестровая технологическая карта дисциплины «Математический анализ»
Самостоятельная Рубежный
работа
контроль
Неделя начала
изучения элемента
модуля
Номера разделов
основных учебников
Номер лекции
Затраты времени
в часах
ТСО
Учебнометодическая
литература
ТСО
Учебнометодическая
литература
Номер
практического
(семинарского)
занятия
Затраты времени
в часах
ТСО
Учебнометодическая
литература
Затраты времени
в часах
Учебнометодическая
литература
Неделя рубежного
контроля
Рейтинговый балл
Аудиторная работа
Несобственные
интегралы
Числовые ряды
19
[7], [12]
1
2
-
[7], [12]
-
-
-
-
[7], [12], [13]
2
-
[7], [12], [13]
3
[7], [12], [13]
2
4
20
[7], [12]
2
2
-
[7], [12]
-
-
-
-
[7], [12], [13]
2
-
[7], [12], [13]
3
[7], [12], [13]
4
8
Функциональные
ряды
Степенные ряды
21
[8], [12]
3, 4
4
-
[8], [12]
-
-
-
-
[8], [12], [13]
4
-
[8], [12], [13]
3
[8], [12], [13]
6
20
23
[2], [4]
5, 6
4
-
[2], [4]
-
-
-
-
[2], [4], [5]
4
-
[2], [4], [5]
3
[2], [4], [5]
8
24
Ряды Фурье
25
[2], [4]
7, 8
4
-
[2], [4]
-
-
-
-
[2], [4], [5]
4
-
[2], [4], [5]
3
[2], [4], [5]
10
36
27
[2], [4]
9,10,11
6
-
[2], [4]
-
-
-
-
[2], [4], [5]
6
-
[2], [4], [5]
4
[2], [4], [5]
12
40
30
[2], [4]
12, 13
4
-
[2], [4]
-
-
-
-
[2], [4], [5]]
4
-
[2], [4], [5]
4
[2], [4], [5]
14
44
32
[2], [4] 14,15,16
6
-
[2], [4]
-
-
-
-
6
-
16
48
35
[1], [9]
4
-
[1], [9]
-
-
-
-
4
-
18
60
Множество в
Rn
ФНП
Производные и
функциональные
ФНП
Экстремум ФНП
17, 18
Лабораторные работы
Номер
лабораторной
работы
Затраты времени
в часах
Наименование
элемента
модуля
Лекции
Практические (семинарские) занятия
[2], [4], [5]
[1], [5], [9]
[2], [4], [5]
[2], [4], [5]
4
[1], [5], [9]
3
[1], [5], [9]
37
Направление 010500 – Прикладная математика и информатика
Число часов в семестре 187
Специальность 01050165 – Прикладная математика и информатика
Число часов в неделе 6
Квалификация 62 – Бакалавр прикладной математики и информатики
лекций 54
лабораторных работ 0
Семестр 3
практических (семинарских) занятий 54
самостоятельной работы 106
Форма отчетности экзамен
Семестровая технологическая карта дисциплины «Математический анализ»
Номер лекции
Затраты времени
в часах
ТСО
Учебнометодическая
литература
ТСО
Учебнометодическая
литература
Номер
практического
(семинарского)
занятия
Затраты времени
в часах
Затраты времени
в часах
Учебнометодическая
литература
Неделя рубежного
контроля
Рейтинговый балл
Рубежный
контроль
Номера разделов
основных учебников
Самостоятельная
работа
Неделя начала
изучения элемента
модуля
Аудиторная работа
Кратные
интегралы
Криволинейные
интегралы
Поверхностные
интегралы
Теория поля
37
[7], [12]
1
2
-
[7], [12]
-
-
-
-
[7], [12], [13]
2
- [7], [12], [13]
3
[7], [12], [13]
2
4
40
[7], [12]
2
2
-
[7], [12]
-
-
-
-
[7], [12], [13]
2
- [7], [12], [13]
3
[7], [12], [13]
4
8
42
[8], [12]
3, 4
4
-
[8], [12]
-
-
-
-
[8], [12], [13]
4
- [8], [12], [13]
3
[8], [12], [13]
6
20
43
[2], [4]
5, 6
4
-
[2], [4]
-
-
-
-
[2], [4], [5]
4
-
[2], [4], [5]
3
[2], [4], [5]
8
24
ТФКП
45
[2], [4]
7, 8
4
-
[2], [4]
-
-
-
-
[2], [4], [5]
4
-
[2], [4], [5]
3
[2], [4], [5]
10
36
48
[2], [4]
9, 10,
11
6
-
[2], [4]
-
-
-
-
12
40
50
[2], [4]
12, 13
4
-
[2], [4]
-
-
-
-
14
44
52
[2], [4]
14, 15,
16
6
-
[2], [4]
-
-
-
-
16
48
Теория вычетов
Преобразования
Лапласа
Операционное
исчисление
[2], [4], [5]
[2], [4], [5]]
[2], [4], [5]
6
-
4
-
6
-
Учебнометодическая
литература
ТСО
Лабораторные работы Практические (семинарские) занятия
Номер
лабораторной
работы
Затраты времени
в часах
Наименование
элемента модуля
Лекции
[2], [4], [5]
[2], [4], [5]
[2], [4], [5]
4
4
4
[2], [4], [5]
[2], [4], [5]
[2], [4], [5]
38
Направление 010500 – Прикладная математика и информатика
Число часов в семестре 187
Специальность 01050165 – Прикладная математика и информатика
Число часов в неделе 6
Квалификация 62 – Бакалавр прикладной математики и информатики
лекций 36
лабораторных работ 0
Семестр 4
практических (семинарских) занятий 36
самостоятельной работы 93
Форма отчетности экзамен
Семестровая технологическая карта дисциплины «Математический анализ»
Самостоятельная
работа
Номера разделов
основных учебников
Номер лекции
Затраты времени
в часах
ТСО
Учебнометодическая
литература
Затраты времени
в часах
Учебно-методическая
литература
Неделя рубежного
контроля
Рейтинговый балл
Рубежный
контроль
Неделя начала изучения
элемента модуля
Аудиторная работа
Общая теория
множества
54
[7], [12]
1
2
-
[7], [12]
-
-
-
-
[7], [12],
[13]
2
- [7], [12], [13]
3
[7], [12], [13]
2
4
Измеримые
функции
55
[7], [12]
2
2
-
[7], [12]
-
-
-
-
[7], [12],
[13]
2
- [7], [12], [13]
3
[7], [12], [13]
4
8
58
[8], [12]
3, 4
4
-
[8], [12]
-
-
-
-
[8], [12],
[13]
4
- [8], [12], [13]
3
[8], [12], [13]
6
20
69
[2], [4]
5, 6
4
-
[2], [4]
-
-
-
-
[2], [4], [5]
4
-
8
24
Интеграл Лебега
Пространства
Лебега
Учебнометодическая
литература
ТСО
Затраты времени
в часах
Практические (семинарские)
занятия
ТСО
Учебнометодическая
литература
Номер
практического
(семинарского)
занятия
Лабораторные работы
Номер
лабораторной
работы
Затраты времени
в часах
Наименование
элемента модуля
Лекции
[2], [4], [5]
3
[2], [4], [5]
39