Загрузил allamir_6767

ТРИГОНОМЕТРИЯ

реклама
Соотношение между синусом и косинусом.
Пусть
точка
𝑃𝛼(𝑥, 𝑦)
единичной
окружности получена поворотом точки
𝑃0(1; 0) на угол 𝛼 радиан, тогда согласно
определению синуса и косинуса:
𝑥 = cos 𝛼 , 𝑦 = sin 𝛼 (рис. 100)
Так как точка 𝑃𝛼(𝑥; 𝑦) принадлежит единичной окружности, то
координаты (𝑥; 𝑦) удовлетворяют уравнению
𝑥 2 + 𝑦 2 = 1.
Подставив в это уравнение вместо 𝑥; 𝑦 значения cos 𝛼 і sin 𝛼 ,
получим:
cos2 𝛼 + sin2 𝛼 = 1.
Таким образом, 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏 верно для всех значений α.
Это равенство называется основным тригонометрическим
тождеством.
Упростить выражения:
1 + 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
1 − cos 𝛼 1 + cos 𝛼
1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
2𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1
1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
𝑠𝑖𝑛4 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 4 𝛼 + 1
Найти 𝒄𝒐𝒔 𝜶, если
1
𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼 =
8
4
4
Соотношение между тангенсом и котангенсом.
По определениям тангенса и котангенса имеем:
sin 𝛼
cos 𝛼
tg 𝛼 =
,
ctg 𝛼 =
cos 𝛼
sin 𝛼
Тогда
sin 𝛼 cos 𝛼
tg 𝛼 ∙ ctg 𝛼 =
∙
=1
cos 𝛼 sin 𝛼
𝐭𝐠 𝜶 ∙ 𝐜𝐭𝐠 𝜶 = 𝟏
𝝅
для всех значений 𝜶, кроме 𝜶 = ∙ 𝒌, 𝒌 ∈ 𝒁
𝟐
𝟏
𝐭𝐠 𝜶 =
𝐜𝐭𝐠 𝜶
𝟏
𝐜𝐭𝐠 𝜶 =
𝐭𝐠 𝜶
Пример:
Найти:
3
tg 𝛼, если ctg 𝛼 =
2
1
1
2 3
Т.к. tg 𝛼 = ctg 𝛼 → tg 𝛼 = 3 = 3
Самостоятельно:
1. ctg 𝛼, если tg 𝛼 = −1
2. tg 𝛼, если ctg 𝛼 = 0
2
Найти
𝑡𝑔2 𝛼 + 𝑐𝑡𝑔2 𝛼, если tg 𝛼 + ctg 𝛼 = 2
Решение:
Возведем в квадрат обе части равенства tg 𝛼 + ctg 𝛼 = 2
tg 𝛼 + ctg 𝛼 2 = 4 → 𝑡𝑔2 𝛼 + 2 tg 𝛼 ∙ ctg 𝛼 + 𝑐𝑡𝑔2 𝛼 = 4
𝑡𝑔2 𝛼 + 𝑐𝑡𝑔2 𝛼 = 2 т.к. 𝐭𝐠 𝜶 ∙ 𝐜𝐭𝐠 𝜶 = 𝟏
Соотношение между тангенсом и косинусом,
котангенсом и синусом.
Упростить:
а)
1
2
+
sin
;
2
1 + tg 
г) 1 − sin  (1 + ctg  ) ;
2
0; г) 0; д)
2
1
− sin 2  ;
2
1 + ctg 
в) (1 + tg 2 ) cos 2  − 1 ;
1
д) (1 + tg  ) + 2 ;
sin 
1 + tg 2
є)
.: а) 1; б) 0; в)
2
1 + ctg 
б)
2
1
; є) tg α.
sin 2  cos 2 
Доказать:
а)
1
1
+
= 1;
1 + tg 2 1 + ctg 2
б) (1 – сtg α)2 + (1 + сtg α)2 =
1 + tg + tg 2
1 − sin 2 
1
2
в)
;
г)
=
tg
.
+
tg


ctg

=
2
2
2
1 − cos 
sin 
1 + ctg + ctg 
2
;
sin 2 
Скачать