Sc
ho
o
Для успешного решения заданий второй части нужно знать весь материал, относящийся к первой части плюс факты, перечисленные ниже.
Желательно уметь всё это доказывать!
v
Задача 12. Сложные уравнения
Lo
m
on
os
o
Корень уравнения. Допустимые преобразования.
Линейные, квадратные, рациональные и иррациональные уравнения.
Для решения показательного уравнения необходимо привести его
к виду 𝑎𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) или к виду 𝑎𝑓 (𝑥) = 𝑏.
Показательная функция
Во всех формулах 𝑎, 𝑏 > 0.
𝑎𝑥 · 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦
ГУ
х
𝑎𝑥
= 𝑎𝑥−𝑦
𝑎𝑦
(𝑎𝑥 )𝑦 = (𝑎𝑦 )𝑥 = 𝑎𝑥·𝑦
𝑎1 = 𝑎
М
ат
ем
ат
ик
М
𝑎0 = 1
1
𝑎−𝑥 = 𝑥
𝑎
𝑥
(𝑎𝑏) = 𝑎𝑥 · 𝑏𝑥
(︁ 𝑎 )︁𝑥 𝑎𝑥
= 𝑥
𝑏
𝑏
Для решения логарифмического уравнения необходимо привести
его к виду log𝑎 𝑓 (𝑥) = log𝑎 𝑔(𝑥) или к виду log𝑎 𝑓 (𝑥) = 𝑏.
Логарифмы
Во всех формулах 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦 > 0, 𝑎 ̸= 1, 𝑏 ̸= 1
𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥
log𝑎 1 = 0
log𝑎 𝑎 = 1
1
l
А.Н.Павликов
ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Вторая часть
Шпаргалка
log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 = log𝑎 (𝑥 · 𝑦)
𝑥
log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦 = log𝑎
𝑦
Sc
ho
o
l
𝑛 · log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑥𝑛
1
· log𝑎 𝑥 = log𝑎𝑛 𝑥
𝑛
log𝑏 𝑥
log𝑎 𝑥 =
log𝑏 𝑎
v
1
log𝑏 𝑎
os
o
log𝑎 𝑏 =
ГУ
х
Lo
m
on
Тригонометрические уравнения вида sin 𝑥 = 𝑎, cos 𝑥 = 𝑎, tg 𝑥 = 𝑎,
ctg 𝑥 = 𝑎, где 𝑎 – число, решаются с помощью таблицы значений тригонометрических функций для основных углов.
Формулы тригонометрии
Основные формулы
sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1
sin 𝑥
tg 𝑥 =
cos 𝑥
cos 𝑥
ctg 𝑥 =
sin 𝑥
Формулы суммы и разности
М
sin (𝑥 + 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑦 cos 𝑥
cos (𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑥 sin 𝑦
cos (𝑥 − 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑥 sin 𝑦
ат
ик
sin (𝑥 − 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑦 cos 𝑥
ат
ем
Формулы двойного аргумента
sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥
cos 2𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥 = 2 cos2 𝑥 − 1
М
Формулы понижения степени
sin2 𝑥 =
1 − cos 2𝑥
2
cos2 𝑥 =
1 + cos 2𝑥
2
2
Формулы половинного угла
𝑥
1 + cos 𝑥
=
2
2
Формулы преобразования суммы и разности в произведение
cos2
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
cos
2
2
v
sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin
l
𝑥
1 − cos 𝑥
=
2
2
Sc
ho
o
sin2
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
cos
2
2
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos
cos
2
2
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
sin
cos 𝑥 − cos 𝑦 = −2 sin
2
2
Формулы преобразования произведения в сумму или разность
Lo
m
on
os
o
sin 𝑥 − sin 𝑦 = 2 sin
х
1
sin 𝑥 cos 𝑦 = (sin (𝑥 − 𝑦) + sin (𝑥 + 𝑦))
2
ат
ик
М
ГУ
1
cos 𝑥 cos 𝑦 = (cos (𝑥 − 𝑦) + cos (𝑥 + 𝑦))
2
1
sin 𝑥 sin 𝑦 = (cos (𝑥 − 𝑦) − cos (𝑥 + 𝑦))
2
Свойства тригонометрических функций: четность/нечетность,
периодичность.
Аркфункции
Методы решения тригонометрических уравнений
ем
1. Сведение к простейшему
М
ат
2. Использование формул тригонометрии
3. Разложение на множители
4. Метод замены
5. Учет ОДЗ
6. Однородное уравнение
7. Метод введения вспомогательного угла
3
8. Метод оценки
Отбор корней на промежутке:
Sc
ho
o
l
1. С помощью единичной окружности
2. Метод подбора
3. При помощи двойного неравенства
os
o
v
Значения тригонометрических функций для основных углов:
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
0, , , , , 𝜋.
6 4 3 2
on
Задача 13. Сложная стереометрия
М
ат
ем
ат
ик
М
ГУ
х
Lo
m
Необходимый минимум знаний из планиметрии: Теорема Пифагора; Теорема косинусов; Теорема Фалеса; Теорема Менелая; Формулы
площади треугольника, параллелограмма, трапеции.
Два подхода к решению задач по стереометрии
1. Классический (геометрический);
2. Аналитический (координатно-векторный).
Определения и теоремы стереометрии
Параллельные, скрещивающиеся, перпендикулярные прямые.
Параллельные и перпендикулярные плоскости.
Параллельность прямых и плоскостей. Свойства и признаки. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Свойства и признаки.
Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.
Углы и расстояния в пространстве: угол между пересекающимися прямыми; угол между скрещивающимися прямыми; угол между
прямой и плоскостью; угол между плоскостями; расстояние от точки до
плоскости; расстояние между скрещивающимися прямыми.
Многогранники: куб, параллелепипед, призма, пирамида. Круглые
тела: цилиндр, конус, шар. Определения и их элементы.
Сечения многогранников и осевые сечения круглых тел. Методы построения сечений: метод следов; метод вспомогательных сечений; комбинированный метод.
Формулы объема и площади поверхности.
Координаты и векторы
Система координат.
Вектор, его длина и направление. Равные векторы. Коллинеарные
векторы.
4
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑|
√
.
𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
Lo
m
𝑟=
on
os
o
v
l
Sc
ho
o
Расстояние между
точками 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) и 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) находится по
√︀
формуле 𝐴𝐵 = (𝑥1 − 𝑥2 )2 + (𝑦1 − 𝑦2 )2 + (𝑧1 − 𝑧2 )2 .
Координаты середины отрезка с концами 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) и 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 )
𝑥1 + 𝑥2
𝑦1 + 𝑦2
𝑧1 + 𝑧2
находятся по формулам 𝑥 =
,𝑦=
,𝑧=
.
2
2
2
Скалярным произведением веторов ⃗𝑎 = {𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 } и ⃗𝑏 = {𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 }
называется число 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 + 𝑧1 𝑧2 .
√︀
Модуль вектора ⃗𝑎 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} находится по формуле |⃗𝑎| = 𝑥2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 .
Скалярное произведение веторов ⃗𝑎 и ⃗𝑏 находится по формуле
⃗𝑎 · ⃗𝑏 = |⃗𝑎| · |⃗𝑏| cos 𝜙, где 𝜙 – угол между векторами ⃗𝑎 и ⃗𝑏.
Уравнение плоскости 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – координаты
вектора, перпендикулярного данной плоскости.
Расстояние от точки 𝐴(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) до плоскости 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
находится по формуле
Задача 14. Сложные неравенства
х
Показательная функция Во всех формулах 𝑎, 𝑏 > 0.
М
ат
ем
ат
ик
М
ГУ
𝑎𝑥 · 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦
𝑎𝑥
= 𝑎𝑥−𝑦
𝑎𝑦
(𝑎𝑥 )𝑦 = (𝑎𝑦 )𝑥 = 𝑎𝑥·𝑦
𝑎1 = 𝑎
𝑎0 = 1
1
𝑎−𝑥 = 𝑥
𝑎
𝑥
(𝑎𝑏) = 𝑎𝑥 · 𝑏𝑥
(︁ 𝑎 )︁𝑥 𝑎𝑥
= 𝑥
𝑏
𝑏
Логарифмы
Во всех формулах 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦 > 0, 𝑎 ̸= 1, 𝑏 ̸= 1
𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥
log𝑎 1 = 0
5
log𝑎 𝑎 = 1
Sc
ho
o
l
log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 = log𝑎 (𝑥 · 𝑦)
𝑥
log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦 = log𝑎
𝑦
𝑛 · log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑥𝑛
1
log𝑏 𝑎
os
o
log𝑎 𝑏 =
v
1
· log𝑎 𝑥 = log𝑎𝑛 𝑥
𝑛
log𝑏 𝑥
log𝑎 𝑥 =
log𝑏 𝑎
m
on
Метод интервалов Пусть ∨ – любой знак сравнения (строгий или
нестрогий).
Неравенство вида
Lo
(𝑥 − 𝑎1 )(𝑥 − 𝑎2 ) . . . (𝑥 − 𝑎𝑛 ) ∨ 0,
ик
М
ГУ
х
где 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 – фиксированные числа такие, что 𝑎1 < 𝑎2 < . . . < 𝑎𝑛
решается методом интервалов. На координатную ось наносятся числа
𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 , на образовавшихся промежутках справо налево расставляются знаки "плюс"и "минус". Знак на промежутке определяется значением в любой точке промежутка.
Аналогично решается неравенство вида
(𝑥 − 𝑎1 )(𝑥 − 𝑎2 ) . . . (𝑥 − 𝑎𝑛 )
∨ 0,
(𝑥 − 𝑏1 )(𝑥 − 𝑏2 ) . . . (𝑥 − 𝑏𝑘 )
М
ат
ем
ат
где 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 – фиксированные числа. На координатную ось наносятся
числа 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 и 𝑏1 , 𝑏2 , . . . , 𝑏𝑘 , на образовавшихся промежутках справо налево расставляются знаки "плюс"и "минус". Знак на промежутке
определяется значением в любой точке промежутка.
Метод рационализации
Пусть ∨ – любой знак сравнения (строгий или нестрогий).
Неравенство 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 ∨ 0 равносильно неравенству (𝑎 − 1) · (𝑥 − 𝑦) ∨ 0.
Неравенство log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦 ∨ 0 на области допустимых значений равносильно неравенству (𝑎 − 1) · (𝑥 − 𝑦) ∨ 0.
6
Задача 15. Экономическая задача
𝑆𝑛 =
Sc
ho
o
l
Определение процента.
Сумма арифметической прогрессии:
𝑎1 + 𝑎𝑛
· 𝑛.
2
Сумма геометрической прогрессии при 𝑞 ̸= 1:
v
𝑞𝑛 − 1
.
𝑞−1
os
o
𝑆𝑛 = 𝑏1 ·
М
ГУ
х
Lo
m
on
При составлении математической модели во всех задачах на кредиты
и вклады важнейшим условием является порядок действий: начисление
процентов или внесение платежа. Основной метод решения – заполнение
таблицы, на основе которой выписываются необходимые для решения
задачи уравнения и неравенства.
Схема с аннуитетными платежами; схема с дифференцированными
платежами; схема с льготными платежами; гибридные схемы.
Оптимизация
В задаче на оптимизацию при составлении математической модели
необхоимо выписать целевую функцию, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти.
Таблица основных производных. Правила дифференцирования.
Задача 16. Планиметрия
М
ат
ем
ат
ик
Определения и базовные факты.
Треугольник: его стороны, углы, внешние углы; медианы, биссектрисы, высоты, серединные перпендикуляры; признаки равенства треугольников; неравенство треугольника; теорема о сумме углов треугольника; соотношения между сторонами и углами треугольника.
Равнобедренный треугольник: свойства и признаки.
Прямоугольный треугольник: теорема Пифагора;
свойство медианы.
Подобные треугольники: определение и признаки подобия.
Теорема Фалеса.
Общие треугольники: средняя линия треугольника – определение
и свойства; теорема косинусов; теорема синусов; четыре замечательные
7
М
ат
ем
ат
ик
М
ГУ
х
Lo
m
on
os
o
v
l
Sc
ho
o
точки треугольника: точка пересечения медиан; точка пересечения биссектрис; точка пересечения высот; точка пересечения серединных перпендикуляров.
Площадь треугольника
Формулы:
1
𝑆 = 𝑎ℎ, где 𝑎 – сторона треугольника, ℎ – высота, опущенная на эту
2
сторону.
1
𝑆 = 𝑎𝑏 sin 𝛾, где 𝑎, 𝑏 – стороны треугольника, 𝛾 – угол между ними.
2√︀
𝑆 = 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – стороны треугольника, 𝑝 –
полупериметр.
𝑆 = 𝑝𝑟, где 𝑝 – полупериметр, 𝑟 – радиус вписанной окружности.
𝑎𝑏𝑐
𝑆 =
, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – стороны треугольника, 𝑅 – радиус описанной
4𝑅
окружности.
Медиана, биссектриса и высота треугольника. Их свойства.
Треугольник: его стороны, углы, внешние углы.
Параллелограмм. Определение, свойства и признаки.
Прямоугольник. Определение, свойства и признаки.
Ромб. Определение, свойства и признаки.
Квадрат. Определение, свойства и признаки.
Трапеция. Определение, свойства и признаки. Средняя линия трапеци. Равнобедренная трапеция. Определение, свойства и признаки.
Формулы площади параллелограмма
𝑆 = 𝑎ℎ, где 𝑎 – сторона параллелограмма, ℎ – высота, опущенная на
эту сторону.
𝑆 = 𝑎𝑏 sin 𝛾, где 𝑎, 𝑏 – стороны треугольника, 𝛾 – угол между ними.
Формулы площади ромба
𝑆 = 𝑎ℎ, где 𝑎 – сторона ромба, ℎ – высота, опущенная на эту сторону.
𝑆 = 𝑎2 sin 𝛾, где 𝑎 – сторона ромба, 𝛾 – угол ромба.
1
𝑆 = 𝑑1 𝑑2 , где 𝑑1 , 𝑑2 – диагонали ромба.
2
Формула площади прямоугольника
𝑆 = 𝑎𝑏, где 𝑎, 𝑏 – стороны прямоугольника.
Формула площади квадрата
𝑆 = 𝑎2 , где 𝑎 – сторона квадрата.
Формула площади трапеции
𝑎+𝑏
𝑆=
· ℎ, где 𝑎, 𝑏 – основания трапеции, ℎ – высота трапеции.
2
Окружность, хорда, диаметр. Касательная, ее свойства. Центральный и вписанный углы. Свойства центральных и вписанных углов. Угол
8
ик
М
ГУ
х
Lo
m
on
os
o
v
l
Sc
ho
o
между касательной и хордой. Угол между пересекающимися хордами.
Угол между пересекающимися секущими с вершиной вне окружности.
Описанная, вписанная и вневписанные окружности треугольника. Их
центры и формулы для нахождения радиусов.
Описанная и вневписанные окружности четырехугольника. Критерии существования. Их центры и формулы для нахождения радиусов.
Касающиеся окружности. Пересекающиеся окружности.
Дополнительные факты
Формулы для вычисления длин медианы, биссектрисы, высоты.
Теорема Менелая.
Теорема Чевы.
Теорема Ван-Обеля. Теорема Стюарта.
Формула площади произвольного четырехугольника.
𝑆 = 12 𝑑1 𝑑2 sin 𝛼, где 𝑑1 , 𝑑2 – диагонали четырехугольника, 𝛼 – угол
между ними.
Теорема Вариньона.
Замечательное свойство трапеции.
Свойство трапеции с суммой углов в 90∘ при одном из оснований.
Теорема о пересекающихся хордах.
Теорема о касательной и секущей.
Теорема о двух секущих.
Свойство радикальной оси.
Теорема Птолемея.
Формула Брахмагупты.
Лемма о трезубце.
Свойства ортоцентра.
Задача 17. Задача с параметром
М
ат
ем
ат
Четыре основных метода решения задач с параметром.
1. Аналитический (алгебраический).
2. Графический (геометрический).
3. Параметр как переменная (плоскость параметра).
4. Функциональный.
Линейное уравнение. Квадратное уравнение. Дискриминант
и формулы корней. Теорема Виета. Исследование квадратичной
функции. Расположение корней квадратного трехчлена.
Неравенства. Метод рационализации.
Функции, свойства и графики которых, необходимо знать:
– линейная;
9
Sc
ho
o
l
– квадратичная;
– модуль;
– арифметический корень;
– дробно-рациональная;
– показательная;
– логарифмическая;
– тригонометрические.
v
Задача 18. Теория чисел
М
ат
ем
ат
ик
М
ГУ
х
Lo
m
on
os
o
Cвойства и признаки делимости. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9,
10, 11. Признаки делимости на 2𝑛 , 5𝑛 , 10𝑛 . Деление с остатком.
Простые и составные числа. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Взаимно простые числа. Соотношение между НОД
и НОК.
Основная теорема арифметики.
Десятичная запись натурального числа.
Арифметическая прогрессия. Возрастающая и убывающая прогрессии. Формула 𝑛-го члена арифметической прогрессии. Формула суммы
членов арифметической прогрессии.
Среднее арифметическое, его свойства. Среднее геометрическое. Соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим.
Метод Оценка плюс пример.
10
