Шпаргалка

n ∈ R,
matematikaj
m ∈ R,
a > 0,
b > 0
matematikaj
Определения и основные формулы
1
−n
1
a
=
n
5
n
a
n
·
=
m ∈ N,
k ∈ N,
≥
a
0,
≥
b
matematikaj
log
a
n
n
1
a
m
=
nm
a
для неч
1
n
m
6
a
=
ё
тны
х
;
≠ ;
m
0
a, c
≠;
1
d
a > 0, b > 0, c > 0,
matematikaj
> 0
matematikaj
b
a
a
=
log
7
b
c
b
log
a
=
c
выражение
ограничения
n
1
3
f(x)
2
a
m
=
a
6
a
n
b
(при
m ∈ Z,
n
2
=
n
ab
nk
n
=
a ·
n
k
a
b
для ч
b
ё
тны
х
log
b
a
=
n · log
8
b
a
log
a
b
log
b
m
=
m
n
a
7
· a
n
mn
a
=
a
n
=
m
a
a
3
a
=
3
n
7
n
b
log
1
a
=
log
a
b
m
=
· log
m
a
9
b
log
а
a
b
c
2x + 1 > 0
2x + 1
f(x) > 0
3
x = 1
1
g(x)
log
f(x) > 0
f(x)
x
(2x)
x > 0
2
m
4
a
− n
=
4
=
a
m
8
a
=
m
a
для неч
b
a
mn
n
m
b
8
n
4
n
a
a
m−n
=
ё
тны
х
log
a
b +
a
log
c =
a
log
sin(x)
k
n
nk
5
a
k
=
k
a
a
Практические и полезные формулы
для ч
ё
тны
х
=
tg(x)
b
| |
5
a
log
a
b −
log
a
c =
log
m
1
= 1
a
=
6
f(x) <
9
10
a
ab
=
a ·
11
b
a
log
a
b ·
log
c
d
=
log
c
b ·
log
d
a
f(x) >
Ограничения для уравнений
=
a
Практические и полезные формулы
13
a
=
− 1
a
0
a
a
2
12
=
b
14
= 1
a
10
b
a
=
| |
10
log
a
1
=
13
0
log
n
a
11
log
a
a
=
14
1
log
12
f(x), g(x) — функции, определенные в ОДЗ
matematikaj
У
равнение с корнями в о
2
б х
еи
частя
х
f(x) = g(x)
g(x)
6
= g(x)
f(x)
=
еравенства с корнями в о
log
a
a
=
n
log
б х
еи
0
У
частя
х
равнение
=
m (при
m · log
f(x)
>
ё
a
тны
х
b
n
=
12
f(x) ·
g(x) > 0
2
x > 0
(при
8
Н
g(x)
У
2
равнение
g(x)
еравества
a
f(x) ·
cos(x) = g(x)
g(x)
g(x)
У
равнение с модулями в о
в ОД
З
Р ш
е
4
f(x)
|
1
б х
еи
частя
х
f(x) ·
ь
f(x)
| |
=
g(x)
f(x)
+
g(x)
f(x) >
g(x) > 0
> 0
|
2
ения рационал
+ bx + c > 0
ax
2
15
f(x) ·
ax
f(x) > 0
|
D
D
< 0
11
g(x) > 0
g(x)
> 0
g(x) > 0
f(x) <
тригонометрическа
ь
производные функций
a, c — константы, f и g — функции от x
matematikaj
f(x)
|
ш
х
функция
функций
производная
2
π
π
1
3
1
0
с
x
5
1
π
log
x
1
cos x
150
°
− 180
2
x
f(x) ·
|
3
= g(x)
D
f(x) = − g(x)
π
2
60
2
3
°
2
π
45
°
°
f(x)
| |
<
g(x)
б х
еи
частя
х
f(x) − g(x)
·
x
1
f(x) + g(x)
sin
α
cos
α
tg
α
D
< 0
sin
x
−
π
2
2
2
°
1
3
1
0
−
−
2
2
0
3
2
°
|
|
5
f(x)
и
f(x)
a
2
5
x
−
x
tg x
x
3
2
cos
e
°
−
x
π
− 135
−
°
2
2
−
π
− 60
−1
2
sin
a
a
ctg x
· ln a
−
cos
2
° π
−
−
π
x
π
Правила вычисления производны
х
градусы
=
a ·
f
f
f 4
· g −
=
f + g
=
f
+
g 2
g
2
f ·
°
g
30
°
g
45
°
радианы
f (g)
=
f
(g) ·
g
5
f · g
=
f
· g +
f ·
g
60
0
π
б ьш
наи
ол
х
/минимума функции — на
ьш
/наимен
ее
одим
х
х
ее значение функции — на
cos
=
2a
D
°
одим у
90
°
cos
tg
1
0
1
3
3
2
2
π
2
2
π
2
2
3
1
tg
α
ctg
sin
б
лице
+
+
−
cos
cos
ctg
−
−
−
+
π
α
<
Значения функций отрицател
3
sin
1
1
α
cos
α
tg
sin
ны
α = 2 sin α
cos
0
2
α+
β
sin (
α−
β
2
α = 1 − sin α
cos
cos (
3
6
α
tg
⋅
α
ctg
cos
0
α
α
cos
cos (−
α+
⋅
α+
2
cos
α
2
2
α = cos α − sin α
cos 2
10
11
α = 1 − 2 sin α
cos 2
tg (
6
ш
ение
ре
<0
ш
x
∈ ( − ∞;
ений
α
⋅
) = sin
α
⋅
β
β
α−
β
2 tg α
α = ————
2
1 − tg
α
ctg
α = 2 cos α − 1
cos 2
·
12
α=
ctg 2
ctg (
7
α+
—
————
—
α
ctg (
8
Ф
cos
cos
) = cos
α
) = cos
tg
) =
α
f(x) − 1
13
cos
α
x
0
x
−
1
x
−
1
0
− 2
=
0
+ 6
=
0
х
х
х
=
2
=
− 6
х
− 4
=
0
————
—
α= —
15
sin
α
————
—
—
α= —
2
α) = − ctg (α)
tg
α
———
—
—
—
α = —
1 + cos 2α
2
16
ctg
ш
х
ение
0
− 3
− 6
x
x
ны
неравенств
-
ное неравенство подставляем конт
+ 3
=
0
0
)
⋃(
х; ∞
+
0
ш
ш
)
ь
tg
отмечаем петел
ь
ную точку из крайнего правого
ь х
ка
знак неравенства тоже меняется
α−
β
9
2 cos
α
⋅
2 sin
α
⋅
х
+
−
=
4
=
− 3
+
−
вы
б
x
(10 + 6)
5
2
т
4
2
х
ь
ь
если начал
4
2
и
=
11
⋅
∈ ( − ∞;
β
+ cos
α
⋅
− cos
α
⋅
sin
но
.
ного неравенства
но
ное неравенство нестрогое, и точка
б
ер
ё
м в ответ вне зависимости от знака
ь
х ⋃ х; ∞
1
)
(
2
+
+
−
+
+
−
+
−
= 0
x
− 3
0
4
2
ь
ками корни четной кратности
записываем ответ, причем о
но
б
язател
ь о
н
слева направо по числовой прямой
одятся в четной степени
)
:
∈ {−6}⋃ (−3;0]⋃[2;4)⋃(4;+∞)
x
x
0
− 3
2
4
sin
теория вероятностей
β
P
matematikaj
β
— вероятност
ь; А В
,
⋅
cos
β
− sin
α
⋅
sin
⋅
cos
β
+ sin
α
⋅
sin
β
1
m
P
со
n
=
б
β
С
β
α⋅
β
tg
⋅
ctg
ctg
β
β
β
β
б
б
лагоприятны
ытия
б
⋅
ctg
cos
;
е
ытия
β
= cos (
α−
β
β
= sin (
α+
β
(
+
2
P
3
0 <
=
P
1
P
P
р
< 1
Р
А
А
P А
(−
)
=
1
−
РА
(
р А
(−
)
)
рА
(
)
ь
β
) + cos (
α−
β
(
)
=
Р
(−
о
)
А
PA ⋅PB
(
независимые со
б
)
(
)
) − cos (
α+
β
P
) − sin (
α−
β
=
зависимые со
)
PA ⋅P B
б
(
)
В
+
=
б
PA
(
)
+
PB
(
)
−
P A ∩ B
(
)
ытия
р=
А
(−
)
А
В
+
−
б
А
) — вероятност
ратного со
б
ь
б
В
б
P( A )
P( B ) ⋅ P( A )
+
1
инированные со
)
б
(
1
P( B )
+
2
(
ытия
)
а
(
В
ытия
)
2
2
ытия
1
А
В
А
1
В
2
2
1
ытия
=
А
В
Н
езависимые и несовместные со
P
= (
12
б
P( A ) ⋅ P( B )
1
инированные со
б
)
1
+ (
P( A ) ⋅ P( B )
2
)
2
ытия
А
)
б
ытия
ытия
)
)
PB
А
=
)
= (
12
ком
ком
(
+
есовместные и независимые со
10
P AB
)
ытия
Н
— число от 0 до 1
езависимые и зависимые со
P AB
(
б
ытия
— полная вероятност
Н
5
PA
В
В
+ 1
α+
=
В
PA B
8
войства вероятностей
4
α − ctg
= cos (
)
б
е
9
——
—————
β
+
А
− 1
α + ctg
α
(
несовместные со
совместные со
tg
α
PA B
7
ытия
n — все возможны
—
———
——
—
—
) =
— со
Основная формула вероятностей
β
α⋅
β
ctg
cos
10
дз
Ответ
6
α
(10 − 4)
x
0
по знаку начал
ка
>0
− 6
α
2 sin
4
10 (10 − 2)
+
−
ираем нужные промежутк
на
з
ом
+
−
− 3
− 6
но
α − tg
ctg
) =
sin
.
(10 + 3)
х
число раз или на
ение
——
———
—
——
1 + tg
β
!
у
ное неравенство подставляем одн
− 6
ений
—
—
————
1 − tg
) =
-
.
x
−
2
ре
=0
1 + cos 2
———
—
—
—
α = —
1 − cos 2α
ь х
x
2
2
1 − cos 2
ения рационал
> 0
х
наносим корни на числовую прямую
3
углов
β
Ф
1 − cos 2
2
ш
3
=
ормулы умножения функций
1 + cos 2
ь
вколотая, то
α + tg
ctg
2
для ре
в начал
+
0
нет ре
α−1
2ctg
α) = − tg (α)
ctg (−
(x) − 1
ь
че
или
) = sin
β
tg 2
10
tg (−
(x)
ные точки из каждого интервала,и записы
и
ил
6
2
14
α
α−
α) = cos (α)
2
−
tg (
5
2
3
cos (
4
α=1
ормулы понижения степени
α) = − sin (α)
ь
5
+
∈ ( − ∞; + ∞ )
sin (
tg
α
3
углов
α
sin
p
f(x) −
есовместные и совместные со
2
−
ь х
f(x) − g(x)
очереди справа налево меняем знаки, причем в
с у
0
ормулы суммы
α = 1 − cos α
1
—
α = ——
sin 2
9
−
1
a
α
+
−
+
3
2
sin
2
5
2
sin
+
·
Н
Ф
х
ормулы двойного угла
sin (−
2
или в радиана
1
1
α = ———
1 + ctg
7
0
6
х
Ф
функций
в начал
4
> 0
−
2
sin
α
sin
3
3
точка максимума
α
х
·
лгоритм метода интервалов
−
ения
4
2
4
3
sin
α — угол в градуса
2
8
0
a · f
sin
3
ригонометрические значения в та
1
Знаки тригонометрически
6
4
Т
D
f(x) > g(x)
2
1 + tg
2
3
π
(x) − 1
знаменател
m —
2
2
sin
− 90
°
°
−
(x) − 1
matematikaj
множители с умножением,
ь
со
°
p
f(x)
ь
корни четной кратности повторяются четное
α + cos α = 1
2
−
1
x
− 45
2
°
3
x
3
−
− 120
4
х
х
> g(x)
cos
− 30
p
f(x) − 1
(x)
log
А
ел
2
2
2
6
1
e
π
− 150
|
ш
1
−
p
g(x)
(x)
справа нол
формулы тригонометрии
1
α
p
ваем знак каждого промежутка на прямой
знаменат
f(x) < − g(x)
α
cos
p
неравенств
−
< g(x)
функций
tg
α
f(x) − log
(x)
0
>
или
2
x
числител
2a
= 0
x
x
1
− sin x
cos x
1
|
-
cos
cos
(x) из ОДЗ для каждого выражения
петел
α
0
ны
f(x) < g(x)
ctg
2
ь х
+
x
sin
sin
p
ищем нули (или корни) множителей
D
+
matematikaj
ctg
log
< 0
и
0
6
ения рационал
б
=
р
п
matematikaj
х
ш
− 4ас
х
+
Основные соотно
π
−
−1
= b
2
2a
нет ре
-
h
контрол
= −
0
D
|
f(x) > − g(x)
свойства тригономет
4
°
· f(x)
f(x) − g(x)
(x), f(x), g(x),
рол
2
4
ф ий
log
приводим неравенство к стандартному виду
1
b
x
g(x) = 0
х
для ре
еравенство с одним модулем
0
f(x) >
Значения тригонометрически
30
(x)
метод интервалов
лгоритм метода интервалов
= 0
Н
0
g(x) < 0
рически
1
π
x · ln a
sin x
−
°
3
x
180
1
90
°
°
D
− b −
еравенство с модулями в о
2
a
nx
на круге
2
1
n−1
120
135
6
n
3
π
4
ln x
x
я
16
sin
функция
производная
Т
(x) −
интервала, и записываем ее знак, затем по
x
ре
ригонометрические значения
Производные основны
А
ений
g(x) > 0
matematikaj
окружност
h
g(x)
> 0
f(x) = g(x)
Н
f(x) > 0
+
p
f(x)
(x)
делением или в степени
2
0
f(x) <
g(x)
f(x)
matematikaj
+ bx + c = 0
одим дискриминант и корни
g(x) = 0
< g(x)
неравенств
0
2
х
на
3
п
f(x)
ны
а
g(x) > 0
g(x) > 0
p
+ bx + c < 0
р
5
ь х
f(x) = g(x)
нет ре
g(x) > 0
f(x) = g(x)
2
f(x) <
ш
приравниваем к нулю
равнение с одним модулем
g(x) > 0
f(x) > 0
10
7
-
У
g(x) < 0
с суммой корней
g(x)
g(x) > 0
6
ение квадратного нер ва
ax
f(x) = − g(x)
g(x) > 0
2
f(x) >
для ре
− b +
14
еравенства
> g(x)
5
= 0
Н
g(x) < 0
−
функции
метод интервалов
приводим неравенство к стандартному виду
1
2
f(x) < 0
0
f(x)
· f(x)
!
0
f(x) <
f(x), g(x) — функции, определенные в ОДЗ
matematikaj
g(x) = 0
f(x) >
−
(x) − 1
> 0
−1 < x < 1
cos(x) = x
− 1 < g(x) < 1
тождества для модулей
f(x) = 0
+
< 0
-
g(x) > 0
f(x)
−1 < x < 1
sin(x) = x
f(x) > 0
f(x) > 0
9
h
f(x)
(x)
p
1
f(x) − g(x)
g(x) < 0
6
квадратные нер ва
ь
с умножением на корен
с суммой корней
13
g(x) > 0
−
·
b ∈ R)
g(x) = 0
>
f(x)
(x)
(x) − 1
g(x) > 0
b
f(x) > g(x)
f(x)
− 1 < g(x) < 1
!
0
f(x) >
x > 0
= x
f(x)
| |
0
g(x) = 0
f(x)
g(x)
p
ационализация логарифмов
0
f(x) <
2x + 1
= g(x)
sin(x) = g(x)
n · log
с умножением на корен
g(x)
g(x) > 0
< g(x)
2x + 1 = x
b
a
b ∈ R)
g(x) > 0
g(x) > 0
g(x) > 0
f(x)
х
2
f(x) <
g(x) > 0
matematikaj
g(x) < 0
> g(x)
= g(x)
b
f(x) > g(x)
7
g(x)
(x)
g(x) < 0
f(x), g(x) — функции, определенные в ОДЗ
f(x) =
3
b
тны
n
matematikaj
или f(x) > 0
Н
еравества с корнем в одной части
f(x) >
g(x)
а
g(x)
g(x) > 0
Н
f(x)
> 0
5
пример уравнения
тождества на корни
g(x) > 0
2
a
ё
n
равнение с корнем в одной части
f(x) >
f(x)
· log
m
тождества на корни
У
1
ограничения
f(x)
для ч
f(x) =
=
a
a
f(x), g(x) — функции, определенные в ОДЗ
p
−
Р
0
m
тождества на корни
f(x)
b
b
для неч
matematikaj
m
a
=
b
f(x)
(x)
g(x) > 0
f(x)
a
n
11
уравнение
2
= a
(x) из ОДЗ для каждого выражения
g(x) > 0
ctg(x) =
sin(x) = 0
sin(x)
2
1
h
0
f(x) · g(x) < 0
cos(x)
a
1
(x), f(x), g(x),
ны
k
Практические и полезные формулы
1
−1
12
4
cos(x)
ctg(x)
9
4
g(x) < 0
tg(x) =
cos(x) = 0
c
a
p
ь х
0
f(x) >
m
a
неравенств
2x > 0
bc
a
p
3
g(x) < 0
g(x) > 0
p
0
f(x) <
log
p
0
f(x) · g(x) > 0
a
c
функции
g(x) > 0
f(x) = 1
b
f(x) >
b
=
log
!
-
a
k
n
ны
g(x) = 0
еравества с умножением и делением ф ий
=
f(x)
n
m+n
a
2
ь х
ационализация показател
= 0
g(x)
Н
2x + 1 = 0
2x + 1
g(x)
n ∈ N)
n
3
| |
a
=
1
ения иррационал
Р
f(x) = 0
2
f(x) · g(x) = 0
g(x) = 0
n
ш
для ре
и делением ф ий
f(x)
f(x) = 0
b
m
matematikaj
-
с умножением
a
n
a
n
n
f(x), g(x) — функции, определенные в ОДЗ
пример выражения
g(x) = 0
m
У
Ограничения для выражений
a
метод рационализации
a — константа, f(x) и g(x) — функции от x
равнение
Определения и основные формулы
m
ab
n, m, k ∈ R
0
Определения и основные формулы
n
b
n ∈ N,
тождества на произведение
ограничения и ОДЗ
формулы логарифмов
формулы корней
формулы степеней
А
1
В
1
+
А
2
В
2
б
ытия
формулы движения
11 Vпр = V1 − Vтеч
движение против течения
Основные формулы движения
S
V=
t
1
2 S=V⋅t
3
S
t=
V
движение по течению
перевод [м] в [км]
Vтеч
A
B
Относительная скорость
км
м
1000
×
=
ч
с
3600
7
м × 1000 = км
1
перевод [км/ч] в [м/с]
5
м
км
3600
×
=
с
ч
1000
8
перевод [с] в [мин]
6
мин × 60 = ч
перевод [мин] в [ч]
B
V2
t 1= —
V1
S1
A
10
t2 = —
V2
V2
S2
Sо
Vср = —— ,
tо
S3
V2
где Sо = S 1 + S 2 + S 3 ; t о= t 1 + t 2 + t 3
всё время
весь путь
matematikaj
определение
21
М = МВ
СM — медиана
c
2
b
= a 2 + b 2 − 2 a b cosα
c
B
M
А
СN =
N
K
СN — биссектриса
С
17
С =
2
18 точка О — центр А
А
Ф
В
N
24 S = 1
a b i
a
α
С
p (p − a) (p − b) (p − c) ,
где p =
СНВ = 90°
СН — высота
20 в остроугольном
А
Н
2
=
a + b + c
2
по радиусу вписанной ◯
27 S = a b
c
четырехугольники
с
Ф
b
a
=a+b+c+d
с
произвольный четырехугольник
32 S = a h a ,
S = bhb
d
Р
= 2 (а + b)
прямоугольник
27
28
29
Р
= 2 (а + b)
параллелограмм
Р
= 4а
квадрат
Р
hb
ha
параллелограмм через высоту
33 S = a b i
s nα
параллелограмм через угол
a
34 S = a b
a
прямоугольник
35 S = a
квадрат
a
36
a
= 4а
a
Р
=a+b+c+d
трапеция
а
c
Р
= 2 (а + m)
р/б трапеция
а
m
38
четырехугольник
b
2
4
5
a
d2
d1
m
h
a
S = 2
3
3
r
А
В
H
6
19
7
α
d1
d2
B=
АC
1
М
c
С
12
EB
А
D
ОВ
2
13
E
4
С
A
15
K — секу ая
щ
B
C
B
A
СB = 90°
А
угол, опирающийся на диаметр, прямой
O
A
А
O
12
13
C
С
H
C
17
D
A
противолежащие стороны равны
19 M
N
A
O
B
20 AB =
E
A
21
9
22
C
ВЕ = СВЕ = ADE =
BAЕ = DCЕ = DAE =
А
C
DE
D
А
B CE
C
D
А
D ,
=
В=
углы при основании
C
B
+ С = 180° ,
B + D = 180°
А
C
противолежащие углы
D
войства вписанных
C
23 A = KD
24 A = BD
H
A
K
H
D
2
NO
= ▲ AKO
еорема синусов
▲ CKO = ▲ CPO
P
24
D
описанная
L
25 S = pr , где p = 2
P
по радиусу вписанной
B
● проходит
26 S = a b
можно описать
В
А
по радиусу описанной
O
●,
a
b
с
●
C
Площадь круга и длина окружности
A
притом только одну
●
c
4R
22 около любого ▲
E
27 S = π 2
R
O
A
19 отрезки от вершин до точек касания
P = 2 A + BP + K
C
C
B
попарно равны (по сторонам)
AN = AK , BN = BP , CK = CP
площадь круга
F
А
A
K
C
+ С= B+ D=
360°
= 180°
2
R
R
длина окружности
α
B
C
описать окружность, если◯
O
)
28 l = 2π
Признак описанной окружности
23 вокруг четырехугольника можно
P
N
R
Площади через радиусы окружности
через все вершины фигуры
B
B
C
K
Описанная окружность
определение
СВ
АВ
АС
=
=
= 2R
sinA
sinC
sinB
O
A
21
С
Т
N
C
●в ▲
matematikaj
B
N
A
окружности
●в ▲
▲ B O = ▲ BPO
O
AE
CB
N
N
боковые стороны
EB = 0°
А
20 ▲ A
O
P
C
(
М
|| BC || AD
1
=
(BC + AD)
2
Р
диагонали перпендикулярны
B
C
C
С
В
авнобедренная трапеция
B
matematikaj
B
F
F
A L= B L
A
определение
определение
A
войства вписанных
BАE =
AB =
= CK
AM = MB , CN = ND
MN — средняя линия
ВЕ = ЕD , АЕ = ЕС
окружности
лежит на пересечении биссектрис
O
D
высоты
C
й
А
K
Н
диагонали
18 центр вписанно окружности
M
A
Средняя линия трапеции
B = CD , B C = A D
диагонали ромба — биссектрисы углов
● касается
В + CD = B C + A D =
K
O
16 B
Е
А
C
А
отрезки
углы
10
С
17 в четырехугольник можно
K A = KB
O
+ В = 180°
C +
D = 180°
А
Свойства ромба
+ В + С + D = 360°
определение
+ В = 180°
C +
D = 180°
C
А
углы при боковой стороне
C
B
BC || AD , ВС = AD
ABCD — трапеция
N
вписать окружность, если ◯
▲ OAK = ▲ OBK
KB
KA =
A K= B K
15
B
противолежащие углы равны
Признак вписанной окружности
N
2
~ △ САВ
определение
18 M
притом только одну
K
O
С — точка касания
O
В= D
= С ,
А
точка пересечения диагоналей
й
й
O
9
односторонние углы
16 в любо ▲ можно вписать ●,
B
M = 90°
MCA =
ВСD — параллелограмм
всех сторон фигуры
определение
ОA
=
2
6 = 180°
7 = 180°
внутренние углы
вписанная
C
C
2+
3+
Вписанная окружность
14 для двух касательных из одно точки
A
5= 4
1= 8
3
8
В
угол между касательной и хордой в точку касания
равен половине дуги между хордой и касательной
А
2= 7,
3= 6,
14
В = ВС = CD = AD
ABCD — ромб
определение
OC
В
А
matematikaj
определение
параллелограмма
угол между касательной и радиусом,
проведенным в точку касания
C
1= 6
D
Свойства касательных
B
N
четырехугольники
углы при одной стороне
А
прямая, у которой 1 общая точка
с окружностью
A
1
AВ
2
N
й
AK — касательная
C
=
М
Свойства трапеции
11 выполняются все сво ства
определение
12 M
13 △ СM
В1
А1
А
отрезок, концы которого
лежат на окружности
11
7
Углы четырехугольников
O
AС = 360°
2= 5,
соответственные углы
A
6
B
AC
BC
tg A =
В
А
А
3
накрест-лежащие углы
2
СВ — хорда
B
B
вписанный угол равен половине дуги, на которую
опирается, и половине центрального угла
8
BC
AC
|| AВ
AB || CD , BC || AD
— секущая
c
matematikaj
10
вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны
СB =
tg A =
5
7
2
4
прямая, пересекающая окружность
АO
1
matematikaj
C
центральный угол равен дуге, на которую опирается
А
AC
AB
11 M
N
Свойства параллелограмма
a || b
окружности
C
A
определение
DB =
A=
С1
четырехугольники
6
окружности
9
O
ВС +
С
Секущая, хорда, касательная
определение
А
BC
AB
3
точка О — центр вписанной
и описанной окружностей
AB +
i A=
cos
18
4
AB =
A
М = ВМ
s n
17
Свойства углов окружности
b
d
31
и R=
6
a
вершина лежит на окружности
a
1
S = m h S=
(а + b) h ,
2
1
S=
d d sinα 2
1 2
3
СB — вписанный угол
1
S=
d d 2
1 2
трапеция
m — средняя линия
O
А
ромб
37
a
a
R
AB — дуга окружности
3
α
а
30
= R + r = 3r , 2
16
B — центральный угол
ромб
b
3
С
С
— средняя линия
N
B = A1 B 1
8
a
ригонометрия в геометрии тригонометрия
АO
b
2
a
M
В1
А1
В1
А1
определение
matematikaj
b
А
AMC и ∆ СМВ р/б
В
А
по трем сторонам
с
Т
вершина — центр окружности
b
b
С
= В= С
определение
a
b
А
р/с
∆
В
AM = MС ; BN = NC
А
matematikaj
медиана из прямого угла
15
10
С1
С = A1С1
B
= АН ⋅ НВ
14 СМ =
определение
—
Н
С1
Средняя линия треугольника
А
Углы при параллельных прямых
Н
Углы и дуги в окружности
1
ормулы площадей
ормулы периметров
13 С
2
В1
А1
С
6 ВС = В 1 С 1
5
A = 30°
В
А
N
m 1 + c 2m2 = c 3 m1 + m 2
1
В1
А1
С
А
по двум углам
и стороне м/у ними
четырехугольники
высота из прямого угла
matematikaj
matematikaj
Ф
H
окружности
четырехугольники
matematikaj
8
9
В
А
В
H
c
В
А
СВ
АС
АВ
=
=
=k
С 1 В 1 А 1 В 1 А 1 С1
С1
С1
через концентрацию
B
катет, лежащий против угла 30°
А
6
С
=k
С1
= A1
= A1
B = B1
сумма масс в растворе при смешивании
А1
В1
А1
по отношению сторон
А
=
1
AC ⋅ BC 2
12 a = 2
1
AB при
AСH = ∆ ВСН r=
a
b
по радиусу описанной ◯
Н
H
7 h=
с
4R
в тупоугольном
треугольнике высота вне
треугольника
26
b
26 S = pr В
С
треугольнике высота внутри
треугольника
P
∆
S=
5
5 m3 = m 1 + m 2
теорема Пифагора
H
А
3
11
С
по двум сторонам
и углу м/у ними
+
Прямоугольный треугольник
10
А
В
= A1
А
9
= A1 C 1
В1
АС
по отношению двух сторон
и одному равному углу м/у ними
B = A1 B 1
100
AB 2 = BC 2 + AC 2
D
E
А
matematikaj
С
= В
2
3 A = В С =
СВ
4
n
А
+ С
B = A1 B1
Закон сохранения масс
n
р
А1
m — Масса всего раствора
виды треугольников
определение
AС = BC ∆ АВС — р/б
6
а
+
=
А
=
АВ
А
o
100
BD = ABE =
АC
m — Масса основного вещества
n
AB = BC = AC b
25 S =
1
S = S· 1 +
4
0 < c < 100%
p
S — число S, увеличенное на р% n раз
matematikaj
∆ АВС
по двум сторонам и углу между ними
определение
Р
s nα
2
4
8
В
BD + ABC = 180°
внешние углы
m
с=
· 100%
m
Р1
виды треугольников
5
a
Высота треугольника
25
h
В
А
Р2
авносторонний треугольник
по высоте и основанию
N
= Р1
C
С1
А
внешний и внутренний углы
o
ормула сложного %
Р
2
О
вписанной окружности
19
В
А
100
С
+ В + С = 180°
Признаки равенства треугольников
содержание вещества в растворе
−
=
C
С
= A1
B = B1
А
по двум углам
внутренние углы
3
определение
S2 = S · 1 + r = S · k
6
если работу выполняют несколько участников,
то совместная производитель-ность равна
сумме производи-тельностей каждого.
H
R
СВ
АС
АВ
=
=
= 2R
sinC
sinA
sinB
23 S = 1
a h А1
раствора
э
p
А
2
Концентрация — то процентное
Ф
А
ормулы площадей треугольника
С
СВ
С
еорема синусов
Т
22
Биссектриса треугольника
16 определение
А
a
α
S2 = S · 1 −
5
А
авнобедреннный треугольник
А
15 S AСM = S МСВ
4
Р
еорема косинусов
3
S 1 — это число S, уменьшенное на p%
— работа
t — время
5 0 < P< 1
V1 > V2
формулы треугольников
S1 = S · 1 −
А
6 P = P1 + P2
Т
C
P — производительность
тогда производительность — это часть работы за
единицу времени, и это число в промежутке от 0 до 1.
matematikaj
Медиана треугольника
14
V1
V2
формулы треугольников
3
работы
вода
вещества
Ф
часть
1
порошок
m
Масса всего
определение
увеличение для кредитов
B
В диаметрально
противоположных точках значит, что между автомобилями
половина длины окружности
100
7
Углы треугольника
o
э
ормулы простого %
вся работа
основного
вещества
m
Масса — то количество
десятичная запись процента р
4 A=1
движение по кругу
в одном направлении
B
2
p
r=
2
16 Vотн = V1 − V2
t3 = —
V3
V3
2
если всю работу сложно измерить в обычных
величинах, то обозначаем ее за 1.
Средняя скорость
V1
время
Масса смесь двух веществ
S — это число S, увеличенное на p%
15 Vотн = V1 − V2
S3
t
определение
раствор или сплав — это
Один процент от числа —
это сотая часть числа
Свойства производительности
B
A
A
S2
время
А
движение в одном направлении
S1
t
3 P= t
V1
V1
перевод [км/ч] в [м/мин]
A
работа
роизводительность — это
скорость выполнения работы
движение навстречу друг другу
движение в противоположных
направлениях
км
м
1000
×
=
ч
мин
60
S
путь
П
14 Vуд = V1 + V2
перевод [м/с] в [км/ч]
производительность
определение
Vсб = V1 + V2
A
с × 60 = мин
P
2
V2
астворы и сплавы
1
Признаки подобия треугольников
matematikaj
Р
определение
Производительность
V1
13
V скорость
1
формулы треугольников
matematikaj
Проценты
Движение и работа
B
V1
12 Vпо = V1 + Vтеч
Перевод единиц измерения
4
Vтеч
A
растворы и сплавы
matematikaj
matematikaj
V1
S — расстояние; V — скорость; t — время
matematikaj
проценты
совместная работа
Движение по реке
29 S = 360°
π 2
α
R
площадь сектора
A
α
30 l = 360°
2π
O
α
длина сектора
D
R
R
α
параллелепипеды
Параллелепипед
1
B1
определение
7
D1
B
определение
D
A
8
Свойства параллелепипедов
B1
3 ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1
D1
противолежащие грани равны
B
4 BC = AD
соотвественные ребра равны
C
B1
5 A 1H = C 1K
все высоты равны
B
диагонали точкой
пересечения делятся пополам
A
бок. грани — прямоугольники
A
Диагонали
Е
H
D
K
C
2
С1
D1
12 Vo = V1 − V2
С A1
В
D1
A
2
2
13 S п = 2 (ab + bc + ac)
matematikaj
1
O1
A1
определение
цилиндр — фигура вращения
прямоугольника вокруг стороны
OO 1 — ось цилиндра
A
O
4
α
2
V=
πR h
360°
h
O
α
1
2
V = 360°
3
πR h
4
объем части цилиндра
h
h
R
5 S п = 2πR (R + h)
6 S бок = 2πRh
R
h
5 S п = πR (R + l)
6 S бок = πR l
h
комбинации тел
комбинации тел
Шар + конус
10 шар описан около конуса
2
на высоте ОО 1 или ее продолжении
O1
17 h = h
ц
M1
С
A
С
M
1
K
P
P
y
=−0
,5 x +
3
19 h = h
к
O1
п
k = 1 > 0
b=−2
=x−2
= − 0,5 x + 3
=
y
х−2=0
3
если ее высота — ось конуса
и в основание можно вписать окружность
O1
2
y
18 конус вписан в пирамиду, 2
на высоте ОО 1
y
O
С
A
M
С
O
14 цилиндр вписан в призму, если она прямая
M1
M
N1
O1
N
K1
P1
O
P
M
P
С
N
k = − 0,5 < 0
b=3
3
A
K
A
M
O
N
С
С
O
M
B
H
5 между
N
C
A
В
4 м/у прямой и плоскостью 5 между
а 1 — проекция а наα
α
SA (ABC) = SA AO = SAO
(SAD)
С
E
D
E
D
K
D
F
P
H
C
A
B
P
A
График показательной функции
matematikaj
5
y
4 2R = а
K
х − 2 = − 0,5 x + 3
коэффициент k отвечает за угол наклона
k>0
f
N
y
2
= 2x + x + 8
y
2
= − x + 2x + 3
II
y
3
D>0
k<0
−2
коэффициент с отвечает за пересечение с ОУ
решение ур-й k 1 x + b 1 = k 2 x + b 2 — пересечение прямых
а<0
ветви
коэффициенты b и a отвечают за вершину
−b
x
а>0
1
+3
+2
!
решение ур-я ax + bx + c = 0 — пересечение с ОХ
2
а<0
k=2>0
= − 0,5 x
k = − 0,5 < 0
y
y
= 3х
а=3>1
y
= 0,5 х
а = 0,5 < 1
K
B
с противоположным знаком
коэффициент c отвечает за горизонт. асимптоту
a
+ c = 0 — пересечение с ОХ
x+b
С1
A
С
2r
когда высота цилиндра = 2R шара
8 2R = h
9 R ш = R ц= R
С1
P
N
K
N
A1
С1
A1
С1
A
С
A
С
R
C
D
A
M
a
K
P
свойства функций
matematikaj
График логарифмической функции
8
y
9
= log a x
y
= log a (x + b)
уравнение логарифмической ф-ии
уравнение логарифмической ф-ии
y
0
y
x
0<a<1
f
y
7
y
уравнение показательной ф-ии
y
y
!
y
= log 2 (x + 1)
b=1
2
2
x
!
коэффициент b отвечает за вертик. асимптоту
с противоположным знаком
y
= log a x + с
уравнение логарифмической ф-ии
=2
х−2
х
=2 +1
b=−2
а>1
f
0<a<1
x
с противоположным знаком
коэффициент с отвечает за горизонт. асимптоту
0
Cвойства функции
область определения (все х) — ( 0 ; + ∞) ∞
множество значений (все у) — ( − ∞ ; + ∞) ∞
y
2
1
f
с=1
коэффициент b отвечает за пересечение с у = 1
с тем же знаком
а = 0,5 < 1
10
1
0
0
а отвечает за возрастание/убывание и наклон
Cвойства функции
−1
= log 0,5 x
= ах + с
y
дз
а=4>1
уравнение показательной ф-ии
y
функция всегда проходит через точку (0; 0)
b=−2
x
f
= а х+b
f
множество значений (все у) — [ 0 ; + ∞) ∞
= log 2 (x − 2)
0
область определения (все х) — ( − ∞ ; + ∞) ∞
множество значений (все у) — ( 0 ; + ∞) ∞
6
= log 4 x
−1
Cвойства функции
коэффициент k отвечает за возраст./убывание
и растяжение/сжатие вдоль ОУ
область определения (все х) — [ 0 ; + ∞) ∞
y
y
x
k<0
A1
С
A
С
График логарифмической функции
k=1
0
f
B1
D1
M
C
а отвечает за возрастание/убывание и наклон
k>0
A
matematikaj
II, IV
коэффициент b отвечает за вертик. асимптоту
решение ур-я
=2 x
y
x
с тем же знаком
2a
y
x
а>1
IV
I, III
=
a = 1 > 0
b = 2
c=3
коэффициент a отвечает за четверти графика
коэффициент a отвечает за направление ветвей
ветви
=
y
0
III
2
− x + 2x + 3 = 0
а>0
2
=− x
I
x
f
коэффициент b отвечает за пересечение с ОУ
a = − 2 < 0
b = 0
c=0
y
a = − 1 < 0
b = 2
c=3
=k x
уравнение ф-ии корня
уравнение ф-ии обр. пропорциональности
a = 2 > 0
b = 1
c=8
y
C
A1
D
С1
С1
свойства функций
= ах
График корня
4
(2R) 2 = h 2+ (2r) 2
свойства функций
свойства функций
a
y=
+с
x+b
в любом случае
6 2R = d
3 шар вписан в параллелепипед,
S
S
5 шар описан около цилиндра
A1
D
α
C
Шар + цилиндр
если он — куб
a
E
7 шар вписан в цилиндр,
(ABC) = SPK
β
а1
P
matematikaj
плоскостями
AHB
S
α
А
β=
D
O
h
B
A
D
комбинации тел
D1
b1
4
а
B
С
H
1
Н
А
A1
3
Углы к плоскостям
плоскостями
АН — высота
H
B
K
D
b
А
α
4
С1
E
P
C
A1
B1
а
2
3
F
B
A
C
O
F
шар описан около параллелепипеда,
когда он прямоугольный
b1
2
B
2 2R = d = B 1D
b
1
АН — взаимный перпендикуляр
А
b 1= 1 = 3
а
а
C
H
Расстояние в пространстве
S
b=a
а
B
D
АН — высота пирамиды
a
b
A
C
b || b 1
b= 1= 3
Н
b
АН — высота
AH — перпендикуляр
Свойства гиперболы
0
хв =
K
Н
a
А
а
АН — высота
А
С
M
A
А
4 от точки до плоскости
свойства функций
3
D<0
8
−2
x
решение ур-я kx + b = 0 — пересечение с ОХ
K
N
O
K
O1
hк= hп
а
N
B
matematikaj
y
− 0,5 x + 3 = 0
−2
если высота и ось совпадают
и около основания можно описать окружность
21
п
O
M
r
R
r<R
y
0
20 конус описан около пирамиды,
и в основание можно вписать окружность
ц
С
N
Цилиндр + призма
15 h = h
O
A
A
O
уравнение квадратичной ф-ии
x
K
K
O
= ax 2 + bx + c
O2
A
M
S
Свойства квадратичной функции
= kx + b
уравнение линейной ф-ии
Конус + пирамида
13 центр О шара всегда лежит
y
O
M
K
1
2 м/у пересекающимися 3 м/у скрещивающимися
АН — взаимный перпендикуляр
AH — перпендикуляр
A
Шар + параллелепипед
определение
наименьший угол (острый)
прямыми
в центр пересечения
диагоналей
SO — высота
matematikaj
Углы между прямыми
3 между
A
10 высота пирамиды падает
S
D
B
EP = PD
комбинации тел
matematikaj
1
на середину ребра оси
D
C
S
9 апофема пирамиды падает
боковые ребра равны
углы
a
Правильная 6-угольная пирамида
C
A
E
определение
▲ MNK ~ ▲ ABC
B
F
Расстояние в плоскости
С1
9 высотное сечение SBD
10 сечение основанию
С
2
B
B
A
p
правильная пирамида
SA = SB = SC = SD
D
matematikaj
2 от точки до прямой
Сечения пирамиды
A
свойства функций
Свойства линейной функции
y
в любом случае
O1
K
O
O1
3
n — число бок. граней
а — сторона основания
р — апофема
D
S
В
1
nap
2
S бок =
S
высота попадает
в центр основания
O
расстояние — кратчайший отрезок
A
D
A
3a
=
A
y
y
N
12 шар вписан в конус
N
С
O
matematikaj
P1
O2
O
K1
A
4
3
A
SABC — правильная пирамида
основание — правильная фигура
C
8 S п = S осн + S бок
C
B
определение
E
расстояния
1
B1
C
F
4
D
B
2
произвольная пирамида
A
уравнение показательной ф-ии
п
N 1 O1
B
6 сечение центральному
R
C
D1
a
S осн = 6S▲ = 6
2
E1
C
B
A
D1
7 S п = S осн + S бок
S
SA = h
C1
F1
правильных треугольников
A1
A1
определение
10 6-угольник делится на 6
C
B
С1
Сечения шара
R
площадь центрального сечения
matematikaj
прямаяи около основания можно описать
окружность
11 центр О шара всегда лежит
С1
5 центральное сечение
5 S = πR 2
R
R
16 цилиндр описан около призмы, если она
в любом случае
4 сечение основанию
R
2
свойства функций
matematikaj
O1
l
площадь боковой поверхности
площадь боковой поверхности
A
l
A1
осевое сечение
AA 1 С 1 С — прямоугольник
B1
∆ AО 1 С — р / б
Площадь поверхности
4 S п = 4πR
O1
3 осевое сечение
3 V = 4
3
πR 3
R
Площадь поверхности
R
A
▲ MNK = ▲ ABC
Сечения конуса
C
α
объем части конуса
Площадь поверхности
B
Объем шара
2
B
7 диагональное сечение BВ 1D 1D
8 сечение основанию
2 сечение основанию
O
АО = BO = OC = R
3 V = 3
πR h
α
h
1
C1
B1
A1
АВСDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 —
правильная 6-угольная призма
в основании правильный 6-угольник
Сечения параллелепипеда (призмы)
Сечения цилиндра
C
A
в пространстве, которые равноудаленны от центра
O
A
1
A1
боковые грани —
равные прямоугольники
прямая призма
matematikaj
O
B
2 шар — множество точек
Объем конуса
R
R
шар — фигура вращения
полукруга вокруг диаметра
С
9
B1
сечения
A
определение
O1
ОО 1 = h
Объем цилиндра
3 V = πR 2 h
A
но всегда больше высоты
AО 1 — образующая
АО 1 = О 1 С = l
O
A
Шар
1
2 образующие равны м/у собой,
и параллельны
AA 1 — образующая
АА 1 = ОО 1 = СС 1 = h
O1
конус — фигура вращения
прямоугольного треугольника
вокруг катета
OO 1 — ось конуса
O 1 — вершина
O1
+
−
определение
A
matematikaj
определение
С
A1
2 ось и образующая равны
1
=
−
Шестиугольная призма
h
Площадь поверхности
С
A
2 боковые грани —
прямоугольные треугольники
C1
6 V = 3
1
S осн h
правильная пирамида
SABC — прямая пирамида
ребро перпендикулярно основанию
прямая призма
C
S
определение
h
P — периметр основания
C
A1
шары
Конус
С1
+
достроить
matematikaj
Цилиндр
15 S o = Sд − Sл + S п
a
конусы
=
разрезать
8 S п = 2S осн + h P
A
АВСA 1 B 1 C 1 — правильная призма
основание — правильная фигура
3
C1
B
С
Виды пирамид
произвольная призма
A
4
14 S o = S 1 + S 2 − 2S p
b
B1
A1
боковые грани —
равные прямоугольники
c
a
Свойства площадей
c
цилиндры
b
7 S п = 2S осн + S бок
h
произвольная пирамида
A
треугольники
ASC — треугольник
Площадь поверхности
5 V = 3
1
Sосн h
B
2 боковые грани пирамиды —
matematikaj
Объем пирамиды
S
определение
SABC — пирамида
многогранник, который
имеет основание и вершину
S — вершина
АВС — основание
с
прямая призма
С
АА 1 = ВВ 1 = СС 1 = h
D
d
A
определение
h
6 V = Sосн h = Sосн c
С1
АВСA 1 B 1 C 1 — прямая призма
боковое ребро — высота
сумма площадей всех граней
D
3
−
Площадь поверхности
D
С
A
Виды призм
=
достроить
C
+
=
разрезать
D
параллелограммы
АA 1 C 1 C — параллелограмм
1
произвольная призма
B
пирамиды
matematikaj
Пирамида
5 V = Sосн h
С1
A1
2 боковые грани призмы —
11 Vo = V1 + V2
параллелепипеда
9 d =a +b +c
2
A
B
A
D1
А 1 Е = ЕС
A1
С1
A1
6 АЕ = ЕС 1
АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 —
прямой параллелепипед
основание — параллелограмм
Свойства объемов
D1
B1
АВСD — параллелограмм
АА 1 D 1 D — прямоугольник
D
A
D
определение
С1
A1
AА 1 D 1 D = BB 1 C 1 C
С A1
c
пирамиды
matematikaj
Объем призмы
B1
A1
определение
АВСA 1 B 1 C 1 — призма
фигура с параллельными и равными
многоугольниками в основаниях
b
a
D
В
D
10 V = a b c
C
A
прямоугольники
параллелограммы
A
B
все грани — C
B
D1
1
призмы
matematikaj
Призма
Объем параллелепипеда
С1
B1
A1
АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 —
прямоуг. параллелепипед
C
A
2 грани параллелепепеда —
Виды параллелепипедов
С1
A1
АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 — параллелепипед
6-гранник, противолежащие грани
которого попарно параллельны
matematikaj
matematikaj
matematikaj
призмы
параллелепипеды
параллелепипеды
1
y
= log 2 x + 2
b=2
y
= log 2 x + 1
b=1
x
дз
коэффициент с отвечает за пересечение с х = 1
с тем же знаком