Введение в анализ

Т.Л. Сурин
Ж.В. Иванова
С.В. Шерегов
Практикум по
математическому анализу
(Введение в анализ)
Витебск 2012
УДК 517 (075.8)
ББК 22.161.1я73
М 90
Авторы: доцент, кандидат физико-математических наук Т.Л.Сурин,
доцент,
кандидат
физико-математических
наук
Ж.В.Иванова, старший преподаватель кафедры геометрии и
математического анализа УО «ВГУ им. П.М. Машерова»
С.В.Шерегов
Рецензент:
доцент,
кандидат
С.А.Шлапаков
физико-математических
наук
Данное пособие предназначено для проведения практических занятий и организации
самостоятельной работы студентов первого
курса математического факультета, обучающихся по специальностям «Математика. Информатика», «Прикладная математика».
Пособие содержит разбор наиболее типичных примеров, демонстрирующих применение на практике результатов теории, вопросы
по теоретическому материалу, задания для
аудиторной и домашней работы, задания для
самостоятельной работы.
Содержание
I.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Введение…………………………………………………………..
Действительные числа и их свойства……………………………
Грани числовых множеств………………………………….........
Модуль действительного числа…………………………………
Числовая последовательность. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности……………………………….
Предел последовательности……………………………………..
Предельные точки последовательности…………………………
Функции действительного переменного………………………..
Свойства функций действительного переменного……………..
Сложная функция. Обратная функция………………………….
Предел функции………………………………………………….
Техника нахождения пределов функций………………………...
Сравнение бесконечно малых функций…………………………
Односторонние пределы. Непрерывность функции……………
Задания для самостоятельной работы…………………………..
Список литературы……………………………………………..
4
5
6
9
12
14
18
19
21
23
25
28
33
35
38
51
ВВЕДЕНИЕ
Данное пособие предназначено для проведения практических
занятий и организации самостоятельной работы студентов первого
курса математического факультета, обучающихся по специальностям
«Математика. Информатика», «Прикладная математика».
Основное назначение задачника–практикума – помочь студентам математических специальностей в освоении курса математического анализа. По этой дисциплине существует ряд хороших задачников,
список которых приведен в конце пособия. Однако из–за слишком
большого объема в них зачастую трудно ориентироваться и выбрать
нужный материал для подготовки к экзамену. Кроме того, имеющиеся
сборники задач не дают возможности индивидуализировать процесс
обучения, поскольку не содержат достаточного количества однотипных задач.
Пособие охватывает следующие разделы математического анализа: «Теория действительных чисел», «Последовательность. Предел
последовательности», «Функция. Предел функции», «Непрерывность
функции». Материал каждого раздела разбит на три пункта. В пункте
I – «Примеры решения задач» – разобраны наиболее типичные примеры, демонстрирующие применение на практике результатов теории. В
пункте II – «Контрольные вопросы и задания» – содержатся вопросы
по теоретическому материалу. Цель этого раздела – помочь студенту
самостоятельно разобраться в теоретическом материале, выделить
наиболее важные места, без которых невозможно осмысленное решение задач. В пункте III – «Практические задания» – приведены задания для аудиторной и домашней работы.
В конце практического пособия приведен список задач для самостоятельной работы студентов. Данный список охватывает все разделы пособия и состоит из типичных задач, предлагаемых на экзамене.
Материал, приведенный в пособии, соответствует учебным программам по математическому анализу по вышеперечисленным специальностям.
Пособие может быть полезно для студентов других специальностей, изучающих высшую математику.
ОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И
МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
I. Контрольные вопросы и задания
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Что называется приращением функции y  f (x) в точке х0?
Дайте определение производной функции y  f (x) в точке
х0 .
Каков геометрический смысл производной? Дайте определение касательной к графику функции y  f (x) в точке (х0 ,
f (х0)) и напишите уравнение касательной.
Каков физический смысл производной функции y  f (x) в
точке х0?
Что такое односторонние производные функции в точке? Какова связь между односторонними производными и производной функции в точке? Приведите пример функции, у которой существуют односторонние производные в некоторой
точке, но не существует производной в этой точке.
Когда говорят, что функция имеет в точке х0 бесконечную
производную?
II. Примеры решения задач
Пример 1. Исходя из определения, найти производную функ2
ции y  x( x  1) .
Решение. Найдем приращение f (x) функции при переходе из
точки х в точку х + x: так как f (x) = x(x2  1), то f(x + x) =
= (x + x)((x + x)2  1).
Тогда f (x) = f (x + x) – f (x) = 3x2x + 3xx2  x + x3.
Составим отношение
f ( x) 3x 2  x  3x  x 2  x 3  x

= 3x2+ 3xx – 1 + x2.
x
x
По определению:
f ( x)
 lim (3x2 + 3xx – 1 + x2) = 3х 2  1.
x 0 x
x  0
f ( x)  lim
Пример 2. Составить уравнение касательной к графику функ1
ции y = xln x, которая параллельна прямой y  x  .
2
Решение. Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. У данной прямой k = 1, следовательно, угловой коэффициент искомой касательной тоже равен 1. Из геометрического смысла производной следует, что k  y ( x0 ) , где х0 – абсцисса точки касания. Итак,
y ( x0 ) = 1. Но y ( x0 ) = ln(x0) + 1, откуда ln(x0) + 1 = 1, ln(x0) = 0. Решая уравнение, получим х0 = 1. Тогда у0 = у(1) = 0.
Зная точку касания М0 (1, 0) и угловой коэффициент касательной, запишем уравнение касательной по формуле
у - y0 = k(x  x0), т.е.
y = x  1.
Пример 3. Определить среднюю скорость движения тела за
промежуток времени 2  t  2  t , если закон движения задан
2
формулой s  t  t  1 , где t – время (в секундах), s – расстояние (в
метрах). Подсчитать среднюю скорость для: а) t = 0,01 сек; б)
t = 0,001 сек; в) t = 0,0001 сек. Найти мгновенную скорость в момент времени t0 = 2.
s
s
Решение. Известно, что ср 
,  мгн  lim
.
t  0 t
t
Учитывая, что
s  s(t  t )  s(t )  ((t  t )2  (t  t )  1))  (t 2  t  1) 
 2tt  (t ) 2  t  (2t  1)t  (t ) 2 ,
получим:
(2t  1)t  (t ) 2
ср 
 2t  1  t .
t
Результаты расчётов занесём в таблицу
t
t
2t  1
 ср
2
2
2
2
0,1
0,01
0,001
0,0001
3
3
3
3
3,1
3,01
3,001
3,0001
Из рассмотрения таблицы видно, что при t = 2 со стремлением
t к 0 средняя скорость  ср стремится к скорости равной
 м гн  lim (2t  1  t )  (2t  1) t 2  3 м/сек.
t 0
Пример 4. Количество радиоактивного вещества в момент
t
T
1
времени t выражается формулой m  M   , где Т – период полу2
распада, а M – первоначальное количество вещества (количество
вещества в момент времени t = 0). Найти мгновенную скорость распада вещества в момент времени t0.
Решение. Найдём среднюю скорость распада за промежуток
времени t0 ; t0  t  . В момент времени t0 количество вещества было
t0
T
1
1
m0  M   , а в момент времени t0 +t стало m  M  
2
2
t0  t
T
. Поэто-
му за промежуток времени t0 ; t0  t  количество вещества изменилось на
t0 t
T
t0
T
1
1
m  M  
M 
2
2
(отметим, что m<0, так как количество радиоактивного вещества
уменьшается). Средняя скорость распада за промежуток времени
t0 ; t0  t  равна:
t 0  t
t
t0
1 T
 1 T
1T
t0
 
 
  1
m
2
2
 1 T  2


 ср 
M
 M 
.
t
t
t
2
Поэтому мгновенная скорость распада выражается формулой
t
1T
t0
  1
 1 T  2 
 м гн  lim  ср  lim M  
.
t 0
t 0
t
2
t0
1 T
Так как M   не зависит от t, это выражение можно вынести
2
за знак предела:
t
1T
t 1
t0
t0
ln
  1
T 2 1
T
1
e
2
 1 T


 мгн  M   lim  
   lim

t
t
 2  t 0
 2  t 0
t0
m0 ln 2
M ln 2  1  T
.

  
T 2
T
III. Задачи и упражнения для практических занятий
1. Напишите выражение  y  f ( x0  x)  f ( x0 ) , если:
1
2
а) f ( x)  x  3x , x0  3 ;
б) f ( x)  arcsin x , x0  ;
2
3
в) f ( x)  ln x , x0  3 ;
г) f ( x)  cos x , x0 
.
2
2. Пользуясь определением производной, найдите производную функции:
а) y = 3x  2 в точке х0 = 2;
б) y  x 2 в точке х0 = 3;
в) y  3x 2  4 x  5 в точке х0 = 1;
г) y  x 3  5 x в точке х0;
д) y  x в точке х0 = 9;
е) y  sin 2 x в точке х0.
1
 2
 x sin , x  0
x
3. Дана функция f ( x)  
. Найти производную этой

x0
0,
функции в точке х0 = 0.
4. Составьте уравнение касательной к графику функции
y  f (x) в точке с абсциссой х0, если
а) f ( x)  sin x , х0 = 0;
б) f ( x)  x 2  3x , х0 = 1;
в) f ( x)  3 x , х0 = 0;
г) f ( x)  arctgx , х0 = 1.
5. Найти угол наклона касательной к параболе y  x 2  2 x  5 в
точках: а) х = 0,5; б) х = 1; в) х = 1,5.
2
6. В каких точках касательная к параболе y   x  2 x  3
наклонена к оси Ох под углом: а) 0 ; б) 30 ; в) 45 ?
7. В какой точке касательная к кривой y  ln x параллельна прямой:
б) y  2 x  5 .
а) y  x  2 ;
8. Найти точки, в которых касательные к кривым y  x  x  1
3
и y  3x  4 x  1 параллельны.
9. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (2;  1)
2
и касающейся кривой y  x 2  4 .
2
10. Тело движется прямолинейно по закону s  1  3t  4t .
Определить его скорость в момент времени t  2 .
11. Расстояние s, пройденное телом за t сек определяется по
формуле s  t 3  3t 2  1 . Найти скорость и ускорение при t  4 .
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
I. Контрольные вопросы и задания
1. Выведите формулы для вычисления производных суммы,
разности, произведения и частного двух функций.
2. Сформулируйте теорему о производной обратной функции.
3. Сформулируйте теорему о производной сложной функции.
4. В каком случае пользуются логарифмической производной?
II. Примеры решения задач
Пример 1. Продифференцировать данные функции:
a) y 
с) y 
3
 3 2 x 3  5x  1 ;
2
( x  5)
б) y  sin 4 5x  arctg(2 x 3 ) ;
e tg 4 x
.
(5 x-8) 3
Решение.
a) Воспользуемся тем, что (u  v)  u   v ,
а
также
формулой
дифференцирования
( f (u ( x)))  f u  u ( x) ,

 1
(u )  u  u . Тогда

 3 
 + (3 2 x 3  5x  1) = (3( x  5) 2 ) + ((2 x 3  5x  1)1 / 3 ) =
y   
2 
 ( x  5) 
1
=  6( x  5) 3 ( x  5) + (2 x 3  5 x  1) 2 / 3 (2 x 3  5 x  1) =
3
6x2  5
6
=
+
.
( x  5) 3
33 (2 x 3  5 x  1) 2
б) Воспользуемся формулой дифференцирования произведения
(u  v)  u v  uv :
y  (sin 5x  arctg(2 x )) = (sin 5x)arctg(2 x ) + sin 5x(arctg(2 x )) =
4
3
4
3
4
1
(2 x 3 ) =
6
1  4x
6x 2 sin 4 5 x
3
3
= 20 sin 5x cos5xarctg2 x +
.
1  4x 6

 u  u v  uv
с) Так как   
, то
v2
v
= 4 sin 3 5x(sin 5x)arctg(2 x 3 ) + sin 4 5 x
3

(etg4 x )(5x  8)3  etg4 x ((5x  8)3 )
 e tg 4 x 
y  
=
3  =
(5x  8)6
 (5 x  8) 
e
tg4 x
=

tg4 x  4(5 x  8)
1
3
tg4 x
2
e
 15 



4(5
x

8)

e

3(5
x

8)

5
2
 cos 4 x

cos2 4 x
=
.
4
6
(5 x  8)
(5 x  8)
Пример 2. Найти производную функции
y  (sin x) x
(1).
Решение. Прологарифмируем равенство (1):
ln y  x ln sin x .
Дифференцируем обе части полученного равенства:
cos x
(ln y )  ln sin x  x
,
sin x
cos x 
y
cos x
x
 ln sin x  x
.
откуда
. Тогда y   (sin x)  ln sin x  x
sin x 
y
sin x

III. Задачи и упражнения для практических занятий
Пользуясь общими правилами дифференцирования, найти производные данных функций:
1
3
3
2
1 x2
y

x

5
x


x

1.
; 2. y 
;
3
x
x2
1 x3
x  5x 3
2
3. y  x ( x  3 x ) ;
4. y 
;
6x x 1
2
3
5. y  x sin x ln x ;
5
7. y  sin x ;
5
9. y  arcsin x ;
3
11. y  sin 2 x ;
2x
6. y  e (sin x  cos x) ;
2
13. y  ln( x  x  4 ) ;
5
8. y  ln x ;
3
10. y  sin x ;
2
2
12. y  cos x ln (1  x) ;
14. y  ln(ln(ln x)) ;
2
15. y  sin 3x  1 ;
16. y  x  x  x ;
17. y 
tg x 2
x3  1
;
19. y  ln sin (5x  1) ;
3
2
18. y  sin 3 x 3  e x cos x ;
2
20. y  e
arctg3 x  4
;
21. y  ln
1 x
1 x
2
22. y  ( x 2  1) 2 x ;
;
1
x
1
sin x
23. y  (sin x) ;
24. y  ( x  1)
25. y  x
26. y  x ;
28. y  10 cos3 x  arcctg(5x 3  2 x  1) ;
sin x
x
;
27. y  arcсоs3 (2 x 5  7)  ctg7 x 4 ;
;
x
e arccos ( x2 )
3
29. y  4
 x2
 ln (6 x  2) ;
5
3
2 x 2  3x  1
31. y  2
;
tg (2 x 5  3)
3
30. y 
3x  5 x
2
.
2
32. y 
esin 3 x
5x  x  6
2
;
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
I. Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение дифференцируемости функции в точке.
2. Что такое дифференциал функции в точке. От каких аргументов он зависит?
3. Каков геометрический смысл дифференциала?
4. Каков физический смысл дифференциала?
5. Что понимается под инвариантностью формы первого дифференциала?
7. Как используются дифференциалы при приближенных вычислениях?
II. Примеры решения задач
Пример 1. Доказать, что функция 𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑥 дифференцируема на всей числовой оси.
Решение. Возьмём произвольную точку 𝑥 и вычислим приращение функции в этой точке.
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)3 + 2(𝑥 + ∆𝑥) − (𝑥 3 + 2𝑥) =
= 𝑥 3 + 3𝑥 2 ∆𝑥 + 3𝑥(∆𝑥)2 + (∆𝑥)3 + 2𝑥 + 2∆𝑥 − 𝑥 3 − 2𝑥 =
= (3𝑥 2 + 2)∆𝑥 + 3𝑥(∆𝑥)2 + (∆𝑥)3 .
Функция 𝛼(𝑥, ∆𝑥) = 3𝑥(∆𝑥)2 + (∆𝑥)3 при фиксированном 𝑥 является
бесконечно малой при ∆𝑥 → 0. Функция (3𝑥 2 + 2)∆𝑥 линейна относительно ∆𝑥. Значит, ∆𝑦 = 𝐴∆𝑥 + 𝛼(∆𝑥), а это и означает, что функция 𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑥 дифференцируема при любом действительном 𝑥 и
𝑑𝑦 = (3𝑥 2 + 2)∆𝑥.
Пример 2. Найти приращение и дифференциал функции 𝑦 =
𝑥 + 2𝑥 в точке x = 2 при Δx = 0,1 и Δx = 0,01. Найти абсолютную и
относительную погрешности, которые мы допускаем при замене
приращения функции её дифференциалом.
2
Решение. ∆𝑦 = 𝑓(2 + ∆𝑥) − 𝑓(2) = (2 + ∆𝑥)2 + 2(2 + ∆𝑥) −
−22 − 4 = 4 + 4∆𝑥 + (∆𝑥)2 + 4 + 2∆𝑥 − 4 − 4 = 6∆𝑥 + (∆𝑥)2 .
Отсюда следует, что 𝑑𝑦 = 6∆𝑥. Если ∆𝑥 = 0,1, то ∆𝑦 = 6 ∙ 0,1 +
(0,1)2 = 0,61.
𝑑𝑦 = 6 ∙ 0,1 = 0,6.
Абсолютная погрешность ∆= |∆𝑦 − 𝑑𝑦| = 0,1, а относительная погрешность 𝛿 = |
∆𝑥
0,1
| ∙ 100% =
∙ 100 ≈ 16%.
∆𝑦
0,61
Если ∆𝑥 = 0,01, то ∆𝑦 = 6 ∙ 0,01 + (0,01)2 = 0,0601.
𝑑𝑦 = 6 ∙ 0,01 = 0,06.
Абсолютная погрешность ∆= |∆𝑦 − 𝑑𝑦| = |0,0601 − 0,06| = 0,0001.
Относительная погрешность 𝛿 =
0,0001
∙ 100% ≈ 0,17%.
0,0601
Пример 3. Найти дифференциал функции 𝑦 = cos (ln 𝑥) .
Решение. 𝑑𝑦 = 𝑦 ′ 𝑑𝑥. Значит,
𝑑𝑦 = (cos( ln 𝑥))′𝑑𝑥 = − sin (ln 𝑥) ∙ (ln 𝑥)′𝑑𝑥 = −
sin (ln 𝑥)
𝑑𝑥.
𝑥
Пример 4. Заменяя приращение функции её дифференциалом,
найти приближённое значение √0,98.
Решение. Рассмотрим функцию 𝑦 = √1 + 𝑥. Так как 𝑦(0) = 1,
1

(1
𝑦 =
+ 𝑥) 2 ,

′

𝑦(−0,02) = √0,98,
𝑦 ′ (0) = , то, воспользовав
′
шись формулой 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥) + 𝑓 (𝑥)∆𝑥 , получаем
√0,98 = 𝑓(−0,02) ≈ 𝑓(0) + 𝑓 ′ (0) ∙ (−0,02) = 1 − 0,01 = 0,99.
III. Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1. Доказать, что функции
a) 𝑦 = 2𝑥 2 − 𝑥 + 3;
б) 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 + 1
дифференцируемы на всей числовой оси.
2. Доказать, что функция 𝑦 = √𝑥 − 2 не дифференцируема в
точке 𝑥 = 2.
3. Найти приращения и дифференциалы данных функций в точке 𝑥 = 1 при ∆𝑥 = 0,1 и ∆𝑥 = 0,01. Найти абсолютную и относительную погрешности, которые мы допускаем при замене приращения
функции её дифференциалом:
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5;
б) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥;
в) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 1;
г) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥.
4. Найти дифференциалы следующих функций:
a) 𝑦 =
𝑥+1
3
б) 𝑦 = sin 3𝑥 + √2𝑥 + 1;
2 √𝑥
√𝑥+1
;
𝑥 3 +2
в) 𝑦 = (𝑥 2 + 𝑥 + 3) tg 2 𝑥;
г) 𝑦 =
д) 𝑦 = ln(sin3 ( 𝜋 − 𝑥));
e) 𝑦 = 3𝑥 ;
2
1
ж) 𝑦 = 5√sin(𝑥 ) ;
з) 𝑦 = (sin 𝑥)𝑥 ;
и) 𝑦 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 ;
к) 𝑦 = (tg 𝑥)ln 𝑥 .
5. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближённое
значение функции 𝑦 = 𝑥 6 + 3𝑥 5 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 5 при 𝑥 = 1,001.
6. Вычислить приближённые значения:
3
a) √27,01; б) sin 29°; в) cos 151°; г) arc sin 0,501; д) tg 45°4′.
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
I. Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение второй производной функции у = f (x) в
точке х0.
2. Дайте определение n-ой производной функции у = f (x) в точке х0.
3. Выведите формулу Лейбница.
4. Выведите формулу для n-ых производных функции xα , ex ,
sin x, cos x, ln x, (1 + x)α .
5. Дайте определение второго дифференциала функции у = f (x)
в точке х0.
6. Дайте определение дифференциала n-го порядка функции
у = f (x) в точке х0.
7. Докажите справедливость формулы dn y = f(n)(x)dxn в случае,
если х-независимая переменная. Справедлива ли данная формула, если х-функция некоторой переменной t0. Выведите в этом случае формулу для d2 y.
II. Примеры решения задач
𝜋
6
Пример 1. Найти y''' ( ), если y = 5  4cos 2 𝑥.
Решение. Последовательно находим:
y'= 8 cos 𝑥 sin 𝑥 = 4 sin 2𝑥.
y''= 8 cos 2𝑥.
y'''=−16 sin 2𝑥.
𝜋
6
𝜋
6
Тогда: y''' ( ) = −16 sin = −16
√3
= −8√3.
2
Пример 2. Пользуясь формулой Лейбница, найти пятую производную от функции y = x5e2x.
Решение: Формула Лейбница имеет вид
(uv)(n) = ∑𝑛к=0 𝐶𝑛𝑘 ∙ 𝑢(𝑘) ∙ 𝑣 (𝑛−𝑘) .
Пусть u = x5, v = e2x, тогда (x5, e2x)(5) = ∑5𝑘=0 𝐶5𝑘 (𝑥 5 )(k)(e2x)5-k.
Найдём: u' = 5x4, u'' = 20x3, u''' = 60x2, u(4) = 120x, u(5) = 120.
v' = 2e2x, v'' = 4e2x, v''' = 8e2x, v(4) = 16e2x, v(5) = 32e2x.
Подставим в формулу Лейбница, получим
y(5) = uv(5) + 5u'v(4) + 10u''v''' + 10u'''v'' + 5u(4)v' + u(5)v =
= 32x5e2x + 25x4 ∙16e2x + 10(20x3)(8e2x) + 10(60x2)(4e2x) + 5(120x)(2e2x)
+ 120e2x = e2x(32x5+400x4+1600x3+2400x2+1200x+120).
Пример 3. Найти дифференциалы dy и d2y от функции y = xe-2x в
случае, когда: 1) x – независимая переменная; 2) х – функция от
другой независимой переменной.
Решение. 1) Пусть х – независимая переменная, тогда dy = y'dx,
dy = (xe-2x)'dx = (e-2x-2xe-2x)dx = (1-2x)e-2xdx;
d2y = y''dx2;
y'' = ((1-2x)e-2x)' = - 2e-2x-2(1-2x)e-2x = (4x-4)e-2x;
d2y = (4x-4)e-2xdx2.
2. Пусть х - функция от другой независимой переменной. Тогда
dy = y'dx = (1-2x)e-2xdx.
В данном случае под dx мы понимаем не приращение независимой
переменной x, а дифференциал функции f(x).
d2y = d(dy) = d((1  2x)e-2xdx) = d((1  2x)e-2x)dx +
+ (1  2x)e-2xd(dx) = (4x - 4)e-2xdx2 + (1  2x)e-2xd2x.
III. Задания для самостоятельной работы
1. Найти производную второго порядка:
а) y = x2+13x+1;
б) y = ln(𝑥 + √𝑥 2 + 1);
в) y = cos2x;
г) y = arctg(𝑥 + √𝑥 2 + 1).
2. Найти производные указанного порядка:
2
а) (𝑒 −𝑥 )(3) ;
в) (𝑒 𝑘𝑥)
(5)
𝑥2
)
𝑥−1
г) (𝑥𝑒 5𝑥 )(10) ;
;
д)(√𝑥 + 1)
ж) (
б) (𝑥 2 cos3𝑥)(15) ;
(10)
;
е) (𝑥 2 sin2𝑥)(20) .
(6)
.
3. Найдите y(n) , если:
а) 𝑦 = √2𝑥 − 3;
б) 𝑦 = sin2 𝑥;
г) 𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑥 + 𝑒 2𝑥 ;
1
д)𝑦 =
;
в) 𝑦 = ln(3𝑥 − 1);
д) 𝑦 =
√1−2𝑥
1
√1−2𝑥
.
4. Определить, удовлетворяет ли функция у = у(х) заданному
уравнению:
а) y = 1 + cos(ex )+ sin (ex);
y''  y' + e2xy = 0;
б) y = e10arcsinx;
(1  x2)y''  xy'  100y = 0;
в) y = C1cosx + C2sinx;
y'' + y = 0.
5. Даны функции:
3
а) 𝑦 = √𝑥 2 + 5; в) 𝑦 = sin3 2𝑥;
б) 𝑦 = √ln2 𝑥 − 4; г) 𝑦 = arcsin(3𝑥 + 2).
Найти d2y , считая, что х - независимая переменная.
6. Даны функции:
1−𝑥 2
а) 𝑦 = ln
;
1+𝑥 2
б) 𝑦 = sin𝑥 2 ;
Найти d2y при условии, что:
1) х – независимая переменная;
2) х – функция от другой переменной.
в) 𝑦 = (𝑥 + 1)𝑒 −3𝑥 ;
г) 𝑦 = 𝑥 2 sin𝑥.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ,
ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО
I.
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое параметрическое задание функции?
2. При какиx условияx функция, заданная параметрически, имеет производную?
3. Как найти производную функции, заданной параметрически?
4. Как вычислить вторую производную функции, заданной параметрически?
5. В каком случае уравнением F(x, y) = 0 неявно задается некоторая функция?
6. Как найти первую и вторую производные функции, заданной
неявно?
II. Примеры решения задач
Пример1. Найти первую и вторую производные функции
у = f (x) , если эта функция задана параметрически системой уравне x  5t 3  t ,
ний 
2
 y  4t  1.
Решение.. Учитывая, что производная функции, заданной параyt
метрически, находится по формуле: yx  , получаем
xt
y x 
8t
8
;

2
15t
15t

8
1
8
 8  1
yx2  
.
   =  2 2 = 
15t 15t
225t 4
 15t t xt
Пример 2. Найти y и y  , если x y  y  3x .
4
2
3
2
Решение. Продифференцируем обе части равенства, полагая,
что y  y ( x) . Получаем
4 x3 y 2  2 x4 yy  3 y 2 y  6x .
(2)
6 x  4 x3 y 2
Выражаем y : y   4
.
2x y  3y2
Продифференцируем обе части равенства (2):
12 x2 y 2  8x3 yy  8x3 yy  2 x4 ( y)2  2 x4 yy  6 y( y)2  3 y 2 y  6 .
Из полученного равенства выражаем y  :
y  
6  12 x 2 y 2 (2 x 4  6 y)(6 x  4 x3 y 2 )2 32 x 4 y(3  2 x 2 y 2 )


.
2 x4 y  3 y 2
(2 x 4 y  3 y 2 )3
(2 x 4 y  3 y 2 )2
III. Задания для самостоятельной работы
1. Найти у'х, у''хх для функций у = у(х), заданныx параметрически:

2
а) x = sin2 t, y = cos2 t, 0< t < ;
б) x = e-t, y = t 3,  < t <+  ;
в) x = a cos t, y = b sin t, 0 < t < π; г) x = et, y = e2t,   < t < +  ;
д) x = a ch t, y = b sh t,   < t <+  ; е) x = a(t  sin t), y = a(1  cos t),
0 < t < 2.
2. Найти x'у для функций x = x(у), заданныx параметрически
уравнениями: а) x = t + 2t2 + t3, y = 2 + 3t  t3, 1 < t <+  ;
б) x = et (t3  2t2 + 3t  4) , y = et  (t3  2t2 + 4t  4), 1 < t < +  .
d2y
3. Найти
для функций у = у (х), заданныx параметрически
dx 2
в точке (х0, у0):
2t  t 2
t2
а) x = (t2 + 1)et, y = t2e2t, (1, 0); б) x =
,y=
, (0, 4).
t 1
t 1
3
4. Найти d y3 для функций, заданныx параметрически:
dx
а) x = a cos t, y = a cosn t;
б) x = a ch t, y = a sh t;
3
3
в) x = a cos t, y = a sin t;
г) x = e-t cos t, y = e-t sin t.
5. Доказать, что функции у = у(x), заданные параметрически,
удовлетворяют заданным уравнениям :
1
1
1
а) x = 2 (ln t + C), y = (ln t + C) + , y = 2y'x +
;
t
t
y
б) x = ln t – arcsin t + C, y = t + 1  t 2 , y = y' + 1   y  ;
2
3 4 1 2
t + t + 1, y''(1 + 3y'2) = 1;
4
2


г) x = et cos t, y = et sin t,  < t < , (x  y)2y'' = 2(xy'  y).
4
4
в) x = t3 + t, y =
6. Для функций у = у (x), заданныx неявно, найти у' и у'':
x2 y2
2
2
2
2
2
2
а) x + у = а ;
б) x - у = а ;
в) 2  2  1;
a
b
2  y2
x
г) у2 = 2рx;
д) у2 = e
;
е) еx-у = x + у.
7. Написать уравнение касательной к кривой в данной точке:
а) x2 + y2  2x + 6y = 0, в точке x = 0 (y > 3);
б)
x2 y2
+
= 1 в точке (x0; y0);
a 2 b2

2
в) x = a(t  sin t), y = a(1  cos t), в точке (a (  1), a);
г) x = tet, y = te-t, ( t > 1), в точке t = t0.
8. Найти точки, в которыx касательные к графику функции
y=f (x), параллельны оси абсцисс :
t3
а) x =
,
1 t2
у
t 3  2t 2
;
1 t2
б) x = a(t – sin t), y = a(1  cos t);
в) x2 + 2y2 + 4x  4y = 0, y > 1;
г) 2x2  4xy + y2  2x + 6y – 3 = 0.
9. Написать уравнение касательной и нормали к кривой:
а) x3 + y2 + 2x – 6 = 0, в точке M (1, 3);
б) y4  4x4  6xy = 0,
в точке M (1, 2);
в) x = t2, y = t3, в точке M (4, 8);
г) x = t cos t, y = t sin t,
в точке M (  
2
2
; 
; ).
8
8
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
I. Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение экстремума функции.
2. Сформулируйте теорему Ферма.
3. Сформулируйте теорему Ролля. Останется ли теорема справедлива, если опустить одно из её условий? Приведите примеры.
4. Сформулируйте теорему Лагранжа.
5. Сформулируйте теорему Коши. Как получить теорему Лагранжа из теоремы Коши?
6. Что такое многочлен Тейлора?
7. Запишите остаточный член формулы Тейлора:
а) в форме Пеано; б) в форме Лагранжа; в) в форме Коши.
8. Запишите формулу Маклорена для функции 𝑓(𝑥) и остаточные члены этой формулы в формах Пеано, Лагранжа и Коши.
9. Напишите основные разложения и остаточные члены этих
разложений.
II. Примеры решения задач
x3 + 6x  5 = 0 имеет
Пример 1. Показать, что уравнение
только один вещественный корень.
Решение. Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥) = x3 + 6x  5. Она непрерывна на (−∞; +∞) и имеет производную 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 + 6 = 3(𝑥 2 +
2). 𝑓′(𝑥) > 0 при любых вещественных значениях 𝑥. Следовательно,
уравнение имеет не более одного вещественного корня. Действительно, если бы уравнение имело два корня с1 и с2 ,то 𝑓(c1) = 𝑓(c2) = 0, и,
по теореме Ролля, между с1 и с2 нашлась бы такая точка с, что 𝑓(𝑐) =
0. Последнее невозможно. Существование корня следует из того, что
lim 𝑓(𝑥) = −∞, lim 𝑓(𝑥) = +∞.
𝑥→−∞
𝑥→+∞
Пример 2. Определить значение с из теоремы о среднем для
функции 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 6 на отрезке [1; 2].
Решение. Воспользуемся формулой Лагранжа:
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑐)(𝑏 − 𝑎).
В данном случае:
𝑓(𝑏) = 𝑓(2) = 26,
𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = 10,
𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 + 6𝑥, 𝑓′(𝑐) = 3𝑐 2 + 6𝑐.
Подставим найденные значения в формулу Лагранжа:
3𝑐 2 + 6𝑐 = 26 − 10, или
3𝑐 2 + 6𝑐 − 16 = 0.
Решая это уравнение, получаем:
 6  2 57  3  57
c1 =
=
;
6
3
 3  57
.
3
 3  57
Очевидно, что c2 не принадлежит отрезку [1; 2]. Значит, с =
.
3
c2 =
Пример 3. Разложить функцию 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 по формуле Маклорена
до члена с 𝑥 3 включительно.
Решение. Найдём производную функции 𝑦 = tg 𝑥 до третьего
порядка включительно.
1
= cos −2 𝑥; 𝑦′′ = 2 cos −3 𝑥 ∙ sin𝑥;
y 
2
cos x
𝑦′′′ = 6 cos −4 𝑥 ∙ sin2 𝑥 + 2 cos −2 𝑥.
Отсюда получаем: 𝑓(0) = 0, 𝑓′(0) = 1, 𝑓′′(0) = 0, 𝑓′′′(0) = 2. Тогда,
x3
по формуле Маклорена: tg 𝑥 = 𝑥 +
+ 0(𝑥 3 ).
3
Пример 4.Разложить по формуле Маклорена функцию
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(5 − 4𝑥).
Решение. Воспользуемся известным разложением:
n
( 1) k x k
ln(1 + 𝑥) = 
+ 0(𝑥 𝑛 ).
k
k 1
xk
+ 0(𝑥 𝑛 ).
k 1 k
n
Тогда ln (1 − 𝑥) = − 
ln(5  4x) = ln5 + ln(1 
n
1 4 k k
4
n
x) = ln5   ( ) x  0( x ) .
5
k 1 k 5
Пример 5. Вычислить число е с точностью до 10-6.
Решение. Воспользуемся формулой
x2
xn
 ... 
 Rn ( x).
2!
n!
x n1  x
R
(
x
)

e
Запишем Rn(x) в форме Лагранжа: n
, (0< θ <1).
(n  1)!
ex  1  x 
e  11
1
1
 ...   Rn (1) .
2!
n!
Rn (1) 
e
.
(n  1)!
e
3

 106 . Тогда
6
10! 3 10
1 1 1
1
1
1
1
1
e  2   




 2, 718282 .
2 6 24 120 720 720  7 720  56 720  56  9
Если взять n = 9, то
III.
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.
В формуле Лагранжа определить значение с на отрезке
[0; 2] для функций:
а) y = x2;
б) y = 5x3 + 2x;
в) y 
1
;
x2  3
г) y  3 x  1 .
2. Определить значение с в формуле Коши для функций:
а) f(x) = x3 и g(x) = x2 + 1, заданных на отрезке [1; 2];

2
б) f(x) = sin x и g(x) = 1 + cos x, заданных на отрезке [0; ].
3. Доказать, что уравнения
а) x5 + 3x – 6 = 0;
б) x3 + 5x + 2 = 0;
в) x5 - 2x4 - x2 – 5 = 0
имеют единственный корень на всей числовой оси.
4. Разложить многочлен f (x) = x4 + 3x3  2x + 3 по степеням х + 1.
5. Разложить многочлен f (x) = x5 по степеням x  1.
6. Разложить функцию f (x) по формуле Маклорена до члена,
указанного порядка включительно:
а) f(x) = e
2 x  x2
до члена с x4;
б) f(x) = 3 sin x до члена с x4;
в) f(x) = 1  x  2 x2 до члена с х3.
7. Пользуясь известными разложениями, разложить по формуле
Маклорена функции:
а) f(x) = sin2x;
б) f(x) = e x ; б) f(x) = e x ;
в) f(x) = ln(3 + x);
г) f(x) = 1  x2 .
2
2
8. С помощью формулы Тейлора найдите приближенные значения:
а) 3 9 с точностью до 10-3;
б) 4 90 с точностью до 10-4;
в) sin100 с точностью до 10-3;
г) sin10 с точностью до 10-5;
д) ln1,1 с точностью до 10-3;
е) e0,1 с точностью до 10-4;
ж) cos 180 с точностью до 10-4.
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
I.
Контрольные вопросы и задания
1.
При раскрытии каких неопределённых выражений пользуются правилом Лопиталя?
2.
Сформулируйте правило Лопиталя раскрытия неопреде0
0

лённостей типа: a) при x → a; б)
при 𝑥 → +∞; в)
при 𝑥 → 𝑎;
0
0


г)
при 𝑥 → +∞.

3.
Каким образом, пользуясь правилом Лопиталя, можно
раскрыть неопределённости типа (0 ∙ ∞) и (∞ − ∞)?
4.
Как раскрыть неопределённые выражении вида (1∞ ); (00 );
(∞0 )?
5.
Пусть функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) удовлетворяют условиям
1°-3° теоремы Лопиталя и пусть не существует lim
x a
отсюда, что не существует lim
x a
f ( x)
. Следует ли
g ( x)
f ( x)
? Рассмотрите примеры:
g ( x)
x 2  sin
а) lim
x a
1
x
sin x
б) xlim

;
II.
x  sin x
.
2 x  sin x
Примеры решения задач
Пример. Найти пределы, раскрыв неопределенности, используя
правило Лопиталя:
1
x
 1 1
ex
1 x
 x)  tg
а) lim 2 , б) lim 
, г) lim x .
  , в) lim(1
x 1
x 1
x  x
x 0 tgx
2
x

Решение.


ex   
ex 
ex   
ex
а) lim 2     lim
 lim
    lim
 ;
x   x
   x  x 2  x  2 x    x  2
 1
x  tgx  0 
( x  tgx) 
1
        lim
    lim

б) lim 
x  0 tgx
x  0 xtgx
x
 0  x 0 ( xtgx) 

1
2
cos2 x  1
 2 sin x  cos х
0
0
cos
x
 lim
 lim
    lim
  0.
2
2
x 0
x 0 sin x  cos x  x
x
 0  x0 cos x  sin x  1 2
tgx 
cos2 x
x
1 x
0
(1  x)
lim(1

x
)

tg

(0


)

lim

(
)

lim

в) x 1
x 1
 x 0 x1
x
2
ctg
(ctg )
2
2
1
2
x
2
2
lim
 lim sin 2 ( )  1 
x 1
1
  x 1
2




x
sin 2 ( ) 2
2
1
г) Рассмотрим функцию y  x
сти данного равенства ln y  ln x
1
1 x
1
1 x

. Прологарифмируем обе ча-
1
ln x , и перейдем к пределу
1 x
при х  1. Получим:
1
1
ln x  0 
(ln x)
lim ln y  lim
ln x  lim
    lim
 lim x   1 .
'
x 1
x 11  x
x 11  x
x

1
(1  x) x  1  1
0
'
Тогда lim x
x 1
1
1 x
= e - 1.
III.
Задания для самостоятельной работы
Найти пределы, используя правило Лопиталя:
3x5  x3  2
1. lim
;
x 1 5 x 4  x 3  4
ln( x 2  3)
2. lim
;
x 2 3 x 2  5 x  2
3x  sin 2 x
;
x3
4. lim
x 0
ln(1  x)  x
;
x 0
tg 2 x
6. lim
3. lim
x 0
ln tgx
;
x  ctg 2 x
5. lim
7. xlim
1 0
9. lim
x 0
4
arctg ( x  1)
2x  x 1
2
8. xlim
0
;

x
2
2
x ln( arctgx ) ;
12. xlim


x ln ctgx) ;
11. lim(sin
x 0
(  2arctg x ) x ;
13. xlim

1
1

);
15. lim(
x 0 x
sin x
1
1

);
17. lim(
x 0 x
arcsin x
2
( arctgx) x ;
19. xlim
 
x) x ;
21. lim(sin
x 0
2
(tgx)
23. lim

x 0
2
ln sin x
;
ctgx
ln( x  )
2
10. lim
;

tgx
x 0
e e
;
1  cos x
sin x
ln cos 3 x
;
x2
cos x
2
);
x 1
1
1
 );
16. lim(
x  0 1  cos x
x
(( x  1) sin
14. xlim

1
1
 x );
18. lim(
x 0 x
e 1
1
x
2
arccos x) ;
20. lim(
x 0 
x)tgx ;
22. lim(arcsin
x 0
1
x x
(3x  3 ) .
24. xlim

2
;
ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
I.
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение монотонно возрастающей и монотонно
убывающей функции в точке.
2. Сформулируйте достаточное условие возрастания функции в
точке.
3. Дайте понятие монотонности функции на промежутке.
4. Какое условие является достаточным для строгой монотонности функции.
II.
Примеры решения задач
Пример 1. Найти промежутки монотонности функции
f ( x)  2 x  x2 .
Решение. f ( x)  2  2 x  2(1  x) . Так как f ( x)  0 при x  1 , то
функция возрастает на интервале (;1) и убывает на интервале
(1;  ) , так как на этом интервале f ( x)  0 .
x3

Пример 2. Доказать неравенство tgx  x 
при 0  x  .
2
3
 
Решение. На промежутке  0;  рассмотрим функцию

2
f ( x)  tgx  x 
x3
.
3
Производная этой функции:
f ( x)  cos2 x 1 x2  tg 2 x  x2  (tgx  x)(tgx  x)
 
будет положительной на промежутке  0;  , так как на этом проме2


жутке x > 0, tg x > 0 и tg x > x. На основании теоремы о монотонности
 
функции можно утверждать, что f (x) на  0;  монотонно возрастает.

2
Так как f (0) = 0, то для x > 0 будет f (x) > 0, т.е. tgx  x 
tgx  x 
x3
.
3
III.
Задания для самостоятельной работы
1. Найти интервалы возрастания и убывания функций:
а) f(x) = 4x3  21x2 + 18x + 7;
б) f(x) = 8x3  x4;
в) f(x) = (x  1)3(2x + 3)2;
г) f(x) = xe-3x;
ex
д) f(x) =
;
x
е) f(x) = x2  10ln x;
2x
ж) ) f(x) = 1  x 2 ;
x3
з) f(x) = 3  x 2 ;
иf(x) = x2 ln x;
2
4
к) f(x) = 8x  x ;
л) f(x) = x + 2sinx.
2. Доказать следующие неравенства:
x3
 0 или
3
а) e > 1 + x при х ≥ 0;
x
в) sinx > x 
x3
при х > 0;
6
x2
б) cos x > 1 
при х > 0;
2
г) 2 x >3 
1
при х > 1;
x
д) ln(1 + x) ≤ x при х ≥ 0.
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ.
НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
ФУНКЦИИ
I.
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение локального экстремума функции.
2. Какие точки называются точками, подозрительными на экстремум?
3. Сформулируйте теорему, выражающую необходимое условие экстремума.
4. Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие
экстремума.
5. Как найти наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой функции, заданной на отрезке [а, b]?
II. Примеры решения задач
Пример 1.Найти точки экстремума функции
1
5
𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 6𝑥.
3
2
Решение. Находим производ
+
+ y  ную y' = 𝑥 2 − 5𝑥 + 6. Приравниваем
2
3
её к нулю: 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0. Корни
max
min
уравнения: 𝑥1 = 2 и 𝑥2 = 3 будут
Рис.
стационарными точками. Точек, в которых производная не существует
нет. Проверим достаточные условия экстремума. Воспользуемся первым достаточным условием. Изобразим координатную ось и нанесём
на неё точки 𝑥1 = 2 и 𝑥2 = 3 (см. рисунок ). Поскольку при переходе
через точку x1 = 2 знак производной меняется с «+» на «», то x1 = 2 
точка максимума. . При переходе через точку х2 = 3 знак производной меняется с «-» на «+», следовательно, х2 = 3  точка минимума.
1
2
Найдём значения функции в точках экстремума: f (3) = 4 , f (3) = 4 .
2
3
2
3
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию y = x .
Решение. Находим производную: y' =
2
3
3 √𝑥
. Производная не су-
ществует в точке х = 0.
При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «»
на «+», значит, х = 0 – точка минимума. Найдём значения функции в
точке экстремума: f (0) = 0.
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию
𝑦 = 2𝑥 3 − 15𝑥 2 + 36𝑥 − 14,
воспользовавшись вторым достаточным условием экстремума.
Решение. Находим точки, подозрительные на экстремум. Так
как f'(x) = 6𝑥 2 − 30𝑥 + 36 = 6(𝑥 − 2)(𝑥 − 3), то критические точки:
𝑥1 = 2 и 𝑥2 = 3.
f ''(x) = 12x  30. f ''(2) =  6 < 0, значит, х = 2 –
точка максимума. f ''(3) = 6 > 0, значит, точка х = 3 – точка минимума.
Найдём значения функции в точках экстремума: f(2) = 14, f(3) = 13.
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 3
на отрезке [0,2].
Решение. Найдём производную: y' = 4x3  4x = 4x(x2  1) Решим
уравнение: 4x(x2  1). Корни уравнения: 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = −1.
Точка 𝑥3 = −1 не принадлежит отрезку [0,2]. Находим значения
функции в точке 𝑥2 = 1 и на концах отрезка. у(0) = 3, у(1) = 2,
у(2) = 11. Сравниваем найденные значения, заключаем, что у = 2 является наименьшим, а у = 11 является наибольшим значениями функции
на указанном отрезке.
Пример 5. Вписать в полукруг радиуса R прямоугольник
наибольшей площади.
Решение. Впишем в полукруг прямоугольник, одна из сторон
которого равна 2х. Тогда вторая сторона равна √𝑅2 − 𝑥 2 , x  (0, R) .
Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции
f(x) = 2x√𝑅2 − 𝑥 2 .
Находим критические точки функции: f'(x) =
2(𝑅2 −2𝑥 2 )
√𝑅2 −𝑥 2
. Производная
R 2
и не существует в точках x3,4 = ±R.
2
R 2
Из этих точек только x1 
принадлежит интервалу (0, R). Эта
2
точка и доставляет наибольшее значение функции f (x), т.к. на концах
интервала f (x) = 0. Искомый прямоугольник имеет размеры
R 2
x1 
.
2
II.
Задания для самостоятельной работы
равна нулю в точках x1, 2  
1. Найти максимум и минимум (экстремумы) функций:
1
а) у = 𝑥 2 − 6𝑥 + 3;
б) 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 4 ;
в) 𝑦 = 𝑥 2 (𝑥 − 4);
г) 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐;
д) у =
14
;
𝑥 4 −8𝑥 2 +2
3
е) у =
2𝑥
1+𝑥 2
;
ж) 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑐 cos 𝑥;
з) = cos 2𝑥 − 2 sin 𝑥;
и) 𝑦 = 𝑥 2 𝑒 −𝑥 ;
к) 𝑦 = 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 ;
л) 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥;
м) 𝑦 = ln 𝑥 + .
1
𝑥
2.Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанных отрезках:
а) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 12𝑥 + 1 на отрезке [1;5];
б) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 на отрезке e2 ;1 ;
в) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 на отрезке [-2;1];
г) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒 𝑥 на отрезке [-2;0];
 
2 2
д) 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥 + 2𝑥 на отрезке [- ; ].
3. Выяснить, существует ли наименьшее и наибольшее значения функций на указанных промежутках:
а) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 на полуинтервале (0;1]; б) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 на полуинтервале (0;
1

]; в) 𝑓(𝑥) = на полуинтервале (0;4]; г) 𝑓(𝑥) = 𝐸(𝑥) на от𝑥
2
 
, ].
2 2
4. Найти наибольший объём цилиндра, периметр осевого сечения которого равен а.
5. Судно В находится на расстоянии 75км к востоку от судна А,
идёт на запад со скоростью 12км/ч ; судно же А идёт к югу со скоростью 9 км/ч. В какой момент суда будут наиболее близки друг к другу?
6. Найти такое наибольшее число, чтобы разность между ним и
его кубом была наибольшей.
7. В данный шар вписать конус с наибольшей боковой поверхностью.
резке [-2;1]; д) 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥 − 𝑥 на отрезке [
ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ФУНКЦИИ.
ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
I.
Контрольные вопросы и задания
1.
Дайте определение выпуклости (вогнутости) графика
функции в точке (на множестве).
2.
Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.
3.
Дайте определение точки перегиба графика функции.
4.
Может ли меняться направление выпуклости графика
функции при переходе через точку, не являющуюся точкой перегиба?
Приведите примеры.
5.
Сформулируйте необходимое условие перегиба графика
функции. Покажите на примере, что это условие не является достаточным.
6.
Сформулируйте достаточные условия перегиба графика
функции.
II.
Примеры решения задач
Пример 1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба
функции 𝑦 = 2𝑥 4 − 3𝑥 2 + 𝑥 − 1 .
Решение. Находим первую и вторую производные:
𝑦′ = 8𝑥 3 − 6𝑥 + 1;
𝑦′′ = 24𝑥 2 − 6.
1
1
1
, тогда x1=− , x2 = .
2
2
4
Строим числовую прямую и отмечаем на ней точки x1 и x2, а
так же знаки второй производной

+
+ y  функции (см. рисунок )
Так как y  > 0 на интервалах
1
1
−
1

1 
2
2
  ,   и  ,   , то на этих ин2

2 
Рис.
тервалах функция вогнута, так как
 1 1
y  < 0 на отрезке  ,  , то функция выпукла на данном отрезке.
 2 2
1
1
Точки x1   и x2  являются точками перегиба графика
2
2
функции.
Решим уравнение: 24𝑥 2 − 6 = 0, или x 2 
Пример 2. Найти точки перегиба графика функции
y  3 (1 x)( x  2)2 .
Решение. Находим y и y  :
1
2
2
2
1
1


1
2
y  ((1  x) 3 ( x  2) 3 )   (1  x) 3 ( x  2) 3  ( x  2) 3 (1  x) 3 
3
3
1
2
1
2
1
1
 ( x  2) 3 (1  x) 3 ( x  2  2  2 x)  (4  3x)( x  2) 3 (1  x) 3 .
3
3
2
1
2
4




1
1
y  (3( x  2) 3 (1  x) 3  (4  3x)( x  2) 3 (1  x) 3 
3
3
4
5
1
5
2
1
+ (4  3x)( x  2) 3 (1  x) 3 )  ( x  2) 3 (1  x) 3 
3
3
1
2
2
.
(3( x  2)(1  x)  (4  3x)(1  x)  (4  3x)( x  2))  
3
3
3
4
5
9 ( x  2) (1  x)
y  в ноль не обращается. В точках x  2 и x  1 y  не существует.
Отмечаем, полученные точки на числовой прямой и находим знаки
второй производной функции на полученных интервалах (см. рисунок )
Исходя из знаков второй произ
 y 
+
водной делаем вывод, что на интер2
1
вале  , 1 функция вогнутая, а на
интервале 1,   функция выпуклая.
Рис.
Точка x  1 является точкой перегиба.
В точке x  2 направление выпуклости функции не изменяется.
III.
Задания для самостоятельной работы
1. Исследовать функцию на выпуклость (вогнутость) и найти
точки перегиба:
а) y  x2  3x4 ;
б) y  ln( x2 1) ;
в) y  x4  6 x2  2 ;
г) y  x5 10 x2  2 x  6 ;
x
x2
д) y 
;
е) y  2 ;
x 1
1  x2


ж) y = x arctg x;
з) y  esin x (  x  ) ;
2
2
arctgx
3
и) y  ln(1  x ) ;
к) y  e
.
2. Найти точки перегиба графика функции:
а) y  x4 12 x3  48x2 ;
б) y  ( x2 1)3 ;
1
в) y  4 x2  ;
x
г) y  x3e x ;
д) y  x2 ln x ;
е) y  e2x x .
2
АСИМПТОТЫ ФУНКЦИИ
I.
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение асимптоты функции.
2. В каком случае у функции существует вертикальная асимптота и как её найти.
3. Приведите пример вертикальной асимптоты графика функции.
4. Сформулируйте определение и приведите пример наклонной
асимптоты графика функции при 𝑥 → +∞ (при 𝑥 → −∞ ).
5. Сформулируйте теорему, выражающую необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты
графика функции.
6. Если у функции есть наклонная асимптота при 𝑥 → +∞, то
следует ли из этого, что у неё будет наклонная асимптота при
𝑥 → −∞?
7. Всегда ли наклонная асимптота при 𝑥 → +∞ и 𝑥 → −∞ совпадают?
II.
Примеры решения задач
Пример. Найти асимптоты графиков функций:
x3
x
а) y =
;
б) y = 2x + arctg .
2
2
3 x
Решение. Функция y =
x3
определена и непрерывна всюду
3  x2
кроме x1 =  3 и x2 =
3
x3
Так как
= + ∞,
lim
x   3  0 3  x2
x=
x3
=  ∞,
lim
x  3  0 3  x2
то прямая
3 является вертикальной асимптотой графика функции. Так
x3
x3
как lim
= + ∞, lim
=  ∞, то прямая x = 3 также
x  3  0 3  x2
x   3  0 3  x2
является вертикальной асимптотой графика функции.
Будем теперь искать наклонные асимптоты в виде прямых
f ( x)
x3
x3
y  kx  b .
Где:
k  lim
 lim
 lim
  1,
x
x   x (3  x 2 )
x   3x  x 3
x
 x3

3x

b  lim ( f ( x)  kx )  lim 

x

lim
 x   3  x2  0 .
x
x   3  x2


Следовательно, прямая y =  x является наклонной асимптотой граx3
фика функции y =
.
3  x2
б)
x
2
Функция у = 2x + arctg .определена и непрерывна на всей
числовой прямой, следовательно, у неё нет вертикальных асимптот.
Будет искать наклонные асимптоты в виде прямых y = kx + b,
x 
f ( x)
arctg x 2
где k  lim
 lim
 0 (учитываем, что lim arctg  ,
x
x
x 
x
x
2 2
x
arctg
2  0 ). При нахождении коэффициента b необхопоэтому lim
x 
x
x

димо рассматривать два случая x   и x   : lim arctg   и
x 
2
2
x 
lim arctg  . Поэтому получаем два значения для коэффициента
x
2 2
x
x

b: b  lim ( f ( x)  kx)  lim (2 x  arctg  2 x)  lim arctg  
x
x
x
2
2
2
x
Следовательно, график функции у = 2x + arctg .имеет две
наклонные асимптоты y  2 x 

2
2
(при x   ) и y  2 x 

2
(при x  
).
Задания для самостоятельной работы
III.
Найти асимптоты графиков функций:
x 1
x 2  3x
y

1. y 
;
2.
;
9  x2
x2  1
x3  3
ln x
4. y 
;
5. y  2 ;
x
x
7. y  3 x3  3x ;
8. y  x  3ln x ;
1
10. y  2 x  arccos ;
x
11. y  2 x 
13. y  log2 (9  x2 ) ;
16. y 
cos x
;
x
ln x
;
x
2 x
14. y 
;
5  x2
sin x
17. y  x 
;
5x
1
19. y = x  3 ;
x2
20. y  e x 1 .
x 5
;
x 5
x2  x  3
6. y 
;
x3
1
9. y  xe x ;
2
12. y  e x ;
3. y 
1
15. y  e x  x ;
18. y 
x4
;
x3  8
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
I.
Контрольные вопросы и задания
1.
Приведите схему построения графика функции y = f (x).
2.
Пусть функция задана на полупрямой или всей числовой
прямой, но у неё нет наклонных асимптот. Что необходимо сделать,
чтобы определить поведение функции на  .
3.
Каким образом используется чётность, нечётность, периодичность функции при построении графика функции и исследовании
функции.
Примеры решения задач
II.
Пример. Провести полное исследование и построить график
функции: а) f ( x) 
4 x3  x 4
x
1 .
, б) f ( x)  ln
x5
5
4 x3  x 4 4 3 1 4
Решение. a) Функция
f ( x) 
 x  x является
5
5
5
многочленом. Как и любой многочлен степени выше нулевой, она
определена на всей оси Ох, непрерывна, асимптот не имеет, не является периодической.
1.
Так как f (x)  f ( x) и f (x)   f ( x), то f (x) не является
ни четной, ни нечетной.
4
5
2
Находим y  x (3  x), y 
2.
12
x(2  x) .
5
3.
Исследуем f(x) на монотонность и экстремум. Критическими точками f (x) являются точки х1 =0, x2 = 3. Проверим, есть ли
смена знака y при переходе через эти точки:
x
f (x)
f(x)
(-,0)
+


Итак, M 1  3,
0
0
(0,3)
+
3
0
max
(3,+)
-
27 
 – точка максимума. В точке x = 0 экстремума нет, но
5 
будем помнить, что здесь y (0) = 0, поэтому касательная к графику
параллельна оси Ох.
4.
Исследуем f (x) на выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Критических точек у f”(x) две: х1 = 0, х2 = 2.
x
0
(0,2)
2
(-,0)
(2,+)
f“(x)
0
+
0



 16 
М2(0, 0) – точка перегиба с выпуклости на вогнутость; M 3  2,  –
 5
точка перегиба с вогнутости на выпуклость.
5.
Найдем точки пересечения с координатными осями.
у
При х = 0 имеем у = 0, это точка
5
М2(0, 0). При у = 0 имеем 4х3 4
х4 = 0, откуда х1 = 0, х2 = 4. По3
лучаем точку М4(4, 0).
2
6.
На интервале (-,0)
1
не нашлось ни одной характерих
стической точки графика. По0
1
3 4
этому возьмем дополнительную
1
точку, например
М5(1, 1).
7.
Выберем масштаб и строРис.
им график функции (рисунок )
f(x)
б) f ( x)  ln

перегиб

перегиб
x
1 .
x5
Решение. Исследование функции будем проводить, придерживаясь следующей схемы:
1.
Найдем область определения функции D (f (x)). Она опре-


деляется системами xx  50, 0; и xx  50, 0.
Итак, D (f (x))=( ,  5)  (0,+ ).
2.
Уже из D (f (x)) видно, что f(x) не может быть ни четной,
ни нечетной, ни периодической, поэтому исследование будем проводить во всей области существования.
3.
Исследуем f(x) на непрерывность и на вертикальные
асимптоты. На (-,-5)(0,+) f(x) непрерывна как элементарная. Изу

lim  ln
чим поведение функции при х  5 и х  0. x
5 0
x

 1   ,
x5 
x


lim  ln
 1   .
x0
 x5 
Таким образом, прямые х = 5 и х = 0 являются вертикальными
асимптотами графика функции.
4.
Найдем наклонные асимптоты по формуле y = kx + b.
x
x
1

Так как при lim
    lim
 lim  1 1, то
x x  5
   x   x  5 x   1

x
x 
  ln 1  0 ,
 ln  lim
x
x x  5
x5


x
ln
1
f ( x)
x5
 lim
0 .
поэтому k  lim
x
x
x
x


x
b  lim ( f ( x)  kx )  lim  ln
 1   1.
x
x
 x5 
lim ln
Следовательно, прямая у =  1 является наклонной (горизонтальной) асимптотой графика при х  .∞.
5.
Найдем первую и вторую производные функции:
5
5(2 x  5)
,
.
f ( x) 
f ( x)   2
x( x  5)
x ( x  5) 2
6.
Проведем исследование функции на монотонность и экстремум.
Первая производная функции не равна нулю, точки х1 = 0 и
х2 = -5, в которых f (x) не определена, не принадлежат области
определения функции. Таким образом, критических точек функция не
имеет. Следовательно, экстремумов нет.
f (x) >0, здесь функция
На интервалах (, 5) и (0,+)
x
f (x) = ln
 1 возрастает.
x5
7. Проведем исследование на выпуклость, вогнутость и точки
5
перегиба. f (x) равна нулю в точке x1  , не существует в точках
2
x2=0 и x3 = 5. Ни одна из них не принадлежит области определения
функции, поэтому точек перегиба нет. На интервале (-,-5) f (x) > 0,
здесь функция f (x) вогнута. На интервале (0,+) f (x) < 0, здесь
функция f (x) выпукла.
8.
Найдем точки пересечения графика с осями
y
координат.
Точка х = 0 не принадлежит области определения
функции,
следовательно
функция не пересекается с
x осью ОУ. Пусть у = 0, тогда
5
0
1
x
решая уравнение ln
1
x5
Рис.
= 0, или
x
 e , получим .
x5
x
5e
5e

  7,9 , т.е. точка
1 e
e 1
 5e

М1  
, 0   точка пересечения с осью ОХ.
 e 1 
9. Найдем дополнительную точку в правой части графика.
5
x
5
 2,9 ,
Пусть у = 2, тогда ln
 1 = 2, x 
 2,9 , x 
e 1
e 1
x5
 5

, 2  .
 e 1

получим точку M 2 
9.
Выберем подходящий масштаб, построим график функции
(рисунок )
III.
Задания для самостоятельной работы
1. Постройте графики функций:
1) y  2 x4  x2  1 ;
2) y  x5  x3  2 x ;
3) y  ( x  1)( x  2)2 ;
4) y  x( x  1)3 ;
1
1
5) y 
;
6) y  2
;
x 1
x( x  1)
1
x2  2 x
7) y  e
;
8) y  2 x  1 
;
x 1
1  x2
1
2
9) y  x  2 ;
10) y 
;
x
4  x2
1
11) y = x ln x;
12) y  ln(e  ) ;
x
1
13) y  x  ln( x  1) ;
14) y  ln( x  ) ;
x
1
x
15) y  e ;
1
x
17) y  x e ;
19) y  sin x  cos x ;
1
21) y  sin x  sin 2 x ;
2
2
16) y  e x 2 x ;
2
18) y  x3e4 x ;
20) y  sin 2 x  cos x ;
1
22) y  arctg .
x
2. Постройте кривые, заданные уравнениями:
а) y 2  8 x 2  x 4 ;
2
2
в) y  x( x  1) ;
б) y 2  x3  1 ;
г) y 2  x 4 ( x  1) .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Исходя из определения, найти производную функции:
вариант
вариант
1.
sin(2x)
14.
ln (7x-1)
2.
x3-2x+1
15.
sin
3.
cos
x
2
16.
cos (8x+2)
4.
3
2x  1
17.
5.
ln (2x)
18.
sin(5x)
6.
sin
x
3
19.
x3+4x-2
7.
cos (5x)
20.
1
(2 x  3) 2
8.
(3  x) 2
21.
5
x 1
9.
1
( x  1) 2
22.
cos
23.
( 4  2 x) 2
10.
1
x
2
x
6
1
x
x 1
3
11.
2 x3  x 2  3
24.
sin(3x-2)
12.
4
( 2 x  1) 2
25.
2( x  4) 2
26.
ln (3x+4)
13.
1
x3
2. Составить уравнение касательной к графику функции f(x)
вариант
которая параллельна данной
прямой
вариант в точке с данной абсциссой
x 1
, y=0
x2
14.
f(x)= x 2  7 x  3 , x=4
f(x)=ln(x2-2x), y 
3
x 1
4
15.
f(x)= 2x 2  5x  1 , x=3
3.
f(x)=arctg x , y 
1
x2
4
16.
f(x)= x 3  3x  2 , x=2
4.
f(x)=x2-2x, y 
3 x
2
17.
f(x)= 3x 2  6 x  3 , x=1,5
5.
f(x)=tg x, 2x-y+3=0
18.
f(x)= x 3  x 2  1, x=1
6.
f(x)=x4-2x2+3, y=5
19.
f(x)= 3x 2  5x  4 , x=2,3
7.
x3
f ( x) 
 x 2  1,
3
x+y+3=0
20.
f(x)= 2x 3  3x 2  x , x=2
8.
f(x)=arcsinx,
2x  3 y  3  0
21.
f(x)= 2x 2  6x  1, x=2,4
2x
, 2x+y=5
x 1
22.
f(x)= x 3  2x 2  1 , x=2
x 1
, x-2y+10=0
x 1
23.
f(x)= 3x 3  2 x 2 , x=1
f(x)=x3-2x2+1, y=x+4
24.
f(x)= x  2 x  3 , x=3
1.
f ( x)  ln
2.
9.
10.
11.
f ( x) 
f ( x) 
3
12.
f(x)=ln(2x2+x), y  2 x  3
13..
f(x)=x2+x-3, y  1  x
2
3
25.
f(x)= x 2  5 x  1 , x=1,2
26.
f(x)= 3 x 2  x  5 , x=2
3. Вычислить приближенное значение , используя дифференциал:
вариант
вариант
1.
=(2,87)5
14.
= 5 64
2.
= 3 8,213
15.
= 3 26,19
3.
=lg 99,9
16.
= 4 16,64
4.
=(1,91)4
17.
= 8,76
5.
= 4 15,99
18.
= (4,01)1,5
6.
=tg 460
19.
=cos 1510
7.
=(3,908)3
20.
=cos 610
8.
=ctg 440
21.
=arctg 1,050
9.
= 16,032
22..
=ln (e 2  0,2)
10.
=(3,018)4
23.
= e 0, 25
11.
= 9,02
24.
= 4 18,2
12.
=(2,27)4
25.
=cos 310
= 3 12,487
13.
=tg 620
26.
4. Продифференцировать данные функции:
вариант
a
y  3 3x 4  2 x  5 
c
e arccos x
y
x5
1.
4
( x  2) 5
b
3
a
2.
c
a
3
2 x 3  3x  1
( x  4) 2
y  arcctgx
e
5
y  ( x  4) 5 
2
(2 x  4 x  1) 2
y  3 ( x  3) 4 
d
b
y  sin 3 2 x  cos8x 5
y  (cth3x) arcsin x
y  cos5 3x  tg(4 x  1) 3
d
y  (cos(x  2)) ln x
b
y  tg 4 x  arcsin 4x 5
d
y  (sin 3x) arccos x
3.
y
c
a
4.
c
a
5.
c
a
6.
c
a
7.
c
ex
3
x  5x  1
2
5
y  7 x  3x  5 
( x  1) 3
e  ctg5 x
y
(3x 2  4 x  2)
3
y  4 3x 2  x  5 
( x  5) 4
5
2
y
7 x 3  5x  2
e cos x
4
y  3x  2 x  x 
( x  2) 3
e tg3 x
y
3x 2  x  4
5
y  3 ( x  7) 5  2
4 x  3x  5
sin x
e
y
( x  5) 7
4
3
b
y  arcsin 3 2 x  ctg7 x 4
d
y  (th5x) arcsin(x1)
b
y  ctg3x  arccos3x 2
d
y  (sh(x  2)) arcsin 2 x
b
y  arccos2 4x  ln( x  3)
d
y  (cos5x) arctg x .
b
y  ln 5 x  arctg7 x 4
d
y  ( 3x  2 ) arcctg3x .
a
8.
c
a
9.
2
2 x  3x  7
2
3
2 x  3x  1
y
ex
3
y
 5x 2  4 x  3
7
( x  4)
b
y  arctg 3 4 x  3sin x
d
y  (ln( x  3)) sin x .
b
y  2 cos x  arcctg5x 3
d
y  (log 2 ( x  4)) ctg7x .
b
y  4  x  ln 5 ( x  2)
e ctg 5 x
( x  4) 3
d
y  (sh 3x) arctg ( x2) .
7
 8x  3  x 2
3
( x  1)
b
y  3tgx  arcsin 7 x 4
3  2x  x 2
ex
d
y  (ch 3x) ctg 1 / x .
b
y  5 x  arccos 2 x 5
d
y  (arcsin 5 x) tg x .
b
y  sin 4 3x  arctg2 x 3
d
y  (arccos5x) ln x .
y  5 ( x  4) 6 
x3  4x  5
ex
y
c
2
3
a
y  3 4 x 2  3x  4 
c
y
10.
a
y
11.
y
c
a
y  5 3x 2  4 x  5 
12.
y
c
a
13.
c
a
14.
c
a
15.
c
a
16.
c
2
( x  3) 5
4
( x  4) 4
e3x
3x  4 x  7
2
7
 8x  3  x 2
3
( x  1)
e  sin 2 x
y
( x  5) 4
3
y
 7 5x  7 x 2  3
5
( x  2)
e cos 5 x
y
x 2  5x  2
4
y  4 ( x  1) 5  2
7 x  3x  2
(2 x  5) 3
y
e tgx
3
y  5 ( x  2) 6  3
7x  x2  4
e  tg3 x
y 2
4 x  3x  5
y
b
2
y  cos 3 4 x  arcctg x
d
y  (arctg 2 x) sin x .
b
y  tg 3 2 x  arcsin x 5
d
y  (ln( x  7)) ctg 2 x .
b
y  ctg 7 x  arccos2 x 3
d
y  (ctg(7 x  4)) x 3 .
a
17.
c
a
18.
3
 3 4  3x  x 4
2
( x  4)
e  sin 4 x
y
(2 x  5) 6
2
8
y

( x  1) 3 6 x 2  3x  7
y
3x 2  5 x  10
y
ex
c
a
4
19.
ex
(2 x 2  x  4) 2
y
c
5
( x  1) 3
a
y  3 5  4x  x 2 
c
e4x
y
(3x  5) 3
20.
a
21.
c
y
2
 5x  1  x 2
5
( x  1)
y
4x 2  2x  7
e
a
22.
c
a
23.
c
a
24.
c
25.
3
( x  3) 4
y  1  5x  2 x 2 
a
 x2
1
3x 3  x  2
(3 x  4) 3
y
e ctgx
2
y  4 ( x  2) 5  2
x  3x  6
sin 3 x
e
y
2 x 2  3x  2
3
5
y
 2
3
( x  3)
4 x  3x  2
y  3 ( x  1) 4 
y
3
2 x 2  3x  5
ex
y  5 x 2  6x  3 
3
( x  2) 4
b
y  e  sin x tg7 x 6
d
y  ( th x  1) arctg 2 x .
b
y  e cos x ctg8x 3
d
 1
y   cth 
x

arcsin 7 x
.
b
y  cos5 x  arccos4 x
d
y  (cos(x  5)) arcsin 3 x .
b
y  sin 3 7 x  arcctg5x 2
d
y  ( x  5 ) arccos 3 x .
b
y  e cos x ctg3x 4
d
y  (log 2 ( x  6)) tg3x
b
y  3 x  arcsin 2 x 3
d
y  ( th (3x  4)) arcsin 5 x
b
y  sin 3 3x  cos 5x 4
d
y  (cos5x) arcsin(x3)
b
y  tg 2 3x  arcsin x 2
d
y  (arccos( 4 x  1) ln 2 x
b
y  arccos 5x  cos3 x
2
3x 3  2 x  7
y
e cos x
c
a
y
2
 3x 2  5 x  7
6
( x  3)
26.
e4x
y
c
2x  4x  5
2
d
b
d
y  (ch (3x  7)) arccos 4 x
y  ln( x  2)  arccos 2 5x
y  (cos(4 x  5)) x3
5. Найти y  и y  :
вариант
a
b
1.
y 2  8x
 x  (2t  3) cos t

3
 y  3t
2.
x /5 y /7 1
 x  2 cos2 t

2
 y  3 sin t
3.
y  x  arctg y
 x  6 cos3 t

3
 y  2 sin t
4.
x2 / 5  y2 / 3  1
 x  1 /(t  2)

2
 y  (t /(t  2))
5.
y  25 x  4
 x  e 2 t

4t
y  e
6.
arcctgy  4 x  5 y

x  t

5

y  t
7.
y  x  cos y
 x  2t /(1  t 3 )

2
2
 y  t /(1  t )
3x  sin y  5 y
 x  t 2  1

 y  (t  1) / t 2  1
9.
tg y  3x  5 y
 x  4t  2t 2

3
2
 y  5t  3t
10.
xy  ctg y
 x  (ln t ) / t

 y  t ln t
8.
2
2
2
2
y  e  4x
 x  e t cost

t
 y  e sin t
12.
ln y  y / x  7
x  t 4

 y  ln t
13.
y 2  x 2  sin y
 x  5 cost

 y  4 sin t
14.
e  4x  7 y
 x  5 cos2 t

2
 y  3 sin t
15.
4 sin 2 ( x  y)  x
 x  arctgt

2
 y  ln(1  t )
16.
sin y  7 x  3 y
 x  arcsin t

2
y  1 t
17.
tg y  4 y  5 x
 x  3(t  sin t )

 y  3(1  cos t )
18.
y  7 x  ctg y
 x  3(sin t  t cost )

 y  3(cos t  t sin t )
19.
xy  6  cos y
 x  sin 2t

2
 y  cos t
20.
3 y  7  xy
 x  e 3t

3t
y  e
21.
(2  x) y  x
y
11.
y
3
2
3
 x  e t

 y  t 3
ln y  xy  1
2

 x  t  2t

3

 y  t  3t  2
23.
y  ctg y  3x
2

 x  t  6t  5

3

y  t  5
24.
x /7  y /2 1
2

 x  2 sin t

2

 y  5 cos t
22.
2
2
25.
y  y  3x
3

x  t  1


y  t  2
26.
y  x  sin 2 y
 x  (1  3t ) sin t

3
 y  2t
2
6. Для данной функции y и аргумента x 0 вычислить y ( x0 ) :
вариант
вариант
1.
y  sin 2 x, x0   / 2
14.
y  arcsin x, x0  0
2.
y  arctg x, x0  1
15.
y  (5x  4) 5 , x0  2
3.
y  ln( 2  x 2 ), x0  0
16.
y  x sin x, x0   / 2
4.
y  e x cos x, x0  0
17.
y  x 2 ln x, x0  1/ 3
5.
y  e x sin 2 x, x0  0
18.
y  x sin 2 x, x0   / 4
6.
y  e  x cos x, x0  0
19.
y  x cos 2 x, x0   / 12
7.
y  sin 2 x, x0  
20.
y  x 4 ln x, x0  1
8.
y  (2 x  1) 5 , x0  1
21.
y  x  arctg x, x0  1
9.
y  ln(1  x), x0  2
22.
y  cos2 x, x0   / 4
10.
y
1 2 x
x e , x0  0
2
23.
y  ln( x 2 - 4), x0  3
11.
y  e  x cos 3x, x0  0
24.
y  ln( 2 x 2 - 3), x0  1
12.
y  ( 2  3 x ) 4 , x0  1
25.
y  x ln( x  3), x0  2
13.
y  cos 4 x, x0   / 8
26.
y  3x 2 e 2 x , x0  0
7. Решить задачу:
1) В равнобедренный треугольник с основанием 20 см и высотой
8 см вписан прямоугольник, одна из сторон которого лежит на осно-
вании треугольника. Какова должна быть высота прямоугольника,
чтобы он имел наибольшую площадь?
2) Найти на оси Ох точку, сумма расстояний от которой до точек
М1(1, 2) и М2(4, 3) имеет наименьшее значение.
x2 y2
3) В эллипс 2  2  1 вписать прямоугольник наибольшей плоa
b
щади.
4) В данный конус вписать цилиндр наибольшего объема.
5) Построить прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием, который при заданной поверхности имел бы наибольший объем.
6) В данный шар вписать конус наибольшего объема.
7) В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.
8) Проволоку длиной 1 согнуть в круговой сектор наибольшей
площади.
9) Найти кратчайшее расстояние от точки М0(2,1) до кривой
y  1  2 ln x .
10) Найти размеры консервной банки объемом V с наименьшей
поверхностью.
11) Найти наибольший объем конуса с данной образующей l.
12) Найти наименьший объем конуса, описанного около полушара
радиуса а.
13) При каком наклоне боковых сторон равнобедренной трапеции
ее площадь будет наибольшая, если меньшее основание трапеции
равно а, а боковые стороны равны b.
14) Данное положительное число а разложить на два слагаемые
так, чтобы их произведение было наибольшим.
15) Кусок проволоки данной длины l согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.
16) Найти число, которое, будучи сложено со своим квадратом,
дает наименьшую сумму.
17) Найти положительное число, которое, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму.
18) Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса а.
19) Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему
числом, дает наименьшую сумму?
20) Найти такое положительное число, чтобы разность между ним
и его кубом была наибольшей.
21) Представьте число 28 в виде суммы двух слагаемых так, чтобы
сумма их кубов была минимальна.
2
найдите координаты точек, блиx2
22) На графике функции y 
жайших к началу координат.
23) Из всех прямоугольников с данным периметром p найдите тот,
у которого диагональ наименьшая.
24) В равносторонний треугольник с периметром равным 36, вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите длины сторон
прямоугольника.
25) Найдите наименьшее значение периметра основания прямоугольного параллелепипеда, объём которого равен 4, а одна из боковых граней является квадратом.
26) Периметр равнобедренного треугольника равен 2p. Каковы
должны быть его стороны, чтобы объём тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?
8. Раскрыть неопределенности с помощью правила Лопиталя:
Вариант
1.
2.
a
x 2  2x  1
lim
x 1
ln x
2
x cos x
lim
x  0 cos x  1
b
1 
1
lim   x

x 0 x
e  1

1 

lim
tgx




1  sin x 
x  0
2
3.
e e
lim
x  0 x  sin x
 1

lim  2  ctg 2 x 
x 0 x


4.
ln(1  x 2 )
lim
x 0 cos 3 x  e  x
 x
 

lim 6


ctgx 2 cos x 
x

2
5.
 1 ctgx 
lim  2 

x 0 x
x 

lim
x
x
sin x
x
e x  e  x  2x
x 0
x  sin x
1 
 1
lim 


x 1 ln x
x  1

lim   2arctg x  ln x
6.
e e
lim
x0 ln(1  x)
7.
x sin x(sin x)  sin 2 x
lim
x 0
x6
8.
2 ln x  x
lim
x 1
ln x

 1 
lim  x  x 2 ln 1   
x 
x 


 1

1
lim  

x
x 0 4 x
2 xe  1 

lim 3 x  1 ln 2 ( x  1) .
9.
x 
x 1 0
c
lim (sin x) tgx
x
2
1
lim  
x   0 x 
tgx
1
lim (1  x) x
x
1
 tgx  x 2
lim 

x 0
 x 
lim

1

x0 ln e  x  1
1
lim  
x   0 x 
sin x
lim (tgx)
ctgx

x  0
2
1
lim cos x  x 2
x 0
lim ln ctg x 
tgx
x 0
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
tgx  x
x 0 x  sin x
 1
ln(1  x) 

lim 

x  0 x ( x  1)
x 2 

arcsin 2 x  2 arcsin x  1
1 
lim


lim

3
x
x 0
x 0  tg x
x
e

1


lim
tg 2 x  sin 2 x
x 0
x3

2 

lim  tg x 
2 x   
x 
2
x cos x  sin x
x 0
x3
 2
1 

lim  2 
x 0 sin x
1

cos
x


 1

5

lim 
 2
x 3 x  3
x  x  6 

lim 1  cos x  ctg x
lim
lim
chx  1
x 0 1  cos x
lim
ln(sin 3x)
lim
x0 ln(sin x)
1 x
lim
x 1
x
1  sin
2
x  аrctgx
lim
x 0
x3
sin e x1  1
lim
x1
ln x
arcsin x  аrctg x
lim
x0
ln(1  x 3 )
24.
lim 1  x  tg
x1
x
2
lim arcsin x ctg x
x0
lim x n e  x
x  
x  0
lim ( x  2 )
x
1
x
x  
1
 sin x 1  cos x
lim 

x 0
 x 
tg x
lim ln ctg x 
x  0
lim (ctgx) sin x
x0
lim (ctgx)
1
ln x
x 0
1
lim  
x 0 x
 
lim ( x )
tg x
1
x
x  
lim x
3
4  ln x
x 0
lim ( tg x  sec x )
e sin x  e x
lim
x 0 sin x  x
ln tgx
lim
x ctg 2 x
1
 1
lim 
 
x  0 sin x
x

1 
1
lim  

x 0 x
arcsin x 

ln( 1  x)  x
x 0
tg 2 x
ln cos 2 x
lim
x 0
x2
1 
 1
lim  2  2 
x 0 x
sin x 

 1
1
lim 
 2 
x 0 xarctgx
x 

lim
lim (ln ctgx) tgx
lim (  2 arc tg x) ln x
x  
ln x
lim
x  0 1  2 ln sin x
4
23.
x 0
2 ln x  x
x 1
ln x
lim
x
2
lim (1  x )
2
1
x
x 0
lim (1  x) ln x
x 0
2

lim  arccos x 
x 0 


1
x
1
lim (cos x)
x2
x 0
lim (arcsin x)tgx
x  0
25.
26.
ch2 x  1
x 0
x2
ln( x 2  8)
lim
x 3 2 x 2  5 x  3
lim
(  2 x) cos x

lim sin x ln ctgx
lim
x 0
lim x 2 e  x
x  0
2
3
lim (3x  3 )
2
x
x
1
x
x 
9. Провести полное исследование и построить графики функций:
вариант
a
1.
y=x4 – 2x – 3
y
2.
y = x3 (10 – 3x2)
y = x 2 - ln x
3.
y  x 2  1
y  ( x  1) e 3 x1
4.
y  ( x 2  2 x  3) 2
y  x  3 x2
5.
y  x  4
y
6.
y  x  2 x4  1
y  e 2 x x
7.
y  x  1
x2  x  1
y 2
x  2x
8.
y  3x 3  40 x 2  240 x
9.
x5  x3
y
 3x
5
( x  3) 2
y
4( x  1)
10.
y=x2 (x3-20)
y  ( x  5)3 x 2
b
3
3
2
3
2
y
x 1
x 2  2x
x4
x3  1
2
ln x
x
11.
y  3 x  5
y  x 2 arctg x
12.
y  2x 4  x2  1
y = x ln x
13.
y = 36 x (x - 1)3
y = x3 e-4x
14.
y = 32 x2 (x2 - 1)3
y = x2 e-x
15.
y  x2 
16.
y
17.
y
6
1
x2
y  x 2ex
2
2x  1
( x  1) 2
y  ln ( x 2  1)
x2
x2  1
y  x  sin x
18.
x3
y
3  x2
y = ln cos x
19.
y
2
y = x e-x
20.
y = x 3 – 3x2
y x x3
21.
1
y  ( x 3  3 x 2  9 x  3)
4
ex
y
1 x
22.
x3
y
4(2  x) 2
y  e 4 x x
23.
y  x 3  3x 2  4
y  x ln 2 x
24.
y
x2  x 1
x 2  2x  1
y  x 2 ln x
x
x 1
2
25.
y  ( x  1) 2 ( x  2)
26.
y  ( x  2) 2 ( x  1) 2
y  e1 x
y
2
x
 arctgx
2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Учебники и учебная литература
1. Ильин В.А., Позняк Э.Т.. Основы математического анализа.
Ч.1.. М. Наука. 1982.
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов ВЛ. К. Математический анализ. Т.1. М. Наука. 1979.
3. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1. – М.:
Наука, 1990.
4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. М.
Наука. 1989.
5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1.
Физматгиз. 1960.
Сборники задач и упражнений
6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.- М.Наука, 1985.
7. Демидович Б.П Сборник задач по математическому анализу.М.Наука, 1990.
8. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. /Данко П.Е., Попо А.Г., Кожевникова Т.Я. . М.
Высшая школа. 1986.Ч. 1.
9. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский Б.Н. Сборник задач по математическому анализу.- М.Просвещение, 1990.
10.Индивидуальные задания по высшей математике /Рябушко
А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е.: Под редакцией Рябушко А.П.  Мн.Вышэйшая школа, 2008. Ч. 1.