ПЗ 3 раздатка

ПЗ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Основные методы интегрирования
1. Метод разложения:
∫(𝑎𝑓1 (𝑥) + 𝑏𝑓2 (𝑥))𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓1 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝑏 ∫ 𝑓2 (𝑥)𝑑𝑥.
2. Метод подстановки или замены переменной:
∫ 𝑓(𝑥(𝑡))𝑥 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, где 𝑥 = 𝑥(𝑡).
3. Метод интегрирования по частям
∫ 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥)𝑢′ (𝑥)𝑑𝑥
или в более короткой форме:
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Этот метод целесообразно использовать, когда подынтегральная функция является
произведением степенной и показательной, логарифмической, тригонометрической или
обратной тригонометрической функций, а также произведением двух разноименных
функций.
Подынтегральная функция
Дополнительные условия
Метод интегрирование
Интегрирование по частям:
𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛 (𝑥)𝜑(𝑥)
𝑃𝑛 (𝑥)многочлен,
𝑢 = 𝑃𝑛 , 𝑑𝑣 = 𝜑𝑑𝑥
𝜑(𝑥)функция:
в случаях (1), (3);
1) показательная,
𝑢 = 𝜑 , 𝑑𝑣 = 𝑃𝑛 𝑑𝑥
2) логарифмическая,
в случаях (2), (4);
3) тригонометрическая,
4) обратная
тригонометрическая
𝑎𝑥
Интегрировать по частям
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥
𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0
𝑎𝑥
дважды
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥
Пример 1. Найти интеграл  x 2  e x dx

Решение.
 u  x 2 du  2 xdx 
2 x
x
2 x
x
x 2  e x dx  
x   x  e  2 x  e dx  x e  2 xe dx 
x
dv  e dx v  e 


 u  x du  dx 
2 x
x
x
2 x
x
x

x
x   x e  2( xe  e dx)  x e  2 xe  2e  C.
dv  e dx v  e 
x cos x
dx .
Пример 2. Вычислить интеграл 
sin 2 x

du  dx
u  x,

x cos x
Решение. 
dx  
cos x
cos xdx
d sin x 
1 
2

dv

dx
,
v




sin x
 sin 2 x  sin 2 x sin x 
sin 2 x


x
dx
x
x


 ln tg  C .
sin x
sin x
sin x
2