ПЗ 3 раздатка

ПЗ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Основные методы интегрирования
1. Метод разложения:
∫(𝑎𝑓1 (𝑥) + 𝑏𝑓2 (𝑥))𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓1 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝑏 ∫ 𝑓2 (𝑥)𝑑𝑥.
2. Метод подстановки или замены переменной:
∫ 𝑓(𝑥(𝑡))𝑥 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, где 𝑥 = 𝑥(𝑡).
3. Метод интегрирования по частям
∫ 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥)𝑢′ (𝑥)𝑑𝑥
или в более короткой форме:
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Этот метод целесообразно использовать, когда подынтегральная функция является
произведением степенной и показательной, логарифмической, тригонометрической или
обратной тригонометрической функций, а также произведением двух разноименных
функций.
Подынтегральная функция
Дополнительные условия
Метод интегрирование
Интегрирование по частям:
𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛 (𝑥)𝜑(𝑥)
𝑃𝑛 (𝑥)−многочлен,
𝑢 = 𝑃𝑛 , 𝑑𝑣 = 𝜑𝑑𝑥
𝜑(𝑥)−функция:
в случаях (1), (3);
1) показательная,
𝑢 = 𝜑 , 𝑑𝑣 = 𝑃𝑛 𝑑𝑥
2) логарифмическая,
в случаях (2), (4);
3) тригонометрическая,
4) обратная
тригонометрическая
𝑎𝑥
Интегрировать по частям
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥
𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0
𝑎𝑥
дважды
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥
Пример 1. Найти интеграл  x 2  e x dx

Решение.
 u = x 2 du = 2 xdx 
x 2  e x dx = 
 = x 2  e x − 2 x  e x dx = x 2e x − 2 xe x dx =
x
x
dv = e dx v = e 


 u = x du = dx 
2 x
x
x
2 x
x
x
=
x
x  = x e − 2( xe − e dx) = x e − 2 xe + 2e + C.
dv = e dx v = e 
x cos x
Пример 2. Вычислить интеграл 
dx .
sin 2 x

du = dx
u = x,

x cos x
dx = 
Решение. 
cos x
cos xdx
d (sin x )
1 =
2

dv
=
dx
,
v
=
=
=
−
sin x
 sin 2 x  sin 2 x sin x 
sin 2 x

=−
x
dx
x
x
+
=−
+ ln tg + C .
sin x
sin x
sin x
2