Контрольная работа №1 Вариант 1 26 октября 2019г. 1. Найти определитель матрицы Rn×n sin x 1 0 0 1 2 sin x 1 0 0 1 2 sin x 1 ... ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 0 0 ... ... 2 sin x 1 1 2 sin x 2. Исследуйте на совместность и найдите общее решение системы уравнений через фундаментальную систему решений. 2x1 + 2x2 + x3 − x4 = 3, 4x1 + 4x2 + 3x3 − 2x4 = 5, 6x1 + 6x2 + 5x3 − 3x4 = 7, 8x1 + 8x2 + 7x3 + λx4 = 9, 3. Ненулевая квадратная матрица A такова, что для любой матрицы B того же порядка выполнено соотношение rg(AB) = rg(BA). Докажите, что A - невырожденная матрица. 4. Решить матричное уравнение 2 2 −1 5 5 2 X 2 −1 2 = 5 8 −1 −1 2 2 5. Найти все значения параметра θ, при которых вектор b имеет более, чем одно разложение по системе векторов a1 , a2 , a3 . b = (−1, −1, −1), a1 = (3 − θ, 1, 3 − θ) a2 = (5 − 2θ, 1, 3 − θ), a3 = (1, 3 − θ, 1). 6. Доказать, что коммутативность векторов линейного пространства может быть получена из остальных аксиом линейного пространства. 7. Пусть a, b, c различные действительные числа. Выяснить, будет ли линейно зависима следующая система многочленов: (t − a)(t − b), (t − a)(t − c), (t − b)(t − c)
