ISSN 2075-6836
УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
ИНСТИТУТ КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ РАН
А. А. Суханов
АСТРОДИНАМИКА
Серия «Механика, управление, информатика»
МОСКВА
2010
УДК 521.3 : 681.1 : 629.7
ББК
Astrodynamics. Series “Mechanics, control, informatics”
A. A. Sukhanov
Lectures on Astrodynamics
Basic knowledge in different areas of astrodynamics is given. Primary consideration is given to the chapters related to the two-body problem and space
transfers both with impulsive and continuous thrust. Other parts of the space
flight mechanics (such as orbit perturbations and navigation in space) are described in fewer details. The issue begins with necessary mathematical knowledge. A brief dictionary of the English analogues of the used terminology is
given in the end.
It may be used for independent study of the Astrodynamics and as a handbook.
Keywords: two body problem, orbital maneuver, Lambert problem, interplanetary transfer, transfer optimization, low thrust
Астродинамика. Серия «Механика, управление, информатика»
Приводятся основные сведения из различных областей механики
космического полета (астродинамики). Главное внимание уделено разделам, относящимся к задаче двух тел и космическим перелетам с импульсной и малой тягой. Другие разделы механики космического полета
(такие, как возмущения орбиты и навигация в космосе) рассматриваются
менее подробно. Работа предваряется сведениями из математики, необходимыми для понимания излагаемого материала. В конце дается краткий словарь английских аналогов используемых терминов.
Может использоваться для самостоятельного изучения астродинамики и в качестве справочника.
Ключевые слова: задача двух тел, орбитальный маневр, задача Ламберта, межпланетный перелет, оптимизация перелетов, малая тяга
Суханов Александр Александрович — старший научный сотрудник,
кандидат физико-математических наук
Sukhanov Alexander Alexandrovich — senior scientist, PhD
E-mail: sukhanov@iki.rssi.ru
© Учреждение Российской академии наук
Институт космических исследований РАН
(ИКИ РАН), 2010
Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Некоторые сведения из математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Задача двух тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Гравитационное поле тела конечных размеров . . . . . . . . . . . 2.3. Первые интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Типы орбит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Энергетическая классификация орбит . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
13
15
16
18
19
3. Типы и элементы орбит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Используемые в главе формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Эллиптические орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Параболические орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Гиперболические орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Вычисление положения и скорости на орбите (вектора
состояния) на заданное время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Элементы орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
21
21
24
25
28
29
4. Универсальные формулы для кеплеровского движения . . . . . . . . . . . 31
4.1. Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Функции Штумпфа и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3. Универсальная формула для времени полета . . . . . . . . . . . . 33
4.4. Решение универсального уравнения Кеплера . . . . . . . . . . . . 35
4.5. Вычисление положения и скорости на орбите (вектора
состояния) на заданное время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5. Возмущения орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1. Используемые в главе формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2. Общие сведения о возмущениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3. Оскулирующие элементы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4. Вековые и долгопериодические возмущения . . . . . . . . . . . . 41
5.5. Гравитационное влияние других небесных тел . . . . . . . . . . . 42
5.6. Сфера действия планеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.7. Влияние сжатия планеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.8. Влияние сопротивления атмосферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6. Орбитальные маневры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Используемые в главе формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Реактивное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Импульсный маневр на орбите . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
48
48
50
Содержание
6.4.
Содержание
Оптимальное импульсное изменение орбитальных
параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Одноимпульсный межорбитальный переход . . . . . . . . . . . . . Двухимпульсный межорбитальный переход . . . . . . . . . . . . . Трехимпульсный межорбитальный переход . . . . . . . . . . . . . 50
52
54
58
7. Задача Ламберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Необходимые формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Уравнение для задачи Ламберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Анализ уравнения задачи Ламберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Решение уравнения задачи Ламберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6. Случай коллинеарных векторов r0 , r1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
64
64
65
68
71
74
8. Межпланетные перелеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Метод склеенных конических сечений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Импульс старта и скорость облета в межпланетных
полетах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Об оптимальном перелете . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Гравитационные маневры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Изменение орбитальной энергии при гравитационном
маневре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Полет в сфере действия планеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Постановка задачи оптимизации перелета между
несколькими планетами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9. Маневры VEGA и ∆VEGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
75
75
9. Маневрирование в сфере действия планеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Постановка задачи и основные обозначения . . . . . . . . . . . . . 9.2. Используемые в главе соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Входящая орбита КА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Одноимпульсный маневр захвата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Сброс зонда на планету . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Выведение КА на заданную круговую орбиту . . . . . . . . . . . . 89
89
89
90
92
93
94
10. Определение и коррекция орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1. Ошибки выведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Траекторные измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Определение орбиты. Метод наименьших квадратов . . . . . 10.4. Коррекция орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5. Автономная навигация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
97
97
98
101
102
11. Матрица изохронных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Используемые в главе формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Уравнение в вариациях и сопряженное уравнение
в вариациях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Определение матрицы изохронных производных . . . . . . . . 104
104
6.5.
6.6.
6.7.
76
78
81
81
82
85
86
104
106
11.4. Обратная матрица изохронных производных . . . . . . . . . . . . 11.5. Подход к вычислению матрицы изохронных
производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6. Вычисление пяти строк матрицы A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7. Нахождение шестой строки матрицы A . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8. Вычисление интеграла
t
ò r dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
108
109
110
112
t0
11.9. Выбор векторов p1 , p2 и обращение матрицы A . . . . . . . . . . 113
12. Оптимизация орбитальных маневров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1. Постановка общей задачи оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Принцип максимума Понтрягина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Неавтономная система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. Условия трансверсальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Принцип максимума для реактивного движения . . . . . . . . . 12.6. Максимальная и нулевая тяга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7. Импульсная тяга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
116
117
120
121
124
127
128
13. Электрореактивная тяга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1. Обозначения и используемые в главе соотношения . . . . . . . 13.2. Общие сведения об электрореактивной тяге . . . . . . . . . . . . . 13.3. Типы малой тяги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Оптимизация малой тяги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5. Локально-оптимальная тяга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6. Локально-оптимальная тяга для элементов орбиты . . . . . . . 131
131
132
133
134
136
137
14. Ограничения на направление тяги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1. Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Обозначения и используемые в главе соотношения . . . . . . . 14.3. Общее ограничение типа равенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4. Общее ограничение типа неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5. Алгоритм нахождения оптимального направления тяги
при ограничениях типа неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6. Линейное ограничение типа равенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7. Линейное ограничение типа неравенства . . . . . . . . . . . . . . . 14.8. Линейное однородное ограничение типа равенства . . . . . . . 14.9. Линейное однородное ограничение типа неравенства . . . . 14.10. Матрицы B, P0 и P для линейного ограничения типа
равенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.11. Объединения множеств и смешанные ограничения . . . . . . 141
141
141
142
145
15. Оптимизация перелетов с малой тягой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1. Постановка задачи и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Формализация задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3. Решение линеаризованной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4. Вычисление матрицы S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
156
157
159
160
147
149
151
152
152
153
154
Содержание
Свойства решения линеаризованной задачи . . . . . . . . . . . . . Замечание о концевых смещениях опорной орбиты . . . . . . Частично заданные граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . Вектор тяги в подвижных координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . Обеспечение требуемой точности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Вычислительная процедура, обеспечивающая требуемую
точность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.11. Частично заданные граничные условия для случая
разбиения времени на подынтервалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.12. Ограничения на направление тяги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
165
166
167
168
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1. Постановка задачи и основные допущения . . . . . . . . . . . . . . 16.2. Время полета и радиус орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3. Число оборотов и угловая дальность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4. Долгота восходящего узла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5. Сравнение аналитических результатов с численным
интегрированием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6. Значения параметров на бесконечности . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7. Значения параметров на параболической орбите . . . . . . . . . 16.6. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
176
176
178
179
15.5.
15.6.
15.7.
15.8.
15.9.
15.10.
170
171
174
180
184
186
189
П р и л о ж е н и е А. Сравнение двухимпульсных переходов
между круговой и эллиптической орбитами . . . . . . . . . . . . . 190
П р и л о ж е н и е Б. Проекции на множества и их свойства . . . . . 193
П р и л о ж е н и е В. Вычисление интеграла
t
ò rdtn 2 . . . . . . . . . . . . t0
197
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Словарь английских терминов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Предисловие
Предлагаемый материал является существенно переработанным
переводом последнего (пятого) английского издания лекций автора “Lectures on Astrodynamics” по механике космического полета, прочитанных
в шведском Институте космической физики (IRF, г. Кируна), в Национальном институте космических исследований Бразилии (INPE, г. Сан
Жозе дус Кампус), а также в бразильских университетах г. Бразилиа
(UnB) и штата Сан Пауло (UNESP, г. Гуаратингетá) в 1996–2009 гг.
Работа охватывает основные области механики космического полета, от основ (законы Кеплера и закон всемирного тяготения Ньютона)
до таких специальных разделов, как матрица изохронных производных,
оптимизация перелетов с малой тягой, ограничения на направление
тяги. Основная цель издания — дать углубленные знания о движении в
пространстве в рамках задачи двух тел и о космических перелетах как с
импульсной, так и с малой тягой на основе современных математических методов. О других разделах астродинамики, не относящихся к этой
проблематике (таких, например, как возмущения орбиты и космическая
навигация), даются лишь самые общие представления. Для удобства
пользователей многие главы предваряются набором используемых в этих
главах формул и обозначений. Важные формулы и положения заключены
в рамку, общеупотребительные термины выделены подчеркиванием. Теоретический материал иллюстрируется рисунками, графиками и таблицами. Во избежание недоразумений следует отметить, что векторы в тексте работы помечаются верхними стрелками, однако на рисунках стрелки
заменены черточками.
Главы 6, 7, 9, 11, 14–16 основаны на математических методах, разработанных автором.
Работа “Lectures on Astrodynamics”, послужившая основой данного
издания, является иллюстративным материалом, используемым при
чтении лекций, и написана намеренно сжатым, конспективным стилем;
многие положения работы нуждаются в разъяснениях и комментариях.
Отчасти этот стиль сохранился и в данном издании. Тем не менее, издание доступно и для самостоятельного изучения подготовленными
студентами, аспирантами и специалистами в смежных областях. Издание
содержит большое количество полезных формул, таблиц и других сведений, поэтому также может использоваться специалистами в качестве
справочника по механике космического полета.
1. Некоторые сведения из математики
Производные по времени
x = x(t ) ,
x =
dx
d 2 x dx
, x =
.
=
dt
dt
dt 2
Векторы
éx ù
ê 1ú
êê x2 úú
x = ê ú = {x1, x2 ,..., xn } — вектор-столбец размерности n,
êú
n-вектор
êx ú
êë n úû
x = x (t ): x = {x1, x2 ,..., xn }.
Транспонирование: xT = éë x1 x2 ... xn ùû — строка.
n
Скалярное произведение: x × y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn = å xi yi ,
i =1
x × y = y × x = xT y = yT x .
Векторы x1,..., xm (m n) линейно независимы, если равенm
ство å ci xi = 0 выполняется только для c1 = … cm = 0.
i =1
Матрицы
éA
ù
ê 11 A12 A1n ú
êA
A22 A2 n úú
— матрица размерности m×n,
A = êê 21
úú
ê
m×n-матрица
êA
ú
êë m1 Am2 Amn úû
Если m = n, то A является матрицей порядка n, или n-матрицей.
ù
é A
ê 11 A12 A1n ú
ê A
A22 A2 n úú
.
A = A(t ): A = êê 21
úú
ê
ê
ú
êë Am1 A m2 A mn úû
1. Некоторые сведения из математики
é cA
ê 11
ê cA
Скалярный множитель: cA = êê 12
ê
ê cA
ëê 1n
Пусть A — l×m-матрица:
x — m-вектор: y = Ax — l-вектор,
cAm1 ùú
cAm2 úú
.
úú
cAmn úûú
cA21
cA22
cA2 n
n
yi = å Aij x j ;
j =1
m
B — m×n-матрица: C = AB — l×n-матрица, Cij = å Aik Bkj .
Транспонирование:
éA
ê 11 A21
êA
A22
AT = êê 12
ê
êA
êë 1n A2 n
Обратная матрица:
k =1
Am1 ùú
Am2 úú
— транспонированная n×m-матрица
úú
Amn úúû
é1
0ùú
ê
A — n-матрица, I = êê úú — единичная матрица;
ê0
1úúû
êë
A–1 — обратная матрица: AA–1 = A–1A = I.
Важные свойства транспонированных и обратных матриц:
T
(AB )
-1
= BT AT , (AB ) = B -1 A-1 ,
dA-1
-1 .
= - A-1 AA
dt
Ранг матрицы:
Ранг n×т-матрицы A равен rank (A) = r ( r min(m, n) ), если существуют r линейно независимых столбцов или строк матрицы A и
любые r + 1 столбцов или строк являются линейно зависимыми.
Матрица A порядка n может быть обращена, если и только если
rank (A) = n.
Производные по вектору
y = y (x ), x = {x1, x2 ,..., xn }:
1. Некоторые сведения из математики
é ¶y ¶y
¶y
¶y ùú
— градиент (строка);
= grad x y = êê
¶x
¶xn úûú
ëê ¶x1 ¶x2
y = y (x )= { y1,..., ym }, x = {x1,..., xn }:
¶y
¶y
Y = — m×n-матрица, Yij = i (i = 1,..., m, j = 1,..., n) .
¶x
¶x j
Экстремум функции
Экстремум — минимум или максимум функции.
Скалярный аргумент:
x = x(t ): x = 0 — необходимое условие min x или max x.
Векторный аргумент:
¶y
y = y (x ): = 0T — необходимое условие min y или max y.
¶x
Метод Ньютона–Рафсона решения алгебраических уравнений
Скалярное уравнение:
dy
.
dx
Пусть x0 — начальное приближение; на k-й итерации
y( x ) = a , y ¢ =
xk = xk -1 -
y (xk -1 ) - a
y ¢ (xk -1 )
(k = 0,1, ...)
Векторное уравнение:
¶y (x )
y (x ) = a x , y , a — n-векторы, Y (x ) =
.
¶x
Пусть x0 — начальное приближение; на k-й итерации
xk = xk -1 -Y -1 (xk -1 )éê y (xk -1 ) - a ùú , (k = 0,1,...)
ë
û
Вектор в 3-мерном пространстве
a = ax , ay , az — 3-вектор,
{
}
a = a = a × a = ax2 + a2y + az2 — модуль вектора.
10
1. Некоторые сведения из математики
0 a
a = — единичный вектор,
a
0
a =1 ,
¶a éê ¶a
¶a
¶a ùú éê ax ay az ùú 0T
=
=a .
=ê
¶a ê ¶ax ¶ay ¶az úú êê a
a
a úú
û
ë
û ë
Скалярное произведение:
a × b = aT b = ax bx + ay by + az bz .
Р и с. 1.1
Векторное произведение:
a ´ b = ay bz - az by , az bx - ax bz , ax by - ay bx .
Пусть φ — угол между a и b ; тогда
a × b = ab cos φ , a ´ b = ab sin φ .
{
}
Канонические уравнения
éê x ¢ ùú
H = H (x ), x = ê ú , x ¢ = {x1¢,..., xn¢ }, x ¢¢ = {x1¢¢,..., xn¢¢};
ë x ¢¢û
T
æ ¶H ÷öT
æç ¶H ÷ö
ç
¢
¢¢
x = ç ÷÷ , x = -ç ÷÷ çè ¶x ¢ ÷ø
çè ¶x ¢¢ ÷ø
(1.1)
H — гамильтониан, функция Гамильтона;
x ¢ , x ¢¢ — канонические переменные.
Уравнения (1.1) — уравнения Гамильтона, каноническая форма дифференциальных уравнений.
dH ¶H ¶H
В силу (1.1)
= x ¢ + x ¢¢ = 0
dt
¶x ¢
¶x ¢¢
⇒ H = const — первый интеграл уравнений (1.1).
Гиперповерхность
x = { x1,..., xn } — вектор в n-мерном пространстве,
f (x )= 0 — уравнение гиперповерхности S.
Если f (x )= A x + b , то S — гиперплоскость.
11
2. Задача двух тел
1. Некоторые сведения из математики
Пусть f (x0 ) = f (x ) = 0 Þ x0 , x Î S ,
x ® x0 Þ d x = x - x0 Î P — касательная гиперплоскость,
¶f (x )
¶f (x )
f (x )= f (x0 )+
dx Þ
dx =0
¶x
¶x
x0
x0
¶f (x )
⇒
= grad x f (x ) ортогонален P и S.
¶x
Многообразие
Уравнения
f1 (x ) = 0,..., fm (x )= 0 2.1. Уравнения движения
Законы Кеплера, основанные на наблюдениях (рис. 2.1):
1. Каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов
которого находится Солнце (F1 или F2).
2. За равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий
Солнце и планету, заметает сектора
равной площади:
(1.2)
определяют m гиперповерхностей S1 , …, Sm.
Пересечение M гиперповерхностей S1 , …, Sm (т. е. x Î M , если
x удовлетворяет всем уравнениям (1.2)) является многообразием,
если векторы
¶fm
¶f1
,...,
¶x
¶x
линейно независимы.
Пересечение касательных гиперплоскостей к гиперповерхно
стям S1, …, Sm в точке x Î M — касательная плоскость к многооб
разию M в x .
Любая линейная комбинация
m
¶fi (x )
å ci ¶x
i =1
ортогональна касательной плоскости к многообразию.
t2 - t1 = t4 - t Þ S1 = S2
3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей
орбит планет:
P12
P22
=
Р и с. 2.1
a1
a2
Закон всемирного тяготения
Ньютона (закон обратных квадратов) выводится из законов Кеплера:
GMm
— сила тяготения,
F=
r2
гравитационная сила;
G = 6,672·10 –20 км 3 ·кг –1 ·с –2 —
гравитационная постоянная;
M, m — притягивающие массы;
r — расстояние между M и m.
Векторная форма закона:
GMm 0
F =r ,
2
r
r
r0 = , r = r ,
r
r = { x, y, z } — вектор положения, радиус-вектор.
Р и с. 2.2
13
2. Задача двух тел
Ускорение (рис. 2.2)
r = ρ - ρ0 .
1. Инерциальные координаты:
= - GM r , ρ
= Gm r .
ρ
0
r
r
2. Барицентрические координаты:
m
ρ0 = - ρ
M
и используется (2.1) с
M +m
M +m
r=
ρ =ρ0 .
M
m
3. M-центрические координаты:
G ( M + m)
r =ρ
- ρ0 = r .
r
µ1 = GM , µ 2 = Gm — гравитационные параметры,
µ = µ1 + µ 2 = G ( M + m) .
Пусть m M Þ µ » GM .
2. Задача двух тел
Уравнения (2.1)–(2.5) описывают задачу двух тел,
кеплеровское движение, невозмущенное движение
(2.1)
Т а б л и ц а 2.1. Гравитационные параметры Солнца, планет и Луны
и средние расстояния планет от Солнца и Луны от Земли
T
æ ¶U ö
r = çç ÷÷÷ èç ¶r ø÷
⇒ сила является консервативной.
é v ù
ù
é
ú
r
ê
2. v = r , x = êê úú , f (x )= ê µ ú ;
ê- r ú
ëv û
ê r ú
ë
û
x = f (x )
v = v x , v y , vz — вектор скорости,
x — вектор состояния.
{
14
}
µ, км3/с2
Небесное
тело
132712,440⋅10 6
(2.3)
10 6 км
—
—
22032,080
0,387
57,909
Венера
324858,599
0,723
108,209
Земля
398600,433
1,000
149,598
Марс
42828,314
1,524
227,941
Юпитер
126712767,858
5,203
778,293
Сатурн
Меркурий
(2.2)
Средние расстояния от Солнца
а.е.
Солнце
Закон всемирного тяготения Ньютона:
µ
r =- r r
Другие формы закона всемирного тяготения:
µ
1. U = — гравитационный потенциал;
r
В табл. 2.1 приведены гравитационные параметры Солнца,
планет и Луны, а также средние расстояния планет от Солнца и
Луны от Земли.
37940626,061
9,555
1429,371
Уран
5794549,007
19,218
2874,995
Нептун
6836534,064
30,110
4504,346
Плутон
981,601
39,518
5911,775
Луна*
4902,801
0,00257
0,3844
* Среднее расстояние от Земли
2.2. Гравитационное поле тела конечных размеров
(2.4)
(2.5)
Выше предполагалось, что притягивающие тела представляют
собой массивные точки. Теперь рассмотрим тело конечных размеров. Обозначим (рис. 2.3):
dm , dV — элементарные масса и объем,
σ = σ (R ) — плотность,
R= R .
Тогда
dm = σ dV ,
15
2. Задача двух тел
Р и с. 2.3
ò dm = M ,
V
U =G ò
V
σ dV
r
σ dV
=G ò .
ρ-R
V
Если σ = σ (R ), то U =
GM µ
=
ρ
ρ
Тело со сферически распределенной плотностью притягивает
как точка такой же массы, расположенная в центре масс тела,
т. е. тело имеет центральное гравитационное поле
2.3. Первые интегралы
Скалярное умножение (2.3) на v = r дает:
1 d
d v2
левая часть — r × r =
r
×
r
=
( ) dt 2 ,
2 dt
16
2. Задача двух тел
æç µ ö÷÷ d µ
правая часть — r × çççç- r ÷÷÷÷ =
ççè r ø÷
dt r
2µ
2
⇒ h= v (2.6)
r
— интеграл энергии;
h = const — постоянная энергии (удвоенная энергия).
Векторное умножение (2.3) на r дает:
d d d
левая часть — r ´ r = r ´ v - v ´ v = r ´ v
dt
dt
dt
(так как v ´ v = 0 ),
æ µ ö
µ
правая часть — r ´çç- r ÷÷÷ = - r ´ r = 0
çè r ÷ø
r
⇒ c = r ´v (2.7)
— угловой момент, интеграл площадей;
c = const — постоянная площадей, постоянный вектор углового
момента;
r × c = 0 Þ движение является плоским
Вектор c ортогонален плоскости орбиты
Векторное умножение (2.3) на c дает:
d
левая часть — r´ c = (v ´ c )
dt
ö
µ
µ
µ æ
правая часть — - r ´ c = - r ´(r ´ v )= - çççè rrr - vr 2 ÷÷÷÷ø =
r
r
r
ö÷
æç ö÷
çæç
r
r÷ d r÷
= µ ççç- r + ÷÷÷÷ = ççççµ ÷÷÷÷
2
çç
r ø÷÷ dt çèç r ø÷
è r
(так как r × v = rr )
r
⇒ l = -µ + v ´ c (2.8)
r
— интеграл Лапласа;
l = const — вектор Лапласа, расположенный в плоскости орбиты.
Связи между первыми интегралами:
(2.9)
c ×l = 0 17
2. Задача двух тел
l 2 = µ 2 + c2 h 2. Задача двух тел
e < 1 - эллиптические орбиты,
(2.10)
e = 1 - параболические орбиты, (2.15)
e > 1 - гиперболические орбиты
где l = l , c = c
⇒ интегралы h, c , l дают 5 независимых постоянных.
Обозначим
Так как l 0 , то e 0 .
Пусть ϑ = 0; тогда
h
.
2
В силу (2.5), (2.6)
H=
¶H
¶H
r = , v = - ¶v
¶r
⇒
(2.11)
h
– гамильтониан, а (2.11) является канони2 ческой формой уравнений движения
c = r v sin φ = r vn = r 2 ϑ l
c2
= 1 + h — эксцентриситет,
µ
µ2
ϑ — истинная аномалия
e=
⇒
r=
p
1 + e cos ϑ
(2.17)
c
(2.18)
(t - t ) 2 2 1
Уравнение (2.18) дает 2-й закон Кеплера.
⇒
S=
2.5. Энергетическая
классификация орбит
(2.12)
Из (2.11), (2.13), (2.16) получим (рис. 2.6)
(2.13)
vr = r =
(2.14)
Уравнение (2.14) описывает коническое сечение в полярных координатах и дает обобщенный 1-й закон Кеплера:
18
Р и с. 2.4
(рис. 2.5);
r × r d ϑ cdt
dS =
=
2
2
Умножим скалярно вектор Лапласа на радиус-вектор:
l × r = l r cos ϑ ( ϑ — угол между l и r ).
Из (2.8) получим
c2
.
l × r = -µ r + c 2 ⇒ r =
µ + l cos ϑ
Определим следующие параметры с учетом (2.10):
c2
— фокальный параметр,
µ
(2.16)
Из (2.7)
2.4. Типы орбит
p=
p
1+ e
— радиус перицентра.
Вектор l направлен в перицентр
вдоль линии апсид (рис. 2.4)
r = rπ =
pe sin ϑ
2
(1 + e cos ϑ)
Р и с. 2.5
µ
ϑ =
× e sin ϑ (2.19)
p
— радиальная скорость;
Из (2.17)
c
µ
vn = =
(1 + e cos ϑ)
r
p
— трансверсальная скорость,
(2.20)
Р и с. 2.6
19
3. Типы и элементы орбит
2. Задача двух тел
µ æç
ö
2
÷÷
ççè1 + e + 2e cos ϑ ÷÷ø p
⇒ уравнение (2.6) с учетом (2.14), (2.21) дает
v 2 = vr2 + vn2 =
2µ µ
µæ
ö
h = v - = éê1 + e 2 + 2e cos ϑ - 2 (1 + e cos ϑ )ùú = - çççè1- e 2 ø÷÷÷÷ ë
û
r
p
p
2
(2.21)
3.1. Используемые в главе формулы
(2.22)
В данной главе будут использоваться следующие орбитальные
параметры и их значения, полученные в главе 2:
⇒
æ
2µ ö
h = 0 çç т. е. v 2 = ÷÷÷ - параболические орбиты, çè
r ø÷
æ
2µ ö
h > 0 çç т. е. v 2 > ÷÷÷ - гиперболические орбиты
çè
r ø÷
2µ
µæ
ö
= - çççè1- e 2 ø÷÷÷÷ — интеграл энергии,
r
p
c = r ´ v — интеграл площадей,
c = c = µp = r vn = r 2 ϑ ,
r
l = -µ + v ´ c — интеграл Лапласа,
r
l = l = µe ,
h = v2 -
æ
2µ ö
h < 0 çç т. е. v 2 < ÷÷÷ - эллиптические орбиты,
çè
r ø÷
(2.23)
p=
c2
— фокальный параметр,
µ
c2
h — эксцентриситет,
µ2
p
— радиус орбиты,
r=
1 + e cos ϑ
e = 1+
rπ =
p
— радиус перицентра,
1+ e
(3.1а)
(3.1б)
(3.1в)
(3.1г)
(3.1д)
(3.1е)
(3.1ж)
(3.1з)
µ
× e sin ϑ — радиальная скорость,
p
(3.1и)
c
µ
vn = =
(1 + e cos ϑ) — трансверсальная скорость.
r
p
(3.1к)
vr = r =
3.2. Эллиптические орбиты
Эллиптические орбиты (рис. 3.1) характеризуются следующими неравенствами (см. главу 2):
e < 1, h < 0, v 2 <
2µ
r
21
3. Типы и элементы орбит
3. Типы и элементы орбит
Рассмотрим следующие значения истинной аномалии:
ϑ = 0 Þ rπ = F π =
p
1+ e
cos ϑ =
— радиус апоцентра
Р и с. 3.1
p
1- e
tg
(см. (3.1ж) и рис. 3.1); rπ r rα . Соотношение (3.1ж) также дает
π
Þ r=p.
2
Введем еще один орбитальный параметр:
a = Oπ = Oα — большая полуось, средний радиус:
ϑ=
a=
⇒
rπ + rα
2
=
p
1- e
2
⇒ используя (3.2), имеем
a/2
⇒
2
µ
(E - e sin E )
— уравнение Кеплера,
(3.8)
a/2
µ
- орбитальный период (3.9)
Уравнение (3.9) дает 3-й закон Кеплера:
2
P12
⇒ r = a2 sin 2 E çççè1- e 2 ø÷÷÷÷ + (a cos E - ae )
22
a
t - tπ =
P = 2π
r sin ϑ = a sin E 1- e 2 ,
a cos E - r cos ϑ = ae
r = a (1- e cos E ) (1- e cos E )E = 1
где tπ — время прохождения перицентра.
Период орбиты соответствует значению E = 2π ⇒ из (3.8)
Время полета
Угол E, показанный на рис. 3.2, —
эксцентрическая аномалия;
⇒
(3.7)
2
a2 (1- e cos E ) ϑ = µ p
µ
ö
(3.6)
1- e 2
E .
1- e cos E
С другой стороны, из (3.1в), (3.4) можно получить:
(3.3)
µ
— круговая скорость.
a
æ
ϑ
1+ e E
=
tg
2
1- e 2
ϑ =
Круговая орбита:
e = 0, r = a = p,
v=
(3.5)
2
Принимая во внимание (3.5) и равенство 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α ,
найдем из (3.6):
(3.2)
µ
2µ µ
h = - , v2 = - a
r
a
cos E - e
.
1- e cos E
1- tg α 2
Соотношение (3.5) с учетом равенства cos α =
, справед1 + tg 2 α 2
ливого для любого α, дает
— радиус перицентра,
ϑ = π Þ rα = F α =
Сравнивая r в (3.1ж) и (3.4) и принимая во внимание (3.2), получим
(3.4)
P22
Р и с. 3.2
=
a1
a2
.
Обозначим
23
3. Типы и элементы орбит
n=
µ
a
/2
3. Типы и элементы орбит
2µ
-параболическая скорость r
Время полета
Из (3.1в), (3.1ж) получим
— среднее движение,
vp =
M = n(t - tπ ) — средняя аномалия
⇒
M = E - e sin E - уравнение Кеплера (3.10)
Предположим, что τ = t – tπ задано ⇒ M также задана. Значение
E в (3.10) может быть найдено методом Ньютона–Рафсона (см.
главу 1).
d
(E - e sin E )= 1- e cos E
dE
⇒ на n-й итерации
E n = E n-1 -
E n-1 - e sin E n-1 - M
1- e cos E n-1
(n = 0,1,...) .
(3.11)
3.3. Параболические орбиты
Параболические орбиты (рис. 3.3) задаются следующими значениями орбитальных параметров (см. главу 2):
2µ
r
Если ϑ ® π или ϑ ® -π в (3.1ж), то
r ®¥ Þ v®0.
24
1- e 2
=¥
⇒
t - tπ =
p
2 æ
çç
çç tg
çç
çè
2 µ
2
dϑ
µ (1 + cos ϑ)2
= dt
ϑ 1 ϑ ÷÷÷ö
+ tg ÷÷÷ .
2 2 ÷ø
(3.13)
ϑ
может быть най2
дена из кубического уравнения (3.13) аналитически или методом
Ньютона–Рафсона (см. главу 1): на n-й итерации метода
xn = xn-1 -
2 µ
x
+ x - /2 (t - tπ )
p
x 2 +1
(n = 0,1,...) .
(3.14)
В качестве начального приближения итерационной процедуры
(3.14) может быть взято значение
é6 µ
ù1 x0 = 0 или x0 =
(t - tπ ) или x0 = êê /2 (t - tπ )úú .
p/2
êë p
úû
После нахождения x находим истинную аномалию: ϑ = 2 arctg x .
2 µ
На гиперболических орбитах выполняются неравенства
2µ
r
Как следует из (3.1ж), существует некоторый предельный угол
ϑ* ,
e > 1, h > 0, v 2 >
p
rπ = .
2
Далее,
p
(1 + cos ϑ)
p
3.4. Гиперболические орбиты
Из (3.1ж) также следует, что
a=
2
= µp Þ
Пусть τ = t – tπ задано. Переменная x = tg
В качестве начального приближения процедуры (3.11) может быть
принято значение
E0 = 0 или E0 = M.
e = 1, h = 0, v 2 =
p2 ϑ
(3.12)
Р и с. 3.3
1
cos ϑ* = - , -ϑ* < ϑ < ϑ* .
e
25
3. Типы и элементы орбит
3. Типы и элементы орбит
Если ϑ ® ϑ* или ϑ ® -ϑ* , то
r ® ¥ Þ v ® v¥ ,
v¥ — скорость на бесконечности, асимптотическая скорость
⇒ v=
2
h = v¥
(3.15)
bv¥ = c = µ p
и из (3.1а), (3.15) получим
p
2
.
e -1
Рассмотрим величину a = Oπ (рис. 3.4):
(3.16)
b
be
-r =
- rπ .
sin ϑ* π
e 2 -1
Окончательно с учетом (3.1з), (3.16) получим
a=
a=
⇒
h=
p
e 2 -1
µ
2µ µ
2
= v¥
, v2 = + a
r
a
(3.18)
Пусть α — угол между входящей ( v¥1 ) и исходящей ( v¥2 )
скоростями на бесконечности (угол поворота) (см. рис. 3.4),
v¥1 = v¥2 = v¥ .
α
π
1
α 1
= ϑ* - , cos ϑ* = - Þ sin =
2
2
e
2 e
26
⇒
sin
÷
ø÷
α
=
2
c2
µ2
h =1+
1
2
rπ v¥
1+
µ
2
rπ v¥
µ
(3.19)
Время полета
e > 1 ⇒ в (3.7)
e 2 -1
iE , i = -1 1- e cos E
Определим новую переменную H :
ϑ =
(3.20)
E = iH, H = –iE
⇒ с учетом равенств cos iH = ch H, sin iH = –i sh H из (3.6), (3.20)
получим
tg
(3.17)
ö÷
÷
2
2 ÷÷
+ v¥
÷÷ , h = v¥
⇒ согласно (3.1е)
2µ
2
2
+ v¥
= v 2p + v¥
r
Расстояние b от притягивающего центра до асимптоты — прицельная дальность (рис. 3.4). Согласно (3.1в)
b=
çè rπ
e = 1+
где vp — параболическая скорость.
Соотношение (3.1а) дает
Р и с. 3.4
æç
ç 2µ
c 2 = rπ2 vπ2 = rπ2 çççç
ϑ
e +1 H
=
th
2
e -1
2
(3.21)
e 2 -1
H.
e ch H -1
Согласно (3.2) и (3.17) заменим a на –a в (3.4), (3.8):
ϑ =
r = a (e ch H -1) t - tπ =
a
2
µ
(e sh H - H ) (3.22)
(3.23)
— уравнение Кеплера для гиперболических орбит.
Пусть τ = t – tπ задано. Подобно тому, как это было сделано для
эллиптических орбит (см. (3.11)), получим
27
3. Типы и элементы орбит
H n = H n-1 -
e sh H n-1 - H n-1 e ch H n-1 -1
µ
a
2
3. Типы и элементы орбит
τ
(n = 0,1,...) .
(3.24)
3.5. Вычисление положения и скорости на орбите
(вектора состояния) на заданное время
Постановка задачи нахождения вектора состояния:
é cos Ω cos u - sin Ω sin u cos i ù
ú
0 êê
r = ê sin Ω cos u + cos Ω sin u cos i úú ,
ê
ú
sin u sin i
ëê
ûú
Начальный вектор состояé r ù
ния x0 = x (t0 )= êê 0 úú задан.
ëê v0 ûú
Задача заключается в наé r ù
хождении вектора x = x (t )= êê úú
ëv û
на заданное время t.
é- cos Ω sin u - sin Ω cos u cos i ù
ú
0 êê
n = ê- sin Ω sin u + cos Ω cos u cos i úú
ê
ú
cos u sin i
ëê
ûú
Обозначим (рис. 3.5):
— восходящий узел,
— нисходящий узел,
Р и с. 3.5
Ω — долгота восходящего узла,
ω — аргумент перицентра,
u = ω + ϑ — аргумент широты,
i — наклонение.
Углы Ω, ω, i являются постоянными и могут быть найдены из
r0 , v0 по формулам:
üï
ïï
ïï
c
ïï
ï
cy
cx
sin Ω =
, cos Ω = ,ïï ý
cx2 + c y2
cx2 + c y2 ïï
ïï
ïï
l ´k
l ×k
ïï
sin ω =
, cos ω =
ïï
µe
µe
ïþ
cos i =
28
cz
(см. рис. 3.5), где k = {cos Ω, sin Ω, 0} и c , l заданы в (3.1б), (3.1г)
с r , v , замененными на r0 , v0 .
Истинная аномалия ϑ может быть найдена из (3.6), (3.8) для
эллиптических орбит, из (3.13) для параболических орбит и из
(3.21), (3.23) для гиперболических орбит.
Из геометрических соображений получим единичные векторы
радиального и трансверсального направлений
,
(3.25)
(3.26)
Теперь могут быть найдены координаты и скорости на орбите:
r = r r 0,
(3.27)
v = vr r 0 + vn n 0
где r, vr , vn даны в (3.1ж), (3.1и), (3.1к).
3.6. Элементы орбиты
Набор элементов орбиты, полностью определяющий орбиту:
a, e, i, Ω, ω, tπ
Другие варианты:
вместо a: rπ, p, h, P, n;
вместо e, ω: ecosω, esinω;
вместо tπ: t – tπ, M (для эллиптических орбит), ϑ, u.
Ниже дана сводка формул для вычисления различных элементов орбиты по координатам и скоростям.
29
4. Универсальные формулы
для кеплеровского движения
3. Типы и элементы орбит
2
r 2 v 2 - (r × v ) æ 2 2µ ÷ö
µ
1
c2
ççv - ÷,
a= =
, e = 1+ h = 1+
2
2
çè
2
r ÷÷ø
h
µ
µ
2 v
r µ
cos i =
cz
c
=
xv y - yv x
2
r 2 v 2 - (r × v )
, tg Ω = -
cx
cy
=
zv y - yvz
zv x - xvz
,
é cos Ω ù
ú
l ×k
r êê
cos ω =
, l = -µ + v ´(r ´ v ), k = ê sin Ω úú ,
µe
r
ê 0 ú
êë
úû
ìï a 2
ïï
- для эллиптических орбит,
(E - e sin E )
ïï
ïï µ
ïï 2 æ
p ç ϑ 1 ϑ ö÷
t - tπ = ïí
ç tg + tg ÷÷÷ - для параболических орбит,
ïï 2 µ èç 2 2ø
ïï
ïï a 2
ïï
(e sh H - H ) - для гиперболических орбит,
ïï µ
î
E
1- e ϑ
H
e -1 ϑ
tg =
tg , th =
tg ,
2
1+ e 2
2
e +1 2
2
2 2
2
µ
c 2 r v - (r × v )
p
a
p= =
, rπ =
, P = 2π
, n=
,
2
µ
µ
1+ e
µ
a
M=
1æ p ö
t - tπ ), cos ϑ = çç -1÷÷÷, u = ω + ϑ
(
2
e çè r
ø÷
a
µ
4.1. Вводные замечания
Подход к вычислению кеплеровского движения, рассмотренный в главе 3, имеет следующие недостатки:
• используются разные формулы для разных типов орбит;
• для нахождения орбитальных параметров на заданное время
недостаточно значений t0, t, необходимо вычислять также tπ
и соответствующие параметры;
• формулы не могут применяться для околопараболических
орбит, т. е. при очень больших значениях a.
В данной главе будут получены универсальные формулы, лишенные этих недостатков. Ниже будут использоваться следующие
соотношения, полученные в главах 2, 3:
h = v2 -
2µ
,
r
(4.1а)
c = r ´ v ,
(4.1б)
2
c 2 = c × c = r 2 v 2 - (r × v ) ,
(4.1в)
r
l = -µ + v ´ c .
r
Эллиптические орбиты:
t - tπ =
a
2
µ
(E - e sin E ),
r = a (1- e cos E ).
(4.1г)
(4.1д)
(4.1е)
Гиперболические орбиты:
t - tπ =
a
2
µ
(e shH - H ),
r = a (e chH -1).
(4.1ж)
(4.1з)
31
4. Универсальные формулы для кеплеровского движения
4. Универсальные формулы для кеплеровского движения
4.2. Функции Штумпфа и их свойства
Т а б л и ц а 4.1. Конечные выражения для функций Штумпфа
Функции Штумпфа:
m
¥
cn = cn (x )= å
m= 0
(-x )
(2m + n) !
(n = 0,1, 2,...) (4.2)
c1
Из (4.2):
m
cn =
1
- x cn+2 n!
⇒ если требуется cn для n1 n n2 , достаточно найти cn -1 , cn
2
2
(или cn , cn +1 если x ≠ 0).
1
1
Также из (4.2):
¥
dcn
= -å
m (-x )
m=1 (2m + n) !
dx
=-
⇒
m-1
dcn
dx
=
k
=-
m-1
(2m + n)(-x )
1
å
2 m=1
(2m + n) !
¥
ncn+2 - cn+1
2
(-x )
n
=
å
2 m=1 (2m + n) !
¥
k
(-x )
(-x )
1
n
+ å
å
2 k =0 (2k + n +1) ! 2 k =1 (2k + n + 2) !
¥
+
m-1
¥
(k = m -1)
Используя равенства
2m
2 m+1
¥ (- y )
(- y )
cos y = å
, sin y = å
,
m=0 (2m) !
m=0 (2m + 1) !
¥
¥
y 2m
y 2 m+1
, sh y = å
,
m=0 (2m) !
m=0 (2m + 1) !
¥
ch y = å
получим из (4.2) конечные выражения для некоторых функций
Штумпфа, данные в табл. 4.1.
32
ch -x
sin x
sh -x
-x
x - sin x
c3
x x
ch -x -1
-x
sh -x - -x
-x -x
Другие соотношения между функциями Штумпфа
Из табл. 4.1 можно получить, что
c12 - c0 c2 = c2 .
(4.5)
Уравнения (4.3), (4.5) дают
c22 - c1c = c - 2c4 ,
c2 - c2 c4 =
(4.4)
cos x
1 - cos x
x
c2
(4.3)
x<0
x
k
¥
¥
(-x )
(-x )
1
1
(k = m -1)
cn = + å
= - xå
n ! m=1 (2m + n) ! n !
k =0 (2k + n + 2) !
⇒
c0
x>0
c4
2
- 2c5 + 2c6 .
(4.6)
4.3. Универсальная формула для времени полета
Определим универсальную переменную s (фиктивное время,
обобщенная эксцентрическая аномалия) уравнением
1
s = , s (t0 )= 0 r
Заметим, что
(4.7)
s > 0, если t > t0 (4.8)
С учетом интеграла энергии (4.1а) и равенства v = v × v , из (4.7)
получим
2
33
4. Универсальные формулы для кеплеровского движения
t
s=ò
r
ò
r0
⇒
4. Универсальные формулы для кеплеровского движения
t0
⇒ r × v = rr = µ a × e sin E .
r
h(t - t0 )
dt
1
=
v × dr ,
ò
r
2µ r
2µ
0
Из (4.14):
v
t
0
0
æ
dt
v × dr = r × v - r0 × v0 - ò r × dv = r × v - r0 × v0 + µ ò
r
v
t
s=
r × v - r0 × v0 - hτ
µ
где
,
(4.10)
Из (4.1д), (4.1ж):
1=
a
2
µ
a
2
µ
(1- e cos E )E =
a
× rE ,
µ
(e ch H -1)H =
a
×rH
µ
µ1
µ
⇒ E = H =
=
× s, E (t0 ) = E0 , H (t0 ) = H 0 ar
a
⇒
ìï
ïï
ïï
s = ïí
ïï
ïï
ïïî
a
(E - E0 )
µ
(4.11)
для эллиптических орбит,
a
(H - H 0 ) для гиперболических орбит
µ
(4.12)
Определим переменную
⇒
x = -hs 2 (4.13)
E - E0 = x , H - H 0 = -x (4.14)
Рассмотрим эллиптические орбиты; уравнения (4.1е), (4.11)
дают
r = ae sin E E =
34
µ a e sin E
r
ö
sin E = sin çççè E0 + x ø÷÷÷÷ = sin E0 cos x + cos E0 sin x (4.9)
τ = t - t0 .
1=
(4.15)
(4.16)
⇒ из уравнения (4.9) с учетом (4.14), (4.15) и равенства
r
e cos E0 = 1- 0 (см. (4.1е)) найдем
a
æ r ö
æ
ö
r0 × v0 çççè1- cos x ÷÷÷÷ø - µa ççç1- 0 ÷÷÷ sin x + µs
r × v - r0 × v0 - µs
è
aø
τ=
=
s2 .
2
h
-hs
(4.17)
Уравнения (4.17), (4.3), (4.13) и табл. 4.1 дают
(4.18)
τ = r0 sc1 + r0 × v0 s 2 c2 + µ s c — универсальное уравнение Кеплера.
dt 1
Пользуясь равенством
= , из (4.7), (4.10) получим
ds s
dτ
.
r=
ds
dx
x
Из (4.4) и равенства
= 2 следует, что
ds
s
(4.19)
nc - c
d æç n ÷ö
dx
n-1
çç s cn ÷÷÷ = ns
cn + s n n+2 n+1
=
è
ø
ds
2
ds
(4.20)
ö÷
é æç 1
ù
1
÷
= ns n-1cn + s n-1 êê n çççç - cn ÷÷÷÷ + cn-1 úú = s n-1cn-1
ç
ø÷ (n -1) !
êë çè n !
úû
⇒ из (4.18)–(4.20) получим
r = r0 c0 + r0 × v0 sc1 + µ s 2 c2 (4.21)
4.4. Решение универсального уравнения Кеплера
Предположим, что τ задано, и используем метод Ньютона–
Рафсона (см. главу 1) для нахождения s из (4.18). Используя (4.18),
(4.19), (4.21), на n-й итерации получим
35
4. Универсальные формулы для кеплеровского движения
sn = sn-1 -
r0 sc1 + r0 × v0 s 2 c2 + µ s c - τ
(n = 0,1,...) .
r0 c0 + r0 × v0 s c1 + µ s 2 c2
4. Универсальные формулы для кеплеровского движения
(4.22)
С учетом (4.8), (4.9) начальное приближение может быть задано
следующими значениями:
hτ
(если h < 0 ).
s0 = 0 или s0 = µ
f = 1-
µs 2 c2
r0
, g = τ - µs c Уравнения (4.20), (4.7) дают
s
d æç n ÷ö d æç n ÷ö
÷
÷
ççè s cn ÷÷ø =
ççè s cn ÷÷ø s =
dt
ds
⇒ из (4.25) получим
2
Представим векторы положения r = r (t ) и скорости
v = v (t ) = r в виде
r=
v=
f r0 + g v0 ,
f r + g v
0
(4.23)
0
Для нахождения f, g умножим скалярно и векторно первое из уравнений (4.23) на вектор Лапласа
r0
r
l = -µ + v ´ c = -µ + v0 ´ c
r
r0
с использованием соотношений
r ×v
l × r = c 2 - µr , l × v = -µ
= -µr ,
r
l ´ r = (v ´ c )´ r = (r × v ) c ,
æç
µ
µ ÷÷ö
l ´ v = - r ´ v + (v ´ c )´ v = çççç v 2 - ÷÷÷÷ c
ççè
r
r ÷ø
æ
ö
c 2 - µ r = f çççèc 2 - µ r0 ÷÷÷÷ø - g µ r0 ,üïï
ïï
ï
æç
ö÷
⇒
µ ÷÷÷ ýï
çç 2
r × v = f r0 × v0 + g ççç v - ÷÷ . ïï
r0 ø÷÷ ïïþ
çè
Из (4.24) с учетом (4.18), (4.21) можно получить
36
n-1
cn-1
r
µ sc1
µ s c2
f = , g = 1r0 r
r
4.5. Вычисление положения и скорости на орбите
(вектора состояния) на заданное время
(4.24)
(4.25)
(4.26)
5. Возмущения орбиты
5. Возмущения орбиты
5.1. Используемые в главе формулы
В этой главе будут использованы следующие соотношения:
(5.1а)
c = r ´ v , c = c = r vn = µ p ,
æ
ö
p = a ççèç1- e 2 ø÷÷÷÷ =
e2 = 1 +
r=
c2
µ2
2 2
c 2 r vn
,
=
µ
µ
h =1+
r 2 vn2 çæç
çç v 2
2 ççç
µ è
(5.1б)
-
2µ ö÷÷÷
÷÷ ,
r ø÷÷
p
,
1 + e cos ϑ
(5.1в)
(5.1г)
v 2 = vr2 + vn2 ,
(5.1д)
µ
c
µ
vr =
e sin ϑ , vn = =
(1 + e cos ϑ),
p
r
p
(5.1е)
r 2 ϑ = c .
(5.1ж)
Типы возмущений:
1. Гравитационные возмущения:
• влияние несферической формы планет;
• притяжение других небесных тел.
Гравитационные возмущения являются консервативными.
2. Негравитационные возмущения:
• сопротивление атмосферы;
• световое давление;
• реактивные возмущения, вызываемые воздействием системы ориентации или утечкой газа с космического аппарата
или испарением ядра кометы и т. п.
Другая форма уравнения движения (для вектора состояния):
(5.5)
x = f (x ) + g (x, t ),
é v
ê
éê r ùú
x = ê ú , f (x ) = ê µ
êëv û
ê r
ë
ù
é0ù
ú
ê
ú , g = g (x, t ) = ê úú r úú
ëê φ ûú
û
(5.6)
Простейший способ решения уравнения (5.5) — численное интегрирование.
5.2. Общие сведения о возмущениях
5.3. Оскулирующие элементы
Невозмущенное движение удовлетворяет уравнению (см. главу 2)
Рассмотрим вектор элементов орбиты
q = q (x ) = {a, e, i, Ω, ω, tπ } (5.7)
где вектор состояния x удовлетворяет уравнению (5.5). Из (5.7),
(5.5) получим
¶q ¶q
q = x = éê f (x ) + g (x, t )ùú .
û
¶x
¶x ë
Если g (x, t )= 0 (т. е. движение кеплеровское, невозмущенное), то
q = const
¶q
⇒
f (x ) = 0
¶x
¶q
⇒ q = g (x, t )
(5.8)
¶x
µ
r =- r r
(5.2)
Уравнение возмущенного движения имеет вид
µ
(5.3)
r =- r +φ r
где φ = φ (r , v , t ) — возмущающее ускорение или возмущение.
Обычно
µ
µ
φ= φ - r =
r
r2
38
(5.4)
39
5. Возмущения орбиты
5. Возмущения орбиты
и, следовательно, в общем случае
Из (5.1б), (5.1в) следует, что
a = a (t ), e = e (t ), i = i (t ), Ω = Ω (t ), ω = ω (t ), tπ = tπ (t )(5.9)
— оскулирующие элементы; соответствующая мгновенная орбита — оскулирующая орбита (рис. 5.1).
Из (5.8), (5.6) получим
¶q
(5.10)
q= φ ¶v
— дифференциальное уравнение для оскулирующих элементов.
Определим орбитальную систему координат ξης (рис. 5.2):
— начало в центре масс тела;
— ось ξ направлена вдоль r ;
— ось η лежит в плоскости, заданной r , v , и составляет
острый угол с v ;
— ось ζ формирует правую систему координат.
a =
p 2a æççç
p ö÷÷÷
çç e sin ϑ S + T ÷÷÷,
µ 1- e 2 çèç
r ø÷
éæçç
p ìïï
r ÷÷ö
r ù üïï
e =
ísin ϑ S + êêççç1 + ÷÷÷÷ cos ϑ + e úú T ý
ç
µ ïîï
p ÷ø
p û ïþï
ëçè
Умножим (5.3) векторно на r :
r ´ r = r ´ φ
(так как r ´ r = 0 ); кроме того,
(5.13)
(5.14)
d
c = r ´ v = r ´ r + r ´ r = r ´ r dt
⇒ уравнения (5.14), (5.15) дают
c = r ´ φ .
(5.15)
(5.16)
Из (5.16) с учетом (3.23) можно получить (см. п. 3.5 главы 3):
Пусть в этой системе координат
φ = {S , T , W }, v = {vr , vn , vζ },
(5.11)
где vζ = 0 , vζ = W (см. рис. 5.2 и уравнения (5.1д), (5.1е))
⇒ уравнения (5.10) дают
¶q
¶q
¶q
q=
S+
T+
W ¶vr
¶vn
¶vζ
(5.12)
i =
p r
cos uW ,
µ p
=
Ω
p r sin u
W,
µ p sin i
=
ω
p éê cos ϑ
1 æççç
r ÷÷÷ö
r sin u ùú
S
+
Wú
çç1 + ÷÷÷ sin ϑ T µ êëê
e
e ççè
p ÷ø
p tg i
ûú
(5.17)
(здесь u = ω + ϑ — аргумент широты).
5.4. Вековые и долгопериодические возмущения
Рассмотрим эллиптические орбиты. Предположим, что функции
(5.18)
S = S (q, ϑ), T = T (q, ϑ), W = W (q, ϑ)
Р и с . 5.1
40
Р и с . 5.2
заданы. Тогда в силу (5.7), (5.13), (5.17), (5.18)
q = ψ (q, ϑ)
является заданной функцией. Уравнение (5.1ж) дает
41
5. Возмущения орбиты
dt
1
r2
= =
d ϑ ϑ
µp
dq dt
r2
⇒
=q
= ψ (q, ϑ)
= χ (q, ϑ )
dϑ
dϑ
µp
5. Возмущения орбиты
(5.19)
— заданная функция. Пусть выполняется неравенство (5.4)
⇒ оскулирующие элементы q меняются медленно со временем
⇒ можно предположить, что
q = const в χ (q, ϑ) в пределах одного витка, т. е. для 0 ϑ 2π
⇒
∆q » ò
2π
0
χ (q, ϑ) d ϑ (5.20)
— изменение элементов за один виток. Соотношение (5.20) осредняет короткопериодические вариации элементов и дает вековые и
долгопериодические вариации:
• вековая вариация монотонно растет со временем;
• долгопериодическая вариация — это периодическая (или
почти периодическая) вариация с периодом больше орбитального.
5.5. Гравитационное влияние других небесных тел
Пусть µ 0 , µ ¢ — гравитационные параметры центрального
(главного) тела и рассматриваемого меньшего тела,
(5.21)
µ = µ 0 + µ ¢ .
Рассмотрим третье массивное
тело с радиус-вектором r1 и гравитационным параметром µ1 и обозначим (рис. 5.3):
µ
a = - r — главное (центральr
ное) ускорение;
µ
a ¢ = 1 ∆ — ускорение от третьего
∆
тела,
где
,
;
∆
=
r
r
∆
=
∆
1
Р и с. 5.3
42
µ
a1 = 1 r1 — ускорение начала координат, вызванное третьим
r1
телом Þ - a1 — ускорение инерции
⇒
ö
çæç
r1 ÷÷÷÷
µ
çç ∆
r = - r + µ1 çç - ÷÷÷ çççè ∆
r
r1 ø÷÷÷
(5.22)
Неравенство (5.4) выполняется, если:
1) µ1 µ ;
2) r r1 , r ∆ .
Примеры
1) µ 0 — Солнце, µ ¢ — Земля, µ1 — другая планета.
µ1 µ 0 < µ , r1 ~ r ~ ∆
⇒ (5.4) выполняется.
2) µ 0 — Земля, µ ¢ = 0 — спутник Земли, µ1 — Солнце.
µ1 µ 0 = µ , но r r1 , r ∆
⇒ (5.4) выполняется.
Вариации элементов орбиты
Вариация большой полуоси:
∆a = 0 .
Вариации других элементов зависят от
положения возмущающего тела по отношению к плоскости орбиты и линии апсид
возмущаемого тела.
Вариации эксцентриситета (рис. 5.4):
(а) если проекция возмущающего тела
на плоскость орбиты находится в квадрантах I или III, то
∆e < 0 Þ ∆rπ > 0 , ∆rα < 0 ;
II
I
III
IV
II
I
III
IV
( )
( )
Р и с. 5.4
43
5. Возмущения орбиты
5. Возмущения орбиты
(б) если проекция возмущающего тела на плоскость орбиты
находится в квадрантах II или IV, то
5.7. Влияние сжатия планеты
∆e > 0 Þ ∆rπ < 0 , ∆rα > 0 .
5.6. Сфера действия планеты
Обозначим (рис. 5.5):
µ 0 , µ1 — гравитационные параметры Солнца и планеты;
r0 , r1 — гелиоцентрический и планетоцентрический радиусвекторы тела (µ на рис. 5.5);
ρ = r0 - r1 — радиус-вектор планеты относительно Солнца.
Сравнивая рис. 5.3 и 5.5, из (5.22)
получим уравнения движения тела в
гелиоцентрической (1) и планетоцентрической (2) системах координат:
µ
r0 = f0 + φ0 , f0 = - 0 r0 ,
(1)
r0
æç
ö
ρ ÷÷÷÷
ççç r1
φ0 = -µ1 çç + ÷÷÷ ,
çç r ρ ø÷÷÷
çè 1
µ
(2)
r1 = f1 + φ1 , f1 = - 1 r1 ,
Р и с. 5.5
r1
æç
ö
Т а б л и ц а 5.1. Радиусы сфер
ρ ÷÷÷÷
ççç r0
φ1 = -µ 0 çç - ÷÷÷ .
действия планет
çç ρ ø÷÷÷
çè r0
Планета
Меркурий
44
RS , 10 6 км
0,11
Венера
0,62
Земля
0,93
Марс
0,58
Юпитер
48,2
Сатурн
54,6
Уран
51,8
Нептун
87,0
Плутон
3,36
Сфера действия — это поверхность, окружающая планету, на
которой φ0
f0 = φ1
f1
Радиус RS сферы действия:
æ µ ö÷2 5
RS » ρ ççç 1 ÷÷
èç µ 0 ø÷
(5.23)
В табл. 5.1 приводятся радиусы
сфер действия планет.
Обозначим (рис. 5.6):
R e, R p — экваториальный и полярный радиусы планеты;
Re - R p
— коэффициент сжаRe
тия ( α 1 Þ α 2 » 0 );
α=
æç
α ö÷÷÷
÷÷ — средний интеçèç
ø÷÷
гральный радиус;
ψ — планетоцентрическая широта.
R0 = Re çççç1-
Р и с. 5.6
Опорный эллипсоид:
æç
ö÷
1
æ
ö
÷
R = Re çççè1- α sin 2 ψ÷÷÷÷ø » R0 + αR0 çççç - sin 2 ψ÷÷÷÷ ççè ø÷
(5.24)
— радиус эллипсоида на широте ψ. Гравитационный потенциал U
планеты равен
æ
ö2
ö÷
µ
µ çç R ÷÷ æç 1
÷
U = +U pert , U pert = J 2 ççç e ÷÷÷÷ çççç - sin 2 ψ÷÷÷÷ r
2 r ççè r ÷÷ø ççè ø÷
(5.25)
где Upert — возмущающая функция,
J 2 = const
— коэффициент 2-й зональной гармоники.
Возмущающее ускорение
æ
öT
çç ¶U pert ÷÷÷÷
φ = çççç
÷÷÷÷
ç ¶r
÷ø
çè
может быть найдено из (5.25) с учетом равенства
z
sin ψ = .
r
Значения J2 для планет даны в табл. 5.2.
45
5. Возмущения орбиты
5. Возмущения орбиты
Т а б л и ц а 5.2. Значения J2
5.8. Влияние сопротивления атмосферы
Планета
J2
Меркурий
Сопротивление атмосферы вычисляется по формуле
ρv 2
,
F = cx S m
2
где cx — безразмерный баллистический коэффициент (обычно
2 ≤ cx ≤ 2.2);
Sm — миделевое сечение космического аппарата (КА) (площадь проекции фигуры КА на плоскость, ортогональную вектору
скорости);
ρ — плотность атмосферы;
v — скорость КА.
Возмущающее ускорение:
S ρv
F v
(5.28)
φ == -cx m
v mv
m 2
?
Венера
~0
Земля
1,08263·10—3
Марс
1,96·10—3
Юпитер
1,471·10—2
Сатурн
1,667·10—2
Уран
1,3·10—2
Нептун
5,0·10—2
Плутон
?
Вековые возмущения:
a = e = i = 0,
2
÷ö
æç
= - J n ççç Re ÷÷÷÷ cos i,
Ω
ç
2 2 ççè p ÷÷÷ø
(5.26)
ö2
æ
ç R ÷÷ æ
ö
= J 2 n çççç e ÷÷÷÷ ççç5cos 2 i -1÷÷÷÷
ω
ø
ççè p ÷÷ø è
4
где p — фокальный параметр, n =
µ
— среднее движение.
2
a
Вариации элементов за один оборот:
∆a = ∆e = ∆i = 0,
æç
çR
∆Ω = -π J 2 ççç e
ç p
çè
æ
ö2
÷÷÷
÷÷
÷÷
÷ø
cos i,
ö2
çç R ÷÷ æ
ö
∆ω = π J 2 ççç e ÷÷÷÷ çççè5cos 2 i -1ø÷÷÷÷
ç
2
çè p ÷÷ø
Решение уравнения 5cos2 i – 1 = 0: i = 63,4°
i < 6,4° Þ ∆ω > 0,
⇒
i > 6,4° Þ ∆ω < 0.
46
(5.27)
Высокоэллиптическая орбита: сопротивление атмосферы действует как тормозной
импульс в перицентре (рис. 5.7)
⇒ rπ » const , rα постепенно понижается.
Круговая орбита: высота постепенно понижается (т. е. КА снижается по спиральной
орбите).
Вековые вариации элементов:
∆a < 0, ∆e < 0,
∆i = ∆Ω = ∆ω = 0
(здесь не учитывается вращение атмосферы
вместе с планетой).
Р и с. 5.7
6. Орбитальные маневры
6. Орбитальные маневры
m0 = m (t0 ), m = m (t ) — начальная и текущая масса КА;
6.1. Используемые в главе формулы
m p = m p (t ) — израсходованное топливо;
Рассмотрим эллиптические орбиты:
üï
2µ µ
ïï
- ,
ïï
r
a
ý
ï
r +r
a = π α , rπ = a (1- e ), rα = a (1 + e ).ïïï
2
ïþ
Определим параметр
v2 =
ξ=
rπ
rα
=
1- e
.
1+ e
dm p — расход топлива за бесконечно малое время dt;
dm = - dm p — уменьшение массы КА за время dt;
(6.1)
m p =
⇒
µ rα
µ
=
a rπ
aξ
m dv = u dm p (6.3)
2) r = rα :
µ rπ
µ
=
ξ = ξ vπ .
a rα
a
(6.5)
dv
dm
=u
m
m0
(6.6)
m
— изменение скорости КА реактивной тягой (формула Циолковского). Из (6.6) получим расход топлива:
(6.4)
Другой способ получения величины vα:
c = r ´v ,
c = c = rπ vπ = rα vα Þ vα = ξvπ .
6.2. Реактивное движение
Обозначим:
t0, t — время начала действия реактивной тяги и текущее время
( t t0 );
48
⇒
⇒
ö
µ æç 2
µ 1- e
÷÷
vα2 = çççç
-1÷÷÷÷ =
ç
÷
a çè1 + e ø a 1 + e
⇒ vα =
— расход топлива в единицу времени;
dm
= -m p (m 0);
dt
u — скорость истечения реактивной струи
(предположим u = const);
dv — изменение скорости КА за время dt.
Закон сохранения момента количества движения:
ö÷
µ æççç 2
µ 1+ e
÷
-1÷÷÷÷ =
çç
ç
a çè1- e ø÷ a 1- e
vπ =
dt
m =
(6.2)
1) r = rπ :
vπ2 =
dm p
∆v = v - v0 = u ln
æç
é
∆v ö÷÷ù
m p = m 0 - m = m0 êê1- exp çççç- ÷÷÷÷úú .
ççè
u ø÷û
ë
Сила тяги:
(6.7)
FT = mv
⇒ из (6.5) получим
.
FT = -mu
(6.8)
Реактивное ускорение:
α=
FT
m
=-
mu
m
(6.9)
49
6. Орбитальные маневры
6. Орбитальные маневры
Вывод:
6.3. Импульсный маневр на орбите
Импульсный маневр — мгновенное изменение орбитальной
скорости КА реактивной тягой:
v- = v (t - 0), v+ = v (t + 0),
v+ = v- + ∆v ,
Импульс в перицентре, коллинеарный скорости КА, является оптимальным для изменения орбитальной энергии
или большой полуоси, причем h и a растут, если ∆v ­­ vπ , и
убывают, если ∆v ­¯ vπ
∆v — импульс (рис. 6.1);
∆v = ∆v = v+ - v- = v-2 + v+2 - 2v-v+ cos φ
2. Изменение радиуса апоцентра
Радиус r не меняется в течение маневра ⇒ 1-е уравнение из
(6.1) дает
— дельта-V маневра, цена маневра
(φ — угол между v- и v+ , см. рис. 6.1).
Задача заключается в минимизации mp
⇒ в силу (6.7) — в минимизации ∆v.
Если Δrα задано, то min Δv достигается при ∆v ­­ v или ∆v ­¯ v и
v = max. В перицентре v = vπ = max и Δrπ = 0.
µ
µ
2v × ∆v » ∆a =
(∆rπ + ∆rα ).
2
a
2a 2
Р и с. 6.1
6.4. Оптимальное импульсное изменение
орбитальных параметров
1. Изменение орбитальной энергии
2µ
(6.10)
r
— удвоенная орбитальная энергия.
Радиус r не меняется в течение маневра ⇒ из (6.10) следует, что
h = v2 -
¶h
(6.11)
∆v = 2v × ∆v = 2v ∆v cos ψ ,
¶v
где ψ — угол между v и ∆v (см. рис. 6.1);
∆v задано ⇒ max ∆h соответствует max v и ψ = 0 или ψ = π;
∆h задано ⇒ min ∆v соответствует max v и ψ = 0 или ψ = π.(6.12)
Из (6.1) следует, что
max v = vπ — скорость в перицентре орбиты.
Эллиптическая орбита:
∆h »
∆h »
µ
∆a
a2
⇒ вывод (6.12) также справедлив для ∆a.
50
Вывод:
Импульс в перицентре, коллинеарный скорости КА, является оптимальным для изменения радиуса апоцентра, причем
rα растет при ∆v ­­ vπ и убывает при ∆v ­¯ vπ
3. Изменение радиуса перицентра
∆rπ »
¶rπ
¶rπ
∆v = ± ∆v ,
¶v
¶v
T
æç 2
2 ÷ö
¶rπ ççè r vn - rπ v ÷÷÷ø
( v = vr + vn , см. ниже),
=
¶v
µe
c = r ´ v — интеграл площадей,
c = c = rvn = µ p = const ,
æç
2
2µ µ ÷÷ö
æ
ö
r 2 vn - rπ2 v = r 4 vn2 - 2r 2 rπ2 vn2 + rπ4 v 2 = çççè r 2 - 2rπ2 ø÷÷÷÷ c 2 + rπ4 çççç - ÷÷÷÷ ,
ççè r
a ÷ø
æ
ö
çç
2µr 4
r 4 ÷÷÷
2
d 2
r vn - rπ2 v = 2c 2 r - π = 2µ çççç pr - π ÷÷÷÷ > 0 ,
dr
çççè
r2
r 2 ÷÷÷ø
51
6. Орбитальные маневры
6. Орбитальные маневры
так как r > rπ, p > rπ
⇒ оптимальный импульс — в апоцентре.
Вывод:
Импульс в апоцентре, коллинеарный скорости КА, является
оптимальным для изменения радиуса перицентра, причем rπ
растет при ∆v ­­ vα и убывает при ∆v ­¯ vα
4. Поворот плоскости орбиты
Рассмотрим изменение плоскости орбиты КА на угол ε без изменения размера и формы орбиты, т. е.
v- = v+ = v (рис. 6.2)
ε
⇒ ∆v = 2v sin
2
⇒ min ∆v соответствует min v = vα — скорости в апоцентре.
Р и с. 6.2
Вывод:
⇒
r1
v0 =
орбите;
52
µ 2
2
= v0
r0 1 + ξ
1+ ξ
æç
ç
∆v = v1 - v0 = v0 çççç
ççè
ö
÷÷
2
÷
-1÷÷÷÷ 1 + ξ ø÷÷
(6.13)
µ
a2
∆a .
В рассмотренном случае a = r0, ∆a =
∆v »
µ
4r0/2
∆r =
v0
4r0
∆r =
n0
4
∆r =
r0 + r1
2
- r0 =
∆r
µ
, v = v0 =
2
r0
π
∆r 2P0
(6.14)
где n0, P0 — угловая скорость (среднее движение) и период начальной орбиты.
1. Переход с круговой орбиты на эллиптическую
Обозначим (рис. 6.3):
r0 — радиус начальной орбиты и радиус перицентра конечной
орбиты;
r 1 — радиус апоцентра конечной
орбиты;
r0
v1 =
2v ∆v »
2. Переход с круговой орбиты на параболическую
6.5. Одноимпульсный межорбитальный переход
ξ=
2µ r1
— скорость в перицентре конечной орбиты;
r0 + r1 r0
Рассмотрим малый маневр, т. е. ∆r = r1 - r0 r0 . Импульс является касательным (см. п. 6.4) ⇒ (6.1) дает
⇒
Импульс в апоцентре является оптимальным
для изменения плоскости орбиты КА
v1 =
В этом случае v1 =
⇒
æ
2µ
= 2 v0
r0
ö
∆v = v0 çççè 2 -1÷÷÷÷ø (6.15)
3. Переход с круговой орбиты на гиперболическую
2
æç
ö
2µ
ç v ÷÷
2
В этом случае v1 =
+ v¥
= v0 2 + çççç ¥ ÷÷÷÷
÷
r0
çè v0 ø÷
;
µ
— скорость на начальной
r0
⇒
Р и с. 6.3
é
ù
æç
ö2
ê
ú
2µ
µ
çç v¥ ÷÷÷
2
∆v =
+ v¥ = v0 ê 2 + ççç ÷÷÷ -1ú ê
ú
çè v ø÷÷
r0
r0
0
ëê
ûú
(6.16)
53
6. Орбитальные маневры
6. Орбитальные маневры
Замечание. Рассмотренные переходы являются обратимыми,
т. е. ∆v перехода с эллиптической, параболической или гиперболической орбиты на круговую вычисляется по формулам (6.13),
(6.15), (6.16) соответственно.
6.6. Двухимпульсный межорбитальный переход
Рассмотрим переход между компланарными круговой и эллиптической орбитами (рис. 6.4).
Обозначим:
r0 — радиус начальной круговой орбиты;
rπ, rα — радиусы перицентра и апоцентра конечной эллиптической орбиты;
ξ0 =
r0
rα
, ξ1 =
rπ
rα
∆v0 = vb - v0 , ∆v1 = ve - v1 , ∆v = ∆v0 + ∆v1 .
(6.17)
Перелет в апоцентр конечной орбиты (см. рис. 6.4)
2µ rα
2
2µ r0
vb =
= v0
, ve =
= v0 ξ 0
r0 + rα r0
1 + ξ0
r0 + rα rα
üï
ïï
ïï
ï
ý
2 ïïï
.ï
1 + ξ 0 ïïþï
В этом случае обозначим суммарный импульс через ∆vα.
54
2ξ 0
µ
2µ rα
, v1 =
= v0
,
r0
rπ + rα rπ
ξ1 (1 + ξ1 )
vb =
2ξ1
2µ rπ
2µ r0
= v0
, ve =
= v0 ξ 0
r0 + rα r0
ξ 0 + ξ1
r0 + rα rπ
В этом случае обозначим
суммарный импульс через ∆vπ.
Конечная орбита находится снаружи начальной (как
показано на рис. 6.4, 6.5), т. е.
r0 rπ rα
⇒ 0 < ξ 0 ξ1 1 ;
∆v1 = v1 - ve Р и с. 6.4
v 0 , v 1 — скорости на начальной орбите и в точке прибытия на конечную орбиту;
vb, ve — скорости КА в начале и в конце орбиты перелета;
∆v0, ∆v1 — первый и второй импульсы;
∆v — суммарный импульс,
2ξ 0 ξ1
µ
2µ rπ
, v1 =
= v0
,
r0
rπ + rα rα
1 + ξ1
v0 =
üï
ïï
ïï
ïï
ý
ïï
2
.ïï
ξ1 (ξ 0 + ξ1 ) ïï
ïþ
(6.19)
(6.20)
∆v0 = vb - v0 ,
(0 < ξ1 £1);
v0 =
Перелет в перицентр конечной орбиты (рис. 6.5)
(6.18)
(6.21)
Р и с. 6.5
⇒ в силу (6.17)–(6.19), (6.21)
é 2ξ ξ
ù
2
0 1
∆vα = v0 êê
+ (1- ξ 0 )
-1úú ,
1 + ξ0
êë 1 + ξ1
úû
(6.22)
é
ù
2
ξ
2
0
∆vπ = v0 êê
+ (ξ1 - ξ 0 )
-1úú .
ξ1 (ξ 0 + ξ1 ) ú
êë ξ1 (1 + ξ1 )
û
Как показано в Приложении А, в этом случае ∆vα ∆vπ
(см. (A.4)) ⇒ оптимальным является перелет в апоцентр и
é 2ξ ξ
ù
2
0 1
(6.23)
∆v = v0 êê
+ (1- ξ 0 )
-1úú .
1 + ξ0
êë 1 + ξ1
úû
Конечная орбита находится внутри начальной, т. е. rπ rα r0
⇒ 0 ξ1 1 ξ 0 ;
∆v0 = v0 - vb , ∆v1 = ve - v1 (6.24)
(6.25)
⇒ в силу (6.17)–(6.19), (6.25)
55
6. Орбитальные маневры
6. Орбитальные маневры
é
ù
2ξ 0 ξ1
2 ú
∆vα = v0 êê1- (1- ξ 0 )
ú,
1 + ξ1
1 + ξ 0 úû
êë
(6.26)
é
ù
2
ξ
2
ú.
0
∆vπ = v0 êê1- ( ξ1 - ξ 0 )
ú
ξ1 (1 + ξ1 )
ξ1 (ξ 0 + ξ1 )ú
êë
û
Как показано в Приложении А, в этом случае ∆vπ ∆vα
(см. (A.5)) ⇒ оптимальным является перелет в перицентр и
é
ù
2ξ 0
2
ú ∆v = v0 êê1- ( ξ1 - ξ 0 )
ú
ξ1 (1 + ξ1 )
ξ1 ( ξ 0 + ξ1 )ú
êë
û
(6.27)
Начальная и конечная орбиты пересекаются, т. е. rπ r0 rα
⇒ 0 < ξ1 ξ 0 £ 1 (6.28)
⇒ в силу (6.17)–(6.19) ∆v0 = vb - v0 , ∆v1 = ve - v1 ,
é
ù
2ξ 0 ξ1
(6.29)
∆vα = v0 êê 2 (1 + ξ 0 )-1úú 1 + ξ1
êë
úû
для перелета в апоцентр, и Δv0 = v0 – vb, Δv1 = v1 – ve,
é
2 ( ξ 0 + ξ1 ) ùú
2ξ 0
ê
(6.30)
∆vπ = v0 ê
+1ú ê ξ1 (1 + ξ1 )
ú
ξ1
ëê
ûú
для перелета в перицентр. Как показано в Приложении А, в этом
случае ∆vα ≤ ∆vπ (см. (A.8)) ⇒ оптимальным является перелет в
апоцентр и
é
ù
2ξ 0 ξ1
∆v = v0 êê 2 (1 + ξ 0 )-1úú 1 + ξ1
úû
ëê
æ
ö
2
1- ξ 0 )- çççè1- ξ 0 ÷÷÷÷ø (
1 + ξ0
∆v = v0
(6.32)
Рисунок 6.6 показывает зависимость Δv/v0 от ξ 0 для хомановского перехода, если конечная орбита находится снаружи (ξ0 < 1).
(1)
Значение ξ 0 = arg max ∆v может быть найдено из уравнения
æ
ö
d ççç ∆v ÷÷÷÷
çç
÷÷ = 0
d ξ 0 ççè v0 ÷÷ø
⇒ ξ0 + 9ξ 02 +15ξ 0 -1 = 0 .
(6.33)
Существует единственное решение уравнения (6.33) между 0 и 1:
(1)
(1)
ξ 0 = 0,064178 Þ r 1 = 15,58172r 0 (6.34)
(6.31)
Замечание. Рассмотренные переходы являются обратимыми,
т. е. ∆v перехода с эллиптической орбиты на круговую вычисляется по формулам (6.23), (6.27), (6.31).
Хомановский переход
Рассмотрим частный случай перехода с круговой на эллиптическую орбиту: оптимальный переход между двумя круговыми
орбитами (хомановский переход). Обозначим:
56
r1 — радиус конечной орбиты
r
⇒ rπ = rα = r1 Þ ξ 0 = 0 , ξ1 = 1
r1
и
ξ0 < 1, если конечная орбита находится снаружи начальной,
ξ0 > 1, если конечная орбита находится внутри начальной.
Соотношения (6.23), (6.27) дают:
Р и с. 6.6
57
6. Орбитальные маневры
6. Орбитальные маневры
Замечание. Этот результат применим также для случая, когда
конечная орбита находится внутри начальной (т. е. для ξ0 > 1) путем замены ξ0 на 1/ ξ0 на рис. 6.6 и в (6.34). Тогда
(1)
r 1 = 0,064178r 0 .
æ
æ
ξ0 =
r0
r1
, ξ=
r0
rα
, ξ1 =
r1
rα
=
ξ
(0 < ξ 0 < 1, 0 < ξ1 £ 1) ;
ξ0
0 ξ ξ0 :
ξ = ξ0 — двухимпульсный переход (rα = r1);
0 < ξ < ξ 0 — биэллиптический переход (r1 < rα < ∞);
ξ = 0 — бипараболический переход (rα = ∞);
æ
∆v0 =
ö
÷÷
çç
2µ rα
µ
2
÷
= v0 çççç
-1÷÷÷÷ ;
÷
r0 + rα r0
r0
ççè 1 + ξ
ø÷
ö
÷÷
çç
2ξ 0
2µ rα
µ
÷
ç
∆v2 =
= v0 ççç
- ξ 0 ÷÷÷÷ ;
÷÷
ç
r1 + rα r1
r1
çç 1 + ξ1
è
ø÷
6.7. Трехимпульсный межорбитальный переход
1. Переход между круговыми компланарными орбитами (биэллиптический и бипараболический переходы).
Обозначим (рис. 6.7):
r0, r1 — радиусы начальной и конечной круговых орбит;
rα — радиус апоцентра орбиты перехода;
ö
çç 2ξξ
2µ r1
2µ r0
2 ÷÷÷÷÷
1
∆v1 =
= v0 çççç
-ξ
÷;
çç 1 + ξ
r1 + rα rα
r0 + rα rα
1 + ξ ø÷÷÷÷
çè
1
é 2
ù
∆v = ∆v0 + ∆v1 + ∆v2 = v0 êê
1- ξ)+ 2 (ξ 0 + ξ)-1- ξ 0 úú (6.35)
(
úû
ëê 1 + ξ
(2)
Найдем значение ξ 0 параметра ξ0, начиная с которого
трехимпульсный биэллиптический переход становится предпочтительным. Рисунок 6.8
показывает зависимость Δv/v0
от ξ для ξ0 = 0,08. Если ξ < ξm,
то трехимпульсный биэллиптический переход предпочтительнее двухимпульсного хомановского; здесь ξm — решение уравнения
Р и с. 6.8
∆v (ξ = ξ m ) = ∆v (ξ = ξ 0 ).
(6.36)
Значение ξ(2)
0 может быть найдено из уравнения
∆v (ξ = 0)= ∆v (ξ = ξ 0 ).
Из (6.35) получим
2 + 2ξ 0 -1- ξ 0 =
⇒
Р и с. 6.7
58
2
(1- ξ0 )+ 2 ξ0 -1- ξ0
1 + ξ0
2
(1- ξ0 )+ 2 - 2
1 + ξ0
(
)
ξ 0 - 2 = 0 .
(6.37)
Решение уравнения (6.37):
59
6. Орбитальные маневры
(2)
(2)
ξ 0 = 0,08761 Þ r1 = 11,9877r 0 6. Орбитальные маневры
(6.38)
()
Найдем значение ξ 0 параметра ξ0, для которого любой трехимпульсный биэллиптический переход является предпочтительным, т. е.
arg max ∆v = ξ()
0 (рис. 6.9).
ξ
Из (6.35) найдем
⇒
(2)
()
r1 < r1 < r1 — биэллиптический переход с r α > r 0 / ξ m лучше
хомановского перехода (ξm — решение уравнения (6.36), см. также
рис. 6.8);
()
r1 r1 — любой биэллиптический переход лучше хомановского.
d ∆v
2
1
2 1- ξ 1
2
=+
=0
d ξ v0
1 + ξ 2 1 + ξ 1 + ξ 2 ξ0 + ξ
Замечание. Полученные результаты также применимы, если
конечная орбита находится внутри начальной. В этом случае
(2)
()
r1 = 0,08761r 0 , r1 = 0,064178r 0
( + ξ0 )ξ2 + 6(1 + ξ0 )ξ -(1- 9ξ0 )= 0 ,
и приведенные выше выводы должны быть соответственно изменены.
⇒ ξ=
-(1 + ξ 0 ) + 2 - 2ξ 0
+ ξ0
= ξ0 ,
⇒ ξ 40 +12ξ0 + 42ξ 20 + 44 ξ 0 - = 0 ,
⇒
(2)
r1 > r1 — бипараболический переход оптимален;
æ
ö
(ξ0 + )çççèξ0 + 9ξ20 +15ξ0 -1÷÷÷÷ø = 0 (6.39)
Сравнивая (6.39) и (6.33), с учетом (6.34) получим, что единственным решением уравнения (6.39) между 0 и 1 является
(1)
()
ξ()
0 = ξ 0 = 0,064178 Þ r 1 = 15,58172r 0 .
2. Поворот плоскости круговой орбиты (рис. 6.10).
Обозначим:
r0 — радиус начальной и конечной круговых орбит;
rα — радиус апоцентра орбиты перехода;
ε — угол между начальной и конечной круговыми орбитами;
r0
, 0 ξ 1 ,
rα
ξ = 1 — одноимпульсный переход (rα = r0);
ξ=
(6.40)
Выводы. Сравнение различных типов перехода дает оптимальные в смысле min Δv переходы:
(2)
r0 < r1 < r1 — хомановский
переход оптимален;
(2)
r1 = r1 — хомановский и
Р и с. 6.9
60
бипараболический переходы
равно оптимальны; любой биэллиптический переход хуже;
Р и с. 6.10
61
6. Орбитальные маневры
6. Орбитальные маневры
0 < ξ < 1 — трехимпульсный биэллиптический переход
(r0 < rα < ∞);
ξ = 0 — трехимпульсный бипараболический переход (rα = ∞);
v0 =
µ
— скорость на начальной и конечной орбитах;
r0
vπ =
2µ rα
2
— скорость в перицентре орбиты
= v0
r0 + rα r0
1+ ξ
перехода;
vα =
перехода;
æ
ççè
ö
÷÷
2
÷
-1÷÷÷÷ ;
1 + ξ ø÷÷
ε
2
ε
∆v1 = ∆v1 = 2vα sin = 2v0
sin ;
2
1+ ξ
2
∆v2 = ∆v2 = ∆v0 ;
é 2 æç
ε ö÷÷÷ ùú
çç
÷
∆v = ∆v0 + ∆v1 + ∆v2 = 2v0 êê
çççè1 + ξ sin ø÷÷ -1ú 2
êë 1 + ξ
úû
Рисунок 6.11 показывает зависимость Δv/v0 от ξ для
ε = 45°.
Найдем оптимальное значение
ξ opt = arg min ∆v
ξ
(см. рис. 6.11):
Р и с. 6.11
d ∆v
2
=d ξ v0
1+ ξ
62
1 + ξ sin
1+ ξ
ε
2 +2
2
ε
sin = 0 ;
1+ ξ
2
(2)
2) ξ = 0 Þ ε = ε = 60° ;
(1)
(2)
3) 0 < ξ < 1 , ε < ε < ε
2µ r0
2
— скорость в апоцентре орбиты
= v0 ξ
r0 + rα rα
1+ ξ
çç
∆v0 = ∆v0 = vπ - v0 = v0 çççç
(1)
1) ξ = 1 Þ ε = ε = 8,94° ;
(6.41)
⇒
ξ opt =
1
sin
ε
2
- 2 Þ rα opt =
sin
ε
2
1- 2 sin
ε
2
r0 (6.42)
Выводы:
(1)
ε ε — одноимпульсный переход оптимален;
(1)
(2)
ε < ε < ε — трехимпульсный биэллиптический переход с rα
из (6.42) оптимален;
(2)
ε ε — бипараболический переход оптимален.
7. Задача Ламберта
7. Задача Ламберта
dcn
7.1. Постановка задачи
Обозначим:
t0, t1 — моменты времени отлета и
прилета соответственно;
r0 , r1 — радиус-векторы точек отлета и прилета;
v0 — скорость КА в начале траектории перелета (т. е. траектории КА
между r0 и r1 );
τ = t1 – t0 — время полета;
φ — угловая дальность.
dx
=
ncn+2 - cn+1
2
,
c12 - c0 c2 = c2 ,
c22 - c1c = c - 2c4 , c2 - c2 c4 =
(7.4)
c4
2
(7.5)
- 2c5 + 2c6 .
Пусть s = s (t1 ); тогда
τ = r0 sc1 + r0 × v0 s 2 c2 + µ s c — универсальное уравнение Кеплера (4.18);
dτ
= r0 c0 + r0 × v0 s c1 + µ s 2 c2 ;
ds
r1 = f r0 + g v0 ,
r1 =
Р и с. 7.1
Задача заключается в нахождении траектории перелета для за
данных r0 , r1 , τ (задача Ламберта)
Схема перелета показана на рис. 7.1.
где
f = 1-
µs 2 c2
r0
, g = τ - µs c .
(7.6)
(7.7)
(7.8)
(7.9)
(7.10)
7.3. Уравнение для задачи Ламберта
7.2. Необходимые формулы
Обозначим (см. главу 4):
s — универсальная переменная,
1
s = , s (t0 )= 0 ,
r
(7.1)
x = -hs 2 ,
(7.2)
где h — постоянная энергии;
¥
cn = cn (x )= å
m= 0
(2m + n) !
(n = 0,1,...) — функции Штумпфа.
Отсюда
1
.
(7.3)
n!
Ниже также будут использованы следующие соотношения, полученные в главе 4:
cn (0)=
64
Соотношение (7.9) дает
1
v0 = (r1 - f r ) g
(7.11)
⇒ в силу (7.11), (7.10)
m
(-x )
Векторы r0 , v0 полностью определяют орбиту перелета и r0
задан
⇒ для решения задачи Ламберта требуется найти v0
для решения задачи Ламберта достаточно найти x, s
Пусть φ ¹ 2π ; можно показать, что в этом случае c2 ¹ 0
⇒ из (7.7), (7.10) найдем
τ - µs c r0 sc1
rc
g
r0 × v0 =
=
- 0 1 .
2
2
2
s c2
s c2 s c2 sc2
(7.12)
Подставим (7.12) в (7.8):
65
7. Задача Ламберта
æç
ç g
r1 = r0 c0 + çççç
çç s 2 c
çè
2
ö
-
r0 c1 ÷÷÷÷
÷÷ sc + µs 2 c
2
sc2 ø÷÷÷÷ 1
7. Задача Ламберта
æç
ö
c12 ÷÷÷÷
ççç
= r0 ççc0 - ÷÷÷ +
çç
c2 ø÷÷÷
çè
gc1
sc2
+ µs 2 c2 . (7.13)
ρ=
С учетом (7.5) из (7.13) получим
gc1
sc2
= r0 + r1 - µs c2 .
ρ
g2
2
s c2
2
- r02
(7.15)
2
- r0 r1 + µs c2 r0 .
φ 2
g = 2r0 r1 cos
s c2 .
2
Обозначим c = r0 ´ v0 , c = c и умножим (7.9) на r0 :
r0 ´ r1 = gc .
(7.16)
⇒
c1
c2
s=
= 1-
µs 2 c2
r0 + r1
r0 + r1
µc2
×u (7.22)
= ( r0 + r1 ) ρ
Разделив (7.23) на (r0 + r1 )
σ=
(7.17)
(7.18)
φ
Так как sgn sin φ = sgn cos , то, согласно (7.17), (7.18), sgn g =
2
φ
= sgn cos ⇒ из (7.16) получим
2
φ
(7.19)
g = 2r0 r1 cos s c2 .
2
Определим
66
(7.21)
2
С другой стороны,
c
r0 ´ r1 = r0 r1 sin φ .
c
æç
ö 2
çç r0 + r1 ÷÷÷
÷÷
τ - µ çç
u c
÷÷
ç µc
÷
çè
ø
2
φ
r0 r1 + r0 × r1 = r0 r1 (1 + cos φ) = 2r0 r1 cos 2 ,
2
из (7.15) получим
2
(7.20)
Теперь подставим g из (7.10) и s из (7.22) в (7.19) с учетом (7.20):
Используя равенство
2
c2
φ
2
и подставим g из (7.19) в (7.14):
ö
2
gc
çç µs c2 ÷÷÷÷ 2
g2
÷÷ r + g r × v = r 2 - µs 2 c r +
r0 × r1 = çççç1- 1=
0
0
0
0
2
0
÷
çç
r0 ø÷÷÷
sc2
s 2c
çè
+
c1
(7.14)
Умножим (7.9) на r0 с учетом (7.10), (7.12), (7.14):
= r02 - µs 2 c2 r0
r0 + r1
cos
u = 1- ρ
2
æ
2r0 r1
µ
2
(r0 + r1 )
r0 + r1
µc2
u c2 .
(7.23)
и вводя безразмерное время
τ (7.24)
преобразуем (7.23) в уравнение для x
F (x, ρ)=
c
2
c2
u + ρ u = σ (7.25)
После нахождения x из уравнения (7.25) можно найти s из
(7.22) и затем вычислить f, g по (7.10) и v0 по (7.11)
На рис. 7.2 показана зависимость F (x, ρ) от y =
для некоторых значений ρ.
x sgn( x )
67
7. Задача Ламберта
7. Задача Ламберта
⇒ соотношения (7.26), (7.28) дают
æç
2 ççç
x -4 ln çç
çç
è
1
2ρ
+
ö÷
÷÷
-1÷÷÷÷ .
2
÷
2ρ
ø÷
1
(7.29)
Для x > 0
1- cos x
x
⇒ согласно (7.25), (7.30)
x ¹ 2πk (k = 1, 2,...) .
c2 (x ) =
7.4. Анализ уравнения задачи Ламберта
Fx =
Область определения функции F(x, ρ)
Как видно из (7.20), (7.24),
-
2
ρ
1
2
, σ > 0.
ρ
c2
1 .
(7.26)
dx
=
c2 - c5 + 4c6
2
4c2
u
æç
çç c
+ ççç 2
çç
çè c2
u
2
ö
÷÷÷ ρ c
2
÷
÷
+ ρ÷÷
÷÷ 8u
÷ø
.
2
Fx > 0 для x < (2π) (7.33)
(7.34)
(см. рис. 7.2). Из (7.3), (7.25) для параболической орбиты найдем
(7.27)
Из табл. 4.1 следует, что
ìï
ïï 2 cos x ,
если x 0,
æ
ö
c1 (x )
çç x ÷÷ ï
2
(7.28)
= 2 × c0 ççç ÷÷÷÷ = ïí
ççè 4 ø÷ ï
-x
c2 (x )
ïï
ïï 2 cosh 2 , если x < 0
î
⇒ в силу (7.26), (7.28) неравенство (7.27) может нарушаться только
при
ρ > 0, x < 0
68
dF (x, ρ)
Можно показать, что
В силу (7.21) должно быть
c1
(7.31)
Типы орбит перелета
Согласно соотношению x = –hs2:
x < 0 — гиперболическая орбита;
x = 0 — параболическая орбита;
(7.32)
x > 0 — эллиптическая орбита.
Из (7.25), используя (7.6), получим производную функции
F(x, ρ):
Р и с. 7.2
1
(7.30)
ö
1 æç
ç 2 + ρ÷÷÷ 1 - 2ρ = σ
÷ø
par ,
çè
где σpar — безразмерное время для параболической орбиты
⇒ из (7.25, 7.34) получим
F (0, ρ)=
σ < σ par
- гиперболическая орбита,
σ = σ par
- параболическая орбита, σ > σ par
- эллиптическая орбита.
(7.35)
(7.36)
Эллиптическая орбита перелета
Рассмотрим x в пределах
2
(2πk ) < x < éêë2π (k +1)ùúû
2
(k = 0,1,...) (7.37)
69
7. Задача Ламберта
7. Задача Ламберта
и определим переменные
x
- π k ,
2
π k + z - sin z cos z
,
ξ = ξ( z ) =
sin z
(7.38)
z=
(7.39)
η = η( z ) = 2ρ - 2cos z + 2ρ cos 2 z .
(7.40)
Пользуясь табл. 4.1 (см. главу 4), преобразуем (7.21), (7.25),
(7.33) для эллиптических орбит следующим образом:
u = 1- 2ρ cos z ,
(7.41)
æç
2
ç ξu
F (x, ρ)= Φ (z, k, ρ)= çççç
çç
çè
2
ö÷
÷÷
+ ρ÷÷÷÷ u = σ ,
4 xFx (x, ρ)= Φ z (z, k, ρ)=
(7.42)
÷÷
ø÷
(
)
u2 4u2 + ξη + 2ρ2 sin 2 z
2 2u sin z
.
Число решений
Рисунок 7.3 иллюстрирует решение уравнения (7.25):
(7.43)
Если x < (2π)2, то существует единственное
решение (y0 на рис. 7.3) с φ < 2π
Рассмотрим x > (2π)2; если
2
(2π k ) < x < éêë2π (k +1)ùúû
2
(k = 1, 2,...) ,
(7.44)
то орбита перелета имеет k полных оборотов, т. е.
2π k < φ < 2π (k +1).
Пусть Fk = F (xk , ρ) = min F (x, ρ) для x, удовлетворяющего (7.44)
x
(см. рис. 7.3),
xk = arg min F (x, ρ).
x
Тогда
(1) (2)
σ > Fk: два решения xk , xk (y1 и y2 для k = 1 на рис. 7.3)
σ = Fk: одно решение xk (y3 для k = 2 на рис. 7.3)
σ < Fk: нет решений (k = 3 на рис. 7.3)
(1) (2)
Рассмотрим два решения xk , xk для k 1 :
2
(2π k ) < xk(1) < xk < xk(2) < éëê2π (k +1)ùûú (k = 1, 2,...),
(7.45)
Fx (x, ρ) = 0 .
(7.46)
2
где xk — решение уравнения
Используя (7.38)–(7.40), (7.43), сведем (7.46) к виду:
æ
ö
u2 çççè4u2 + ξηø÷÷÷÷ + 2ρ2 sin 2 zk = 0 .
(7.47)
После нахождения zk из (7.47) значение xk определяется как
2
xk = 4 (zk + πk ) .
(7.48)
7.5. Решение уравнения задачи Ламберта
Р и с. 7.3
70
Для решения уравнения (7.25) используем метод Ньютона–
Рафсона:
71
7. Задача Ламберта
xn = xn-1 -
F (xn-1, ρ) - σ
Fx (xn-1, ρ)
(n = 0,1,...) ,
7. Задача Ламберта
(7.49)
⇒ соотношения (7.42), (7.51), (7.53) дают
æç
2 çç
çç π - ε 0
ç
> ççç
çç
ε0
çç
çç
è
Φ (z0 ,0, ρ)
где Fx(x, ρ) дается в (7.33).
Начальное приближение для процедуры (7.49)
Начальное приближение x0, для которого
F (x0 , ρ) > σ ,
⇒
обеспечивает сходимость (7.49)
(рис. 7.4). Поэтому начальное
приближение может быть принято
следующим образом:
1. Гиперболические и параболические орбиты перелета
Может быть принято
Р и с. 7.4
x0 = 0.
Замечание. Если ρ > 0, то в процедуре (7.49) должно проверяться условие (7.29).
2. Эллиптические орбиты перелета
Рассмотрим (7.41)–(7.43) и найдем начальное приближение
для (7.38), т. е.
z0 =
x0
- π k (0 < z0 < π) .
2
Соотношение (7.41) дает
u > um º 1- 2 ρ > 0 .
(7.50)
72
(7.54)
б) k полных оборотов (k > 0)
Будем искать начальное приближение в виде
(1)
(2)
z0 = ε1 , z0 = π - ε 2
для решений z
æ (1)ö÷
ξ çççç z0 ÷÷÷÷ =
çè
ø
(1)
, z
(2)
соответственно. Тогда из (7.39) получим
1
πk + ε1 - sin 2ε1
πk
2
>
sin ε1
ε1
æ
ö
÷÷
æ (1)
ö÷ çç πk
÷
⇒ Φ çççç z0 , k, ρ÷÷÷ > çççç
um2 + ρ÷÷÷÷ um = σ
èç
ø÷ çç 2ε
÷÷
çè
ø÷
1
⇒
é
ù1 πk
ê
ú u ε1 = ê
m
ú
2
σ
ρ
u
(
)
m ûú
ëê
(7.52)
é π (k +1) ù 1 ê
ú
ú um ε2 = ê 2 ê u + σ - ρu ú
ê m
mú
ë
û
(7.53)
=σ
Аналогично (7.54) получим
Из (7.39), (7.52) для k = 0 получим
2
1
8
π - ε 0 + sin 2ε 0 π - ε 0 + ε 0 - ε0 π - ε0
2
12 =
ξ (z0 ) =
>
sin ε 0
ε0
ε0
ö÷1 ÷÷
÷÷
÷÷÷ um
+ σ - ρum ÷÷÷÷
ø
π
(7.51)
а) Отсутствие полных оборотов (k = 0)
Будем искать начальное приближение в виде
z0 = π - ε 0 .
æç
çç
ε 0 = çççç 2 ççç um
çè ÷÷ö
÷÷
÷÷
÷
2
um + ρ÷÷÷÷ um
÷÷÷
÷÷
÷ø
(7.55)
(7.56)
Выводы. Начальное приближение может быть принято следующим образом:
σ ≤ σpar : x0 = 0 (если ρ > 0, то должно проверяться условие (7.29));
σ > σpar , k = 0: x0 = 4(π – ε0)2;
73
8. Межпланетные перелеты
7. Задача Ламберта
2
ìï
ïï x0 = 4 (πk + ε1 )
(1- е решение);
σ > σpar, k > 0: í
2
ïï
x = 4 éê π (k +1) - ε 2 ùú
(2 - е решение)
ë
û
ïïî 0
(в случае k > 0 должно быть σ ≥ Fk);
здесь σpar , ε0, ε1, ε2 даются соотношениями (7.35), (7.54)–(7.56) с
использованием (7.51).
7.6. Случай коллинеарных векторов r0 , r1
Если r1 ­¯ r2 , то плоскость орбиты перелета является неопределенной, однако могут быть найдены радиальная vr и трансверсаль
ная vn компоненты вектора v0 .
Из (7.12) с учетом равенств
r ×v
vr = 0 0 , g = 0
r0
получим
vr = -
r0 c1
sc2
(7.57)
Соотношения (7.57) и
v02 = vr2 + vn2 , h = v02 дают
vn = h - vr2 +
2µ
r0
2µ
r0
(7.58)
где с учетом (7.2), (7.22) величина h может быть найдена из соотношения:
h=-
µc2 x
(r0 + r1 )u2
,
x, как указывалось выше, является решением уравнения (7.25).
8.1. Постановка задачи
Межпланетный перелет представляет собой перелет КА между
двумя или несколькими небесными телами; также может рассматриваться перелет в заданную точку пространства. Задача заключается в нахождении траектории перелета КА, а также величин и
направлений импульсов, необходимых для осуществления перелета. Задача оптимизации перелета состоит в нахождении такой
траектории, на которой суммарная величина всех импульсов минимальна.
8.2. Метод склеенных конических сечений
Разобьем межпланетную траекторию космического аппарата (КА) на три части (рис. 8.1):
I — полет в сфере действия планеты отправления;
II — гелиоцентрический перелет;
III — полет в сфере действия планеты назначения.
Полет в сфере действия (рис. 8.2)
Пренебрежем всеми возмущениями в сфере
действия
⇒ траектория является гиперболической.
Обозначим (см. рис. 8.2):
Rπ — радиус перицентра (т. е. точка старта у
планеты отправления или наибольшее сближение с планетой назначения);
RS — радиус сферы действия;
vS — скорость КА на границе
сферы действия,
Rπ RS Þ vS » v¥ Р и с. 8.1
(8.1)
Гелиоцентрический перелет
Обозначим через r расстояние
планеты от Солнца.
Р и с. 8.2
75
8. Межпланетные перелеты
8. Межпланетные перелеты
2
RS r Þ примем RS = 0
Введем обозначения:
τ0, τ1 — времена полета в сферах действия планеты отправления и назначения соответственно,
τ — время гелиоцентрического перелета,
τ 0 , τ1 τ
⇒ рассматривая гелиоцентрическую часть перелета, полагаем
τ 0 = τ1 = 0
Описанный способ «склеивания» участков траектории перелета называется методом склеивания конических сечений.
µ sc1
µ s c2
, g = 1f = r0 r1
r1
(см. (4.23), (4.26)).
Определим
v¥0 = v0 - u0 — скорость КА относительно планеты отправления на границе сферы действия этой планеты приблизительно
равна исходящей асимптотической скорости;
v¥1 = v1 - u1 — скорость КА относительно планеты назначения на границе сферы действия этой планеты приблизительно
равна входящей асимптотической скорости.
Как было показано в п. 6.4,
8.3. Импульс старта и скорость облета
в межпланетных полетах
Предположим, что КА запускается с низкой круговой орбиты
вокруг планеты отправления (НОПО). Обозначим:
μ, μ0, μ1 — гравитационные параметры Солнца, планеты отправления и планеты назначения соответственно;
R 0, R 1 — радиусы НОПО старта и расстояние наибольшего
сближения с планетой назначения соответственно;
t0, t1 — моменты времени старта и прибытия;
r0 , r1 — гелиоцентрические радиус-векторы планет отправления и назначения в моменты t0 и t1 соответственно;
v0 , v1 — скорости КА на гелиоцентрической траектории в моменты t0 и t1 соответственно;
u0 , u1 — орбитальные скорости планет отправления и назначения в моменты t0 и t1 соответственно.
Величины r0 , r1 , τ = t1 – t0 заданы
⇒ v0 — решение задачи Ламберта,
v1 определяется из соотношения
v1 = f r0 + g v0
где
76
∆v =
2µ 0
R0
2
+ v¥
0 -
µ0
R0
(8.2)
— скорость старта с НОПО;
V1 =
2µ1
R1
2
+ v¥
1 (8.3)
— скорость КА в точке наибольшего сближения с планетой назначения. Положения планет отправления и назначения известны:
r0 = r0 (t0 ), r1 = r1 (t1 )
⇒ решение задачи Ламберта зависит только от t0, t1
⇒
∆v = ∆v (t0 , t1 ), V1 = V1 (t0 , t1 ) (8.4)
Параметр C3
В качестве характеристики энергии старта у планеты отправления или подлета к планете назначения используется параметр
2
C = v¥
2
— удвоенная энергия орбиты; v¥
0 представляет собой C3 старта,
2
v¥
1 — C3 прибытия.
77
8. Межпланетные перелеты
8. Межпланетные перелеты
8.4. Об оптимальном перелете
Предположим, что орбиты планет отправления и назначения — круговые и компланарные ⇒ оптимальным является значение угловой дальности φ = π (хомановский перелет, см. главу 6 и рис. 8.3).
Время полета
t1 - t0 = π
где a =
a/2
µ
,
r0 + r1
r0
r1
nj =
µ
r j/2
— средние движения планет отправления (j = 0) и на-
2π
nj
(8.5)
— орбитальные периоды планет отправления (j = 0) и назначения
(j = 1);
φ0 — гелиоцентрический угол между планетами в момент t0
(см. рис. 8.3).
é æ
ö 2 ù
ê ç1 + ξ ÷÷÷÷ ú
φ0 = π - n1 (t1 - t0 ) = π ê1- çççç
ú ÷÷
êë çèç 2 ÷ø úû
(8.6)
Соотношение (8.6) определяет начальное взаимное положение
планет, необходимое для оптимального перелета.
Угловая скорость планеты назначения относительно планеты
отправления равна
n = n1 - n0 .
Время, необходимое для повторения такой же конфигурации (синодический период):
78
P=
P0 P1
P1 - P0
(8.8)
P1
P1 -1
(8.9)
— периодичность дат старта, данная в годах.
значения (j = 1);
Pj =
(8.7)
⇒ из (8.5), (8.7) найдем
P=
Р и с. 8.3
;
2π
n1 - n0
Соотношение (8.8) дает время между двумя оптимальными датами
запуска в рассматриваемом случае.
Если планетой отправления является Земля, то
— большая полуось ор2
биты перелета. Введем:
ξ=
P=
Т а б л и ц а 8.1. Периоды оптимальных
запусков от Земли к планетам
Планета назначения
P, лет
Меркурий
0,32
Венера
1,60
Марс
2,14
Юпитер
1,09
Соотношения (8.8), (8.9) и табл. 8.1 дают среднюю
перио­дичность оптимальных дат запуска
Реальные орбиты планет являются эллиптическими и взаимно
наклоненными
⇒ значение φ = π может привести к очень большому Δτ (рис. 8.4);
пусть
φ1 — оптимальная угловая дальность для первого полувитка,
0 < φ1 < π;
φ2 — оптимальная угловая дальность для второго полувитка,
π < φ2 < 2π.
Для каждой даты старта t0 может быть найдена оптимальная
(т. е. минимизирующая Δv старта) дата t1. Определим
79
8. Межпланетные перелеты
8. Межпланетные перелеты
8.5. Гравитационные маневры
Р и с. 8.4
∆vm = ∆vm (t0 ) = min ∆v (t0 , t1 ),
t1
∆vM = min ∆v (t0 , t1 ) = min ∆vm (t0 ).
t0 , t1
t0
Рисунок 8.5 иллюстрирует функции Δv(t0, t1) (линии уровня,
рис. 8.5а) и Δvm(t0) (рис. 8.5б).
Линии уровня на рис. 8.5а удовлетворяют неравенствам
∆v1 < ∆v2 < ∆v < ∆v4 .
Если наибольшее допустимое значение ∆v старта задано, то
оно определяет окно дат старта. Если окно дат старта задано, то
оно определяет наибольшее значение ∆v старта (см. рис. 8.5б).
а
80
Р и с. 8.5
б
Рассмотрим пролет КА через сферу действия планеты. Обозначим
(рис. 8.6):
¢ — входящая и исходящая
v¥ , v¥
асимптотические скорости КА;
¢ (8.10)
v = u + v¥ , v ¢ = u + v¥
— гелиоцентрические скорости КА
перед входом в сферу действия и после
выхода из нее (время полета в сфере
действия мало по отношению к орбитальному периоду планеты, поэтому в
(8.10) скорость планеты u предполагается одинаковой при входе в сферу
Р и с. 8.6
действия и при выходе из нее);
v1 ¹ v1¢ ⇒ облет планеты изменяет скорость КА.
В силу (8.10)
¢ - v¥
∆v = v ¢ - v = v¥
— «импульс», в результате гравитационного маневра.
8.6. Изменение орбитальной энергии
при гравитационном маневре
Рассмотрим плоский пассивный гравитационный маневр, т. е.
¢ = v¥ . Обозначим (рис. 8.7):
v¥ = v¥
µ — гравитационный параметр планеты;
r , u — гелиоцентрические положение и орбитальная скорость планеты во
время
облета;
Rπ , vπ — положение и скорость в
перицентре траектории облета;
α — угол поворота;
δ — угол между r и Rπ .
Предположим, что орбита планеты
Р и с. 8.7
круговая; тогда δ — также угол между u
81
8. Межпланетные перелеты
8. Межпланетные перелеты
и vπ (см. рис. 8.7). Гелиоцентрические скорости КА до и после облета могут быть найдены из (8.10):
æç
α ö÷÷ üï
2
v 2 = u2 + v¥
+ 2uv¥ cos ççççδ + ÷÷÷÷, ïï
ççè
2 ø÷ ïï
(8.11)
ý
÷÷ö ï
çæç
α
2
2
2
ï
¢ + 2uv¥
¢ cos çççδ - ÷÷÷÷ .ï
v ¢ = u + v¥
ççè
2 ÷ø ïïïþ
Орбитальная энергия (см. (2.6)):
h v2 µ
E= = 2 2 r
é æ
æ
v ¢2 v 2
αö
α öù
α
- = uv¥ êê cos ççδ - ÷÷÷ - cos ççδ + ÷÷÷úú = 2uv¥ sin δ sin .
÷
÷
ç
ç
2
2
2
2
2
è
ø
è
ø
ë
û
(8.12)
¢ , v¥ на рис. 8.7 — входящая и исходящая асимптотиЕсли v¥
ческие скорости, то v ¢ , v в (8.12) — гелиоцентрические скорости
КА до и после облета соответственно и
⇒ ∆E =
α
(8.13)
2
⇒ в силу (8.12), (8.13), (3.19) изменение орбитальной энергии:
∆E = -2uv¥ sin δ sin
∆E = ±2uv¥ sin δ sin
2uv¥ sin δ
α
=±
2
2
Rπ v¥
1+
µ
(8.14)
8.7. Полет в сфере действия планеты
Рассмотрим перелет между тремя планетами с гравитационны
ми параметрами µ0, µ1, µ2 (рис. 8.8): от планеты отправления ( r0
на момент t0) с гравитационным маневром у второй планеты ( r1 на
момент t1) к планете назначения ( r2 на момент t2).
Два участка траектории КА (от r0 к r1 за время t1 – t0 и от r1
к r2 за время t2 – t1) могут быть найдены как два решения задачи
Ламберта. Эти решения дают входящую и исходящую скорости
¢ у второй планеты.
КА v¥ и v¥
82
Задача заключается в нахождении траектории КА в сфере
действия второй планеты, соединяющей два участка гелиоцентрической траектории (т. е. в нахождении траектории с входящей
и исходящей асимптотическими
¢ ).
скоростями v¥ и v¥
¢ заТаким образом, v¥ и v¥
д а н ы ; о б о з н а ч и м v¥ = v¥ ,
¢ —
¢ = v¥
¢ ; угол α между v¥ и v¥
v¥
угол поворота:
v ×v¢
cos α = ¥ ¥ .
¢
v¥ v¥
Р и с. 8.8
(8.15)
Так как радиус сферы действия
много меньше гелиоцентрических
расстояний, предположим, что КА
может войти в сферу действия и выйти из нее в любых точках ее поверхности без изменения гелиоцентрической траектории, т. е. оба вектора
асимптотической скорости могут передвигаться вдоль поверхности параллельно самим себе (рис. 8.9)
Р и с. 8.9
Пассивный облет планеты
¢ ; в этом случае траектория КА является гиперПусть v¥ = v¥
¢ и центр масс
болической в плоскости, проходящей через v¥ и v¥
планеты.
Угол поворота (см. (3.19)):
sin
α
=
2
1
R v2
1+ π ¥
µ1
.
(8.16)
83
8. Межпланетные перелеты
⇒
Rπ =
ö
µ1 æç 1
-1÷÷÷ ç
2 ç
v¥ çç sin α ÷÷÷
çè
ø÷
2
8. Межпланетные перелеты
(8.17)
— радиус перицентра траектории.
Обозначим через R минимальное расстояние, на которое КА
может приблизиться к планете (R = радиус планеты + высота атмосферы + безопасное расстояние), т. е.
Rπ R .
Пассивный облет возможен только тогда,
α
1
¢ и sin
когда v¥ = v¥
2
Rv 2
1+ ¥
µ1
¢ ; примем v¥ < v¥
¢ . В этом случае необходим акПусть v¥ ¹ v¥
тивный маневр в сфере действия. В простейшем случае оптимальным является одноимпульсный маневр.
Определим углы:
üï
π -α
ïï
β=
,
ïï
4
ï
æç
ö÷ ï
¢ - v¥
÷÷ ï
ç v¥
ç
(8.18)
λ = arc tg çç
tg β÷÷÷,ïý ççè v ¢ + v
÷÷ø ï
ïï
¥
¥
ïï
ψ =β-λ.
ïï
ïï
þ
Оптимальное расстояние Ri приложения импульса и величина
∆v импульса находятся по формулам (даются без вывода)
2µ sin 2 ψ
æ
,
ö
2
v¥
cos 2 λ ççèç2 cos 2 β - cos 2 λ ø÷÷÷÷ (8.19)
Р и с. 8.10
∆v = ∆v (t0 , t1, t2 ) (8.21)
8.8. Постановка задачи оптимизации перелета
между несколькими планетами
Рассмотрим полет к n планетам; обозначим:
t0, r0 — время старта и положение планеты отправления в t0;
tj, r j — время j-го облета и положение j-й планеты в tj (j = 1, …,
n – 1);
tn, rn — время прибытия к последней планете и положение
планеты в tn.
После нахождения траектории КА путем решения задачи Ламберта n раз величина суммарного импульса может быть найдена из
соотношения
n
¢ ) sin λ
∆v = (v¥ + v¥
(рис. 8.10; здесь v- и v+ — скорости КА до и после импульса).
84
Пусть моменты времени t0, t1, t2 отправления, гравитационного маневра и
прибытия заданы и
r0 = r0 (t0 ), r1 = r1 (t1 ), r2 = r2 (t2 )
¢ опреде(см. рис. 8.8). Векторы v¥ и v¥
ляются из решений задачи Ламберта для
перелетов между r0 , r1 и r1 , r2 соответственно
¢ = v¥
¢ (t1, t2 )
⇒ v¥ = v¥ (t0 , t1 ), v¥
⇒ в силу (8.20)
Активный облет планеты
Ri =
Дельта-V как функция времени
В силу (8.15), (8.18), (8.19) дельта-V
может быть представлена в виде
¢ ).
(8.20)
∆v = f (v¥ , v¥
∆v = å ∆v j ,
где
(8.22)
j =0
∆v0 — дельта-V старта;
∆v j — дельта-V в сфере действия j-й планеты, j = 1, …, т – 1
(∆vj = 0, если облет пассивный);
85
8. Межпланетные перелеты
8. Межпланетные перелеты
∆vn — дельта-V торможения около последней планеты (∆vn = 0,
если торможение не требуется).
В силу (8.4), (8.21)
¢ j — входящая и исходящая асимптотические скорости
v¥ j , v¥
КА во время облетов Венеры (j = 1) и Земли (j = 2).
Гравитационный маневр VEGA включает следующие этапы
(рис. 8.12):
(а) Запуск:
v¥0 ­¯ u0 Þ v0 = u0 - v¥0 .
∆v0 = ∆v0 (t0 , t1 ), ∆vn = ∆vn (tn-1, tn ),
(
)
∆v j = ∆v j t j -1, t j , t j +1 , j = 1,..., n -1
⇒ в (8.22)
где
∆v = ∆v (t ),
(8.23)
t = {t0 , t1,..., tn }.
(8.24)
Задача оптимизации: найти
∆vm = min ∆v .
(8.25)
t
Замечание. На практике активные маневры в дальнем космосе
также возможны (здесь не рассматриваются).
8.9. Маневры VEGA и ∆VEGA
Гравитационный маневр у Венеры и Земли (VEGA — Venus and
Earth Gravity Assists)
Рассмотрим перелет Земля – Венера – Земля – другое тело
(рис. 8.11). Обозначим:
t0, t1, t2 — моменты времени старта, облета Венеры и Земли;
u0 , u1 , u2 — орбитальные скорости
Земли, Венеры и Земли в моменты t0,
t1, t2 соответственно;
v0 — гелиоцентрическая скорость
КА после запуска;
v j , v ¢j — гелиоцентрические скорости КА соответственно до и после
облетов Венеры (j = 1) и Земли (j = 2);
v¥0 — асимптотическая скорость
Р и с. 8.11
КА после запуска;
Не смешивать с Международным космическим проектом VEGA —
«Венера–Галлей».
86
¢ 1 = v¥1 ):
(б) Облет Венеры (пассивный Þ v¥
v¥1 наклонена к u1 ,
¢ 1 ­­ u1 Þ v1¢ = u1 + v¥1 > v1 .
v¥
¢ 2 = v¥2 ):
(в) Облет Земли (пассивный Þ v¥
v¥2 наклонена к u2 ,
¢ 2 ­­ u2 Þ v2¢ = u2 + v¥2 > v2 .
v¥
Продолжительность маневра VEGA 13–17 месяцев.
Дополнительная дельта-V до 2,5 км/с
Дельта-V и гравитационный маневр у Земли (маневр ∆VEGA —
∆V and Earth Gravity Assist)
Идея такая же, как и для маневра VEGA: возврат к Земле с
большей асимптотической скоростью (рис. 8.13). Этапы маневра:
(а) Запуск на гелиоцентрическую орбиту с перигелием у Земли
и периодом n лет (n = 2, 3, ...):
Р ис. 8.12
Рис. 8.13
87
8. Межпланетные перелеты
9. Маневрирование в сфере действия планеты
v¥0 ­­ u0 .
(б) Тормозной импульс вблизи афелия орбиты:
∆v ­¯ vα .
(в) Облет Земли:
v¥2 наклонена к u2 (см. рис. 8.12в),
¢ 2 ­­ u2 Þ v2¢ = u2 + v¥2 > v2 .
v¥
Маневр длительностью 2, 3, … лет называется:
маневр ΔVEGA 2–, 3–, …, если облет Земли происходит до перигелия (сплошная траектория на рис. 8.13);
маневр ΔVEGA 2+, 3+, …, если облет Земли происходит после
перигелия (пунктирная траектория на рис. 8.13).
Дополнительная дельта-V до 1,1 км/с
Недостатки маневров VEGA и ∆VEGA
• Маневр VEGA требует особого взаимного положения Земли
и Венеры, которое повторяется каждые 1,6 года; продолжительность маневра более года.
• Маневр ∆VEGA намного дольше маневра VEGA и дает
меньшую дополнительную скорость.
9.1. Постановка задачи и основные обозначения
В этой главе рассматриваются вход КА в сферу действия планеты назначения и маневрирование около планеты с целью выполнения задачи полета. Такой задачей может быть исследование
планеты и ее спутников.
Обозначим:
µ — гравитационный параметр планеты;
R — наименьшее возможное расстояние сближения с планетой;
a — большая полуось;
e — эксцентриситет орбиты;
rπ, rα — радиусы перицентра и апоцентра;
i — наклонение орбиты, 0 ≤ i ≤ π;
α — угол поворота вектора асимптотической скорости,
0 < α < π.
9.2. Используемые в главе соотношения
В данной главе будут использованы следующие соотношения,
полученные в предыдущих главах:
a=
rπ + rα
rπ =
2
— большая полуось,
p
p
, rα =
— радиусы перицентра и апоцентра
1- e
1+ e
2rπ rα
rπ + rα
— фокальный параметр,
⇒ p=
(9.1)
c = rvn = µ p (9.2)
— величина интеграла площадей,
v2 =
æ
ö
2µ µ 2µ ççç
r ÷÷÷÷
- = ççç1÷÷ r
a
r çè rπ + rα ÷÷ø
(9.3)
— скорость КА,
89
9. Маневрирование в сфере действия планеты
r
2µ rπ
, vπ = α vα vα =
rπ
rπ + rα rα
9. Маневрирование в сфере действия планеты
(9.4)
где угол ψ может выбираться произвольно (рис. 9.2). Вектор e20
находится из уравнений
2
2
e20
x + e20 y = 1,
— скорости в апоцентре и перицентре,
sin
α
=
2
1
2
rπ v¥
µ
— угол поворота.
(9.5)
1+
e1x e20 x + e1 y e20 y = 0.
Для разрешения неопределенности примем e30z > 0 в (9.7).
π -α
π
Определим угол φ =
( 0 < φ < , см. рис. 9.1) ⇒ в силу
2
2
(9.5)
Пусть радиус rπ входящей гиперболической орбиты КА задан
(может быть выбрано любое значение rπ ≥ R, см. п. 8.6). Зададим
плоскость орбиты ортами
v¥
, e2 ^ e1 (9.6)
e1 =
v¥
(рис. 9.1). Плоскость планетоцентрической орбиты КА можно
произвольно поворачивать вокруг v¥ (см. п. 8.6) ⇒ e2 может выбираться произвольно. Рассмотрим некий фиксированный орт
e20 ^ e1 , лежащий в базовой плоскости системы координат
⇒ e20 = e20 x , e20 y , 0 , и пусть
{
}
e0 = e1 ´ e20 = e0 x , e0 y , e0 z {
}
(9.7)
⇒ e2 = e20 cos ψ + e0 sin ψ ,
1
,
2
rπ v¥
1+
µ
rπ = rπ (e1 cos φ - e2 sin φ),
cos φ =
9.3. Входящая орбита КА
æ
ö
r = r ççèe1 cos (ϑ - φ) + e2 sin (ϑ - φ)÷÷÷ø .
(9.9)
(9.10)
Элементы орбиты
a=
µ
2
v¥
, e =1+
2
rπ v¥
µ
(см. п. 3.4). Рассмотрим орт
e = e1 ´ e2 = {e x , e x , e x }.
Соотношения (9.7), (9.8), (9.11) дают
e = e1 ´ e20 cos ψ + e1 ´ e0 sin ψ = e1 ´ e20 cos ψ - e20 sin ψ .
(9.8)
(9.11)
(9.12)
Вектор e ортогонален плоскости орбиты
cos i = e z ,
⇒
tg Ω = -
cos ω =
Р и с. 9.1
90
Р и с. 9.2
e x
e y
,
rπ × k
rπ
(9.13)
é cos Ω ù
ú
ê
, k = êê sin Ω úú
ê 0 ú
êë
úû
91
9. Маневрирование в сфере действия планеты
9. Маневрирование в сфере действия планеты
(см. п. 3.6). Пусть z 0 = {0, 0,1} – единичный вектор, ортогональный базовой плоскости. Тогда
cos i = z 0 × e = z 0 × e1 ´ e20 cos ψ = e1 × e20 ´ z 0 cos ψ .
Обозначим через η угол между v¥ и базовой плоскостью си
стемы координат. Единичный вектор e20 ´ z 0 направлен вдоль
проекции вектора e1 на базовую плоскость
⇒ в силу (9.6) e1 × e20 ´ z 0 = cos η
⇒
cos i = cos η cos ψ (9.14)
⇒
η i π - η (9.15)
9.4. Одноимпульсный маневр захвата
Рассматривается маневр захвата КА в перицентре входящей
гиперболической орбиты. Минимальное значение тормозного импульса ∆v0 достигается на минимальном расстоянии R (рис. 9.3).
Если задан апоцентр rα планетоцентрической орбиты КА, то
2µ
2µ µ
2
∆v0 =
+ v¥
R
R a
где a =
R + rα
2
.
Если задан период орбиты P, то в (9.16)
a= P 2µ
4π 2
.
9.5. Сброс зонда на планету
Рассматривается случай, когда от КА отделяется зонд для
вхождения в атмосферу планеты. С этой целью скорость зонда
должна быть уменьшена на величину ∆vp, чтобы уменьшить радиус перицентра его орбиты ⇒ оптимальным (в смысле min ∆vp) является маневр отделения зонда в апоцентре орбиты КА (см. п. 6.4).
Обозначим через Ra радиус атмосферы планеты (Ra ≤ R) и через
θ угол входа зонда в атмосферу (рис. 9.4),
vn
,
v
где скорости v, vn вычисляются на расстоянии Ra (рис. 9.5).
Соотношения (9.1)–(9.3) дают
cos θ =
v2 =
(9.16)
vn2 =
æ
ö
Ra ÷÷÷
2µ ççç
çç1 ÷÷÷ ,
ç
Ra çè rπ + rα ÷÷ø
µp
Ra2
=
(9.17)
(9.18)
2µ rπ rα
Ra rπ + rα
(9.19)
⇒ из (9.17)–(9.19) найдем радиус перицентра орбиты зонда
Р и с. 9.3
92
Р и с. 9.4
Р и с. 9.5
93
9. Маневрирование в сфере действия планеты
rp =
(rα - Ra )Ra cos2 θ
rα - Ra cos 2 θ
9. Маневрирование в сфере действия планеты
(9.20)
Обозначим через vα, vαp скорости КА и зонда в апоцентре после
отделения зонда ⇒ ∆vp = vα – vαp
⇒
2µ rπ
2µ rp
∆v p =
rπ + rα rα
rp + rα rα
(9.21)
Если ∆rπ = rπ – rp Ra, то
∆v p »
vπ
4a
∆rπ (9.22)
9.6. Выведение КА на заданную круговую орбиту
Рассмотрим выведение КА на круговую орбиту вокруг плане
ты, заданную радиусом r0 и единичным вектором c 0 кинетическо
го момента орбиты ( c 0 ортогонален плоскости орбиты). Для этого
используется следующий трехимпульсный маневр (рис. 9.6):
— импульс ∆v0 на расстоянии rπ = rπ : маневр захвата (см.
п. 9.4);
— импульс ∆v1 на расстоянии rα: подъем перицентра до r0 и,
если необходимо, поворот плоскости орбиты;
— импульс ∆v2 на расстоянии r0: выведение КА на заданную
круговую орбиту.
Обозначим
γ1 = e1 × c 0 , γ 2 = e20 × c 0 , γ = e0 × c 0 (9.23)
0
— направляющие косинусы вектора c в системе, заданной орта
ми e1 , e20 , e0
⇒ γ12 + γ 22 + γ 2 = 1 .
(9.24)
Параметры входящей орбиты
Для совершения рассматриваемого маневра перицентр входящей гиперболической орбиты должен лежать в плоскости конеч
ной круговой орбиты (см. рис. 9.6) ⇒ rπ × c 0 = 0
⇒ в силу (9.9), (9.8), (9.23)
γ1 cos φ - γ 2 sin φ cos ψ - γ sin φ sin ψ = 0 (9.25)
⇒ угол ψ может быть найден из (9.25) с учетом (9.24):
tg
2
2
ψ γ sin φ ± sin φ - γ1
,
=
2
γ1 cos φ + γ 2 sin φ
cos ψ =
γ1γ 2 sin φ ± γ sin 2 φ - γ12
æç
2ö
çç1 - γ1 ÷÷÷÷ sin φ
è
ø
(9.26)
(9.27)
⇒ рассматриваемый трехимпульсный маневр возможен только
при sin φ γ1 .
Пусть ε — угол между плоскостями начальной гиперболической и конечной круговой орбит (см. рис. 9.6) ⇒ в силу (9.7),
(9.12), (9.23)
(9.28)
cos ε = e × c 0 = -γ 2 sin ψ + γ cos ψ .
Заметим, что уравнение (9.25) имеет два решения для ψ. Выбирается то из них, которое обеспечивает min ε.
Углы ориентации входящей гиперболы даны в (9.13) с использованием (9.6)–(9.9), (9.12).
Р и с. 9.6
94
Частный случай
Пусть наклонение конечной круговой орбиты равно нулю, т. е.
ε = i , c 0 = ±z 0 = {0, 0, ±1}
95
10. Определение и коррекция орбиты
9. Маневрирование в сфере действия планеты
⇒ в силу (9.23) γ1 = sin η, γ2 = 0, γ3 = cos η
sin 2 φ - sin 2 η
(9.29)
sin φ cos η
⇒ рассматриваемый трехимпульсный маневр возможен только
если φ ≥ η.
Соотношения (9.14), (9.29) дают:
⇒ cos ψ = ±
cos ε = cos i = ± 1⇒ sin ε = sin i =
sin 2 η
2
sin φ
π
sin η
, 0 ε , i .
2
sin φ
(9.30)
(9.31)
Величины импульсов
Обозначим ∆vi = ∆vi (i = 0, 1, 2). Импульс ∆v0 дается в (9.16).
Пусть vα- , vα+ — скорости КА в апоцентре до и после импульса ∆v1
соответственно
⇒ vα- =
2µ rπ
2µ r0
, vα+ =
R + rα rα
r0 + rα rα
(см. главу 6),
2
2
∆v1 = vα- + vα+ - 2vα-vα+ cos ε (9.32)
(см. рис. 9.6), где cos ε дается в (9.28) или (9.30).
Скорости на конечной круговой орбите до и после импульса
∆v2:
v0- =
⇒
∆v2 =
2µ rα
µ
, v0+ =
r0 + rα r0
r0
2µ rα
µ
r0 + rα r0
r0
(9.33)
Суммарный импульс равен
∆v = ∆v0 + ∆v1 + ∆v2 (9.34)
10.1. Ошибки выведения
Обозначим:
x0 , x — векторы состояния космического аппарата (КА) в начальный момент времени t0 и заданный момент времени t,
(10.1)
x = x (x0 , t ).
Пусть x0nom — значение x0 для номинальной орбиты
(рис. 10.1), достигающей цель полета. Истинные параметры запуска слегка отличаются от требуемых (номинальных) из-за ошибок
выведения. Значение вектора состояния на истинной орбите:
(10.2)
x0true = x0 nom + ∆x0 ,
где ∆x0 — вектор ошибок выведения.
Пусть ∆x — ошибки вектора состо
яния x в момент времени t,
(10.3)
∆x » Φ∆x0 ,
¶x
(10.4)
Φ = Φ (t, t0 )= ¶x0
Р и с. 10.1
— матрица изохронных производных.
10.2. Траекторные измерения
Траекторные измерения —
измерения параметров орбиты с
наземной станции.
Обозначим через r и rs радиус-векторы КА и наземной
станции,
ρ = r - rs = ρ x , ρ y , ρ z
{
}
— положение КА относительно
наземной станции (рис. 10.2).
Р и с. 10.2
97
10. Определение и коррекция орбиты
Типы траекторных измерений:
üï
ρ = ρ = r - rs
- измерения дальности,
ïï
ïï
(r - r )× æç r - r ÷÷ö
ï
ρ×ρ
s çè
s ÷ø
ρ =
=
- измерения радиальной скорости, ïï
ρ
ý
r - rs
ïï
ïï
0 ρ r - rs
ïï
ρ = =
- угловые измерения.
ïï
ρ
r - rs
ïþ
(10.5)
0
Единичный вектор ρ задает два угла (рис. 10.3):
ïüï
sin δ = ρ0z ,
ïï
(10.6)
ρ0y ýï ρ0x
cos α =
, sin α =
.ïï
cos δ
cos δ ïþ
Этими углами являются:
• Для радиотехнических измерений:
азимут a (отсчитывается в местной горизонтальной плоскости от направления на
север против часовой стрелки) и угол возвышения e (угол с местным горизонтом).
• Для оптических астрометрических наблюдений:
прямое восхождение α (этот угол отсчитывается в экваториальной плоскости Земли)
и склонение δ (угол с плоскостью экватора
Р и с. 10.3
Земли) (см. рис. 10.3).
10. Определение и коррекция орбиты
E éê(ε - m)2 ùú = σ 2 , σ — среднеквадратическое отклонение.
ë
û
Предположим, что m = 0 и σ известно.
Постановка задачи:
Имеются n измерений (т. е. измеренных значений параметров)
,..., ψ
},
(10.7)
ψ = {ψ
1
n
полученных в моменты времени t1,..., tn соответственно.
Задача заключается в определении орбиты по этим измерениям (рис. 10.4)
⇒ требуется найти x0 = x (t0 ) (искомые параметры).
Пусть
(10.8)
ψ j = ψ x j , ( j = 1,..., n) ( )
— значения параметров, вычисленные для
x j = x x0 , t j , ( j = 1,..., n) (
)
(10.9)
с использованием (10.5), (10.6),
σj (j = 1, …, n) — среднеквадратические отклонения ошибок измерений (10.7);
-ψ
n æçç ψ
j
çç j
çç
ç
σ
ç
j =1 èç
j
L=å
2
÷÷ö
÷÷÷
÷÷
÷÷÷
ø
(10.10)
— функция метода наименьших квадратов (МНК),
10.3. Определение орбиты. Метод наименьших квадратов
Траекторные измерения содержат ошибки измерений. Обозначим:
,ψ
ψ
true — измеренные и истинные значения измеряемых параметров;
-ψ
ε=ψ
true — ошибка измерений (случайная величина).
Математическое ожидание:
E (ε) = m — среднее значение;
98
Р и с. 10.4
99
10. Определение и коррекция орбиты
1
σ 2j
10. Определение и коррекция орбиты
— вес j-го измерения.
где
Векторно-матричная форма функции (10.10):
æ
öT
L = çççç ψ - ψ÷÷÷÷÷
è
ø
W
÷ö
ççæ
÷
çç ψ - ψ ÷÷÷
è
ø
(
,..., ψ
}, ψ = {ψ ,..., ψ } — вектор измерений и вектор
где ψ = {ψ
1
n
1
n
(10.12)
n
æç
÷÷ö ççæ ÷÷ö
æ
ö÷2
ç
⇒ L = å ççèç ψ
j - ψ j ø÷÷ = çç ψ - ψ ÷÷÷ × çç ψ - ψ÷÷÷ .
è
ø è
ø
МНК дает значение x0 , минимизирующее функцию L.
Необходимое условие минимума:
÷öT
¶L
¶ψ T
çæç
÷÷ W
(10.13)
=
2
ψ
ψ
= 0 .
çç
÷÷ø
è
¶x0
¶x0
Определим матрицу
¶ψ
Ψ=
¶x0
æ
ö
⇒ y º ΨT W çççç ψ - ψ÷÷÷÷÷ = 0 .
(10.14)
è
ø
Найдем j-ю строку матрицы Ψ:
¶ψ j ¶ψ j ¶x j ¶ψ j
=
= Φ t j , t0 ,
¶x0
¶x j ¶x0 ¶x j
(
100
)
Уравнение (10.14) может быть записано в виде
(10.15)
y (x0 )= 0 .
Для решения уравнения (10.15) применим метод Ньютона–Рафсона. Приближенно примем
¶y
¶ψ
T
T
» -Ψ W = -Ψ W Ψ
¶x0
¶x0
(пренебрегаем производной Ψ по x0 в (10.14))
⇒ на i-й итерации метода
æ
æ
ö-1
ö
(10.16)
x0,i +1 = x0i + çççè ΨiT W Ψi ø÷÷÷÷ ΨiT W çççç ψ - ψi ÷÷÷÷÷ (i = 0,1,...) è
Частный случай: σ1 = σ2 = … = σn = 1 (невзвешенные измерения)
⇒ W = I — единичная матрица
j =1
)
Φ t j , t0 — матрица изохронных производных (см. (10.4)).
(10.11)
вычисленных параметров,
é1
ù
ê
0ú
ê σ2
ú
ê 1
ú
ê
ú
W =ê
ú
ê
ú
1ú
ê
0
ê
ú
ê
σ 2n úû
ë
— диагональная весовая матрица.
¶ψ j
может быть найдено с помощью (10.5), (10.6);
¶x j
ø
где Ψi, ψi — значения Ψ, ψ , вычисленные на x0i .
Обычно номинальное значение x0nom принимается в качестве
начального приближения процедуры (10.16).
Пусть x0 — решение уравнения (10.15), x = x (x0 ) и ψ = ψ (x ).
Тогда
ψ - ψ — вектор невязок, или O–C (observed — calculated).
10.4. Коррекция орбиты
После того как орбита определена методом наименьших квадратов, необходимо скорректировать ошибки выведения, чтобы
достичь цели полета. Коррекция орбиты производится путем изменения скорости КА.
Пусть r , r ¢ — положения цели и КА в номинальное время
прибытия ta,
∆r = r ¢ - r
— промах. Представим матрицу изохронных производных в виде
éR
Rv 0 ùú
Φ (ta , t0 )= êê r 0
ú,
êëVr 0 Vv 0 úû
101
10. Определение и коррекция орбиты
10. Определение и коррекция орбиты
где
¶r
¶r
¶v
¶v
Rr 0 = , Rv 0 = , Vr 0 = , Vv 0 =
¶r0
¶v0
¶r0
¶v0
—3×3-матрицы. Тогда
¶r
∆r » ∆x0 = Rr 0 ∆r0 + Rv 0 ∆v0 ,
¶x0
é ∆r ù
где ∆x0 = êê 0 úú — вектор ошибок выведения.
êë ∆v0 úû
Корректирующий импульс ∆v прилагается в момент времени tc (рис. 10.5):
-∆r » Rvc ∆v ,
¶r
где Rvc =
— 3×3-матрица
¶v (tc )
⇒
-1
∆v » -Rvc
∆r
(10.17)
Выбор времени t c коррекции ор­
биты:
– орбита должна быть определена
достаточно точно ⇒ tc > td, где td – t0 —
интервал времени, необходимый для
определения орбиты;
– величину Δv следует минимизировать Þ tc = arg min ∆v .
td <tc <ta
Р и с. 10.5
10.5. Автономная навигация
Автономные измерения — измерения положения небесного тела, являющегося целью полета, с борта КА (например, по изображениям тела с помощью бортовой камеры); это может обеспечить значительно более точное определение движения КА относительно тела, чем наземные траекторные
измерения. Изображения тела на фоне звезд дают точные угловые
измерения. После того, как относительное движение определено,
производится корректирующий маневр наведения.
102
Р и с. 10.6
Предположим, что движение КА относительно цели является
равномерным и прямолинейным. Пусть δ — измеренное угловое
отклонение тела
δ
⇒ ∆v = 2v sin » vδ (рис. 10.6).
2
Возможны два способа обработки данных автономной навигации:
– наземная обработка измерений и управление движением КА
с Земли;
– обработка на борту КА и автоматическое управление (если
время является критически коротким).
11. Матрица изохронных производных
11. Матрица изохронных производных
и предположим, что матрица X невырожденна, т. е.
11.1. Используемые в главе формулы
X -1 = Y .
В данной главе используются следующие соотношения:
Соотношения (11.2), (11.3) дают:
d ¶x ¶f (x )¶x
=
dt ¶y
¶x ¶y
üï
1
ïï
s = , s (t0 )= 0,
ïï
r
ý - универсальная
r × v - r0 × v0 - h(t - t0 ) ïï
переменная,
ïï
s=
ïïþ
µ
⇒
где
x = -hs 2 ,
cn = cn (x ) (n = 0,1,...) - функции Штумпфа,
2µ
µ
h = v - = - - интеграл энергии,
r
a
c = r ´ v - интеграл площадей,
µ
l = - r + v ´ c - интеграл Лапласа,
r
2
c = c = r 2 v 2 - (r × v ) , l = l ,
2
(11.1)
X = FX (11.5)
¶f (x )
F=
.
¶x
(11.6)
Уравнение (11.5) — уравнение в вариациях. Из очевидного равенства
¶y ¶x
= YX = I ,
¶x ¶y
где I — единичная n×n-матрица, следует:
2
c
- фокальный параметр,
µ
r = r0 c0 + r0 × v0 sc1 + µ s 2 c2
p=
d
+YX = YX
+YFX = 0
(YX )= YX
dt
⇒ так как X невырожденна, то
Y = -YF 11.2. Уравнение в вариациях и сопряженное
уравнение в вариациях
Рассмотрим вектор x = x (t ) = {x1,..., xn }, удовлетворяющий
уравнению
(11.2)
x = f (x ),
и вектор y = y (x ) = {y1,..., yn }. Обозначим
¶y
¶x
X= , Y=
¶x
¶y
104
(11.4)
(11.3)
(11.7)
— сопряженное уравнение в вариациях.
¶y
¶x
Пусть X i =
— столбцы матрицы X, Yi = i — строки
¶x
¶yi
матрицы Y (i = 1, …, n). Очевидно, что все Xi удовлетворяют уравнению (11.5) и все Yi удовлетворяют уравнению (11.7) ⇒ для лю
бого вектора x = x (t ) = {x1,..., xn }, удовлетворяющего (11.2), и
¶x
укороченного вектора y ¢ = y ¢ (x ) = {y1,..., ym } (m < n) матрица
¢
¶y ¢ ¶y
удовлетворяет уравнению в вариациях (11.5) и матрица удо¶x
влетворяет сопряженному уравнению в вариациях (11.7).
105
11. Матрица изохронных производных
11. Матрица изохронных производных
11.3. Определение матрицы изохронных производных
11.4. Обратная матрица изохронных производных
Рассмотрим движение в 3-мерном пространстве; пусть
é r ù
é r ù
0 ú
ê
x0 = x (t0 ) = ê ú , x = x (t ) = êê úú
êë v0 úû
ëv û
— 6-мерные векторы состояния в начальный и текущий моменты
времени, x удовлетворяет уравнению (11.2),
¶x
(11.8)
Φ = Φ (t, t0 ) = ¶x0
Рассмотрим матрицу
¶x
(11.12)
Φ-1 = Φ (t0 , t )= 0 .
¶x
В силу (11.4), (11.5), (11.7) матрица Φ−1 удовлетворяет сопряженному уравнению в вариациях:
— матрица изохронных производных,
Φij =
¶xi
¶x0 j
(i, j = 1,...,6) .
Матрица Φ удовлетворяет уравнению в вариациях (11.5):
= F Φ, Φ (t , t ) = I Φ
0 0
J -1 = J T = -J Þ JJ = -I .
(11.9)
где I — единичная 6×6-матрица.
Для задачи двух тел в уравнении (11.2)
é ù
ê v ú
f (x )= ê µ ú
ê- r ú
ê r ú
ë
û
(см. главу 2) ⇒ соотношение (11.6) дает
é0
F = êê
ëG
I ùú
0 úû
(11.10)
— симметричная 3×3-матрица.
Замечание. В этой главе матрица изохронных производных будет вычислена только для задачи двух тел.
106
Доказательство
Соотношения (11.10), (11.14) и GT = G дают
é-G 0 ù
ú = -JF .
F T J = êê
ú
0
I
ûú
ëê
(11.14)
(11.15)
(11.16)
(11.17)
В силу (11.9), (11.17)
d
T J = J ΦT F T J = -J ΦT JF ,
J ΦT J = J Φ
dt
(11.11)
(11.13)
Теорема 11.1. Матрица изохронных производных является
симплектической, т. е.
ΦT J Φ = J Þ Φ-1 = -J ΦT J где I3 — единичная 3×3-матрица,
T
÷ö
µ æçç r r
G = ç
- I ÷÷÷ ÷ø
r ççè r 2
d -1
Φ = -Φ-1F , Φ-1 (t0 , t0 ) = I .
dt
Определим матрицу 6-го порядка
é 0 I ù
ú
J = êê
ú .
I
0
êë úû
Легко получить, что
(11.18)
т. е. матрица −JΦ−1J удовлетворяет (11.13).
Начальные условия в (11.9) и соотношения (11.15) дают
J ΦT (t0 , t0 ) J = JJ = -I .
(11.19)
Соотношения (11.18), (11.19) доказывают теорему.
Представляя матрицу Φ в виде
107
11. Матрица изохронных производных
éΦ
Φ12 ùú
Φ = êê 11
ú ,
ëêΦ21 Φ22 úû
можем записать (11.16) следующим образом:
T ù
é ΦT
-Φ12
ú Φ-1 = êê 22
T
T ú
êë-Φ21 Φ11 úû
11. Матрица изохронных производных
(11.20)
(11.21)
Пусть q = q (x ) — 6-мерный вектор независимых первых интегралов
⇒ q (x ) = q (x0 )
¶q ¶x
¶q
⇒
(11.22)
=
.
¶x ¶x0 ¶x0
Введем матрицу
Φ = A-1 A0 (11.23)
(11.24)
В силу (11.23) матрица A удовлетворяет сопряженному уравнению
в вариациях (11.7):
A = - AF Представим матрицу A в виде
A = éë P Q ùû ,
(11.25)
(11.26)
где P, Q — 6×3-матрицы ⇒ согласно (11.26), (11.10) уравнение
(11.25) приводится к виду
P = -QG , Q = -P Соотношения (11.15), (11.16), (11.24) дают
108
-1
J Þ A0-1 AJ = JA0T AT
-1
Þ AJAT = A0 JA0T
⇒ A-1 = JAT K -1 где
(11.28)
K = A0 JA0T — постоянная матрица.
(11.29)
11.6. Вычисление пяти строк матрицы A
11.5. Подход к вычислению матрицы
изохронных производных
¶q
¶q
A = A (t ) = , A0 = A (t0 ) = ¶x
¶x0
⇒ соотношения (11.8), (11.22), (11.23) дают
A0-1 A = -JA0T AT
(11.27)
Рассмотрим семь скалярных первых интегралов c , l , h, определяющих пять независимых первых интегралов (см. главу 2).
Введем постоянные векторы p1 , p2 такие, что величины
(11.30)
q1 = p 1× c , q2 = p 2× c , q = p 1× l , q4 = p 2× l , q5 = h являются независимыми. Представим матрицу A в виде
é aT bT ù
ê 1
1 ú
(11.31)
A = êê úú ,
ê T T ú
ê a6 b6 ú
ë
û
где
¶q j
¶q j
(11.32)
aTj = , b Tj = ( j = 1,...,5) ¶r
¶v
— строки матриц P, Q соответственно (см. (11.26)). Как следует из
(11.27),
a j = -G b j , b j = - a j ( j = 1,...,6) .
Соотношения (11.30), (11.32) дают:
üï
ai = v ´ pi , bi = pi ´ r ,
ïï
ïïï
µ
ai +2 = r ´(pi ´ r )+ v ´(v ´ pi ), ý i = 1, 2
ïï
r
ïï
bi +2 = pi ´ c - r ´(v ´ pi ),
ïïþ
µ
a5 = r , b5 = v .
r
(11.33)
109
11. Матрица изохронных производных
11. Матрица изохронных производных
11.7. Нахождение шестой строки матрицы A
2 n-1
Теорема 11.2. Рассмотрим 2n-мерную систему Гамильтона:
i =1
é ¶H ù
ù
ê ú
é
¢
x
ê
¢¢ ú
x = f (x, t ), x = êê úú , f = f (x, t )= ê ¶x ú ,
¢¢
x
ê
¶
H
ú
ë û
ê- ú
ëê ¶x ¢ ûú
¢
¢
¢
¢¢
¢¢
¢¢
x = {x1,..., xn }, x = {x1,..., xn }.
Предположим, что известны независимые первые интегралы
q1, …, q2n–1 и
¶qi
(i = 1,..., 2n -1) .
¶x
Рассмотрим матрицу A, состоящую из строк A1, …, A2n–1, и
Ai = grad x qi =
где
æç
çç
A2 n = çççç γ çç
çè
ö÷T
÷÷÷
λ dt ÷÷÷÷
÷÷
÷
t0
ø÷
t
fò
J ,
(11.34)
и A является невырожденной тогда и только тогда, когда
å di λ i ¹ 0 ,
i =1
где параметры λi определяются из
110
(теорема дается без доказательства).
Согласно (11.31) строка A6 записывается в виде
A6 = éêa6T b6T ùú .
ë
û
С помощью (11.34), (11.35) можно получить, что
a6 = d1a6¢ + d2 a6¢¢, b6 = d1b6¢ + d2 b ¢¢ ,
(11.36)
(11.37)
где d1, d2 — произвольные постоянные, удовлетворяющие неравенству
d1h + d2l 2 ¹ 0 é 0
I n ùú
J = êê
ú,
êë-I n 0 úû
2n-вектор γ = γ (t ) и функция λ = λ(t) удовлетворяют уравнениям
Ai γ = di (i = 1,..., 2n -1),
(11.35)
γ - F γ = λ f ,
¶f
di — произвольные постоянные, F = .
¶x
В этом случае матрица A удовлетворяет сопряженному уравнению в вариациях
A = - AF
2 n-1
¶H
å λ i Ai = grad x H = ¶x
(11.38)
((11.38) следует из (11.36)). Из теоремы 11.2 можно получить
µ
(11.39)
a6¢ = - τ r + v , b6¢ = 2r - τv ,
r
æç
µ ÷÷ö
(11.40)
a6¢¢ = ççççµr - 2 S ÷÷÷÷ r + S v , b6¢¢ = S r - 2Sv ,
÷
ççè
r ø
где
t
τ = t - t0 , S = c 2 τ - µ ò r dt , S = c 2 - µr .
(11.41)
t0
Выводы
В силу (11.38) постоянные d1, d2 могут быть заданы следующим
образом:
Для заданной малой величины ε > 0:
µ
1. Если h ε
(т. е. все орбиты, кроме параболических и
r0
околопараболических), то d1 = 1, d2 = 0 (т. е. 6-я строка матрицы A
дается соотношениями (11.39)).
µ
2. Если h < ε
(т. е. параболические и околопараболические
r0
орбиты), то d1 = 0, d2 = 1 (т. е. 6-я строка матрицы A дается соотношениями (11.40)).
111
11. Матрица изохронных производных
11. Матрица изохронных производных
t
ò
11.8. Вычисление интеграла
⇒ первые три функции Штумпфа равны c0 = c1 = 1, c2 =
r dt
t0
æç
çç
çç
çç
è
Орбиты, отличные от параболических и околопараболических
µ ö÷÷
h ε ÷÷÷÷ .
r0 ø÷÷
Из (11.1) получим
v2 -
2
µp
µr r ¢2
.
-2 +
h
h
h
Используя (11.43) и соотношение dt = r ds, получим
⇒ r2 =
t
s
0
0
ò r dt = ò
где
s
2
s
s
(11.44)
s
t
0
t0
r
s
s
r0
0
0
2
ds - µ ò rds ,
0
t0
Параболические орбиты (h = 0)
На параболических орбитах x = 0 в (11.1)
112
r ¢ - r0¢
µ
(11.45)
2
ds = r02 s + r0 r0¢s 2
+
µ2 4
s
4
r0¢2 + µr0
s +
µr0¢
4
s4 +
µ2 5
s (11.46)
20
.
s
t
0
t0
R (s )= ò r 2 ds = ò r dt .
(11.47)
Интеграл (11.47) может быть вычислен путем разложения значения R(0) относительно R(s) в ряд Тейлора с использованием соотношений
ds 2 n-1
= hn-1r ¢ ,
d 2n r
ds 2 n
= hn-1r ¢¢ .
(11.48)
Окончательно можно получить
t0
2h
ö
æç
µ ö÷÷
Околопараболические орбиты çççç h < ε ÷÷÷÷
çç
r0 ø÷÷
è
Рассмотрим функцию
ò
(r + p)r ¢ -(r0 + p)r0¢ -(µ + ph)τ
0
где s =
t
⇒ соотношение (11.44) с учетом формулы для s (см. (11.1)) дает
ò r dt =
ò r dt = ò r
t0
s
ò rds = ò dt = τ
t
⇒
s
d 2 n-1r
ò r ¢ ds = ò r ¢dr = rr ¢ - r0 r0¢ - ò rr ¢¢ds = rr ¢ - r0 r0¢ - hò r
0
æ
(11.43)
µ
µ
1
r 2 ds = ps - 2 ò r ds + ò r ¢2 ds ,
h
h 0
h 0
µs 2
2
⇒ r 2 = r02 + 2r0 r0¢s + çççè r0¢2 + µr0 ÷÷÷÷ø s 2 + µr0¢s +
t
µ
r = hr + µ .
dr r
d r
(11.42)
= = r × v , r ¢¢ =
=
ds s
s
ds 2
Для вычисления интеграла в (11.41) используем формулу для фокального параметра (см. (11.1)) и (11.42):
2
r 2 v 2 - (r × v )
hr 2 r ¢2
p=
= 2r +
µ
µ
µ
r¢=
⇒ r = r0 + r0¢s +
1
2
r ¢2 + rr ¢¢ s - 2µs 4 éê r ¢¢sc5 (x ) - r ¢c4 (x )ùú ë
û
(11.49)
æ
ö
-8s 4 éêçççè hr ¢2 + r ¢¢2 ø÷÷÷÷ sc5 (4 x )- r ¢r ¢¢c4 (4 x )ùú
ë
û
r dt = r 2 s - rr ¢s 2 +
11.9. Выбор векторов p1 , p2 и обращение матрицы A
С помощью (11.31), (11.33), (11.37), (11.39), (11.40) вычислим
матрицу (11.29):
113
11. Матрица изохронных производных
11. Матрица изохронных производных
é 0
k1
0
-k2
0
d1m1 ùú
ê
ê -k
0
k2
0
0
d1m2 úú
1
ê
ê 0
ú
-k2
0
-hk1
0
d2 n1
ê
ú
K =ê
ú , (11.50)
k
0
hk
0
0
d
n
ê 2
ú
1
2 2
ê
2ú
ê 0
0
0
0
0
-d1h - d2l ú
ê
ú
ê-d m -d m -d n -d n d h + d l 2
ú
0
1 2
2 1
2 2
1
2
ëê 1 1
ûú
где
k1 = c × p1 ´ p2 , k2 = l × p1 ´ p2 ,
(11.51)
mi = c × pi , ni = c 2l × pi (i = 1,2).
æç
µ ÷÷ö
Круговые, эллиптические и гиперболические орбиты çççç h ³ ε ÷÷÷÷
çç
r0 ÷÷ø
è
В этом случае d1 = 1, d2 = 0 (см. п. 11.7). Примем
r0
v0
(11.54)
p1 = , p2 =
c
c
⇒ k1 = 1, k2 = m1 = m2 = 0 (n1, n2 не используются)
В силу (11.28) матрица A невырожденна тогда и только тогда,
когда невырожденна матрица K
⇒ задача заключается в выборе векторов p1 , p2 , обеспечивающих
невырожденность матрицы (11.50).
çæ
µ ÷÷ö
Эллиптические и гиперболические орбиты ççççl ¹ 0, h ε ÷÷÷÷
çç
r0 ÷÷ø
è
В этом случае d1 = 1, d2 = 0 (см. п. 11.7). Примем
l
l ´c
p1 = , p2 =
l
lc
(11.52)
⇒ k1 = –c, k2 = m1 = m2 = 0 (n1, n2 не используются)
é0
ê
ê-h
ê
1 êê 0
-1
⇒ K =
ê
hc ê 0
ê
ê0
ê
êë 0
h
0
0
0
0
0 0
0 0
0 -1
1 0
0 0
0 0
0
0ùú
0úú
0úú
0úú
ú
cú
ú
-c 0úû
0
0
0
0
0
и (11.28), (11.31) дают
é
b4
1 ê-hb2 hb1
-1
A = ê
hc ê ha2 -ha1 -a4
ë
114
-b -cb6 cb5 ùú
ú a
ca6 -ca5 ú
û
(11.53)
é 0 -h 0 0 0 0ù
ê
ú
êh 0
ú
0
0
0
0
ê
ú
ê0 0
ú
0
1
0
0
1
ú
⇒ K -1 = êê
h ê 0 0 -1 0 0 0úú
ê
ú
0 0 0 1ú
ê0 0
ê
ú
0 0 -1 0úû
êë 0 0
и (11.28), (11.31) дают
1 éê hb2 -hb1 -b4 b -b6 b5 ùú
-1
(11.55)
A = ê
h êë-ha2 ha1
a4 -a a6 -a5 úûú
æç
µ ö÷÷
Параболические и околопараболические орбиты çççç h < ε ÷÷÷÷
çç
r0 ø÷÷
В этом случае d1 = 0, d2 = 1 (см. п. 11.7). Примем è
c
l ´c
(11.56)
p1 = , p2 =
c
l 2c
⇒ k1 = 0, k2 = 1, n1 = n2 = 0 (m1, m2 не используются)
é0 0 0 1
ê
ê 0 0 -1 0
ê
ê0 1 0 0
-1
⇒ K = êê
ê-1 0 0 0
ê
ê0 0 0 0
ê
êë 0 0 0 0
и (11.28), (11.31) дают
é-b
b
b
-1
4
2
A = êê
a
a
a
êë 4
2
0ùú
0úú
0 0úú
0 0úú
ú
0 1ú
ú
-1 0úû
0
0
b1 -b6 b5 ùú
-a1 a6 -a5 úúû
(11.57)
12. Оптимизация орбитальных маневров
12. Оптимизация орбитальных маневров
Задача оптимизации:
Найти управление u = u(t ) (t0 t t1 ) , обеспечивающее пере
ход из x0 в x1 и минимизирующее функционал (12.7)
12.1. Постановка общей задачи оптимизации
где
Уравнение движения:
x = f (x, u ),
(12.1)
x = x 0 , x1,..., x n
(12.2)
{
} Î X — вектор состояния,
u = {u ,..., u } ÎU — управление,
f = f (x, u ) = {f , f ,..., f } .
1
m
0
1
n
(12.3)
(12.4)
Предположим,
что
¶f
f , — непрерывные функции в X ´U ,
¶x
u = u(t ) — кусочно-непрерывная функция.
Пусть t0, t1 — начальный и конечный моменты времени и вектор
(12.5)
x (t0 ) = x0 = x00 , x10 ,..., x0n {
}
задан. Обозначим
x (t1 ) = x1 = x10 , x11,..., x1n {
}
(12.6)
( x1 не обязательно задан).
Будут рассмотрены следующие случаи:
1) t1 не задано (т. е. значение t1 также оптимизируется);
2) t1 задано.
Предположим, что минимизируется функционал (целевая
функция, критерий оптимальности)
t1
J = ò f 0 (x, u )dt .
(12.7)
t0
116
Рассмотрим векторную переменную
p = {p0 , p1,..., pn },
(12.9)
удовлетворяющую сопряженному уравнению в вариациях
T
T ¶f (x, u )
(12.10)
p = -p
;
¶x
p — вектор сопряженных переменных.
Если управление u = u (t ) выбрано, то существует решение
x = x(t ) уравнения (12.1) и матрица ¶f ¶x в (12.10) является известной функцией времени ⇒ существует решение уравнения
(12.10):
p = p(t ).
Определим гамильтониан
n
T
H = H (x, p, u )= p f = å pi f i (12.11)
i =0
⇒ в силу (12.1), (12.10)
T
æ ¶H öT
æ ¶H ö
x = çç ÷÷÷ , p = -çç ÷÷÷ çè ¶p ÷ø
çè ¶x ÷ø
(12.12)
Теорема 12.1 (принцип максимума Понтрягина). Пусть
uopt = uopt (t ) — оптимальное управление, переводящее x0 в x1 за
время t1 – t0. Тогда:
æ
ö
1°. H opt = H çççè x (t ), p (t ), uopt (t )÷÷÷ø = max
H (x, p, u );
u ÎU
Из (12.1), (12.2), (12.4)−(12.6) получим
J = x10 - x00 .
12.2. Принцип максимума Понтрягина
(12.8)
2°. Hopt = const для t0 ≤ t ≤ t1;
3°. Если t1 не задано, то Hopt = 0 для t0 ≤ t ≤ t1 и f0(t1) = 0;
4°. p0(t1) < 0.
117
12. Оптимизация орбитальных маневров
12. Оптимизация орбитальных маневров
Доказательство
1°. (только для заданного t1 и свободного x1 ). Рассмотрим бесконечно малый интервал времени τ – ε ≤ t ≤ τ (t0 < τ < t1, ε > 0 бес
конечно мало) и вариацию δu(t ) оптимального управления на
этом интервале:
ìï u (t ), если t t < τ - ε или τ < t t
ï opt
0
1
(12.13)
u (t )= í
ïï u (t ) + δu (t ), если τ - ε t τ
opt
ïî
( δu(t ) может иметь конечное значение). Обозначим вариацию
вектора x(t ) , вызванную вариацией δu(t ) , через
δx (t ) = x (t ) - xopt (t )
( δx(t ) для t < τ – ε).
(12.14)
δx (τ ) = éê x (τ ) - xopt (τ )ùú ε + o (ε).
ë
û
В силу (12.1)
æ
æ
ö
ö
(12.15)
δx (τ ) = éê f çèç x (τ ), u (τ )ø÷÷÷ - f çèçç xopt (τ ), uopt (τ )÷÷÷ø ùú ε + o (ε).
ë
û
Обозначим
æ
ö
fopt = f ççèç xopt (τ ), uopt (τ )÷÷÷ø
и рассмотрим некоторый момент времени t > τ:
¶f
x (t ) = xopt (t ) + δx (t ) = fopt + δx (t )
¶x opt
¶f
⇒ δx (t )= δx (t )
¶x opt
(уравнение в вариациях) ⇒ в силу (12.10, 12.16)
T ¶f T ¶f
d T
p δx = - p
δx + p
δx = 0
dt
¶x
¶x
T
T
T
⇒ p δx = const ⇒ p (t1 ) δx (t1 ) = p (τ ) δx (τ ).
Зададим
p 0 (t1 ) = -1 , p1 (t1 ) = ... = p n (t1 ) = 0 ⇒ с учетом (12.8) получим
118
T
p (t1 ) δx (t1 ) = -δx 0 (t1 ) = -δJ ;
(12.19)
T
δJ = J - J opt 0 Þ p (t1 ) δx (t1 ) 0 ⇒ в силу (12.17)
T
p (τ ) δx (τ ) 0 .
(12.20)
Соотношения (12.15), (12.20) дают (так как ε > 0)
æ
æ
T
T
ö
ö
p (τ ) f ççè x (τ ), u (τ )ø÷÷÷ p (τ ) f ççèç xopt (τ ), uopt (τ )ø÷÷÷
⇒ в силу (12.11)
ö
æ
ö
æ
H ççè x (τ ), p (τ ), u (τ )ø÷÷÷ H ççèç xopt (τ ), p (τ ), uopt (τ )ø÷÷÷ .
Так как τ — произвольное время, то для любого t
æ
ö
H opt = H çççè xopt (t ), p (t ), uopt (t )ø÷÷÷ = max
H (x, p, u )
u ÎU
⇒
¶H
¶u
u =uopt
=0 (12.21)
2°. Уравнения (12.12), (12.21) дают
H opt =
¶H opt ¶H opt ¶H opt
x +
p +
u =
¶x
¶p
¶u
T
T
¶H opt æç ¶H opt ö÷
¶H opt æç ¶H opt ö÷
=
çç ÷÷ - çç ÷÷÷ = 0
¶x çè ¶p ø÷÷
¶p èç ¶x ø÷
(12.16)
⇒
H opt = const 3°. Пусть время t1 не задано; предположим, что значение
t1 = topt (12.17)
обеспечивает min J
dJ
⇒
= f0 topt = 0 dt t =t
( )
(12.22)
(12.23)
(12.24)
opt
(12.18)
⇒ в силу (12.23), (12.24)
f0 (t1 ) = 0
119
12. Оптимизация орбитальных маневров
12. Оптимизация орбитальных маневров
Теперь задача сведена к задаче с заданным t1 ⇒ применимы полученные выше результаты ⇒ в силу (12.18)
( )
( )
H opt topt = - f0 topt = 0
x = x 0 ,..., x n , x n+1 , f = f 0 ,..., f n ,1
{
⇒ x = f (x, u )
H opt (t ) = 0
p 0 (t1 ) = -1 (12.25)
Частные случаи
1. f (x, u ) не зависит от x0
⇒ в силу (12.11), (12.12) p 0 (t )= 0 Þ p 0 (t ) º -1 (t0 t t1 )
n
H = - f 0 + å pi f i n
i =1
{
(12.27)
}
(12.28)
здесь X0, X1 — многообразия, задаваемые уравнениями
æ ö
æ ö
X 0 : g0 çççè xˆ0 ÷÷÷ø = 0 , X 1 : g1 çççè xˆ1 ø÷÷÷ = 0 ,
(12.29)
æ ö
m
g0 = g0 çççè xˆ0 ÷÷÷ø = g10 ,..., g0 0
{
},
æ ö
m
g1 = g1 çççè xˆ1 ø÷÷÷ = g11,..., g1 1
{
}.
(В силу (12.8) значение x00 должно быть задано и x10 определяется
из min J.)
Теорема 12.2 (условия трансверсальности). Если u(t ) — опти
мальное управление, переводящее объект из x̂0 в x̂1 при заданых
ограничениях (12.28), то p̂ (t0 ), p̂ (t1 ) ортогональны соответственно X0, X1.
Другими словами,
12.3. Неавтономная система
Пусть уравнение для x имеет вид
x = f (x, u, t )
æ i
ç ¶g
iç
ˆp (t )=
ç 0
c
å
0
0ç
çç ¶xˆ
i =1
çè
m0
æ i
m1
ç ¶g
iç
ˆp (t )=
c
å 1 ççç ¶xˆ1
1
çè
i =1 ç
(неавтономная система). Введем новую переменную
x n+1 = 1 , x n+1 (t0 )= t0 Þ x n+1 = t
и рассмотрим расширенные векторы x , f :
{
}
и обобщенные граничные условия
xˆ0 = xˆ (t0 ) Î X 0 , xˆ1 = xˆ (t1 ) Î X 1 ;
(12.26)
2. Задача наименьшего времени:
J = t1 - t0 Þ f 0 (x, u ) º 1
H = -1 + å pi f i Рассмотрим укороченные векторы
xˆ = x1,..., x n , pˆ = p1,..., pn
где
i =1
120
}
12.4. Условия трансверсальности
4°. p0(t1) < 0 в силу (12.18).
Замечание. Умножение p(t ) (и следовательно H) на произвольную постоянную c > 0 не меняет выводы теоремы 12.1 ⇒ ниже
можно принять
⇒
{
— автономная система ⇒ задача сведена к решенной выше.
⇒ в силу (12.22)
⇒
}
t0
t1
ö÷T æ
ç ¶g
÷÷
÷÷ = ççç 0
÷
çç ¶xˆ
è
ø÷÷
T
æ
÷÷ö
÷÷ = ççç ¶g1
÷÷
çç ¶xˆ
÷ø
èç
ö÷T
÷÷
÷÷ c0 ,
÷
t0 ø
T
÷÷ö
÷÷÷ c1,
t1 ÷
ø
(12.30)
где
121
12. Оптимизация орбитальных маневров
m
c0 = c10 ,..., c0 0
{
12. Оптимизация орбитальных маневров
Частные случаи
Определим индекс j = 0 или 1.
1. m j = 1 , т. е. j-е граничное условие является скалярным:
æ ö
g j çççè xˆ0 ÷÷÷ø = 0
} , c = {c ,..., c }
1
1
1
m1
1
— произвольные постоянные векторы
ö÷T
æ
çç ¶g1
÷÷
,
c
p
t
=ç
÷÷ 0 i ( 1 ) ç
çç ¶xi
÷÷
t0 ø
è
æ
ç ¶g
⇒ pi (t0 )= ççç 0
çç ¶xi
è
T
÷÷ö
÷÷ c (i = 1,..., n) .
÷÷ 1
t1 ÷
ø
(12.31)
(многообразие Xj является гиперповерхностью)
⇒ pˆ
Доказательство
В силу (12.17), (12.20)
pT δx 0
=0
x00
dx10
(j)
(12.32)
задано),
= 0 (так как значение
= dJ = 0
⇒ (12.32) выполняется также для укороченных векторов pˆ, xˆ , т. е.
(12.33)
pˆT (t0 ) d xˆ (t0 )= pˆT (t1 ) d xˆ (t1 ) = 0 .
Векторы
T
çæç ¶g 1 ö÷÷
çç
j ÷÷÷
çç ÷÷
ˆ ÷÷÷
ççç ¶x
èç
ø÷
T
çæç ¶g n ö÷÷
çç
j ÷÷÷
,..., ççç ÷÷÷
ˆ ÷÷
çç ¶x
èç
ø÷
ортогональны Xj в x̂ (j = 0, 1);
dxˆ Î T j , где Tj — касательная плоскость к Xj в x̂ (j = 0, 1);
æç
çç
çç g
çç j
è
ö
æç ˆ
çç x ¢ ÷÷÷ - g j
è ø
ö
æç ˆ
çç x ÷÷÷ =
è ø
÷÷ö
¶g j
÷÷
ˆ
dx = 0÷÷÷÷ .
ˆ
ø
¶x
çæç ¶g i
ç
j
cij çççç
ˆ
çç ¶x
i =1
çè
⇒ pˆ t j = å
()
122
ö÷T
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷
ø÷
æç
ç ¶g j
= çççç
ˆ
çç ¶x
è
ö÷T
÷÷
÷÷÷
÷÷
ø÷
c j (j = 0, 1).
j
т. е. многообразие Xj — точка (см. (12.5), (12.6))
⇒ p t j = AT c — произвольный вектор.
()
3. mj = m, 1 ≤ m < n и m координат заданы:
()
g ij = x i t j - x ij = 0 (i = 1,..., m)
¶g j
⇒
¶xˆ
tj
é1
0 0ùú
ê
ú
= êê
ú
ê0
1 0úúû
êë
()
()
p1 (t j ),..., pm (t j ) могут принимать любые значения и
pm+1 (t j )= ... = pn (t j )= 0 ⇒ в силу (12.31) pi t j = ci (i = 1,..., m) , pi t j = 0 (i = m +1,..., n)
⇒
Равенства (12.33) выполняются для любого dxˆ Î T j (j = 0, 1)
m0
.
где A — невырожденная n-матрица, b — некоторый n-вектор
⇒ xˆ t = A-1b = xˆ ,
J = J opt
T
⇒ p d x = 0 для бесконечно малой вариации dx = x ¢ - x
⇒ pT (t0 ) d x (t0 ) = pT (t1 ) d x (t1 ) = 0 ,
dx00
()
2. m j = n и
æ ö
g j çççè xˆ j ø÷÷÷ = Axˆ j - b = 0 ,
для любого t Î éët0 , t1 ùû ; также
¶J
¶x
T
æç
÷÷ö
çç ¶g
÷
÷
ç
÷
j
t j = c j çççç ÷÷÷÷
ˆ ÷÷÷
çç ¶x
t j ÷÷ø
ççè
(12.34)
4. Ограничения на j-м конце отсутствуют (т. е. mj = 0).
Если xˆ j не задан, то pˆ t j = 0
()
123
12. Оптимизация орбитальных маневров
12. Оптимизация орбитальных маневров
⇒ если x̂1 не задан, то (12.18) — необходимое условие оптимальности.
12.5. Принцип максимума для реактивного движения
Обозначим:
m = m(t) — текущая масса КА (t0 ≤ t ≤ t1);
m0 = m(t0), m1 = m(t1);
mp = mp(t) = m0 – m — масса топлива, израсходованная до t;
dm
m =
0;
dt
dm p
m p =
= -m 0 — расход топлива в единицу времени;
dt
u = const; — скорость истечения;
α = α(t ) , — вектор реактивного ускорения;
m p u
m p u
α= α =
=
m
m0 - m p
(см. (6.9)); α — управление, т. е. u º α .
Пусть
0 m p γ γu
(12.35)
(12.36)
t1
J = m p (t1 ) = ò m p dt t0
⇒ x (t ) = x 0 , x1,..., x 6
{
(12.39)
} = {m , r, v};
p
x 0 (t0 ) = m p (t0 ) = 0 , x 0 (t1 ) = m p (t1 ) = J .
Гамильтониан:
H = p 0 m p + pTr v + pTv fv + pTv α ,
p = p 0 , pr , pv .
{
Оптимальное направление тяги
В силу (12.41) max
H достигается при α ­­ pv
α
⇒ в силу (12.35)
m p u pv
,
α=
m pv
где pv = pv . Вектор pv — базис-вектор Лоудена.
⇒ pTv α = pv α
Уравнения движения:
r = v
(12.38)
v = fv + α
где fv = fv (r ) — ускорение, вызванное внешними силами (случай
fv = fv (r , v ) не рассматривается).
Для задачи двух тел
µ
fv = - r .
r
Зададим минимизируемый функционал следующим образом:
Соотношения (12.12), (12.41) дают
æ ¶f ÷öT
æ ¶H ÷öT
ç
ç
pr = -ç ÷÷ = -çç v ÷÷÷ pv ,
çè ¶r ÷ø
çè ¶r ÷ø
T
æ
ö
¶H
p v = -çç ÷÷÷ = - pr
èç ¶v ÷ø
124
.
(12.42)
Оптимальная тяга всегда направлена вдоль базис-вектора
⇒ H = p 0 m p + pTr v + pTv fv + pv α .
m0 - m p
(12.41)
}
(12.37)
⇒ 0α
(12.40)
T
æç ¶fv ÷÷ö
⇒ pv = çç ÷÷ pv çè ¶r ÷ø
r = r (t ) — непрерывная функция
(12.43)
(12.44)
(12.45)
125
12. Оптимизация орбитальных маневров
12. Оптимизация орбитальных маневров
¶fv (r )
⇒ fv (r ),
— непрерывные функции времени
¶r
⇒ в силу (12.45) pv , p v ,
pv - непрерывные функции времени
Для задачи двух тел
T
T
ö÷
¶fv æç ¶fv ÷ö
µ æçç r r
÷
ç
= ç ÷÷ = ç 2 - I ÷÷÷ = G ¶r çè ¶r ÷ø
r çèç r
ø÷
(12.46)
(см. (11.11))
⇒
pv = G pv где
(12.47)
Оптимальная величина тяги
Соотношения (12.35), (12.43) дают
H = κ m p + pTr v + pTv fv ,
κ = κ (t )= p 0 +
(12.48)
.
m
В силу (12.36), (12.48) max H достигается при
(12.49)
m p
(максимальная тяга),
κ < 0 Þ m p = 0
(нулевая тяга),
(12.50)
κ = 0 Þ 0 m p γ (промежуточная тяга)
126
p v u
m
-
æ
ö
d ççç pv u ÷÷÷÷
çç
÷÷ .
dt ççè m ÷÷ø
— первый интеграл задачи.
Если t1 не задано, то в силу теоремы 12.1 C = 0
⇒ κm p + pTv fv - pTv v = 0 (12.52)
(12.53)
(12.54)
Максимальная тяга: m p = -m = γ ; пусть γ = const.
Обозначим моменты времени начала и конца действия тяги
через tb, te (см. рис. 12.1),
получим
=
m
κ = κ(t) — функция переключения.
Согласно теореме 12.1, Hopt = C, где C — постоянная
⇒ из (12.44), (12.48) получим
κm p + pTv fv - pTv v = C 12.6. Максимальная и нулевая тяга
m = m0 - m p , m = -m p
pv u m p
¶H
m
d æç 1 ö÷÷
=
= - pv u
= - pv u çççç ÷÷÷÷ =
¶m p æç m - m ÷÷ö2
dt çèç m ø÷
m2
çèç 0
p ÷ø
p v u
— первый интеграл для свободного t1.
(рис. 12.1).
Из (12.12), (12.48) с учетом равенств
p 0 = -
⇒ (12.49) дает
κ =
pv u
κ > 0 Þ m p = γ
Р и с. 12.1
(12.51)
∆t = te - tb
— интервал времени действия максимальной тяги
⇒ me = mb - γ∆t ,
(12.55)
127
12. Оптимизация орбитальных маневров
12. Оптимизация орбитальных маневров
где mb = m(tb), me = m(te). Согласно (6.6), (12.55) изменение скорости КА находится по формуле Циолковского
∆v = u ln
mb
mb - γ∆t
(12.56)
Нулевая тяга: m p = m = 0 Þ m = const
⇒ из (12.52) и неравенства κ < 0 (см. (12.50)) получим
pv u
- c, c = const > 0 m
Рассмотрим задачу двух тел; в силу (12.10) вектор
pˆ = { p , p }
κ=
r
(12.57)
Р и с. 12.2
v
удовлетворяет сопряженному уравнению в вариациях для кеплеровского движения:
pˆT = - pˆT F ,
é0 I ù
ú
где F = êê
ú (см. (11.6), (11.9), (12.46)). Матрица A = A(t), опреG
0
ë
û
деленная в п. 11.5 и вычисленная в пп. 11.6−11.8, является фундаментальным решением сопряженного уравнения в вариациях для
кеплеровского движения
⇒ pˆ = AT β ,
где β — постоянный 6-мерный вектор
⇒ pr = P T β, pv = QT β (12.58)
Точка соединения соответствует max κ
⇒
κ = κ = 0, если t0 < ti < t1 t
(12.60)
⇒ в силу (12.52)
p v = 0 Þ pv × p v = 0, если t0 < ti < t1 (12.61)
Если ti = t0 или ti = t1, то может быть
κ ¹ 0
(рис. 12.3) и (12.61) не выполняется.
Предположим, что траектория включает только нулевую и импульсную тягу (рис. 12.4) и в первой точке соединения
pv = pm .
(12.62)
где P, Q — 6×3-матрицы, A = éë P Q ùû (см. п. 11.5).
12.7. Импульсная тяга
Пусть γ → ∞ ⇒ в силу (12.56) ∆t → 0 для заданного ∆v
— импульсная тяга (рис. 12.2).
Точка ti приложения импульсной тяги (см. рис. 12.2) называется точкой соединения;
κ = 0 для импульсной тяги.
128
(12.59)
Р и с. 12.3
Р и с. 12.4
129
13. Электрореактивная тяга
12. Оптимизация орбитальных маневров
Тогда в силу (12.57), (12.59)
u
(12.63)
(p - pm ) m v
для нулевой тяги ⇒ (12.62) выполняется во всех точках соединения:
κ=
pm = max pv
t0 t t1
⇒ κ = κ(t) задается соотношением (12.63) для всего интервала
t0 ≤ t ≤ t1.
13.1. Обозначения и используемые в главе соотношения
Обозначим:
t0, t1 — начальное и конечное время;
m = m(t) — текущая масса КА (t0 ≤ t ≤ t1);
m0 = m(t0), m1 = m(t1);
mp = mp(t) = m0 — m — масса рабочего тела, израсходованного к
моменту t;
dm
0;
dt
dm p
m p =
= -m 0 — расход рабочего тела в единицу времени;
dt
u — скорость истечения;
FT = m p u — реактивная тяга;
α = α(t ) — вектор реактивного ускорения;
m p u
m p u
F
;
α= α = T =
=
m
m
m0 - m p
W — электрическая мощность;
η — коэффициент полезного действия;
We = ηW — эффективная мощность.
Уравнения движения:
(13.1)
r = v , v = fv + α ,
где fv = fv (r ) — ускорение, вызванное внешними силами.
Минимизируемый функционал (целевая функция):
m =
t1
J = x (t1 ) = ò f 0 (r , v , α ) dt ® min .
0
(13.2)
t0
Гамильтониан задачи:
H = p 0 f 0 + pTr v + pTv fv + pTv α .
Если f = f 0 , v , fv + α не зависит от x0 = x0(t), то
H = - f 0 + pTr v + pTv fv + pTv α .
{
(13.3)
}
(13.4)
131
13. Электрореактивная тяга
13. Электрореактивная тяга
13.2. Общие сведения об электрореактивной тяге
13.3. Типы малой тяги
Электрореактивная тяга (ЭРТ), малая тяга: рабочее тело ионизируется и ускоряется в электростатическом или электромагнитном поле.
Типичные значения параметров жидкостных и электрореактивных двигателей космических аппаратов приведены в табл. 13.1.
Т а б л и ц а 13.1. Типичные параметры космических реактивных систем
Параметры
Жидкостно-реактивный
двигатель (ЖРД)
Электрореактивный
двигатель (ЭРД)
Скорость истечения, км/с
~3
15…70
Реактивное ускорение / ge
(ge = 9,8066 м/с2)
~ 0,1
10–5…10–4
ЖРД: импульсная тяга (работает в течение нескольких минут).
ЭРД: непрерывная тяга (может функционировать в течение
многих месяцев).
Эффективная мощность:
m p u2
.
2
Обычно We , u заданы
We = ηW =
⇒ m p = -m =
2We
FT = m p u =
α=
FT
m
=
u2
2We
u
2We
mu
,
(13.6)
,
(13.7)
.
Типичный пример:
ìïW = 1000 Вт
W = 2000 Втüïï
ïï e
ïï
ïïm = 5 мг с
η = 0,5
ïï
ý Þ ïíF = 0,1 Н
ïï T
m0 = 250 кг ïï
ïï
ïï
u = 20 км с ïïþ
ïïα = 4 ×10-4 м с2 » 4 ×10-5 ge
î
132
(13.5)
(13.8)
Управляемость тяги
1. Идеально регулируемая тяга ограниченной мощности (ИРТОМ).
Задано только ограничение на тягу:
0 We Wem .
Скорость истечения может изменяться произвольно:
0u<¥
⇒ в силу (13.8) ускорение может варьироваться произвольно:
0α <¥ .
Из (13.5)−(13.8) получим
We =
⇒ m p =
⇒
m p u2
2
2
æç
m u ö÷÷
ççç p ÷÷
÷÷
= çç
ç m ÷÷÷
çè
ø
m2
m2
= α2
2m p
2m p
m2 α 2 m2 α 2
2We
2Wem
(13.9)
максимальная тяга обеспечивает минимальный
расход рабочего тела
2. Тяга с постоянной скоростью истечения и ограниченным расходом рабочего тела (ПСИОР).
Задано ограничение Wem на эффективную мощность и
u = const
⇒ в силу (13.8) ускорение может варьироваться в пределах:
0α
2Wem
mu
,
0 m p = m γ º
2Wem
u2
.
(13.10)
Источник энергии
1. Солнечная энергия.
Используются солнечные батареи (солнечная электрореактивная тяга — СЭРТ):
133
13. Электрореактивная тяга
æç ÷ö2
çr ÷
We » We 0 ççç 0 ÷÷÷÷ ,
ç r ÷÷
çè ø
13. Электрореактивная тяга
(13.11)
где r — расстояние КА от Солнца, r 0 — начальное значение r,
We0 — We(r0).
2. Постоянная мощность.
Электрическую мощность приближенно можно считать постоянной в следующих случаях:
– СЭРТ в сфере действия планеты;
– ядерный источник энергии (ядерная электрореактивная
тяга — ЯЭРТ):
We ≈ const.
(13.12)
13.4. Оптимизация малой тяги
α
m
d
==
2
2We
dt
m
æç ö÷
1÷
ççç ÷÷
çç ÷÷÷
çè m ø
t1
2
1 α
1
1
Þ ò
dt = 2 t We
m1 m0
(13.13)
(13.14)
(13.15)
1. Постоянная мощность: можно принять
t1
J=
1
α 2 dt ® min 2 òt
0
134
t1
2
1
J = ò (r α ) dt ® min 2 t
⇒
α=
pv
(13.18)
0
r2
ПСИОР (u = const)
Воспользуемся результатами пп. 12.5, 12.6:
(13.19)
t1
J = ò m p dt ® min (13.20)
H = κ m p + pTr v + pTv fv + pTv α ,
(13.21)
где κ = κ(t) — функция переключения:
κ < 0 Þ m p = 0 (нулевая тяга),
Постоянная мощность. Из (13.10), (13.12) получим
γ = const .
Солнечная энергия. Из (13.10), (13.11) найдем
(13.23)
(13.24)
2
2We 0 æççç r0 ÷÷÷ö
.
(13.25)
u2 r
Все другие результаты пп. 12.5, 12.6 также могут быть применены в этом случае.
γ=
(13.16)
(13.22)
κ = 0 Þ 0 m p γ (промежуточная тяга)
где величина γ задана в (13.10). Оптимальная тяга:
m p u pv
α=
m pv
где pv — базис-вектор Лоудена, pv = pv .
0
Согласно (13.4), (13.14) гамильтониан принимает вид
α2
H =+ pTr v + pTv fv + pTv α ;
2We
¶H
αT
+ pTv = 0T
=¶α
We
⇒ оптимальная тяга:
α = We pv 2. Солнечная энергия: можно принять
κ > 0 Þ m p = γ (максимальная тяга),
⇒ в качестве целевой функции можно принять
t1
(13.17)
Гамильтониан:
0
1 α2
J= ò
dt ® min 2 t We
α = pv t0
ИРТОМ (0 ≤ u < ∞)
В силу (13.9) и равенства m = -m p
2
⇒
çç
ççè
÷÷
÷÷
÷ø
135
13. Электрореактивная тяга
13. Электрореактивная тяга
13.5. Локально-оптимальная тяга
ПСИОР. Согласно (13.23), (13.30)
m p u p
.
(13.32)
α=±
m p
В (13.31), (13.32) «+» и «−» соответствуют увеличению и уменьшению q, m p в (13.32) определяется из (13.22).
Рассмотрим параметр орбиты
q = q (r , v ),
(13.26)
который требуется изменить малой тягой, и обозначим
¶q
(13.27)
pT = .
¶v
Изменение скорости КА малой тягой за бесконечно малое время dt:
(13.28)
d v = α dt .
Следовательно, изменение q за время dt находится из соотношения
(13.29)
dq = pT α dt 13.6. Локально-оптимальная тяга для элементов орбиты
Обозначим:
r = {x, y, z } — радиус-вектор;
v = v x , v y , vz — вектор скорости;
{
2µ
— интеграл энергии;
r
c = r ´ v = cx , c y , cz — интеграл площадей;
c= c ;
0 c
c = — единичный вектор нормали к плоскости орбиты;
c
c2
— фокальный параметр;
p=
µ
vr , vn — радиальная и трансверсальная компоненты скорости;
v = vr + vn ;
u — аргумент широты;
Ω — долгота восходящего узла;
k = {cos Ω, sin Ω, 0} — единичный вектор линии узлов.
h = v2 -
ìïувеличение q максимально при α ­­ p,
⇒ ïí
ïïуменьшение q максимально при α ­¯ p
î
(локально-оптимальная тяга, см. также п. 6.4).
Локально-оптимальная тяга α направлена вдоль вектора (13.27)
в том же направлении, что и p , для увеличения параметра q, и в
противоположном направлении для уменьшения q
{
¶q
удовлетворяет сопряженному уравнению в
¶x
вариациях (см. п. 11.2)
⇒ ± εp = pv (13.30)
Производная
где ε = const > 0,
«+» для увеличения параметра q,
«–» для уменьшения параметра q,
pv — базис-вектор Лоудена, обеспечивающий локальный максимум гамильтониана (см. главу 12).
Рассмотрим движение в сфере действия планеты или ядерную
энергию ⇒ мощность постоянна.
ИРТОМ. Согласно (13.17), (13.30)
α = ±εp , ε > 0.
136
(13.31)
}
}
Большая полуось: a =
⇒
T
æ ¶a ö
2a2
p = çç ÷÷÷ =
v çè ¶v ÷ø
µ
1
2 v2
r µ
Период орбиты: P = 2π
(13.33)
a
2
µ
137
13. Электрореактивная тяга
13. Электрореактивная тяга
T
⇒
æç ¶P ÷÷ö
aP
p = çççç ÷÷÷÷ = v çèç ¶v ÷ø
µ
(13.34)
Эксцентриситет: e = 1 +
T
⇒
æ
c2
µ
2
h
ö
æç ¶e ÷÷ö
1 çç r 2 ÷÷
p = çççç ÷÷÷÷ = çççç pv - vn ÷÷÷÷÷ ççè ¶v ÷ø
µe ççè
a ø÷÷
T
r 2 vn - rπ2 v
æç ¶rπ ö÷
÷
p = çç ÷ =
µe
èç ¶v ø÷
⇒
⇒
Наклонение: cos i =
cx
¶Ω
1
= - {0, - z, y } + 2 {z, 0, - x } =
cy
cos Ω ¶v
cy
1
æç
ö÷
ç{0, - z, y } - tg Ω {z, 0, - x }ø÷÷
c cos Ω sin i è
¶Ω
1
{- z sin Ω, - z cos Ω, x sin Ω + y cos Ω}.
=
¶v c sin i
Умножим (13.41) на r , v с учетом (13.40):
(13.41)
¶Ω
1
(- xz sin Ω - yz cos Ω + xz sin Ω + yz cos Ω) = 0 ,
r=
¶v
c sin i
,
c
cz = xv y - yv x , c 2 = r ´ v × c = c ´ r × v
¶Ω
1
- zv x sin Ω - zv y cos Ω + xvz sin Ω + yvz cos Ω =
v=
¶v
c sin i
1
=
- c y sin Ω + cx cos Ω = 0
c sin i
(
(
(13.38)
¶i
¶i
¶i
sin i r = sin i v = 0 Þ направлена вдоль c
¶v
¶v
¶v
0
¶i
⇒ - sin i = ξ c .
¶v
Для нахождения ξ умножим (13.38) на c 0 с учетом (3.25) (см. главу 3):
1æ
r
ö
ξ = çççè- ycx0 + xc 0y ÷÷÷÷ø = éê-(sin Ω cos u + cos Ω sin u cos i ) sin Ω sin i c
cë
r cos u sin i
-(cos i cos Ω cos u - sin Ω sin u cos i ) cos Ω sin i ùú = û
c
138
,
2
⇒
cz
c T
¶i 1
⇒ - sin i = {- y, x, 0} - z (c ´ r ) .
¶v c
c
Умножим (13.38) на r , v :
cy
1
=
(13.36)
(13.37)
cx
cx = yvz - zv y = c sin Ω sin i , c y = zv x - xvz = - cos Ω sin i (13.40)
(13.35)
Радиус апоцентра: rα = a(1 + e)
T
rα2 v - r 2 vn
æç ¶rα ö÷
p = çç ÷÷ =
çè ¶v ø÷
µe
(13.39)
Долгота восходящего узла: tg Ω = -
Радиус перицентра: rπ = a(1 – e)
⇒
⇒
T
æç ¶i ÷ö
r cos u 0
p = ç ÷÷ =
c çè ¶v ÷ø
c
⇒
¶Ω
направлена вдоль c
¶v
⇒
0
¶Ω
= η c .
¶v
)
)
(13.42)
Для нахождения η умножим (13.41) на c 0 с учетом (3.25) (см. главу 3):
1 é
c 0 × k ´r
0
0
0ù
.
η=
-zcx sin Ω - zc y cos Ω + (x sin Ω + y cos Ω ) cz ú =
û
c sin i êë
c sin i
(13.43)
Вектор k ´ r ортогонален плоскости орбиты
139
13. Электрореактивная тяга
⇒ k ´ r = c 0 r sin u в силу определения c 0 и u (см. рис. 3.5)
⇒ соотношения (13.42), (13.43) дают
T
æç ¶Ω ÷ö
c 0 × k ´r 0
(13.44)
p = ç ÷÷ =
c çè ¶v ÷ø
c sin i
14. Ограничения на направление тяги
14.1. Вводные замечания
Оптимальное управление электрореактивной (малой) тягой
(ЭРТ) в общем случае требует сложного управления ориентацией
космического аппарата (КА) в режиме трехосной стабилизации.
В то же время солнечные батареи должны быть направлены на
Солнце в течение всего времени работы ЭРТ. Это ведет к усложнению конструкции КА и системы управления ориентацией.
Упрощение системы управления ориентацией и режима стабилизации КА может снизить стоимость миссии, однако накладывает ограничения на направление тяги. В данной главе рассматривается оптимизация перелетов с малой тягой при наличии ограничений на направление тяги.
14.2. Обозначения и используемые в главе соотношения
Обозначим:
m = m(t), m0 = m(t0) — текущая и начальная масса КА;
mp = mp(t) = m0 — m — масса рабочего тела, израсходованного к
моменту t;
dm
m =
0;
dt
dm p
m p =
= -m 0 — расход рабочего тела в единицу времени;
dt
u — скорость истечения;
We — эффективная мощность;
α = α (t ) — вектор реактивного ускорения,
m p u
,
(14.1)
α= α =
m
0 ìïïα α - единичный вектор направления ненулевой тяги;
α = í
ïï0
- для нулевой тяги
î
(14.2)
0
0
α m , α m , α m — оптимальные значения α , α , α;
pv — базис-вектор Лоудена.
141
14. Ограничения на направление тяги
14. Ограничения на направление тяги
Уравнения движения:
(14.3)
r = v , v = fv + α ,
где fv = fv (r , v ) — ускорение, вызванное внешними силами.
Минимизируемый функционал задачи:
t1
J = ò f 0 dt .
(14.4)
t0
Ограничение на величину тяги может быть записано в виде
(14.5)
αT α = α 2 ,
где α дается соотношением (14.1).
14.3. Общее ограничение типа равенства
Рассмотрим ограничение на направление тяги, заданное уравнением
æ ö
(14.6)
g = g çççè r , v , t, α 0 ø÷÷÷÷ = 0 .
Если g явно зависит от времени, целесообразно добавить уравнение
(14.7)
t = 1 ,
делающее систему автономной (см. главу 12)
⇒ согласно (14.3)–(14.7) гамильтониан системы равен
T
λ æ
ö
H = p0 f0 + pTr v + pTv fv + pTv α + α çççèαT α - α 2 ø÷÷÷÷ + λ g g + pt , (14.8)
2
где λα, λ g , pt — сопряженные переменные, соответствующие урав
нениям (14.5), (14.6), (14.7). Сопряженные переменные pt , pr , pv
в (14.8) удовлетворяют уравнениям
¶H
(14.9)
= -λTg g ,
¶t
¶f
¶f
¶H
¶H
pTr = - = - pTv v - ψTr , pTv = - = - pTr - pTv v - ψTv ,
¶r
¶r
¶v
¶v
(14.10)
pt = -
где
142
æç ÷öT
æç ÷öT
¶g ÷
ç ¶g ÷÷
ç
(14.11)
ψ r = çç ÷÷÷ λ g , ψ v = çççç ÷÷÷÷ λ g .
ççè ¶r ÷ø
ççè ¶v ÷ø
Значение α 0m вектора (14.2), доставляющее максимум (14.8):
ìïarg max pT α 0 , max pT α 0 > 0,
v
v
0 ïïï
g =0
g =0
α m = í
T 0
ïï0,
max
pv α £ 0
ïïî
g =0
pg 0
⇒ α 0m =
= pg ,
pg
(14.12)
(14.13)
где pg — проекция pv на множество, заданное (14.6) (см. Прило
жение Б), pg = pg ; если pg = 0 , то α 0m = 0 .
Предположим, что α 0m каким-то образом найдено, и рассмотрим матрицу
(14.14)
P = α 0m α 0T
m .
Согласно определению, данному в Приложении Б, матрица (14.14)
проецирует вектор pv на множество, заданное (14.6), т. е.
(14.15)
pg = P pv .
Пусть функция f0 такова, что
¶f0
T
= hα , h = h(r , v , t, α )
¶α
(14.16)
⇒ на оптимальном значении α = α m
ö÷T
÷÷
÷÷
÷
ø÷
0 0T ö T
1 æç
çç I - α m α m ÷÷÷÷G λ g = 0 ,
(14.17)
= p0 hα m + pv + λ α α m +
ø
αm è
¶g
где G = , I — единичная матрица. Умножая (14.17) слева на
¶α 0
матрицу (14.14), получим
pg
(14.18)
αm = λ α + p0 h
æç
çç ¶H
ççç
çè ¶α
143
14. Ограничения на направление тяги
14. Ограничения на направление тяги
⇒ согласно (14.13) λ α + p0 h < 0 . Подставляя (14.14), (14.15), (14.18)
в (14.17), найдем
0 0T ö æçç
1 T ÷÷ö
æç
çç I - α m α m ÷÷÷÷ çç pv + G λ g ÷÷÷ = 0 .
(14.19)
ç
è
ø çç
÷÷ø
α
è
Матрица I - α 0m α 0T
m проецирует любой вектор на плоскость, орто0
гональную α m ⇒ (14.19) возможно лишь при
1
(14.20)
pv + G T λ g = xα 0m ,
α
где x — неизвестный скалярный множитель.
Случай ИРТОМ (см. (13.13), (13.14)):
p0 = -1 , f0 =
2
α
2We
(14.21)
1
⇒ h=
в (14.17), (14.18).
We
В случае ИРТОМ величина тяги не ограничена ⇒ (14.5) не используется ⇒ λα = 0 в (14.16)–(14.18) ⇒ в силу (14.18)
(14.22)
α m = We p g Соотношения (14.14), (14.15), (14.22) дают оптимальную величину
тяги:
(14.23)
α m = We α 0T
m pg Импульсная тяга или случай ПСИОР (см. (13.20), (13.22)):
f0 = m p ,
(14.24)
(14.25)
0 m p γ , u = const ⇒ согласно (14.24) в этом случае также выполняется соотношение
(14.16) с h = 0.
Соотношение (14.13) дает оптимальный вектор тяги:
pg
(14.26)
αm = αm
pg
где αm находится из (14.1) при условиях (14.25).
Согласно (14.13)–(14.15), pTg α = pg α ⇒ гамильтониан равен
144
где
λ æ
ö
H = κ ¢m p + pTr v + pTv fv + α çççèαTm α m - α 2 ø÷÷÷÷ + λTg g + pt ,
2
κ ¢ = κ ¢ (t )= p0 +
(14.27)
pg u
.
(14.28)
m
Аналогично тому, как это было сделано в п. 12.5 для κ (см.
(12.52), можно показать, что
p g u
.
m
Согласно (14.25), (14.27) max H достигается, если
κ ¢ =
(14.29)
m p
κ ¢ > 0 Þ m p = γ (максимальная тяга),
κ ¢ < 0 Þ m p = 0 (нулевая тяга),
(14.30)
κ ¢ = 0 Þ 0 m p γ (промежуточная тяга)
⇒ κ¢ — функция переключения при наличии ограничений на направление тяги (см. п. 12.5).
Вывод: Сравнение (14.22) с (13.15) и (14.26), (14.28)–(14.30) с
(12.42), (12.49), (12.52), (12.50) показывает, что в оптимальном ре
шении pv заменяется на pg .
14.4. Общее ограничение типа неравенства
Рассмотрим ограничение на направление тяги, заданное неравенством
æ ö
(14.31)
g = g çççè r , v , t, α 0 ø÷÷÷÷ 0 .
Если заданы двусторонние ограничения, они могут быть сведены
к (14.31) разбиением каждого из них на два неравенства.
Пусть вектор g имеет размерность n, т. е.
g = { g1,..., g n }
⇒ (14.31) определяет пересечение множеств, заданных
ö
æ
gi = gi çççè r , v , t, α 0 ø÷÷÷÷ 0 (i = 1,..., n) .
(14.32)
Введем новое управление
145
14. Ограничения на направление тяги
14. Ограничения на направление тяги
ζ = {ζ1,..., ζ n }
и рассмотрим вектор
(14.33)
θ = {ζ12 ,..., ζ 2n } .
Неравенство (14.31) может быть заменено равенством
(14.34)
g -θ = 0 ⇒ гамильтониан принимает вид
æ ö
λ æ
ö
H = κ ¢m p + pTr v + pTv fv + α ççèçαTm α m - α 2 ø÷÷÷÷ + λTg ççè g - θø÷÷÷ + pt . (14.35)
2
Дополнительное необходимое условие максимума (14.35):
¶H T
=0 (14.36)
¶ζ
⇒ (14.35), (14.36) дают
⇒ на границе ограничение (14.31) может быть записано в виде
æ ö
(14.41)
g ¢ = g ¢ çççè r , v , t, α 0 ø÷÷÷÷ = 0 ,
æ ö
(14.42)
g ¢¢ = g ¢¢ çççè r , v , t, α 0 ø÷÷÷÷ > 0 ,
где g ¢ , g ¢¢ — некоторые k- и (n – k)-мерные подвекторы g .
Как показано выше, компоненты вектора λ g , соответствующие ограничениям (14.42), равны нулю
⇒ достаточно рассмотреть ограничения типа равенства (14.41),
для которого задача решена в п. 14.3.
Таким образом, в случае ограничений типа неравенства оптимальное направление тяги также дается (14.13), поскольку, если
выполняется (14.38), то pg = pv .
λ gi ζi = 0 (i = 1,..., n) ,
(14.37)
где λgi — компоненты вектора λ g .
Пусть для некоторого i (1 ≤ i ≤ n) выполняется строгое неравенство gi > 0
⇒ согласно (14.33), (14.34) ζi ≠ 0 ⇒ λgi = 0 в (14.37).
В соответствии с леммой Б.1 Приложения Б, для нахождения
0
α m необходимо проверить неравенство
æ ö
(14.38)
g çççè r , v , t, pv0 ø÷÷÷÷ 0 ,
где
pv
0
pv = .
pv
Если выполняется (14.38), то
α 0m = pv0 .
(14.39)
(14.40)
0
Если (14.38) не выполняется, то α m дается в (14.13) и принадлежит
границе множества, задаваемого неравенством (14.31). Эта граница определяется следующим образом:
k компонентов вектора g равны нулю (1 ≤ k ≤ n);
остальные n – k компонентов вектора g положительны
146
14.5. Алгоритм нахождения оптимального направления
тяги при ограничениях типа неравенства
На практике нахождение вектора g ¢ для заданного pv может
столкнуться с трудностями. Предположим, что для любой пары
gi , g j одновременное выполнение равенств
gi = 0 , g j = 0 (14.43)
0
возможно либо для конечного числа значений α , либо невоз
можно (такое предположение реалистично, поскольку α 0 определяется двумя независимыми скалярными переменными). Это
означает, что границы любой пары множеств, заданных (14.32),
либо пересекаются в конечном числе точек (рис. 14.1а), либо не
пересекаются (рис. 14.1б).
Согласно леммам Б.1 и Б.2 Приложения Б вектор α 0m либо задается (14.40) (если выполняется (14.38)), либо является единич
ным вектором проекции pv на одно из множеств, заданных (14.32)
(если k = 1), либо является решением уравнений (14.43) (если
k ≥ 2). Таким образом, вектор α 0m может быть найден с помощью
следующих шагов:
1°. Проверяется неравенство (14.38), и если оно выполняется,
0
то α m = pv0 .
147
14. Ограничения на направление тяги
14. Ограничения на направление тяги
3. Существует единственная (т. е. абсолютная) проекция pgj
вектора pv на каждое из множеств g j = 0 (j = 1, …, n). В этом случае
существует единственный вектор pgi0 , удовлетворяющий (14.44), и
α 0m = pg01 , или такого вектора не существует и α 0m — решение уравнений (14.43) (см. лемму Б.4 Приложения Б).
а
Р и с. 14.1
б
2°. Если (14.38) не выполняется, то определяются проекции
(1) (2)
pgi , pgi , … вектора pv на множества gi = 0 (i = 1, …, n) и для всех
(σ )
pgi ¹ 0 (σ = 1, 2, …), удовлетворяющих неравенству
æ (σ )0 ö÷
(14.44)
g çççç r , v , t, pgi ÷÷÷÷ 0 ,
ø÷
çè
оптимальное направление тяги задается следующим образом:
(σ )0
(14.45)
α 0m = arg max pTv pgi .
i,σ
(σ )
3°. Если ни один из векторов pgi ¹ 0 не удовлетворяет (14.44),
то для всех пар i, j = 1, …, n, i ≠ j находятся решения α 0σ (σ = 1, …, M)
уравнений (14.43) и
α 0m = arg max pTv α 0σ .
σ
(σ )
4°. Если все pgi = 0 (i = 1, …, n, σ = 1, 2, …) то α 0m = 0 .
Согласно результатам Приложения Б, предложенная процедура нахождения оптимального направления тяги может быть упрощена в следующих случаях:
1. n = 1, т. е. g = g1 — скаляр. В этом случае α 0m = pg01 , где pg1
— абсолютная проекция pv на множество g1 = 0.
2. Проекция pgi вектора pv на множество gi = 0 является аб
солютной и удовлетворяет (14.44). Тогда α 0m = pgi0 (см. лемму Б.3
Приложения Б).
148
14.6. Линейное ограничение типа равенства
Линейное ограничение типа равенства имеет вид
(14.46)
Bα 0 = c ,
где B = B (r , v , t ) — n×3-матрица, c = c (r , v , t ) — n-мерный вектор.
Уравнение (14.46) может быть записано в виде
(14.47)
biT α 0 = ci (i = 1,..., n) ,
T
где bi , ci — строки матрицы B и компоненты вектора c .
α 0 — единичный вектор ⇒ (14.47) возможно только при
ci bi .
Пусть rank B = n ≤ 3; рассмотрим разные значения n:
1) n = 1: (14.46) задает окружность на единичной сфере;
2) n = 2: (14.46) задает две точки на единичной сфере, являющиеся пересечениями двух окружностей;
3) n = 3: это возможно, только если B -1c — единичный вектор;
в этом случае (14.46) определяет точку на единичной сфере.
Рассмотрим n ≤ 2; равенство (14.20) принимает вид
1
(14.48)
pv + BT λ g = xα 0m .
α
Умножая (14.48) на матрицу B с учетом (14.46), получим
æ
ö-1
(14.49)
λ g = -α çççè BBT ø÷÷÷÷ (B pv - xc ).
Подставляя (14.49) в (14.48), найдем
æ
ö-1
P0 pv + xBT çççè BBT ø÷÷÷÷ c = xα 0m ,
(14.50)
где
149
14. Ограничения на направление тяги
æ
ö-1
P0 = I - BT çççè BBT ø÷÷÷÷
14. Ограничения на направление тяги
B .
(14.51)
Матрица (14.51) проецирует любой вектор на множество, ортогональное B (т. е. является проективной матрицей). Легко проверить, что
P0T = P02 = P0 , BP0 = P0 BT = 0 .
(14.52)
Возводя (14.50) в квадрат и используя (14.52) и равенство α 0 = 1 ,
получим
x =±
pTv P0 pv
æ
ö-1
1- c T çççè BBT ø÷÷÷÷ c
(14.58)
Соотношение (14.57) принимает вид
α 0m = p0 sin φ + b 0 cos φ ,
(14.59)
где cos φ = c1
b1 (рис. 14.2).
Р и с. 14.2
14.7. Линейное ограничение типа неравенства
.
(14.53)
Обозначим
p
p = P0 pv , p = p , p0 = .
p
(14.54)
Согласно (14.52), (14.54),
p = pTv P0 pv (14.55)
⇒ соотношения (14.50), (14.53)–(14.55) дают
æ
ö-1
æ
ö-1
(14.56)
α 0m = ± 1- c T ççèç BBT ø÷÷÷÷ c × p0 + BT ççèç BBT ø÷÷÷÷ c .
Знак в (14.56) выбирается из условия max pTv α 0 . Согласно (14.54),
(14.55), pTv p0 = p > 0 ⇒ с учетом (14.12) получим
æ
ö-1
æ
ö-1
α 0m = 1- c T ççèç BBT ø÷÷÷÷ c × p0 + BT ççèç BBT ø÷÷÷÷ c
(14.57)
если pTv α 0m > 0 и α 0m = 0 если pTv α 0m 0 .
Оптимальная величина тяги дается в (14.23) для случая ИРТОМ и в (14.1) с учетом (14.30) для случая ПСИОР.
Рассмотрим случай n = 1 (т. е. B — строка b1T и c — скаляр c1).
Тогда α принадлежит поверхности кругового конуса с осью,
направленной вдоль вектора b1 sgn c1 . Обозначим b 0 = b1 b1
150
⇒ в силу (14.51), (14.54)
ö
æ ö
æ
p = çççè I - b 0 b 0T ø÷÷÷÷ pv = b 0 ´èççç pv ´ b 0 ø÷÷÷÷ .
Линейное ограничение типа неравенства имеет вид
(14.60)
Bα 0 c ,
где B = B (r , v , t ) — n×3-матрица,
c = c (r , v , t ) — n-мерный вектор.
Неравенство (14.60) может быть
записано в виде
biT α 0 ci (i = 1,..., n) , (14.61)
где biT , ci — строки матрицы B и
компоненты вектора c .
Каждое из неравенств (14.61)
Р и с. 14.3
задает сегмент единичной сферы
и (14.60) определяет пересечение
этих сегментов (рис. 14.3).
Определим
éb ù
éc ù
0 bi
ê
(14.62)
bi = , Bij = ê i úú , cij = êê i úú ,
bi
êë b j úû
êë c j úû
0 æ 0 ö 0
pi
÷
ç
÷
(14.63)
pi = bi ´ççè pv ´ bi ø÷÷ , pi = ,
pi
pij
-1
0
T æç
T ö÷
(14.64)
Pij = I - Bij ççè Bij Bij ø÷÷÷ Bij , pij = Pij pv , pij = ,
pij
151
14. Ограничения на направление тяги
14. Ограничения на направление тяги
где i, j = 1, …, n. Если вектор pv неколлинеарен ни одному из век
торов bi , то вектор α 0m может быть найден с помощью алгоритма,
описанного в п. 14.5, где pgi достигается на векторе
c
(14.65)
α i0 = pi0 sin φi + bi0 cos φi , cos φi = i ,
bi
(14.69)
Bα 0 ,
где B = B (r , v , t ) — n×3-матрица. Неравенство
(14.69) задает пересечение полупространств,
каждое из которых определяется неравенством
(14.70)
biT α 0 (i = 1,..., n) ,
T
где bi — строки матрицы B (рис. 14.4).
Р и с. 14.4
Согласно алгоритму, описанному в п. 14.5,
оптимальное направление тяги α 0m дается одним
из векторов pi0 или pij0 (i, j = 1, …, n), заданных (14.63), (14.64); pij0
также является решением уравнений (14.43). Для любого i = 1, …, n
существует единственный вектор pi0 ⇒ согласно лемме Б.4 При
ложения Б, если ∃ i: Bpi0 0 , то α 0m = pi0 .
и решение уравнений (14.43) дается соотношением
æ
ö-1
æ
ö-1
α ij0 = 1- cijT çççè Bij BijT ø÷÷÷÷ cij × pij0 + BijT çççè Bij BijT ø÷÷÷÷ cij ,
(14.66)
где i, j = 1, …, n.
14.8. Линейное однородное ограничение типа равенства
Линейное однородное ограничение типа равенства имеет вид
(14.67)
Bα = 0 ,
0
где B = B (r , v , t ) — n×3-матрица. Единичный вектор α заменен
на α в (14.67) для удобства. Возможны два случая:
1) rank B = 1 ⇒ (14.67) определяет плоскость;
2) rank B = 2 ⇒ (14.67) определяет прямую линию, т. е. направление тяги задано и требуется найти
только величину тяги.
В рассматриваемом случае c = 0 в (14.46) ⇒ (14.57) принимает
вид
α 0m = p0
⇒ согласно (14.13) p = pg ⇒ согласно (14.15), (14.54) P = P0, т. е. с
учетом (14.51) матрица P в (14.15) дается соотношением
P =I
æ
- BT çççè BBT
ö÷-1
÷
B
ø÷÷
(14.68)
Матрица (14.68) проецирует любой вектор на множество, определяемое (14.67), т. е. является проективной матрицей.
В общем случае матрица (14.68) не может быть представлена в
виде (14.14).
14.9. Линейное однородное ограничение типа неравенства
Линейное однородное ограничение типа неравенства может
быть представлено в виде
152
Вывод. При ограничениях (14.69) оптимальная тяга направле
на вдоль pv (если Bpv 0 ) или ортогональна одному из векторов
bi или двум векторам bi , b j или равна нулю (если pTv α 0 для лю
бого α , удовлетворяющего (14.69)).
14.10. Матрицы B, P0 и P для линейного ограничения
типа равенства
Матрица BBT в (14.51), (14.68) вырожденна, если R = rank B < n.
Рассмотрим матрицы B, P0, P для двух значений R:
1. R = 1 ⇒ для любого n матрица B может быть заменена матрицей
(14.71)
B = b T ,
T
где b — любая ненулевая строка исходной матрицы B
æ
ö-1
⇒ çççè BBT ø÷÷÷÷
= 1 b2 , b = b ⇒ (14.51), (14.68) дают
P0 = P = I -
bb T
b2
.
(14.72)
2. R = 2; если n = 2, то
153
14. Ограничения на направление тяги
é bT ù
(14.73)
B = êê 1 úú ,
êë b2T úû
где b1 , b2 — линейно независимые векторы. Если n > 2, то матрица
B может быть сведена к виду (14.73), матрица BBT невырожденна и
P0, P задаются в (14.51), (14.68).
Однако матрица P может быть упрощена следующим образом:
если выполняются (14.67), (14.73), то α 0m = b b , где b = b1 ´ b2 ,
b = b ⇒ согласно (14.14)
bb T
.
(14.74)
P=
b2
Заметим, что матрица (14.73) может быть заменена матрицей
bb T
.
(14.75)
B=I b2
Таким образом, все линейные однородные ограничения типа
равенства на направление тяги сводятся к двум случаям:
1) тяга ортогональна заданному вектору b = b (r , v , t ) , и в этом
случае матрицы B и P даются в (14.71), (14.72);
2) тяга направлена вдоль заданного вектора b = b (r , v , t ) ; тогда
матрицы B и P даются в (14.73) или (14.75), (14.74).
14.11. Объединения множеств и смешанные ограничения
Объединения множеств
Все рассмотренные ограничения (14.6), (14.31), (14.46), (14.60),
(14.67), (14.69) определяют пересечение множеств. Однако полученные результаты могут быть применены также к объединениям
множеств A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An.
Рассмотрим пример: ограничение дано неравенством
(14.76)
b T α 0 c или -b T α 0 c ,
где c > 0 (ограничение (14.76) соответствует, например, случаю двух
противоположно направленных двигателей на борту КА). В этом
случае вектор тяги лежит внутри кругового конуса, показанного на
рис. 14.5а; рис. 14.5б показывает этот случай схематически.
154
14. Ограничения на направление тяги
Согласно (14.59)
α 0m = p0 sin φ ± b 0 cos φ . (14.77)
Для оптимальности знак в (14.77)
должен быть равен знаку pTv b .
Смешанные ограничения
Полученные результаты могут
быть обобщены также на смешанные ограничения типа равенства и
неравенства.
Рассмотрим пример: ограничения
b1T α 0 = c1 и b2T α 0 c2 Р и с. 14.6
а
б
Р и с. 14.5
(14.78)
(рис. 14.6). В этом случае оптимальное направление тяги является либо проекци
ей на множество b1T α 0 = c1 (т. е. дается в
(14.65) с i = 1), либо одной из точек пересе
чения множеств b1T α 0 = c1 , b2T α 0 = c2 (т. е.
дается в (14.66) с i = 1, j = 2).
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
15.1. Постановка задачи и обозначения
Рассматривается перелет с электрореактивной тягой между
двумя заданными положениями в пространстве за заданное время.
Предполагается, что движение происходит в рамках задачи двух
тел и тяга является идеально регулируемой ограниченной мощности (ИРТОМ, см. главу 13).
Задача заключается в нахождении вектора тяги как функции
времени, минимизирующего расход рабочего тела.
Обозначим:
µ — гравитационный параметр притягивающего центра;
t — текущее время;
t0, t1 — моменты времени начала и конца перелета;
T = t – t0, T1 = t1 – t0;
r , v — радиус-вектор и вектор скорости,
r0 = r (t0 ), v0 = v (t0 ),
r= r , v= v ,
r0 = r (t0 ), v0 = v (t0 );
x = {r , v } — вектор состояния;
r ×v
— радиальная скорость,
r =
r
r0 = r (t0 );
φ = φ(t) — угловая дальность, включающая полные обороты,
r0 × r1
;
cos φ =
r0 r1
a — большая полуось;
e — эксцентриситет;
æ
ö
p = a çççè1- e 2 ø÷÷÷÷ — фокальный параметр;
2µ
— интеграл энергии;
h = v2 r
c = r ´ v — угловой момент (интеграл площадей);
156
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
r
l = -µ + v ´ c — интеграл Лапласа;
r
c = c = µ p , l = l = µe ;
α = α (t ) — вектор реактивного ускорения (вектор тяги),
α 0 = α (t0 ),
α= α ;
We — эффективная мощность тяги (см. п. 13.1);
m = m(t) — масса космического аппарата (КА),
m0 = m(t0), m1 = m(t1);
mp = m0 – m — масса рабочего тела;
I — единичная матрица 3-го порядка.
15.2. Формализация задачи
Уравнение движения КА:
x = f (x ) + g ,
ïì µ ïü
f (x )= ïív , - r ïý , g = {0, α} .
ïîï
r ïþï
Предположим, что заданы граничные условия:
x (t0 ) = x0 , x (t1 ) = x1 (15.1)
(15.2)
(15.3)
(случаи частично заданных граничных условий рассмотрены в
п. 15.7).
Рассмотрим невозмущенное кеплеровское движение, описываемое уравнением
(15.4)
y = f (y ).
Пусть y = y (t ) — решение уравнения (15.4) с заданными граничными условиями
(15.5)
y (t0 ) = y0 , y (t1 ) = y1 .
Заметим, что если координаты в векторах состояния y0 , y1 заданы, то скорости могут быть найдены путем решения задачи Ламберта (см. главу 7).
157
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
Представим решение уравнения (15.1) с граничными условиями (15.3) в виде
(15.6)
x = y+ξ и предположим, что условия (15.5) обеспечивают
(15.7)
ξ y (условие (15.7) может быть реализуемо в силу малости тяги). Линеа­
ризуя уравнение (15.1) для ξ , получим
(15.8)
ξ = F ξ + g ,
æç T
ö÷
¶f é 0 I ùú
µ ç rr
÷÷
, G = çççç
(15.9)
F = = êê
- I ÷÷÷÷ .
ú
2
¶x ëG 0 û
÷÷
r çççè r
ø÷
Граничные условия для ξ :
(15.10)
ξ (t0 ) = x0 - y0 = ξ 0 , ξ (t1 ) = x1 - y1 = ξ1 .
Кеплеровская орбита, заданная вектором y = y(t ) , называется
опорной орбитой или транспортирующей траекторией. Матрицы
(15.9) вычисляются на этой орбите.
Целевая функция для случая ИРТОМ записывается в виде
t1
J=
2
1 α
dt 2 ò We
(15.11)
t0
(см. п. 13.4) ⇒ используя (13.13), получим
W e 0
J
m1 =
m0 , m p =
m ,
J + We 0
J +W e 0 0
W e 0 =
We 0
, We 0 = We (t0 ).
(15.12)
m0
Заметим, что уравнение (15.8) является неавтономным, так как
матрица F зависит от времени. Поэтому гамильтониан линеаризованной задачи имеет вид
α2
(15.13)
H =+ pT F ξ + pTv α + pt ,
2We
где
158
p = {pr , pv }
(15.14)
– вектор сопряженных переменных, pv — базис-вектор Лоудена
(см. главы 12, 13), pt — сопряженная переменная для дополнительного уравнения t = 1 , делающего систему автономной.
15.3. Решение линеаризованной задачи
Решение уравнения (15.8) дается формулой Коши:
t
ξ (t )= Φ (t, t0 )ξ 0 + ò Φ (t, τ ) g d τ ,
(15.15)
t0
где Φ — матрица изохронных производных, которая может быть
представлена в виде
Φ (t, t0 )= A-1 A0 ,
(15.16)
и матрица A = A (t ) является общим решением сопряженного
уравнения в вариациях:
(15.17)
A = - AF , A (t0 )= A0 (см. главу 11). Матрица A дается соотношениями (11.31), (11.33),
где r , v — компоненты вектора y (т. е. вычисляются на опорной
орбите), матрица A–1 вычисляется в п. 11.9.
Как и в п. 11.5, разделим A на две 6×3-подматрицы:
(15.18)
A = éë P Q ùû .
Согласно (15.2), (15.16), (15.18), соотношение (15.15) принимает
вид
ξ (t )= A-1 A0 ξ 0 + A-1
t
ò Qα d τ .
(15.19)
t0
Сопряженные переменные в (15.13) удовлетворяют уравнению
¶H
pT = - = -pT F ¶x
⇒ так как A — общее решение уравнения (15.20), то
p = AT β ,
(15.20)
159
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
где β — постоянный вектор ⇒ согласно (15.14), (15.18)
pv = QT β .
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
(15.21)
Оптимальная тяга доставляет максимум функции (15.13) ⇒
¶H T
=0
¶α
⇒ α = We pv = WeQT β (15.22)
(см. также главу 13). Определим
∆ = A1ξ1 - A0 ξ 0 ,
S = S (t0 , t )=
t
ò WeQQ
T
d τ , S1 = S (t0 , t1 ),
(15.23)
(15.24)
t0
где A1 = A(t1) ⇒ согласно (15.22)–(15.24) соотношение (15.19) для
t = t1 принимает вид
∆ = S1β
⇒ β = S1-1∆ (15.25)
⇒ согласно (15.22)
α = WeQT S1-1∆ (15.26)
Подставляя (15.26) в (15.11) с учетом соотношений α 2 = αT α и
(15.24), получим
1
(15.27)
J = ∆T S1-1∆ 2
Из (15.19), (15.24), (15.26) найдем вектор ξ = ξ (t ):
ö
æ
ξ = A-1 çççè A0 ξ 0 + SS1-1∆ ø÷÷÷÷ (15.28)
Тогда вектор x = x (t ) может быть найден из (15.6).
æ
B11 = -
ö
÷÷
1
p ççç r 2
÷÷
çç
÷÷ , B = B = 2
r
+
p
12
21
÷÷
2 çç a
e2
e çè
ø÷
2
B22 =
(r - p)
e2
, B =
æ
c 2 ççç r 2
çç
ç
e 2 ççè a2
p
(r - p) rr ,
µ
ö
p
p ÷÷
+ 2 - ÷÷÷÷÷ ,
r
a ø÷÷
ö
c æççç r + p
c 2 æç 1 1 ÷÷ö
÷÷
r - 2 p÷÷÷÷ r , B5 = B5 = -2 çççç - ÷÷÷÷ ,
çç
÷ø
e ççè r a ÷ø
e 2 ççè a
æç
pé
1 1 ÷÷ö ù
B6 = B6 = -2 êê rr - µ çççç - ÷÷÷÷T úú ,
ççè r
eë
a ÷ø û
ù
c
µ ér2
p2 æ
ö
B44 = - êê - 2e 2 r + 2 - çççè + e 2 ø÷÷÷÷ púú , B45 = B54 = 2 r ,
2 a
e
r
e êë
úû
c
), B55 = v 2 , B56 = B65 = 2rr - v 2T ,
B46 = B64 = 2 (r - p - rT
e
+ 9v 2T 2 .
(15.31)
B66 = 4 r 2 -12rrT
B4 = B4 =
t
Обозначим
160
éB
0
0
0
0 ùú
ê 11 B12
êB
0
0
0
0 úú
ê 21 B22
ê 0
0 B B4 B5 B6 úú
.
(15.30)
B = êê
0 B4 B44 B45 B46 úú
ê 0
ê
ú
0 B5 B54 B55 B56 ú
ê 0
ê
ú
0 B6 B64 B65 B66 úû
êë 0
Используем векторы p1 , p2 в (11.33) данные соотношением
(11.52). Тогда ненулевые компоненты матрицы B равны:
Рассмотрим интеграл
15.4. Вычисление матрицы S
B = QQT ⇒ согласно (11.31) (см. главу 11)
Bij = biT b j (i, j = 1,..., 6) ,
где векторы bi даны в (11.33), (11.39)–(11.41). Матрица B имеет вид
(15.29)
Rn = ò r n dt
t0
161
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
(см. также п. 11.8). Можно показать, что
æ
R- =
æ
ö
r - r0 ÷÷÷
φ
T rr - r0 r0
1 ççç
÷÷ , R
çç R
, R-1 = +
, R0 = T ,
÷
-2 =
-2 +
ç
÷
c
a
µ
p çè
µ ø÷
r n+1r - r0n+1r0 ùú
a éê
2
n
+
1
R
npR
(
)
ê
ú , n = 1, 2, ... (15.32)
n-1
n-2
n +1 ê
µ
úû
ë
Также рассмотрим интегралы
Rn =
t
In = ò
t0
ìï r n+1 - r n+1
ïï
0
ïï n +1 , n = 0,1, ± 2, ± ,...,
n
r rdt = í
ïï r
n = -1.
ïïln ,
ïïî r0
t
t
t
t0
t0
t0
K1 = ò φdt , K 2 = ò φT dt , K = ò ln
(15.33)
k1 =
p
,
æç
R ÷÷ö
ç
k 2 = µ ççç2R- - -2 ÷÷÷÷ ,
çç
a ÷÷ø
è
r
dt r0
k =
(15.34)
µ
p
æç
2ö
ç1 + e ÷÷÷÷ .
ø
/2 çè
(15.35)
Определим матрицу
S
.
S =
We 0
(15.36)
Постоянная мощность
Рассмотрим постоянную мощность:
We ≡ We 0 .
(15.37)
Ненулевые компоненты матрицы (15.36) могут быть найдены из
(15.24), (15.29), (15.31), (15.37):
æ
ö
÷÷
1
p çç R
S11 = - ççç 2 - 2R1 + pT ÷÷÷÷ , S12 = S21 = 2ç a
÷
e2
e çè
ø÷
p
(I - pI1 ),
µ 2
÷÷
p çç R
c 2 çç R
p ÷÷
S22 = ççç 2 - 2R1 + pT ÷÷÷÷ , S = ççç 2 + 2 pR-1 - T ÷÷÷÷ ,
÷÷
a ÷÷ø
e 2 ççè p
e 2 ççè a2
ø
æ
162
ö
æ
p
c 2 æç
T ÷÷ö
),
S5 = S5 = -2 çççç R-1 - ÷÷÷÷ , S6 = S6 = -2 (4I1 - rrT
e
e ççè
a ÷ø
ù
µ éR
æ
ö
S44 = - êê 2 - 2e 2 R1 + 2 p2 R-1 - çççè + e 2 ø÷÷÷÷ pT úú ,
e 2 êë a
úû
c
c
S45 = S54 = 2 I 0 , S46 = S64 = 2 éê4 R1 - (r + p)T ùú ,
û
e
eë
µ
µT 2
,
S55 = 2µR-1 - T , S56 = S65 = 8I1 - 6rrT
a
2 a
и зададим параметры
I 0 - r0T
ö
÷÷
c çç I + pI1
S4 = S4 = ççç 2
- 2 pI 0 ÷÷÷÷ ,
2ç
÷
a
e çè
ø÷
ö
µT
2 - 24 r 2T .
S66 = 28R2 + +18rrT
a
(15.38)
Солнечная энергия
Рассмотрим солнечную энергию с эффективной мощностью
æç ÷ö2
çr ÷
We = We 0 ççç 0 ÷÷÷÷ ç r ÷÷
çè ø
(15.39)
(см. также п. 13.3). Ненулевые компоненты матрицы (15.36) могут
быть найдены из (15.24), (15.29), (15.31), (15.39):
÷÷ö
p æçT
1
S11 = - çççç - 2R-1 + pR-2 ÷÷÷÷ r02 , S 12= S21 = 2 çç a
÷
ø
e è
e2
p
(I - pI -1 )r02 ,
µ 0
ö÷
ö
p æçT
c 2 æç T
p
÷
÷÷
S22 = çççç - 2 R-1 + pR-2 ÷÷÷÷ r02 , S = çççç + 2 pR- - R-2 ÷÷÷÷ r02 ,
÷ø
a
ø÷
e 2 ççè p
e 2 ççè a2
æ
ö÷
÷
c çç I + pI -1
S4 = S4 = ççç 0
- 2 pI -2 ÷÷÷÷ r02 ,
2ç
÷
a
e çè
ø÷
2 æç
÷ö
R ÷
c ç
S5 = S5 = -2 ççç R- - -2 ÷÷÷÷ r02 ,
e ççè
a ÷÷ø
æç
I
R ÷÷ö
µ 2 ùú 2
pé
ç
S6 = S6 = -6 êê k1 + -1 - ççç R- - -2 ÷÷÷÷ µT +
e K1 ú r0 ,
/2
eê
ççè
a ÷÷ø
p
úû
ë
163
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
éT
ù
ê + 2 p2 R- - æççç + e 2 ö÷÷÷÷ pR-2 - 2e 2 R-1 ú r02 ,
è
ø
êa
ú
ë
û
æç
ö÷
c
c
T
÷
S45 = S54 = 2 I -2 r02 , S46 = S64 = 2 çççç - pR-2 - 2R-1 ÷÷÷÷ r02 ,
e
e çèç r
ø÷
µ
S44 = e2
S55 = k2 r02 , S56 = S65 = éë6k1 + 2I -1 - k2T + k K1 ùû r02 ,
æç
ö
é æç
ù
÷÷ö
R
÷÷
r
ç r
S66 = êê 4 çççç1- 9 - I -1 ÷÷÷÷T + 9 ççç2 0 + k2 ÷÷÷÷T 2 + 6 1 -18k K 2 + 12K úú r02 .
ç p
÷÷
÷ø
çç
p
p
çè
ø
ëê è
ûú
(15.40)
15.5. Свойства решения линеаризованной задачи
Теорема 15.1. Матрица (15.29) вырожденна, тем не менее матрица S = S(t, t + Δt) является невырожденной для любых значений
t и ∆t > 0.
Доказательство
Подматрица Q является 6×3-матрицей ⇒ rank QQT = 3 ⇒ матрица (15.29) вырожденна.
Допустим, что матрица S вырожденна ⇒ ∃ вектор s : S s = 0
⇒ sT S s =
t +∆t
ò
We s T QQT s dt = 0 .
t
С другой стороны, We > 0 и s T QQT s — неотрицательная непре
рывная функция времени ⇒ QT s º 0 на интервале ∆t
d çæ T ö÷ T
çQ s ÷÷÷ = Q s º 0 .
⇒
ø
dt çè
Соотношения (15.17), (15.9), (15.18) дают Q = -P ⇒ P T s = 0
⇒ AT s = 0 , что невозможно, так как матрица A невырожденна.
Это противоречие доказывает, что S — невырожденная матри
ца и для "s : s T S s > 0 ⇒ S является положительно определенной.
Следовательно, обращение S в (15.25)–(15.28) всегда возможно.
Теорема 15.2. 1°. Оптимальная тяга может обращаться в нуль
только в изолированных точках и в этих точках тяга меняет на164
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
правление на противоположное, т. е. эти точки являются точками
переключения.
2°. Если r rmin > 0 , то число точек переключения конечно.
Доказательство (только для 1°)
Допустим, что α = 0 на интервале ∆t > 0 ⇒ согласно (15.22)
pv = 0 на ∆t ⇒ p v = 0 на ∆t ⇒ соотношения (15.21), (15.17), (15.9),
(15.18) дают QT β = 0 , Q T β = -P β = 0 ⇒ AT β = 0 на ∆t, что невоз-
можно в силу невырожденности A ⇒ тяга может обращаться в нуль
только в изолированных точках.
Так как pv = p v = 0 невозможно, то p v ¹ 0 при pv = 0
⇒ точки нулевой тяги являются точками переключения.
15.6. Замечание о концевых смещениях опорной орбиты
Представим граничные векторы в виде
(15.41)
ξ = ρ 0 , η0 , ξ = ρ 1, η1 ,
0
1
где подвекторы ρ , η соответствуют координатам и скоростям. Координаты КА в граничных условиях могут быть одинаковыми для
траектории перелета и для опорной орбиты (транспортирующей
траектории) (т. е. в (15.3) и в (15.5)) ⇒ в этом случае
(15.42)
ρ0 = ρ1 = 0 {
}
{
}
(рис. 15.1) ⇒ вектор граничных условий (15.23) принимает вид
(15.43)
∆ = Q1η1 - Q0 η0 .
Р и с. 15.1
Р и с. 15.2
165
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
Однако может оказаться целесообразным выбирать ненулевые
векторы ρ0 , ρ1 , минимизирующие max ξ ( ξ = ξ(t ) дается в
где λ — неопределенный множитель ⇒ соотношения (15.26),
(15.23), (15.50) дают
ö
æ
ö-1
æ
(15.51)
v¥ = ççèç λI + Q0T S1-1Q0 ø÷÷÷÷ Q0T S1-1 ççè A1ξ1 - P0ρ0 - Q0 η0¢ ø÷÷÷ ,
t0 t t1
(15.28)) с целью повышения точности линеаризации (рис. 15.2).
множитель λ может быть найден из (15.49) после подстановки туда
(15.51).
15.7. Частично заданные граничные условия
Рассмотрим два примера частично заданных граничных условий:
1. Целью полета является пролет небесного тела с произвольной скоростью пролета
В этом случае ρ 0 , η0 , ρ 1 в (15.41) заданы и η1 может принимать любое значение ⇒ условие трансверсальности имеет вид
(15.44)
α1 = α (t1 )= 0 (см. п. 12.4) ⇒ соотношения (15.26), (15.23), (15.44) дают
æ
ö
ö-1
æ
η1 = ççèçQ1T S1-1Q1 ÷÷÷÷ø Q1T S1-1 ççè A0 ξ 0 - P1ρ1 ø÷÷÷ .
(15.45)
Если выполняется (15.42), то (15.45) принимает вид
æ
ö-1
η1 = çççèQ1T S1-1Q1 ÷÷÷÷ø Q1T S1-1Q0 η0 .
(15.46)
2. Энергия запуска задана, а направление запуска может выбираться произвольно
Рассмотрим запуск с Земли с заданной орбитальной энергией,
2
равной на бесконечности C = v¥
(см. п. 8.3), и произвольным на
правлением вектора
v¥ .
Пусть r0 , V0 — координаты и скорости Земли в момент t0 и
(15.47)
y0 = {q0 , u0 }, ξ 0¢ = {ρ0 , η0¢ } = {r0 - q0 , V0 - u0 }
⇒ ξ 0 = ξ 0¢ + {0, v¥ } ,
(15.48)
v¥ × v¥ = C .
Условие трансверсальности имеет вид:
α 0 = λv¥ ,
166
(15.49)
(15.50)
15.8. Вектор тяги в подвижных координатах
Представим базис-вектор в заданной системе координат в виде
pv = {p1, p2 , p }.
Орбитальные координаты: начало в центре масс КА, оси направлены вдоль радиуса-вектора, трансверсали и нормали к плоскости орбиты ⇒ орты системы координат равны
r
c ´r
c
, e = .
(15.52)
e1 = , e2 =
r
cr
c
Умножая (15.21) скалярно на (15.52), с учетом (11.33), (11.52) получим
p1 = β
pr
c æç p ö÷÷
),
+ β4 çççç -1÷÷÷÷ + β5 r + β6 (2r - rT
e
e çèç r
ø÷
p2 = β
c æççç r p ÷÷÷ö
r+p
c
c
r + β5 - β6 T ,
çç - ÷÷÷ + β 4
ç
÷
e çè a r ø
e
r
r
p = β1
crr
p-r
.
+ β2
µe
e
(15.53)
Тангенциальные координаты: начало в центре масс КА, оси
направлены вдоль вектора скорости, нормали к нему в плоскости
орбиты и по нормали к этой плоскости
⇒ орты системы координат равны
v
v ´c
c
, e = .
(15.54)
e1 = , e2 =
v
vc
c
Умножая (15.54) скалярно на (15.21), с учетом (11.33), (11.54) получим
167
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
yi = yi (t )= {qi , ui }, ti-1 t ti ,
æç
÷÷ö
c 2 æççç 2 µ ÷÷÷ö
cr
rr
p1 = -2β4
+ β5 v + β6 çççç2 - vT ÷÷÷÷ ,
çç v - ÷÷÷ - 2β 4
÷ø
µev èçç
r ÷ø
ev
èçç v
c - (rr)
crr
c
+ β4
+ 2β6 .
aev
erv
v
Третья компонента базис-вектора дана в (15.53).
2
yi- = yi (ti )= qi-, ui-
{
2
p2 = -β4
(15.55)
Предложенный метод оптимизации перелетов с малой тягой
является приближенным из-за используемой линеаризации. Для
обеспечения высокой точности метода интервал времени линеаризации должен быть коротким.
Разобьем интервал времени полета T на n подынтервалов с границами t0, t1, …, tn–1, tn (с заменой прежнего t1 на tn) и будем решать
задачу для каждого подынтервала отдельно. Нижним индексом
i и верхними индексами «–» или «+» будем обозначать значения
параметров в момент ti на i-м или (i + 1)-м подынтервалах соответственно (i = 1, …, n – 1).
Значения (15.11), (15.27), (15.23), (15.24) на i-м подынтервале:
Ji =
1
2 tò
i-1
α
1
dt = ∆Ti Si-1∆ i ,
We
2
2
+ +
∆ i = Ai-ξi - Ai -1ξi -1 ,
ti
Si = S (ti-1, ti ) = ò We QQT dτ .
(15.56)
(15.57)
(15.58)
ti-1
Функция We в (15.56), (15.58) имеет начальное значение
We (r0, t0) = We0 для всех подынтервалов, матрица Q в (15.58) вычисляется на i-й опорной орбите (i = 1, …, n).
Минимизируемый функционал всей задачи равен
n
J = å J i ,
(15.59)
i =1
i-я опорная орбита (i = 1, …, n) задается векторами состояния
168
yi++1 = yi +1 (ti ) = qi++1, ui++1
{
}.
Предположим, что опорные орбиты образуют непрерывную кривую ⇒ qi- = qi++1
⇒ ∆yi = yi++1 - yi- = 0, ui++1 - ui- = {0, ∆ui } .
{
15.9. Обеспечение требуемой точности
ti
},
}
(15.60)
Обозначим:
ξi = ξi+ ,
Ξ = {ξ1,..., ξ n-1 }
⇒ ξ=
ξ
i
i + ∆yi
⇒ соотношение (15.57) принимает вид
∆ i = Ai-ξi - Ai+-1ξi-1 + Ai-∆yi (i = 1,..., n -1),
∆ n = An ξ n - An+-1ξ n-1.
Вектор (15.61) может быть найден как Ξ = arg min J
¶J T
= 0 .
⇒
¶Ξ
Обозначим:
(15.61)
(15.62)
(15.63)
Ci = Ai-T Si-1 Ai-, Di = Ci + Ai+T Si-+11 Ai+ (i = 1,..., n -1),
Ei = Ai+-T1 Si-1 Ai- (i = 2,..., n -1)
(15.64)
– матрицы 6-го порядка;
é D
ê 1
ê-E T
ê 2
ê
ê 0
ê
D =ê .
ê
ê .
ê
ê
ê .
ê
ê 0
ë
-E2
0
.
.
.
D2
-E
.
.
.
.
.
D
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-E nT-2
.
.
-E n-2
.
.
.
0
-ET
Dn-
Dn-2
-E nT-1
ù
ú
. úú
ú
. ú
ú
. ú
ú
0 úú
ú
-E n-1 ú
ú
Dn-1 úû
0
(15.65)
169
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
– матрица порядка 6n – 6;
d1 = E1T ξ 0 + E2 ∆y2 - C1∆y1,
di = Ei +1∆yi +1 - Ci ∆yi (i = 2,..., n - 2),
dn-1 = E n ξ n - C n-1∆yn-1
– 6-мерные векторы;
d = {d1,..., dn-1 } 15. Оптимизация перелетов с малой тягой
с целью обеспечения ρ0 ® 0 , ρn ® 0 в течение процедуры.
(15.66)
(15.67)
— вектор размерности 6n – 6. Уравнение (15.63) с учетом (15.61),
(15.62), (15.64)–(15.67) дает
(15.68)
Ξ = D-1d 15.10. Вычислительная процедура,
обеспечивающая требуемую точность
Предлагается следующая процедура с использованием подхода, описанного в 15.9:
1. Вычисляется вектор состояния опорной орбиты
y = y (t ) = {q, u }
(15.69)
путем решения задачи Ламберта для заданных граничных положе
ний q0 , qn и времени перелета T.
2. Время T делится на n подынтервалов (т. е. задаются моменты
t1, …, tn–1) и определяются граничные условия
(15.70)
yi = y (ti ) = {qi , ui }.
3. Вычисляются матрицы Ai+-1 , Ai- , Si для i = 1, …, n и строятся
матрица (15.65) и вектор (15.67).
4. Из (15.68) находится вектор (15.61) и вычисляются новые
положения
qi¢ = qi + ρi (i = 1,..., n -1)
Одновременно для заданного множителя 0 < σ < 1 вычисляются новые значения
q0¢ = σq0 , qn¢ = σqn
170
5. Вычисляются новые векторы состояния (15.70) опорных
орбит между каждой парой qi¢-1 , qi¢ (i = 1, …, n) путем решения задачи Ламберта n раз и находятся векторы (15.60).
Шаги 3–5 повторяются до тех пор, пока вектор (15.61) не ста
нет достаточно малым. Тогда полагается ρ0 = 0 , ρn = 0 .
15.11. Частично заданные граничные условия для случая
разбиения времени на подынтервалы
Рассмотрим три примера частично заданных граничных условий в случае, когда время полета разбито на n подынтервалов.
1. Скорость запуска может принимать любое значение
⇒ векторы ρ0 , ρn , ηn заданы и вектор η0 не задан.
Включим η0 в вектор (15.61) ⇒ расширенный вектор (15.61)
имеет вид
ˆ
(15.71)
Ξ = {η0 , Ξ} .
Определим
D0 = Q0T S1-1Q0 , E0 = Q0T S1-1 A1- — матрицы 3×3 и 3×6,
d0 = -Q0T S1-1P0ρ0 + E0 ∆y1 (15.72)
(15.73)
—3-мерный вектор,
é D
ù
ê 0 -E0 0 0ú
ê T
ú
ê-E0
ú
ê
ú
Dˆ = ê 0
ú
D
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê 0
ú
ë
û
– матрица порядка 6n — 3,
ˆ
d = {d0 , d } (15.74)
(15.75)
171
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
— вектор размерности 6n–3, где Ξ , D, d заданы в (15.61), (15.65),
(15.67) ⇒ уравнение
¶J T (15.76)
=0
ˆ
¶Ξ
с учетом (15.56), (15.59), (15.62) дает
ˆ
ˆ
(15.77)
Ξ = D̂-1d Замечание. Если скорости как запуска, так и прибытия могут
принимать любые значения, то оптимальным является пассивный
перелет (т. е. без действия тяги).
2. Скорость прибытия в конечную точку может принимать любое значение
⇒ векторы ρ0 , η0 , ρn заданы и вектор ηn не задан.
Включим ηn в вектор (15.61) ⇒ расширенный вектор (15.61)
имеет вид
ˆ
(15.78)
Ξ = {Ξ, ηn } .
Определим
Dn = QnT S n-1Qn , E n = An+-T1 S n-1Pn — матрицы 3×3 и 6×3,
dn = -QnT S n-1Pnρn (15.79)
(15.80)
— 3-мерный вектор,
é
0 ùú
ê
ê
úú
ê
ê
D
0 úú Dˆ = ê
ê
ú
-E n ú
ê
ê
ú
ê 0 0 -E T
Dn úû
n
ë
– матрица порядка 6n – 3,
ˆ
d = {d , dn }
{
}
(см. п. 15.7)
⇒ ξ j = ξ ¢j + 0, w j
{
} ;
(15.84)
w j × w j = w 2j .
(15.85)
Условия трансверсальности имеют вид
α j = λ j w j ( j = 0,1) ,
(15.86)
где λj — неопределенные множители. Определим матрицу
(15.81)
(15.82)
— вектор размерности 6n – 3, где Ξ , D, d заданы в (15.61), (15.65),
(15.67) ⇒ согласно уравнению (15.76) с учетом (15.56), (15.59),
(15.62) расширенный вектор (15.78) определяется из (15.77).
172
3. Величины скоростей старта и (или) прибытия заданы, а направления скоростей могут принимать любые значения (если начальное и (или) конечное тело являются планетами, то имеются в
виду асимптотические скорости)
Пусть j = 0 или j = n; обозначим:
r j , V j — координаты и скорости начального (j = 0) или конечного (j = n) небесного тела;
w j — скорость старта (j = 0) или прибытия (j = n),
w j = w j задана;
(15.83)
ξ ¢j = r j - q j , V j - u j é λ I + D -E
0
0
ê 0
ê -E T
ê
0
ê
Dˆ = ê
0
ê
ê
ê
ê
0
ë
0
D
0
-E nT
ù
ú
ú
ú
ú
0
ú
ú
-E n ú
ú
λ n I + Dn úû
0
и векторы
ˆ
Ξ = {w0 , Ξ, wn } ,
(15.88)
ö
ˆ
æ
d = - E0 ççè ξ 0¢ - ∆y1 ø÷÷÷, d ¢, - QnT S n-1 An ξ n¢ ,
{
(15.87)
}
(15.89)
173
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
15. Оптимизация перелетов с малой тягой
где вектор Ξ и матрицы D, D0, E0, Dn, En задаются в (15.61), (15.65),
(15.72), (15.79), d ¢ в (15.89) — вектор (15.67) с ξ 0 , ξ n , замененны
ми на ξ 0¢ , ξ n¢ , заданными в (15.83).
Согласно уравнению (15.76) с учетом (15.56), (15.59), (15.62)
расширенный вектор (15.88) определяется из (15.77).
Значения множителей λ0, λn в (15.87) определяются таким образом, чтобы выполнялись условия (15.85).
Заметим, что если один из векторов w0 , wn задан, то соответствующие члены в (15.87)–(15.89) отсутствуют. Порядок матрицы
(15.87) и размерность векторов (15.88), (15.89) равны 6n, если не
заданы направления обоих векторов w0 , wn , и 6n – 3, если один из
этих векторов задан.
Подстановка (15.93) в (15.19) показывает, что для нахождения
оптимального решения можно использовать уравнения (15.25)—
(15.28) с матрицей
15.12. Ограничения на направление тяги
Рассмотрим линейное однородное ограничение типа равенства
(15.90)
Bα = 0 (см. главу 14). Согласно (14.15), (14.22)
α = We P pv (15.91)
где
æ
ö-1
P = I - BT çççè BBT ø÷÷÷÷
B
(15.92)
– проективная матрица (см. п. 14.8). Вектор pv удовлетворяет
уравнениям (14.10), где в силу (14.11), (14.49) для линейных ограничений
ψr α , ψv α
⇒ так как метод транспортирующей
траектории является при
ближенным, векторами ψ r , ψ v в уравнениях (14.10) можно пре
небречь ⇒ вектор (15.14) удовлетворяет уравнению (15.20) ⇒ pv
определяется соотношением (15.21) ⇒ согласно (15.91)
(15.93)
α = We PQT β 174
S = S (t0 , t )=
t
ò WeQPQ
t0
T
d τ, S1 = S (t0 , t1 ) (15.94)
16. Электрореактивная тяга:
спиральное движение
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение
Согласно допущениям, принятым в п. 16.1,
m p = m = const, u = const
16.1. Постановка задачи и основные допущения
Рассмотрим изменение орбитальной энергии космического
аппарата (КА) электрореактивной тягой за минимальное время.
⇒ m p = m p τ , m = m0 - m p τ ,
m p u
m p u
,
α= α =
=
m
m0 - m p τ
Задача заключается в нахождении параметров движения КА в
течение изменения его орбитальной энергии
Принимаются следующие допущения:
• Расход рабочего тела в единицу времени и скорость истечения являются постоянными.
• Внешние силы включают только гравитационное притяжение центральной планеты с учетом ее сжатия.
• Начальная и (или) конечная орбиты являются круговыми.
• Оскулирующая орбита КА остается круговой с радиусом, изменяющимся под действием малой тяги.
Последнее предположение близко к реальности, если
реактивное ускорение гравитационного ускорения
(т. е. движение происходит в сильном гравитационном поле).
16.2. Время полета и радиус орбиты
Обозначим:
t0, t — начальный и текущий моменты времени (t ≥ t0);
τ = t – t0 — время полета;
r0 = r(t0), r = r(t) — радиусы начальной и текущей орбит;
v0 = v(t0), v = v(t) — начальная и текущая скорости КА;
u — скорость истечения;
α — вектор реактивного ускорения (тяги);
m0 = m(t0), m = m(t) — начальная и текущая масса КА;
mp = mp(t) — израсходованная масса рабочего тела;
m p =
dm p
176
m0
m
= u ln
m0
m0 - m p τ
.
(16.3)
Интеграл энергии:
2µ µ
r
a
⇒ в силу реактивного ускорения:
v2 =
µ
2v × α = a a2
(16.4)
ìïα ­­ v для увеличения радиуса орбиты,
a = max , если ïí
ïïα ­¯ v для уменьшения радиуса орбиты
î
⇒ v ×α = ±v α (16.5)
(«+» для подъема и «–» для снижения).
Так как орбита круговая, то
(16.6)
a = r ,
⇒
v0 =
µ
µ
, v=
r
r0
(16.7)
⇒ из (16.2), (16.4)–(16.7) получим следующее уравнение:
±2
mu
µ
µ dr
.
=
r m0 - m p τ r 2 dt
(16.8)
Интегрируя (16.8) с учетом (16.7), получим
— расход массы в единицу времени;
dt
dm
m =
= -m p (m 0) .
dt
∆v = u ln
(16.2)
(16.1)
m
τ= 0
m p
æç
é
ê1- exp ççç- v - v0
çç
ê
çè
u
ëê
ö÷ù
÷÷÷ú
÷÷ú
÷
ø÷ú
û
(16.9)
177
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение
æç
é
v - v0
ç
ê
m p = m p τ = m0 ê1- exp ççççç
è
u
ëê
æç
ç
v - v0
çè
u
m = m0 - m p = m0 exp çççç-
ö÷ù
÷÷÷ú
÷÷ú
÷
ø÷ú
û
ö÷
÷÷
÷÷
÷÷
ø÷
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение
t
(16.10)
(16.11)
æç
öù 2
é
÷
m
τ
ê1 ± u ln ççç1- p ÷÷÷÷ú
çç
÷
ê v
çç
m0 ÷÷÷øúú
êë
0
è
û
где «+» для подъема и «−» для снижения.
(16.13)
µ
r
— среднее движение КА;
(16.14)
v0
η - η0 = -
v - v0
=-
∆v
.
(16.16)
u
u
Поскольку оскулирующая орбита предполагается круговой, то
178
(16.18)
t0
u
L 2πµ m p (16.19)
Угловая дальность и фазовый угол равны
(16.20)
16.4. Долгота восходящего узла
v
, η= ± (16.15)
u
u
(«+» для подъема и «−» для снижения)
⇒ так как v0 > v при подъеме и v0 < v при снижении (см. (16.7)) и
согласно (16.12)
η0 = ±
dt
ò r 2 .
φ = 2πN , φ = 2π (N - int N ) Обозначим:
N — число оборотов КА за время τ (дробная величина);
φ — полная угловая дальность за время τ;
φ = mod 2π φ — фазовый угол ( 0 φ < 2π );
2
t
Согласно (В.11) (см. Приложение В)
N=
16.3. Число оборотов и угловая дальность
n=
t
µ
1
ndt =
2π òt
2π
0
Соотношения (16.9), (16.7) дают
r=
Из (16.17), (16.14)
N=
(16.12)
r0
(16.17)
t0
Сравнивая (16.3) и (16.10), найдем
∆v = v - v0 φ = 2πN = ò ndt .
Обозначим:
Ω = Ω(t) — долгота восходящего узла;
= dΩ — прецессия восходящего узла, т. е. вековое возмущеΩ
dt
ние, обусловленное сжатием планеты;
=Ω
(t ) ;
Ω0 = Ω(t0), Ω
0
0
J2 — коэффициент второй зональной гармоники;
Re — экваториальный радиус Земли;
i — наклонение орбиты.
Прецессия восходящего узла для круговой орбиты (см. главу 5,
уравнение (5.27)):
2
÷ö
æç
= - J n ççç Re ÷÷÷÷ cos i Ω
ç
2 2 ççè r ÷÷÷ø
(16.21)
⇒ принимая во внимание (16.14), получим
æç
72
÷ö
=Ω
ççç r0 ÷÷÷÷
Ω
0 çç ÷÷
çè r ÷ø
(16.22)
179
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение
t
dt
r7 2
⇒ ∆Ω = Ω - Ω 0 = Ω
0 0 ò 7 2 .
t r
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение
(16.23)
0
Из (16.7), (16.23) и (В.11) (см. Приложение В) найдем
∆Ω =
u7
Ω
0
m p v07
L7 (16.24)
16.5. Сравнение аналитических результатов
с численным интегрированием
Целью этого анализа является оценка ошибок приближенных
формул, полученных в пп. 16.2−16.4, т. е. вычисление разностей
между приближенными и точными значениями.
Рассмотрим подъем КА с низкой круговой орбиты вокруг Земли и примем следующие значения:
u = 15 км/с,
α0 = 5⋅10–5 ge (ge = 9,8066 м/с2),
r0 = 6771 км (т. е. h0 = 400 км).
Рисунки 16.1, 16.2 показывают ошибки и относительные
ошибки как функции времени; также показано точное значение
радиуса орбиты r.
Р и с. 16.2
Обозначим
µ
— местное гравитационное ускорение.
g=
r2
Введем безразмерное реактивное ускорение
α
α r2
α αr 2
α = =
, α 0 = 0 = 0 0 g
µ
g0
µ
(16.25)
Рисунок 16.3 показывает зависимость величины α от времени.
Р и с. 16.1
180
Р и с. 16.3
181
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение
Как видно из рис. 16.1−16.3, ошибки приблизительно пропорциональны величине α .
Рисунки 16.4, 16.5 показывают зависимость ошибок и относительных ошибок от радиуса орбиты; время полета τ также показано.
На рис. 16.6, 16.7 приведена зависимость ошибок и относительных ошибок от большой полуоси; радиус орбиты r также показан.
Р и с. 16.4
Р и с. 16.6
Р и с. 16.5
Р и с. 16.7
182
183
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение
16.6. Значения параметров на бесконечности
Рассмотрим подъем КА с круговой орбиты радиуса r0 до выхода из сферы действия планеты. Обычно радиус сферы действия
RS r0
⇒ можно принять r = ¥ Þ v =
µ
=0
r
⇒ из (16.9) − (16.11) получим
æç
öù
m é
ç v ÷÷
τ ¥ = 0 êê1- exp ççç- 0 ÷÷÷÷úú ,
ççè
m p êë
u ø÷÷úû
Так как на бесконечности v = 0, то согласно (16.15) η = 0
⇒ соотношения (16.9), (В.7) дают
(16.26)
(16.27)
é
æ v öù
m p¥ = m0 êê1- exp ççç- 0 ÷÷÷úú .
çè u ÷øú
êë
û
(16.28)
Обозначим P0 = 2π
Пусть v0 u Þ
µ
æç
ö
v
ç v ÷÷
exp ççç- 0 ÷÷÷÷ » 1- 0
ççè
u ø÷÷
u
m p¥ »
2πα 0
m p P0
2πα 0
(16.30)
184
-
v0
u
=e
(16.33)
-η0
» 1- η0 +
η20
2
-
η0
6
+
η40
24
(16.34)
⇒ соотношения (16.33), (16.34) с учетом (16.2) дают
N¥ »
η04
m0 v04
m0 u
=
=
2πµm p 4 8πµm pu
(16.31)
(16.35)
Аналогично из (16.24, В.7) получим
m u7 æ
Ω
m
∆Ω¥ = 0 0 ççç5040 ¥ + η70 - 7η60 + 42η50 - 210η04 +
7 ç
m0
m p v0 è
m¥
m0
(16.32)
r02
m p u
8πµ
m0
1
8πα 0
+840η0
Соотношение (16.12) дает
∆v¥ = v0 m0
=e
N¥ »
(16.29)
m p P0
m¥
⇒ согласно (16.25)
⇒ из (16.26)−(16.28) с учетом (16.7), (16.25) получим
m¥ » m0 -
ö÷
m0 u çæçç m¥
÷
+ η0 - η02 + 6η0 - 6÷÷÷÷ .
ççç6
÷
2πµ mp çè m0
ø÷
µ
— период начальной круговой орбиты.
P
τ¥ » 0 2πα 0
N¥ =
Из (16.27) получим
æç
ö
ç v ÷÷
m¥ = m0 exp ççç- 0 ÷÷÷÷ ,
ç
u ø÷÷
çè
2
r0
æç
æ Для импульсной тяги ∆v
÷÷ö
÷ö
ç
çç
imp ¥ = çè 2 -1÷÷ø v0 . ÷
÷÷
çç
÷÷
ççПревышение δv = ∆v - ∆v
»
0,586
v
¥
imp ¥
0÷
÷÷
çç
÷÷
çç- гравитационные потери
÷ø
çè
=e
-
-
v0
u
η70
5040
- 2520η02
=e
+
-η0
η80
(16.36)
)
+ 5040η0 - 5040 ,
» 1- η0 +
η20
2
-
η0
6
+
η40
24
-
η50
120
+
η60
720
-
(16.37)
4020
185
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение
⇒
∆Ω¥ »
P
Ω
0 0
16πα 0
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение
(16.38)
Замечание. Полученные формулы могут также использоваться для перехода из бесконечности на круговую орбиту радиуса r0.
,
В этом случае m0 — масса КА на бесконечности; v0, η0, P0, Ω
0
α 0 — значения на конечной орбите.
16.7. Значения параметров на параболической орбите
Будем помечать параметры на параболической орбите индексом par. Согласно рис. 16.3 мы можем предположить, что α par ~1
æç
ö÷
Точные вычисления показывают, что
÷÷÷
ççç
÷÷
çç
÷÷÷
çç 10-5 g α 10-2 g ü
ïï
e
0
e Þ 0,77 α
par 0,8÷÷÷÷
ççç
ý
÷÷
ïï
ççç 10 u 50 км /с
è
ø÷
þ
Р и с. 16.8
µm p u
Примем для простоты
α par = 1 .
(16.39)
Заметим, что параболическая скорость равна
где v — круговая скорость в момент времени τpar . Соотношения
(16.2), (16.3), (16.12), (16.25), (16.39) дают
α par =
⇒ v=
m p u
m par
µ
rpar
=
=4
µ m p u
m0
æç
ç
exp çççççè
ö
v - v0 ÷÷÷÷
÷÷ =
u ø÷÷
v - v0
4u
ö÷
÷÷
÷÷
÷÷ .
ø÷
µ
2
rpar
(16.40)
(16.41)
⇒
v - v0
ö÷
÷÷
÷÷
÷÷ » 1 .
ø÷
4u
С другой стороны,
186
m0 µ
= v04 α 0 (16.42)
(16.43)
⇒ из (16.41)−(16.43) найдем
(16.44)
⇒ подставляя v из (16.44) в (16.9), получим
τ par »
ü
é v æ
m0 ìïï
öù ï
ï
0
í1- exp êê- çççè1- 4 α 0 ÷÷÷÷øúú ý ï
m p ïîï
u
ëê
ûú þï
(16.45)
Рисунок 16.8 дает ошибку формулы (16.45) (приближенное минус точное значения) для 10–5ge ≤ α0 ≤ 10–2ge и 10 ≤ u ≤ 50 км/с.
Введем эмпирическую поправку в (16.44) и (16.45):
v par » 0,86v0 4 4α 0 Предположим, что v - v0 4u
æç
ç
exp çççççè
m p u r02
v » v0 4 α 0 , v par » v0 4 4α 0 v par = 2v ,
çæç
m p u
exp çççççè
m0
m0
æç ÷ö2
ç µ ÷÷
÷÷
çç r ÷÷÷
è 0ø
= ççç
τ par »
ü
é v æ
m0 ïìï
öù ï
ï
0
í1- exp êê- çççè1- 0,86 4 α 0 ÷÷÷÷øúú ý ï
m p ïî
êë u
úû ïïþ
(16.46)
(16.47)
Рисунок 16.9 показывает, что эта поправка уменьшает ошибку.
187
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение
16. Электрореактивная тяга: спиральное движение
Замечание. Полученные формулы могут использоваться как
для перехода с круговой на параболическую орбиту, так и с параболической на круговую. В случае снижения орбиты:
m0 — масса КА на параболической орбите;
v0 , P0 , α 0 — значения параметров на конечной круговой орбите.
16.6. Выводы
Р и с. 16.9
Из (16.12), (16.13) найдем значения других параметров на моменты времени (16.45) и (16.47):
é v æ
öù
m par = m0 exp êê- 0 çççè1- c1 4 α 0 ÷÷÷÷øúú (16.48)
êë u
úû
æ
ö
∆v par = v0 çççè1- c1 4 α 0 ÷÷÷÷ø (16.49)
где c1 = 1 для (16.45) и c1 = 0,86 для (16.47),
rpar = c2
r0
α 0
(16.50)
где c2 = 1 для (16.45) и c2 = 1,35 для (16.47).
Если v0 u, то
é v æ
v æ
öù
ö
exp êê- 0 çççè1- 4 α 0 ÷÷÷÷øúú » 1- 0 çççè1- 4 α 0 ÷÷÷÷ø
u
êë u
úû
и формулы (16.45), (16.47) принимают вид, аналогичный (16.29):
τ par »
188
P0 æç
ö
0 ÷÷÷÷ ç1 - c 4 α
1
ç
è
ø
2πα 0
(16.51)
• Полученные формулы позволяют вычислять все параметры
движения КА с малой тягой по спиральной орбите для следующих случаев:
– изменение радиуса круговой орбиты;
– переход с круговой орбиты на траекторию выхода из сферы действия;
– переход с траектории, входящей в сферу действия, на
круговую орбиту.
• Полученные формулы обеспечивают высокую точность при
α 1 . При α ~1 точность может оказаться недостаточной.
• Формула (16.13) дает скорее большую полуось, чем реальное
положение КА.
П р и л о ж е н и е А. Сравнение двухимпульсных переходов
между круговой и эллиптической орбитами
Приложение А
Конечная орбита внутри начальной
Соотношения (6.26) дают
Конечная орбита снаружи начальной
Соотношения (6.22) дают:
∆vπ - ∆vα
где
v0
= η ,
∆vα - ∆vπ
(A.1)
é
ù
ê
ξ0
ξ1 - ξ 0
1 - ξ0 ú
ú ,
η = 2 ê(1 - ξ1 )
+
ê
ξ1 (1 + ξ1 )
1 + ξ 0 úú
ξ1 (ξ 0 + ξ1 )
êë
û
(A.2)
∆vπ = ∆vα,
если ξ1 = ξ0 или ξ1 = 1.
Рисунок A.1 показывает зависимость η от ξ0 для различных значений ξ1
∆vπ ∆vα = η,
(A.4)
где η задана в (A.2), ξ0, ξ1 удовлетворяют (6.24). Как видно из (A.2), (A.4),
∆vπ = ∆vα ,
ξ0, ξ1 удовлетворяют (6.20). Как видно из (A.1), (A.2)
⇒
v0
если ξ0 = ξ1 или ξ1 = ξ0.
Рисунок A.2 показывает зависимость (A.4) от 1/ ξ0 для различных значений ξ1
⇒
∆vπ £ ∆vα (A.5)
для всех ξ0, ξ1, удовлетворяющих (6.24).
Начальная и конечная орбиты пересекаются
Соотношения (6.29), (6.30) дают
(A.3)
для всех ξ0, ξ1, удовлетворяющих (6.20).
Р и с. А.1
190
Р и с. А.2
191
П р и л о ж е н и е Б. Проекции на множества и их свойства
Приложение А
∆vπ - ∆vα
2 v0
= 2 - 1 + ξ0 +
= 2 - 1 + ξ0 +
ξ0
ξ1 (1 + ξ1 )
+
ξ 0 (1 + ξ1 )
ξ1
-
ξ 0 ξ1
1 + ξ1
ξ 0 + ξ1
ξ1
Умножая и деля первый и второй члены (A.6) на
четвертый члены (A.6) на
∆vπ - ∆vα
2 v0
-
ξ 0 + ξ1
ξ1
=
.
2 + 1 + ξ 0 и третий и
ξ 0 (1 + ξ1 )+ ξ 0 + ξ1 , получим
(1 - ξ0 ) ξ1
=
2 + 1 + ξ0
ξ 0 (1 + ξ1 )+ ξ 0 + ξ1
ξ 0 (1 + ξ1 )+ ξ 0 + ξ1 - 2ξ1 - ξ1 (1 + ξ 0 )
= (1 - ξ 0 ) æ
.
çç 2 + 1 + ξ ÷÷ö é ξ 1 + ξ + ξ + ξ ù
0 ÷÷ø ê
0(
1)
0
1ú
çèç
ë
û
=
1 - ξ0
В силу (6.28) 1 - ξ 0 0 ,
(A.6)
⇒ матрица
P = a 0a 0T
проецирует любой вектор на a , т. е.
ba = Pb ,
-
ξ 0 + ξ 0 ξ1 ξ1 + ξ 0 ξ1 ,
(A.7)
∆vπ ∆vα и ∆vπ = ∆vα если ξ1 = ξ0 или ξ1 = 1.
(Б.2)
(Б.3)
P — проективная матрица, обладающая свойствами:
P T = P 2 = P .
ξ 0 + ξ1 2ξ1 ,
⇒ числитель и знаменатель в (A.7) являются положительными
⇒
Рассмотрим векторное пространство с элементами a, b , ... и с нормой
a = a = aT a и метрикой ρ(a, b )= a - b . Верхним индексом «0» бу
дем обозначать единичные векторы, т. е. a 0 = a a .
Определение. Векторной проекцией (или просто проекцией) вектора
b на a является вектор
(Б.1)
ba = (b T a 0 )a 0 = a 0a 0T b ,
(A.8)
(Б.4)
Определение. Проекция bA вектора b на замкнутое векторное мно
жество A — это проекция на такой вектор a Î A , на котором достигается
T 0
0
d = max b a (или min b - a ), если d > 0, и bA = 0 , если d ≤ 0.
Пусть a 0 — единичный вектор вектора bA , если bA ¹ 0 , и a 0 = 0 ,
если bA = 0 ,
⇒ матрица (Б.2) проецирует b на A.
Определение. Ненулевую проекцию bA будем называть также абсолютной проекцией на множество.
Замечание. Проекция на множество может не принадлежать этому
множеству. Например, проекция на множество единичных векторов может не являться единичным вектором.
Лемма Б.1. а) Если ∃ x > 0: xb Î A , то bA = b .
б) Если xb Ï A для x > 0, то bA достигается на границе множества A.
Доказательство
а) Согласно определению проекции на множество, если xb Î A , то
max b T a 0 достигается для a = xb Þ a 0 = b 0 Þ bA = a 0a 0T b = b .
б) Допустим, что проекция bA достигается на векторе a , который яв
ляется внутренней точкой множества A ⇒ a входит в A вместе с некоторой
окрестностью ⇒ существует вектор aε в этой окрестности, образующий
193
Приложение Б
Приложение Б
меньший угол с b , чем вектор a , т. е. b T a 0 < b T aε0 , что противоречит
определению проекции на множество.
Лемма Б.1 иллюстрируется рис. Б.1.
Определение. Проекция bi вектора b на вектор ai Î A (i = 1, 2, …)
является локальной проекцией на A, если существует такая окрестность
вектора ai , что для любого вектора aε , принадлежащего A и этой окрестности,
(Б.5)
b T aε0 b T ai0
Пусть вектор a Î A , на котором достигается bA , принадлежит границе множества Ai (1 ≤ i ≤ s) и является внутренней точкой других множеств
⇒ ∃ окрестность V вектора a : V ⊂ Aj , j ≠ i. Допустим, что bA не является
проекцией на Ai
⇒ ∃ aε Î Ai , aε Î V :
(Б.7)
b T aε0 > b T a 0 .
С другой стороны, aε Î A ⇒ согласно (Б.7) bA не достигается на a .
Это противоречие доказывает лемму.
Лемма Б.2 иллюстрируется рис. Б.3, где b1 , bA1 , bA 2 — локальная
проекция b на A1 и абсолютные проекции b на A1, A2.
Лемма Б.3. Пусть абсолютная проекция bAi вектора b на множество
Ai достигается на векторе ai Î A , где множество A является пересечением
множеств A1, …, As. Тогда bAi — абсолютная проекция b на A.
Доказательство
Абсолютная проекция b на Ai достигается на векторе ai
T 0 T 0
⇒ b a b aj (Б.8)
для любого a Î A j ⇒ (Б.8) выполняется для любого a Î A , что доказывает лемму.
Лемма Б.4. Если существует единственная проекция вектора b на
каждое из множеств A1, …, As , то:
1) Если ∃ Ai (1 ≤ i ≤ s) такое, что проекция bi вектора b на Ai достига
ется на ai Î A , то такое множество является единственным и bA = bi .
(Другими словами, на локальной проекции достигается локальный
max b T ai0 .)
Абсолютная и локальная проекции показаны на рис. Б.2.
Рассмотрим пересечение s множеств:
s
A = A j .
(Б.6)
j =1
Лемма Б.2. Абсолютная проекция на пересечение множеств (Б.6) достигается либо на проекции (абсолютной или локальной) на одно из множеств, либо на пересечении границ по крайней мере двух множеств.
Доказательство
Если ∃ x > 0 такой, что xb Î A , тогда согласно лемме Б.1 bA = b и
bA — абсолютная проекция вектора b для каждого из множеств Aj .
Предположим, что xb Ï A для любого x > 0 ⇒ согласно лемме Б.1
проекция bA достигается на границе A, т. е. на границе одного (случай 1)
или нескольких (случай 2) множеств Aj . Случай 2 соответствует утверждению леммы.
а
194
Р и с. Б.1
б
Р и с. Б.2
Р и с. Б.3
195
Приложение Б
П р и л о ж е н и е В. Вычисление интеграла
2) Если среди множеств A1, …, A s нет ни одного, проекция вектора
b на которое достигается на ai Î A , то проекция b на A достигается на
пересечении по крайней мере двух множеств.
Доказательство
1) Проекция bi на Ai является также проекцией вектора b на A со
гласно лемме Б.3. Допустим, что ∃ такое Aj (j ≠ i), что проекция вектора b
на Aj достигается на векторе a j Î A . Это возможно только при
(Б.9)
b T ai0 = b T a 0j .
Однако если a j Î A , то a j Î Ai ⇒ (Б.9) противоречит единственности
проекции на Ai .
2) Это утверждение следует из леммы Б.2.
Леммы Б.3 и Б.4 иллюстрируются рис. Б.4.
t
dt
ò rn 2
t0
Обозначим
x=
m p τ
m
.
= 1m0
m0
(В.1)
Из (16.10), (16.15), (В.1) получим
ln x = η - η0 .
(В.2)
Рассмотрим неопределенные интегралы:
n
ln = ln (t )= m0 ò (η0 + ln x ) dx
(n = 0,1, 2, ...).
(В.3)
Вычисляя эти интегралы по частям, получим
n
n
ln = m0 x (η0 + ln x ) - m0 ò xd (η0 + ln x ) =
n-1
= m(η0 + η - η0 )- nm0 ò (η0 + ln x )
⇒
dx
l0 = m0 x = m, ln = m ηn - nln-1 (В.4)
Из (В.4) найдем ln в другом виде:
Р и с. Б.4
n
n ù
é
ln = m ê ηn - n ηn-1 + n(n -1)ηn-2 - - (-1) n! η + (-1) n!ú ëê
ûú
(В.5)
(в (В.4), (В.5) произвольная постоянная игнорируется).
Рассмотрим определенный интеграл
t
n
Ln = m0 ò (η0 + ln x ) dx (n = 0,1, 2, ) .
(В.6)
t0
Согласно (В.4):
L0 = l0 (t )- l0 (t0 )= m - m0 ,
Ln = ln (t )- ln (t0 )= m ηn - m0 η0n - nLn-1
(В.7)
Соотношения (16.7), (16.13), (16.15), (В.1), (В.6) дают
t
ò
t0
x
m0
u nLn
n
dt =
.
η
+
ln
x
dx
=
(
)
0
ò
n
n2
r n 2 r0n 2 η0nm p x
r0 m p (µ r0 )
0
(В.8)
С учетом (В.1), (В.2) можно показать, что
197
Литература
Приложение В
для нечетного n:
ìï< 0, если 0 < η < η ( ускорение),
0
Ln = ïí
ïï> 0, если η < η0 < 0 ( торможение),
î
для четного n:
Ln < 0 .
(В.9)
(В.10)
Окончательно из (В.8)−(В.10) получим
t
ò
t0
n
dt = u Ln r n 2 µ n 2 m p
(В.11)
Абалакин В. К., Аксенов Е. П., Гребенников Е. А., Демин В. Г., Рябов Ю. А.
Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.:
Наука, 1976.
Авдуевский В. С., Бажинов И. К., Белецкий В. В., Ивашкин В. В. и др. Основы теории полета космических аппаратов / Под ред. Г. С. Нариманова, М. К. Тихонравова. M.: Машиностроение, 1972.
Аким Э. Л., Энеев Т. М. Определение параметров движения космического
аппарата по данным траекторных измерений // Космич. исслед. 1963.
Т. 1. № 5.
Бажинов И. К., Алешин В. И., Почукаев В. Н., Поляков В. С. Космическая
навигация. М.: Машиностроение, 1975.
Бахшиян Б. Ц., Суханов А. А. Об изохронных производных первого и второго порядка в задаче двух тел // Космич. исслед., 1978. Т. 16. № 4.
Брандин В. Н., Васильев А. А., Худяков С. Т. Основы экспериментальной
космической баллистики. М.: Машиностроение, 1974.
Брандин В. Н., Разоренов Г. Н. Определение траекторий космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978.
Белецкий В. В. Очерки о движении небесных тел. 2-е изд. М.: Наука, 1977.
Белецкий В. В., Егоров В. А. Разгон космического аппарата в сфере действия планеты // Космич. исслед. 1964. Т. 2. № 3.
Бэттин Р. Наведение в космосе. М.: Машиностроение, 1966.
Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космического полета с малой тягой. М.: Наука, 1966.
Демин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. М.: Наука, 1968.
Ефимов Г. Б. Оптимальный разгон в центральном поле до гиперболических скоростей // Космич. исслед. 1970. Т. 8. № 1.
Ефимов Г. Б., Охоцимский Д. Е. Об оптимальном разгоне в центральном
поле // Космич. исслед. 1965. Т. 3. № 6.
Ивашкин В. В. Оптимизация космических маневров при ограничениях на
расстояния до планет. М.: Наука, 1977.
Ильин В. А., Кузмак Г. Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов с
двигателями большой тяги. М.: Наука, 1976.
Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука,
1968.
Лоуден Д. Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М.:
Мир, 1966.
Охоцимский Д. Е. Исследование движения в центральном поле под действием постоянного касательного ускорения // Космич. исслед. 1964.
Т. 2. № 6.
Охоцимский Д. Е. Динамика космических полетов. М.: Изд-во Моск. унта, 1968.
199
Литература
Словарь английских терминов
Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. М.: Наука, 1990.
Платонов А. К. Оптимальные свойства корректирующих маневров при
использовании двигателя с ограниченной тягой // Космич. исслед.,
1967. Т. 5. № 2.
Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е изд. М.: Наука, 1983.
Суханов А. А. Универсальное решение задачи Ламберта // Космич. исслед., 1988. Т. 26. № 41.
Суханов А. А. Об изохронных производных в задаче двух тел // Космич.
исслед. 1990. Т. 28. № 2.
Суханов А. А. Оптимизация перелетов с малой тягой // Космич. исслед.
1999. Т. 37. № 21.
Суханов А. А. Оптимизация межпланетных перелетов с малой тягой //
Космич. исслед. 2000. Т. 38. № 6.
Суханов А. А., Прадо А. Ф. Б. де А. Модификация метода транспортирующей траектории // Космич. исслед. 2004. Т. 42. № 1.
Суханов А. А., Прадо А. Ф. Б. де А. Оптимизация перелетов при ограничениях на направление тяги. I // Космич. исслед. 2007. Т. 45. № 5.
Суханов А. А., Прадо А. Ф. Б. де А. Оптимизация перелетов при ограничениях на направление тяги. II // Космич. исслед. 2008. Т. 46. № 1.
Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.:
Наука, 1975.
Эльясберг П. Е. Введение в теорию движения искусственных спутников
Земли. М.: Наука, 1965.
Ниже приводятся английские значения терминов, используемых
в пособии. Термины, перевод которых тривиален (такие, например, как
интеграл энергии — integral of energy или гиперповерхность — hypersurface), как правило, не приводятся. Для терминов, написание которых отличается в Великобритании и США, дается американское написание.
апоцентр
apoapsis, apocenter
базис-вектор Лоудена
Lawden’s primer vector
большая полуось
semimajor axis
вектор состояния
state vector
векторное произведение
cross production
гравитационный маневр
gravity assist maneuver, swinby
гравитационный параметр
gravitational parameter
двигатель малой тяги
thruster
жидкостно-реактивная тяга
chemical thrust
задача двух тел
two body problem
задача Ламберта
Lambert problem
закон всемирного тяготения
Newton’s law of gravity
идеально регулируемая тяга
thrust with limited power (LP),
power-limited thrust
истинная аномалия
true anomaly
коэффициент полезного действия
efficiency
критерий оптимальности
performance index, cost function,
payoff function
малая тяга
low thrust
матрица изохронных производных
state transition matrix
метод наименьших квадратов
least square method, Least Squares
многообразие
manifold
множество
set
обратная матрица
inverse matrix
объединение множеств
union of sets
ограничение типа неравенства
inequality constraint
ограничение типа равенства
equality constraint
ошибки выведения
launch errors
перицентр
periapsis, pericenter
принцип максимума Понтрягина
Pontryagin’s maximum principle
пролет (небесного тела)
flyby
радиус-вектор
position vector
расход массы в единицу времени
mass flow rate
реактивное движение
jet propulsion
Benney D. J. Escape from a Circular Orbit Using Tangential Thrust // Jet Propulsion. 1958. V. 28. Nr. 3.
Stumpf K. Himmelsmechanik. Bd. 1. Berlin, 1969.
Sukhanov A. A., Prado A. F. B. de A. Constant Tangential Low-Thrust Trajectories near an Oblate Planet // J. Guidance, Control, and Dynamics. 2001.
V. 24. Nr. 4.
Tsien H. S. Takeoff from Satellite Orbit // Jet Propulsion. 1953. V. 23. P. 233–
236.
201
Словарь английских терминов
реактивное ускорение
сжатие (планеты)
скалярное произведение
склеенные конические сечения
скорость истечения
скорость на бесконечности
солнечная энергия (малой тяги)
сопряженное уравнение в вариациях
среднее движение
средняя аномалия
сфера действия
траекторные измерения
транспонирование
транспонированная матрица
тяга с постоянной скоростью истечения
угловая дальность
уравнение в вариациях
условия трансверсальности
фокальный параметр
функции Штумпфа
целевая функция
эксцентрическая аномалия
электрореактивная двигательная
установка
электрореактивный двигатель
jet acceleration
oblateness
dot production
patched conics
exhaust velocity
velocity at infinity, v-infinity, excess
velocity
solar power
adjoint (costate) variational equation
mean motion
mean anomaly
sphere of influence
tracking data
transposition
transposed matrix
constant exhaust velocity (CEV)
thrust
transfer angle
variational equation
transversality conditions
semilatus rectum
Stumpff functions
performance index, cost function,
payoff function
eccentric anomaly
electric propulsion
thruster
Для заметок
055(02)2
Ротапринт ИКИ РАН
117997, Москва, Профсоюзная, 84/32
Подписано к печати 29.01.10
Заказ 2199
Формат 70×1081/32
Тираж 200
8,5 уч.-изд. л.
