Задачи по квантовой механике

Ïðèìåðíûé ñïèñîê çõàäà÷ ê ïðàêòè÷åñêèì çàíÿòèÿì ïî ïî êóðñó Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà À.Ê.Ãîðáàöåâè÷ 2023 ã. Ãëàâà 1 Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî 1.1 Áðà- è êåò-âåêòîðû 1.1. Âû÷èñëèòü íîðìû (||ϕ|| è a) ãäå |ϕi = ||χ||) è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (h ϕ | | v1 i + i | v2 i √ , 2 |χi = âåêòîðîâ | v1 i − i | v2 i √ , 2 h vn | vm i = δmn (m, n = 1, 2); Z b) b ik |ϕi = b Z | v(k) i e dk , | v(k) i e2ik dk , |χi = a ãäå χ i) a h vk | vk0 i = δ(k − k 0 ). 1.2. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî Øâàðöà (ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî): ∀|ϕi,|χi ∈ H : ||ϕ|| · ||χ|| = |h ϕ | χ i| . 1.3. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà: ∀|ϕi,|χi ∈ H : 1.4. Ðÿä Ôóðüå : Ïóñòü ϕ(x) ñèòåëüíî äèñêðåòíîãî ||ϕ + χ|| 5 ||ϕ|| + ||χ|| . ϕn êîìïîíåíòû îäíîãî è òîãî æå (| vn i è íåïðåðûâíîãî (| u(x) i) áàçèñîâ è Z2π |ϕi = +∞ X | u(x) i ϕ(x)dx = âåêòîðà |ϕi ñîîòâåòñòâåííî: | vn i ϕn . n=−∞ 0 Íàéòè ñâÿçü ìåæäó ýòèìè êîìïîíåíòàìè, åñëè 1 vn (x) ≡ h u(x) | vn i = √ einx , 2π 2 îòíî- x ∈ [ 0 , 2π ] , n = 0, ±1, ±2 , . . . . 1.2 3 Ëèíåéíûå îïåðàòîðû 1.5. Èíòåãðàë Ôóðüå : Ïóñòü |ϕi ϕ(k) è ϕ̃(x) êîìïîíåíòû îäíîãî è òîãî æå âåêòîðà îòíîñèòåëüíî íåïðåðûâíûõ áàçèñîâ | v(k) i Z∞ |ϕi = è | u(x) i ñîîòâåòñòâåííî: Z∞ | u(x) i ϕ̃(x)dx = −∞ | v(k) i ϕ(k)dk . −∞ Íàéòè ñâÿçü ìåæäó ýòèìè êîìïîíåíòàìè, åñëè 1 v(x, k) ≡ h u(x) | v(k) i = √ eikx , 2π 1.2 x, k ∈ ( −∞ , ∞ ) . Ëèíåéíûå îïåðàòîðû 1.2.1 Ýðìèòîâî ñîïðÿæåíèå 1.6. Äîêàçàòü òîæäåñòâà: + v. = Â ; + −1 Â−1 = Â+ ; + a Â = a∗ Â+ ; + Â + B̂ = Â+ + B̂ + ; + Â B̂ = B̂ + Â+ ; vi. ( | ϕ ih χ | )+ = | χ ih ϕ | . i. ii. iii. iv. Â + 1.7. Óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùèõ î÷åâèäíûõ ñîîòíîøåíèé (Û ,V̂ ïðîèçâîëüíûå óíèòàðíûå îïåðàòîðû; i. a Û ii. Û n ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð): óíèòàðíûé îïåðàòîð, åñëè a∗ a = 1; óíèòàðíûé (n öåëîå ïîëîæèòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî); Û − Iˆ Û + Iˆ iii. i iv. Û Ĥ Û + Iˆ − iĤ v. Ĥ Iˆ + iĤ ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð; ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð; óíèòàðíûé îïåðàòîð. 1.8. Ðåøèòü ñëåäóþùåå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî Zb ϕ(x) + u(x) v ∗ (x0 )ϕ(x0 )dx0 = χ(x) . a Óêàçàíèå: Íàéòè îïåðàòîð Iˆ + | u ih v | −1 . ϕ(x): 4 1: Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî 1.9. Íàéòè îïåðàòîð, ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîðó ïðîñòðàíñòâå 1.2.2 p̂ = L2 (R). ~ d , i dx îïðåäåëåííîìó â Êîììóòàòîðû è èõ ñâîéñòâà 1.10. Äîêàçàòü òîæäåñòâà: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. h i h i L̂ , M̂ = − M̂ , L̂ ; h i L̂ , L̂ = 0 h i h i L̂ , a M̂ = a L̂ , M̂ ; h i L̂ , a Iˆ = 0, ãäå Iˆ åäèíè÷íûé îïåðàòîð; h i h i h i L̂1 + L̂2 , M̂ = L̂1 , M̂ + L̂2 , M̂ ; h i h i h i L̂1 L̂2 , M̂ = L̂1 , M̂ L̂2 + L̂1 L̂2 , M̂ ; h i h i h i M̂ , L̂1 L̂2 = M̂ , L̂1 L̂2 + L̂1 M̂ , L̂2 ; viii. Òîæäåñòâî ßêîáè: h h ii h h ii h h ii L̂1 , L̂2 , L̂3 + L̂2 , L̂3 , L̂1 + L̂3 , L̂1 , L̂2 = 0. 1.11. Äîêàçàòü ñîîòíîøåíèå L̂ e M̂ e −L̂ = n=∞ X n=0 i 1 h L̂ , M̂ , n! (n) ãäå h L̂ , M̂ i = M̂ , h L̂ , M̂ (0) i h = L̂ , M̂ i h , . . . , L̂ , M̂ (1) i = L̂ , L̂ , M̂ (n) 1.12. Âîñïîëüçîâàâøèñü ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 1.11, ïîêàçàòü, ÷òî 1 eL̂+M̂ = eL̂ eM̂ e− 2 [ L̂ , M̂ ] , åñëè ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ h h h ii h h ii L̂ , L̂ , M̂ = M̂ , L̂ , M̂ = 0. i . (n−1) 1.2 5 Ëèíåéíûå îïåðàòîðû 1.13. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) ðàçëîæèìà â ðÿä Òåéëîðà. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè îïåðàòîðû â è â+ df (â+ ) â , f (â+ ) = , dâ+ óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì 1.14. Äâà îïåðàòîðà Â è B̂ â , â+ = Iˆ . 1 (F) îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì Â = B̂ + B̂ + 3 Iˆ , a) Äîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð Â a) b) Â = B̂ B̂ + + Iˆ . ñàìîñîïðÿæåííûé, à òàêæå âû÷èñëèòü êîììóòàòîðû h B̂ + , B̂ i è b) h Â , B̂ i . 1.15. Ïóñòü â+ â+ + ââ â+ â + ââ+ â+ â+ − ââ Â1 = , Â2 = , Â3 = i . 4 4 4 h i Íàéòè êîììóòàòîðû Âi , Âj , åñëè îïåðàòîðû â è â+ óäîâëåòâîðÿþò íîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì (F). ïåðåñòà- 1.16. Ïóñòü b̂ + b̂+ b̂+ − b̂ b̂+ b̂ − b̂b̂+ , B̂2 = , B̂3 = . 2 2 2 h i B̂i , B̂j , åñëè îïåðàòîðû b̂ è b̂+ óäîâëåòâîðÿþò B̂1 = Íàéòè êîììóòàòîðû ñîîòíîøå- íèÿì n b̂ , b̂+ o ≡ b̂b̂+ + b̂+ b̂ = Iˆ , b̂b̂ = 0 . 1.17. Äîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå b̂b̂+ + b̂+ b̂ = −Iˆ ïðîòèâîðå÷èâî. 1 Îïåðàòîðû, îïðåäåëåííûå ñîîòíîøåíèåì (F), èãðàþò â êâàíòîâîé ìåõàíèêå èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü. Ïîýòîìó, ââåäåííûå äëÿ íèõ îáîçíà÷åíèÿ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïîñòîÿííî. 6 1: 1.2.3 Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî Îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ. Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ 1.18. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñëåäà îïåðàòîðà, îïðåäåëåííîãî êàê ñóììà (èíòåãðàë) åãî äèàãîíàëüíûõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ, Sp L̂ = Tr L̂ = XD vn L̂vn E ( | vn i îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ), n âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ: i. Ñëåä îïåðàòîðà íå çàâèñèò îò âûáîðà îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà, â êîòîðîì îí âû÷èñëÿåòñÿ. ii. Sp L̂M̂ = Sp M̂ N̂ , Sp(L̂1 L̂2 L̂3 · · · ) = Sp(L̂2 L̂3 · · · L̂1 ) . iii. Sp(L̂1 + L̂2 + · · · ) = Sp L̂1 + Sp L̂2 + · · · . iv. Sp(aL̂) = a Sp L̂, 1.2.4 ãäå a ∈ C. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ 1.19. Êàê âûãëÿäÿò ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà p̂, îïðå- äåëåííîãî â çàäà÷å 1.9? 1.20. Ïîêàçàòü, ÷òî ó îïåðàòîðà ðû, êàê è ó îïåðàòîðà L̂−1 (åñëè îí ñóùåñòâóåò) òàêèå æå ñîáñòâåííûå âåêòî- L̂, à èõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âçàèìíî îáðàòíûå ÷èñëà. 1.21. Ïóñòü îïåðàòîð â îïðåäåëåí â ïðîñòðàíñòâå L2 (R) ïîñðåäñòâîì âûðàæåíèÿ: d 1 . â = √ x + dx 2 i. Íàéòè îïåðàòîð â+ , ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîðó ii. Âû÷èñëèòü êîììóòàòîð îïåðàòîðîâ â è â. â+ . iii. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû (åñëè îíè ñóùåñòâóþò) ýòèõ îïåðàòîðîâ. Íàéäåííûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû íîðìèðîâàòü íà 1.22. Ïóñòü ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð L̂, 1. íåïðåðûâíûì îáðàçîì çàâèñÿùèé îò äåé- ñòâèòåëüíîãî ïàðàìåòðà t, îáëàäàåò íåâûðîæäåííûì äèñêðåòíûì ñïåêòðîì L̂ | un i = Ln | un i , ãäå | un i åãî ñîáñòâåííûå âåêòîðû, íîðìèðîâàííûå íà åäèíèöó: h un | um i = δnm . {Ln }: 1.2 7 Ëèíåéíûå îïåðàòîðû Äîêàçàòü, ÷òî D dLn = dt a) ãäå α D ˙ un L̂ un , E b) X d | um i = | un i dt n6=m ˙ un L̂um Lm − Ln ïðîèçâîëüíîå ÷èñòî ìíèìîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî (< α | Ua i çíà÷åíèþ a, 1.23. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ñîáñòâåííîìó E ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà + α | um i , d ˙ = 0); L̂ = L̂. dt Â, ñîîòâåòñòâóþùèé Â | Ua i = a | Ua i , òî | Ua i òàêæå ÿâëÿåòñÿ è ñîáñòâåííûì âåêòîðîì îïåðàòîðà ê ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ f (Â), îòíîñÿùåìóñÿ f (a): f (Â) | Ua i = f (a) | Ua i . | ψ i ñîáñòâåííûé âåêòîð ëèíåéíîãî îïåðàòîðà Â, îòíîñÿùèéñÿ ê ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ a. Ïîêàçàòü, ÷òî, åñëè, êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò îïåðàòîð B̂ òàêîé, 1.24. Ïóñòü ÷òî h òî âåêòîð B̂ | ψ i ≡ B̂ψ E i Â , B̂ = B̂ + 2B̂ Â2 , òàêæå áóäåò ñîáñòâåííûì âåêòîðîì îïåðàòîðà Â. Ê êàêîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ îí îòíîñèòñÿ? 2 × 2-ìàòðèöû σi (i = 1, 2, 3) 1.25. Íàéòè óíèòàðíûå ýðìèòîâû [ σi , σj ] = 2εijk σk â ïðåäñòàâëåíèè, â êîòîðîì σ3 (Ïî k òàêèå, ÷òî ñóììèðîâàòü îò 1 äî 3!), äèàãîíàëüíà. Çäåñü εijk ïñåâäîòåíçîð Ëåâè- ×èâèòà. Ŝx , Ŝy 1.26. Â íåêîòîðîì ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòîðû E3 1 è Ŝz , äåéñòâóþùèå â ïðîñòðàíñòâå èìåþò ñëåäóþùèé âèä:   0 1 0 ~ Ŝx = √ 1 0 1 , 2 0 1 0   0 −i 0 ~ Ŝy = √  i 0 −i , 2 0 i 0   1 0 0 Ŝz = ~ 0 0 0 . 0 0 1 i. Íàéòè ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ Ŝi (i = 1, 2, 3). ii. Çàïèñàòü îïåðàòîðû Ŝi â ïðåäñòàâëåíèè, â êîòîðîì îïåðàòîð Ŝx èìååò äèà- ãîíàëüíûé âèä. iii. Âû÷èñëèòü êîììóòàòîðû 1 Ïîñðåäñòâîì En h Ŝi , Ŝj i . çäåñü è â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü n-ìåðíîé ëèíåéíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàí- ñòâî íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, â êîòîðîì íîðìà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáû÷íûì îáðàçîì. 8 1: 1.2.5 Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî Óíèòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ 1.27. Äîêàçàòü, ÷òî óíèòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âèäà a) b) |αi ,|β i ,... Â , B̂ , . . . → → | α0 i ≡ Û | α i , | β 0 i ≡ Û | β i . . . 0 0 + Â ≡ Û ÂÛ , B̂ ≡ Û B̂ Û + ... , (Û Û + = Û + Û = Iˆ) ñîõðàíÿþò: i. Íîðìó è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ: ||ϕ|| = ||ϕ0 ||, h ϕ | χ i = h ϕ0 | χ0 i; ii. iii. Ýðìèòîâîñòü îïåðàòîðîâ: Åñëè Â+ = Â, òî è (Â0 )+ = Â0 ; Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ: Åñëè | u i ñîáñòâåííûé âåêòîð îïå- 0 îòíîñÿùèéñÿ ê ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ, òî âåêòîð | u i áóäåò 0 ñîáñòâåííûì âåêòîðîì îïåðàòîðà Â , òàêæå îòíîñÿùåìóñÿ ê ñîáñòâåííîìó ðàòîðà Â, çíà÷åíèþ iv. λ; h Êîììóòàòîðû: Åñëè Ĝ = i Â , B̂ i , òî è i h Ĝ0 = i Â0 , B̂ 0 Ãëàâà 2 Îäíîìåðíûå ñèñòåìû 2.1 Ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà 2.1. Íàéòè ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè è íîðìèðîâàííûå âîëíîâûå ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ÷àñòèöû â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå øèðèíû ò. å. ( 0, 0 < x < a, U (x) = ∞ , x < 0 , x > a. a, (2.1) Âûÿñíèòü ñâîéñòâà ñèììåòðèè ïîëó÷åííûõ ôóíêöèé ïðè èíâåðñèè êîîðäèíàò 0 îòíîñèòåëüíî öåíòðà ÿìû (ïðåîáðàçîâàíèå âèäà: x → x = −x + a) 2.2. Â ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèÿõ ÷àñòèöû èç çàäà÷è 2.1 íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî êîîðäèíàòàì (ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè) è èìïóëüñàì (ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè) ÷àñòèöû, ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ýòèõ âåëè÷èí ∆p n h x in è h p in , à òàêæå èõ íåîïðåäåëåííîñòè ∆x n è . 2.3. Äëÿ ÷àñòèöû â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå øèðèíû a (ñì. çàäà÷ó 2.1) íàéòè îïåðàòîðû ïîëîæåíèÿ è èìïóëüñà â ýíåðãåòè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè. 2.4. Íàéòè èçìåíåíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé è âîëíîâûõ ôóíêöèé ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé çàðÿæåííîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ïðè íàëîæåíèè íà íåãî îäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, íàïðàâëåííîãî âäîëü îñè îñöèëëÿòîðà. 2.5. Íàéòè ñâÿçàííûå ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû â δ -îáðàçíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå: U (x) = −αδ(x) , α > 0. (2.2) Íàéòè íåîïðåäåëåííîñòè êîîðäèíàòû è èìïóëüñà, à òàêæå ñðåäíèå çíà÷åíèÿ êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé â ýòèõ ñîñòîÿíèÿõ. 9 10 2: 2.6. Íàéòè ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè ÷àñòèöû â ïîëå ( α δ(x) , ∞, U (x) = α > 0, Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ Îäíîìåðíûå ñèñòåìû |x| < a , |x| > a . mαa 1 èññëåäîâàòü ~2 ñòðóêòóðó óðîâíåé íèæíåé ÷àñòè ñïåêòðà. Ïîêàçàòü, ÷òî ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïàð áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ óðîâíåé, è íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè (ñì. Ðèñ. 2.1: ðèñ. 2.1). 2.7. Äîêàçàòü, ÷òî ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà â îäíîìåðíîì ñëó÷àå íå âûðîæäåíû. 2.2 Ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà 2.8. Íàéòè ñòèöû êîýôôèöèåíòû ÷åðåç U (x) = αδ(x) ïðîõîæäåíèÿ δ -îáðàçíûé (ñì. ðèñ. è îòðàæåíèÿ ïîòåíöèàëüíûé 2.2). Îáñóäèòü ÷à- áàðüåð: ñëåäóþùèå ñëó- ÷àè: 1) 2) E → ∞; E → 0. Ðèñ. 2.2: 2.9. Íàéòè êîýôôèöèåíòû ïðîõîæäåíèÿ è îòðàæåíèÿ ÷àñòèöû äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà (ñì. ( ðèñ. 2.3) U (x) = 0, U0 , x < 0 è x > a, 0 < x < a (U0 > 0) . Îáñóäèòü ñëåäóþùèå ñëó÷àè: 1) 2) 3) Ðèñ. 2.3: E→∞ E U0 ); ma2 U02 E → 0 (ôàêòè÷åñêè E ~2 2 2 ma U0 ma E 1è 1. 2 ~ ~2 (ôàêòè÷åñêè è E U0 ); Â ïîñëåäíåì ñëó÷àå ñðàâíèòü ðåçóëüòàò ñ ðåçóëüòàòîì çà- äà÷è 2.8. 2.10. Íàéòè êîýôôèöèåíòû ïðîõîæäåíèÿ è îòðàæåíèÿ ÷àñòèöû ÷åðåç äâîéíîé δ -îáðàçíûé ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð: δ(x − a) U (x) = α δ(x) + (ñì. ðèñ. 2.4). Íàéòè çíà÷åíèÿ ýíåðãèé, ïðè êîòîðûõ ÷àñòèöû íå îòðàæàþòñÿ îò ýòîãî ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà, ò. å. R(En ) = 0, à D(En ) = 1. Ðèñ. 2.4: 2.11. Íàéòè ïëîòíîñòü òîêà âåðîÿòíîñòè è ñðåäíåå çíà÷åíèå èìïóëüñà ÷àñòèöû â ñî2 ñòîÿíèè Ψ (x) = A exp{−αx + iβx}; (α > 0, β ∈ R). 2.3 2.3 11 Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ t=0 2.12. Â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ïîòåíöèàëüíîé ÿìå øèðèíû a ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé (ñì. çàäà÷ó 2.1) îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé âèäà: Ψ (x, 0) = Ax(x − a) . (2.3) Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè ïðè âîëíîâóþ ôóíêöèþ Ψ (x, t) ïðè t = 0 è t > 0. 2.13. Íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå êîîðäèíàòû è èìïóëüñà êàê ôóíêöèè âðåìåíè äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà â ïðîèçâîëüíîì ñîñòîÿíèè. 2.14. Íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå êîîðäèíàòû è èìïóëüñà êàê ôóíêöèè âðåìåíè äëÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì îäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. 2.15. Íàéòè óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå Û sh , ñâÿçûâàþùåå îïåðàòîðû è âåêòîðû â êàð- òèíàõ Øðåäèíãåðà è Ãåéçåíáåðãà: | Ψ is = Û sh | Ψ ih , 2.16. Íàéòè âîëíîâóþ ôóíêöèþ Ψ (x), L̂s = Û sh L̂h Û sh + . (2.4) îïèñûâàþùóþ ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì ~ . 2 ∆x · ∆p = (2.5) 2.17. Â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè (t = 0) ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîð íàõîäèëñÿ â | u0 i. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü ê ìîìåíòó âðåìåíè t (t > 0) îáíàðóæèòü åãî â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè | un i, åñëè åãî ïîìåñòèëè â îäíîðîäíîå ñèëîâîå ïîëå V (t) = −F (t)x. Îòäåëüíî ðàññìîòðåòü ñëåäóþùèå ñëó÷àè: îñíîâíîì ñîñòîÿíèè i. ii. iii. F (t) = Aδ(t − t0 ); F (t) = sin ωt, ãäå ω ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà îñöèëëÿòîðà; F (t) = αt. 2.18. Â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè (t ñîñòîÿíèè Ãëàóáåðà = 0) ãàðìîíè÷åñêèõ | Ψ (t = 0) i = | Uα i, ãäå â | Uα i = α | Uα i , −|α|2 /2 | Uα i = e n=∞ X n=0 îñöèëëÿòîð íàõîäèëñÿ â αn √ | un i . n! (2.6) Âû÷èñëèòü ñðåäíèå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàòû è èìïóëüñà îñöèëëÿòîðà, à òàêæå èõ íåîïðåäåëåííîñòè ê ìîìåíòó âðåìåíè t (t > 0). Ãëàâà 3 Ìîìåíò èìïóëüñà 3.1 Îðáèòàëüíûé ìîìåíò èìïóëüñà 3.1. Íàéòè ñëåäóþùèå êîììóòàòîðû: h a) b) c) ãäå r̂ , p̂ , L̂ i h i h i L̂α , p̂ 2 , L̂α , r̂ · p̂ , L̂α , (r̂r̂ · p̂p̂)2 ; h i h i h i L̂α , (p̂p̂ · r̂r̂)p̂p̂ , L̂α , (p̂p̂ · r̂r̂)r̂r̂ , L̂α , (ap̂p̂ + br̂r̂r̂) ; h i h i h i L̂α , x̂β x̂γ , L̂α , x̂β p̂γ , L̂α , p̂β p̂γ , L̂α , r̂ 2 i h , îïåðàòîðû ðàäèóñ-âåêòîðà, èìïóëüñà è îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà èì- ïóëüñà ÷àñòèöû, a è b ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà. 3.2. Íàéòè ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðîâ êâàäðàòà îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà èìïóëüñà è åãî ïðîåêöèè íà îñü z â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè. | um ` i ñ îïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè êâàäðàòà îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà 2 2 åãî ïðîåêöèè íà îñü z íàéòè ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ L̂x è L̂y . 3.3. Â ñîñòîÿíèè èìïóëüñà è 3.2 Ñïèí 3.4. Â ñëó÷àå ñïèíà 1/2 íàéòè îïåðàòîðû 3.5. Íàéòè îïåðàòîð ïîâîðîòà îïåðàòîð è Ŝz â Sx -ïðåäñòàâëåíèè. R̂n (ϕ) â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ñïèíà 1/2. ×åìó ðàâåí R̂n (ϕ = 2π)? 3.6. Íàéòè îïåðàòîð ïîâîðîòà îïåðàòîð Ŝx , Ŝy R̂n (ϕ) â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ñïèíà 1. ×åìó ðàâåí R̂n (ϕ = 2π)? 12 3.2 13 Ñïèí 3.7. Â ñëó÷àå ñïèíà 1 íàéòè îïåðàòîðû Ŝx , Ŝy è Ŝz â Sz -ïðåäñòàâëåíèè. 3.8. Ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ïîâîðîòà â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ñïèíà 1/2 íàéòè ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà Ŝx â Sz -ïðåäñòàâëåíèè. √1 | u+ i + 2 | u− i áûëà èçìåðåíà ïðîåêöèÿ ñïèíà íà îñü z . 5 Êàêèå çíà÷åíèÿ è ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ïðè ýòîì ìîãëè áûòü ïîëó÷åíû? Êàêîâà ± íåîïðåäåëåííîñòü íàáëþäàåìîé Ŝz â ýòîì ñîñòîÿíèè? Çäåñü | u i ñîáñòâåííûå 3.9. Â ñîñòîÿíèè |ψi = âåêòîðû îïåðàòîðà Ŝz : Ŝz u± = ± ~ ± u 2 . 3.10. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü P (t) ïåðåõîäà ñïèíà èç ñîñòîÿíèÿ | ψ(t = 0) i − ñòîÿíèå | u i, åñëè åãî ïîìåñòèëè â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå = | u+ i â ñî- B = ex B1 cos ωt − ey sin ωt + ez B0 ? Îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà ïðèíÿòü ðàâíûì Ĥ = −γB · Ŝ . 3.11. Äëÿ ýëåêòðîíà íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà êâàäðàòà ïîëíîãî ìîìåíòà èìïóëüñà è åãî ïðîåêöèè íà îñü z, åñëè êâàäðàò åãî 2 îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà èìïóëüñà â äàííîì ñîñòîÿíèè èìååò çíà÷åíèå 2~ ? Ãëàâà 4 Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû 4.1 Âàðèàöèîííûé ìåòîä 4.1. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà âàðèàöèîííûì ìåòîäîì, èñïîëüçóÿ ïðîáíûå ôóíêöèè âèäà: A , 1 + x2 /a2 n αx2 o Ψ(x) = A exp − 2 n α|x| o Ψ(x) = A exp − , 2 Ψ(x) = a) b) c) ãäå α âàðèàöèîííûé ïàðàìåòð. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñðàâíèòü ñ òî÷íûì ðåøåíèåì. 4.2. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ýíåðãèè ïåðâîãî âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà âàðèàöèîííûì ìåòîäîì, èñïîëüçóÿ ïðîáíûå ôóíêöèè âèäà: a) ãäå α n αx2 o Ψ(x) = Ax exp − , 2 b) n α|x| o Ψ(x) = Ax exp − , 2 âàðèàöèîííûé ïàðàìåòð. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñðàâíèòü ñ òî÷íûì ðåøåíèåì. 4.3. Äëÿ ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ â ïîëå ( U (x) = U (x) âèäà kx , ∞, x > 0 (k > 0) , x<0 íàéòè ýíåðãèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ âàðèàöèîííûì ìåòîäîì, èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ âèäà (x > 0): Ψ(x) = Ax exp −κx . 14 4.2 4.2 15 Ñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé Ñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé 4.4. Â öåíòðå áåñêîíå÷íî-ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû øèðèíû a ïîìåñòèëè δ -îáðàçíûé ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð Ŵ = αδ(x − a/2) , a = const. Íàéòè ïîïðàâêè ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ ê óðîâíÿì ýíåðãèè. 4.5. Çàðÿæåííûé îäíîìåðíûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð ïîìåùåí â îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå E. Íàéòè ïîïðàâêè ê óðîâíÿì ýíåðãèè 1-ãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ. Ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ òî÷íûì ðåøåíèå. 4.6. Â 3-ìåðíóþ ïîòåíöèàëüíóþ áåñêîíå÷íî ãëóáîêóþ ÿìó, ( V (x, y, z) = 0, 0 < x < a, 0 < y < a, 0 < z < a; ∞ , âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, ïîìåùåí ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð âèäà ( W = V0 , 0, 0 < x < a/2 , âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Íàéòè óðîâíè ýíåðãèè â íåâîçìóùåííîé ÿìå, à òàêæå ïîïðàâêè 1-ãî ïîðÿäêà ê îñíîâíîìó è ïåðâîìó âîçáóæäåííîìó óðîâíÿì. 4.7. Ðàññìîòðèòå êâàíòîâîìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó, èìåþùóþ ðîâíî òðè íåçàâèñèìûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèÿ:   (1 − ε) 0 0 0 1 ε , Ĥ = V0  0 ε 2 ε 1 , V0 = const . i. Íàéäèòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà äëÿ íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû (ε = 0); ii. Íàéäèòå òî÷íûå âûðàæåíèÿ äëÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà Ĥ ; iii. Èñïîëüçóÿ òåîðèþ âîçìóùåíèé íàéäèòå ïîïðàâêè 1-ãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ ê óðîâíÿì ýíåðãèè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñðàâíèòå ñ òî÷íûì ðåøåíèåì. 4.8. Íàéäèòå ðàñùåïëåíèå ïåðâîãî âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ íåðåëÿòèâèñòñêîãî àòîìà âîäîðîäà ïîä äåéñòâèåì îäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E. 4.9. Íàéäèòå ðàñùåïëåíèå ïåðâîãî è âòîðîãî âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé àòîìà âîäîðîäà ïîä äåéñòâèåì îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ B â äâóõ ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ: i. Ðàñùåïëåíèå, îáóñëîâëåííîå ìàãíèòíûì ïîëåì, ìíîãî áîëüøå ðàñùåïëåíèÿ òîíêîé ñòðóêòóðû; ii. Ðàñùåïëåíèå, îáóñëîâëåííîå ìàãíèòíûì ïîëåì, ìíîãî ìåíüøå ðàñùåïëåíèÿ òîíêîé ñòðóêòóðû. 16 4.3 4: Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû Íåñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé 4.10. Âî âòîðîì ïîðÿäêå íåñòàöèîíàðíîé òåîðèè âîçìóùåíèé ðåøèòü çàäà÷ó 3.10. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñðàâíèòü ñ òî÷íûì ðåøåíèåì. 4.11. Â ìîìåíò âðåìåíè t = 0, êîãäà áûëî âêëþ÷åíî îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ( E0 = const , 0 < t 6 t0 , E (t) = 0, t > t0 , îäíîìåðíûé çàðÿæåííûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð íàõîäèëñÿ â ñòàöèîíàðíîì 1 ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé En = ~ω(n + ). Â ìîìåíò âðåìåíè t > t0 áûëà èçìåðåíà 2 ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà. Â ïåðâîì è âòîðîì ïîðÿäêàõ íåñòàöèîíàðíîé òåîðèè âîçìóùåíèé âû÷èñëèòü, êàêèå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè è ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ìîãëè áûòü ïðè ýòîì ïîëó÷åíû. Â ñëó÷àå n=0 ðåçóëüòàò ñðàâíèòü ñ òî÷íûì ðåøåíèåì. Ãëàâà 5 Ýëåìåíòû êâàçèðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè 5.1 Óðàâíåíèå Äèðàêà 5.1. Äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ñî ñïèíîì 1/2 ïðèâåäèòå ïðèìåð ïîëíîãî íàáîðà ñîâìåñòíûõ íàáëþäàåìûõ. Îòâåò îáîñíóéòå. 5.2. Ïîëó÷èòå íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ Äèðàêà â ñëó÷àå äâèæåíèÿ âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. 5.3. Íàéäèòå òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïàóëè äëÿ ÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå. Óêàçàíèå: Ââåäèòå îïåðàòîðû, àíàëîãè÷íûå îïåðàòîðàì ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ. 17 Ãëàâà 6 Êâàíòîâàÿ çàïóòàííîñòü 6.1 Ñèñòåìà äâóõ ñïèíîâ 6.1. Ïóñòü ñèñòåìà ñïèíîâ Àëèñû è Áîáà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè 1 Áàçèñ | ua ub i: | Ψ i = √ | ud i + | du i 2 | uu i , | ud i , | du i , | dd i . Âû÷èñëèòü ìàòðèöó ïëîòíîñòè Áîáà. ßâëÿåòñÿ ëè äàííîå ñîñòîÿíèå ñåïàðàáåëüíûì? 6.2. Ïóñòü ñèñòåìà ñïèíîâ Àëèñû è Áîáà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè 1 |Ψi = | ud i + | du i + | uu i + | dd i Áàçèñ | ua ub i: 2 | uu i , | ud i , | du i , | dd i . Âû÷èñëèòü ìàòðèöó ïëîòíîñòè Áîáà. ßâëÿåòñÿ ëè äàííîå ñîñòîÿíèå ñåïàðàáåëüíûì? 6.3. Ïóñòü ñèñòåìà ñïèíîâ Àëèñû è Áîáà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè 1 | ud i + | du i + | uu i + | dd i |Ψi = Áàçèñ | ua ub i: 2 | uu i , | ud i , | du i , | dd i . Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó èõ ñïèíàìè. ßâëÿåòñÿ ëè äàííîå ñîñòîÿíèå ñåïàðàáåëüíûì? 6.4. Ïóñòü ñèñòåìà ñïèíîâ Àëèñû è Áîáà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè 1 Áàçèñ | ua ub i: | Ψ i = √ | ud i + | du i 2 | uu i , | ud i , | du i , | dd i . Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó èõ ñïèíàìè. ßâëÿåòñÿ ëè äàííîå ñîñòîÿíèå ñåïàðàáåëüíûì? 18

Задачи по квантовой механике

Related documents

Products

Support

Задачи по квантовой механике

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib