Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, îñåíü 2013 Ëåêöèÿ 1: ìíîæåñòâà è îïåðàöèè íàä íèìè Êðàòêîå ñîäåðæàíèå Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà. Çàäàíèå ìíîæåñòâà ïåðå÷èñëåíèåì è îïðåäåëÿþùèì ñâîéñòâîì. Îòíîøåíèå ïîäìíîæåñòâà è åãî ñâîéñòâà: ðåôëåêñèâíîñòü, àíòèñèììåòðè÷íîñòü, òðàíçèòèâíîñòü. Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ. Ïóñòîå ìíîæåñòâî è åãî åäèíñòâåííîñòü. Ïàðàäîêñ Ðàññåëà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè: îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, ðàçíîñòü, ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü, äîïîëíåíèå. Äèàãðàììû Ýéëåðà. Òîæäåñòâà: êîììóòàòèâíîñòü, àññîöèàòèâíîñòü, äèñòðèáóòèâíîñòü, çàêîíû äå Ìîðãàíà. Äîêàçàòåëüñòâà ïðè ïîìîùè äèàãðàìì Ýéëåðà è íåïîñðåäñòâåííûå. Óïîðÿäî÷åííûå ïàðû è êîðòåæè. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâà ñòåïåíü. Èõ ñâîéñòâà. 1 Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ìíîæåñòâ Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíûé íàáîð (ñîâîêóïíîñòü, êëàññ, ñåìåéñòâî) êàêèõ-ëèáî îáúåêòîâ. Îáúåêòû, âõîäÿùèå âî ìíîæåñòâî, íàçûâàþòñÿ åãî ýëåìåíòàìè. Åñëè îáúåêò íàäëåæèò A, è ïèøóò x ÿâëÿåòñÿ x ∈ A. ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A, òî ãîâîðÿò, ÷òî x ïðè- Íà ñàìîì äåëå ýòî îïðåäåëåíèå ôîðìàëüíî íè÷åãî íå îïðåäåëÿåò, òàê êàê ññûëàåòñÿ íà åù¼ íå îïðåäåë¼ííîå ñëîâî íàáîð. Ïîëíîñòüþ âûéòè èç ýòîé ñèòóàöèè íåëüçÿ, âåäü öåïî÷êó îïðåäåëåíèé íàäî ñ ÷åãî-òî íà÷èíàòü. Îáû÷íî ñàìè ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâà è ïðèíàäëåæíîñòè ñ÷èòàþò áàçîâûìè, à íàïèñàííîå âûøå îïðåäåëåíèå ëèøü ïîÿñíåíèåì.  íàèâíîé òåîðèè ìíîæåñòâ íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà ñîñòàâ ýëåìåíòîâ íåò. Èç-çà ýòîãî âîçíèêàþò ïàðàäîêñû, î êîòîðûõ ìû ïîãîâîðèì ÷óòü ïîçæå. Åñòü äâà ñòàíäàðòíûõ ñïîñîáà çàïèñè ìíîæåñòâ. Ïåðâûé ïðîñòîå ïåðå÷èñëåíèå ýëåìåíòîâ, íàïðèìåð A = {1, 8, 14, 345} èëè N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }1 . Ïðè ýòîì êàæäûé ýëåìåíò äîëæåí âñòðå÷àòüñÿ â ïåðå÷èñëåíèè ðîâíî îäèí ðàç: çàïèñü ïðèçíàòü ëèáî íå èìåþùåé ñìûñëà, ëèáî ýêâèâàëåíòíîé {1, 1, 2, 3} íóæíî {1, 2, 3}. Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò ìóëüòèìíîæåñòâà, â êîòîðûå êàæäûé ýëåìåíò ìîæåò âõîäèòü íåñêîëüêî ðàç, íî â íàøåì êóðñå òàêîãî íå áóäåò. Ïðè çàïèñè ìíîæåñòâ íå âàæåí ïîðÿäîê, â êîòîðîì èäóò ýëåìåíòû: íàïðèìåð, çàïèñè {1, 2, 3}, {2, 3, 1} è {3, 1, 2} çàäàþò îäíî è òî æå ìíîæåñòâî. Ïðè çàïèñè áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ èñïîëüçóþò ìíîãîòî÷èå (. . . ), êîãäà ñ÷èòàþò, ÷òî 2 ïðèíöèï ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà ïîíÿòåí èç ïåðâûõ íåñêîëüêèõ ýëåìåíòîâ . 1 Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà÷èíàþòñÿ ñ íóëÿ, ò.å. îòâå÷àþò íà âîïðîñ ñêîëü- êî? ×àñòî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà÷èíàþòñÿ ñ åäèíèöû, ò.å. îòâå÷àþò íà âîïðîñ êàêîé ïî ñ÷¼òó? Âûáîð òîãî èëè èíîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ äåëîì âêóñà è òðàäèöèé, îáúåêòèâíîé èñòèíû òóò íåò. 2 Îäíàêî, òóò íàäî áûòü îñòîðîæíûì: âîîáùå ãîâîðÿ, ëþáóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæíî ïðîäîëæèòü êàê óãîäíî. Íàïðèìåð, èçâåñòíà øóòêà Äóãëàñà Õîôøòàäòåðà: ïðîäîëæèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (0, 1, 2, . . . ). Îòâåòîì áóäåò 720! (ôàêòîðèàë ñåìèñîò äâàäöàòè). Çàêîíîìåðíîñòü ïîïðîáóéòå óãàäàòü ñàìîñòîÿòåëüíî. 1 Âòîðîé ñïîñîá çàäàíèÿ ìíîæåñòâ ôîðìóëèðîâêà îïðåäåëÿþùåãî ñâîéñòâà (ïîàíãëèéñêè ýòîò ñïîñîá íàçûâàåòñÿ set builder notation).  ýòîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàþòñÿ âñå ýëåìåíòû, óäîâëåòâîðÿþùèå íåêîòîðîìó ñâîéñòâó. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ x. {x | x > 0} ×àñòî ÿâíî óêàçûâàþò, êàêîìó îáúåìëþùåìó ìíî- æåñòâó äîëæíû ïðèíàäëåæàòü âñå ýëåìåíòû. Íàïðèìåð, ñòâî âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Èíîãäà {x ∈ R | x > 0} ìíîæåâìåñòî ÷åðòû (|) èñïîëüçóþò äâîåòî÷èå ( : ), îñîáåííî êîãäà ÷åðòà óæå âñòðå÷àåòñÿ â ôîðìóëå. Íàïðèìåð, çàïèñü {x ∈ R : |x| < 1} âûãëÿäèò ëó÷øå, ÷åì áîëåå ñëîæíûå âûðàæåíèÿ. Íàïðèìåð, {x ∈ R | |x| < 1}. Ñëåâà îò ÷åðòû ìîãóò ñòîÿòü {(a, b, c) | a2 + b2 = c2 , a, b, c ∈ N, a, b, c > 0} îáî- çíà÷àåò ìíîæåñòâî âñåõ ïèôàãîðîâûõ òðîåê, à . {a2 | a ∈ N, a..2} îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî âñåõ òî÷íûõ ÷¼òíûõ êâàäðàòîâ. 2 Ïîäìíîæåñòâî. Ïóñòîå ìíîæåñòâî A ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B , åñëè ëþáîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A òàêæå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó B . Îáîçíà÷åíèå: A ⊂ B . Ìíîæåñòâà A è B ðàâíû, åñëè îäíîâðåìåííî A ⊂ B è B ⊂ A. Îáîçíà÷åíèå: A = B . Îïðåäåëåíèå 2. Ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ìîæíî âûâåñòè íåçàâèñèìîñòü ìíîæåñòâà îò ïîðÿäêà çàïèñè ýëåìåíòîâ è ìíîãîêðàòíîãî ïîâòîðåíèÿ ýëåìåíòîâ, âåäü ïî ýòîìó îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà {1, 2, 3}, {1, 1, 1, 2, 2, 3} Óòâåðæäåíèå 3. c) d) e) f) {2, 1, 3} ðàâíû. Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: a) Ðåôëåêñèâíîñòü b) è ⊂: äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A âûïîëíåíî A ⊂ A; Àíòèñèììåòðè÷íîñòü ⊂: åñëè A ⊂ B è B ⊂ A, òî A = B ; Òðàíçèòèâíîñòü ⊂: åñëè A ⊂ B è B ⊂ C , òî A ⊂ C ; Ðåôëåêñèâíîñòü =: äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A âûïîëíåíî A = A; Ñèììåòðè÷íîñòü =: åñëè A = B , òî B = A; Òðàíçèòèâíîñòü =: åñëè A = B è B = C , òî A = C . Äîêàçàòåëüñòâî îñòà¼òñÿ ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 4. Ïóñòûì ìíîæåñòâîì ∅ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà. Íà ïåðâûé âçãëÿä ìíîæåñòâà, íå ñîäåðæàùèå íè îäíîãî ýëåìåíòà, ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî øåñòèíîãèõ ìëåêîïèòàþùèõ è ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà 4, êàæóòñÿ ðàçíûìè. Îäíàêî, ýòè ìíîæåñòâà ðàâíû ïî íàøåìó îïðåäåëåíèþ. Äåéñòâèòåëüíî, íåâîçìîæíî ïðåäúÿâèòü øåñòèíîãîå ìëåêîïèòàþùåå, íå ÿâëÿþùååñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì, äåëÿùèìñÿ íà 4. Çíà÷èò, ëþáîå øåñòèíîãîå ìëåêîïèòàþùåå òàêèì ÷èñëîì ÿâëÿåòñÿ. Àíàëîãè÷íî, âåðíî è îáðàòíîå. Çíà÷èò, ýòè ìíîæåñòâà ðàâíû. Òàêèå ðàññóæäåíèÿ ìîãóò áûòü íåïðèâû÷íû, íî ñ èõ ñïðàâåäëèâîñòüþ ïðèõîäèòñÿ ñîãëàøàòüñÿ. ×àñòî ãîâîðÿò, ÷òî ýëåìåíòû ïóñòîãî ìíîæåñòâà îáëàäàþò ëþáûìè ñâîé- ñòâàìè. Ýòî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: 2 Óòâåðæäåíèå 5. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà Çà÷àñòóþ çíàêè A âûïîëíåíî ∅ ⊂ A. ∈ (ïðèíàäëåæíîñòü) è ⊂ (ïîäìíîæåñòâî) ïóòàþò. Ýòî ãðóáàÿ îøèá- êà: ïåðâûé çíàê îòíîñèòñÿ ê îáúåêòó è ìíîæåñòâó, âòîðîé ê äâóì ìíîæåñòâàì. Îñîáåííî âíèìàòåëüíûì íóæíî áûòü, åñëè îáúåêòû ñàìè ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâàìè. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî {3}. 3 A = {1, 2, {3}} ñîñòîèò èç ÷èñëà 1, ÷èñëà 2 è îäíîýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà {3} ∈ A, íî {3} 6⊂ A. È íàîáîðîò, {1} ⊂ A, íî {1} 6∈ A. Äëÿ íåãî áóäåò âûïîëíåíî Ïàðàäîêñ Ðàññåëà Ñ îòíîøåíèåì ïðèíàäëåæíîñòè ñâÿçàí îòêðûòûé â 1901 ãîäó ïàðàäîêñ Ðàññåëà. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ, íå ÿâëÿþùèõñÿ ñîáñòâåííûìè ýëåìåíòàìè: M = {X | X 6∈ X}. ßâëÿåòñÿ ëè ýòî ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì? Ïóñòü íå ÿâëÿåòñÿ. Òîãäà M 6∈ M . Íî òîãäà X 6∈ X âûïîëíåíî ïðè X = M . Òî åñòü X ∈ M äëÿ X = M . Òî åñòü M ∈ M , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Íî è ñëó÷àé M ∈ M ïðîòèâîðå÷èâ. Äåéñòâèòåëüíî, òîãäà X 6∈ X íå âûïîëíåíî ïðè X = M . À òîãäà X 6∈ M äëÿ X = M , òî åñòü M 6∈ M . Çíà÷èò, ëþáîé îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ, ò.å. îòâåòèòü íà âîïðîñ íåëüçÿ. Ðàññóæäåíèÿ íàä ýòèì è äðóãèìè ïàðàäîêñàìè ïðèâåëè ê ïîñòðîåíèþ àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè ìíîæåñòâ (â ïðîòèâîâåñ íàèâíîé òåîðèè), â êîòîðîé ìíîæåñòâà ìîæíî ñòðîèòü íå êàê óãîäíî, à ëèøü ïî îïðåäåë¼ííûì ïðàâèëàì.  ÷àñòíîñòè, ñîîòíîøåíèå X∈X íå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî íèêîãäà, à ìíîæåñòâà âñåõ ìíîæåñòâ íå ñóùåñòâóåò. Èçó÷åíèå ýòîé òåîðèè âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà. 4 Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè Åñëè íåñêîëüêî ìíîæåñòâ óæå çàäàíû, òî ñ íèìè ìîæíî ïðîèçâîäèòü ðàçëè÷íûå îïåðàöèè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îïðåäåëåíî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî U (óíèâåðñóì ), êîòîðîìó çàâåäîìî ïðèíàäëåæàò âñå ýëåìåíòû âñåõ ìíîæåñòâ. Îïðåäåëåíèå 6. Ïóñòü çàäàíû ìíîæåñòâà U. A è B, ëåæàùèå â íåêîòîðîì óíèâåðñóìå Òîãäà: • • • • Îáúåäèíåíèåì A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A ∪ B = {x | x ∈ A èëè x ∈ B}. Ïåðåñå÷åíèåì A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A ∩ B = {x | x ∈ A è x ∈ B}. Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A \ B = {x | x ∈ A è x 6∈ B}. Ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A4B = {x | x ∈ A è x 6∈ B, èëè x ∈ B è x 6∈ A}. • Äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A = {x | x 6∈ A} = U \ A. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè èëëþñòðèðóþò íà äèàãðàììàõ, êîòîðûå ïðèíÿòî íàçûâàòü êðóãàìè Ýéëåðà èëè äèàãðàììàìè Âåííà. Êàæäîìó ìíîæåñòâó ñîîòâåòñòâóåò êðóã (èëè äðóãàÿ ãëàäêàÿ ôèãóðà), òàêàÿ ÷òî âñå òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè ôèãóðû, ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó, à îñòàëüíûå íå ïðèíàäëåæàò. Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàíà äèàãðàììà Ýéëåðà äëÿ ìíîæåñòâ áóêâ ëàòèíñêîãî, ãðå÷åñêîãî è ðóññêîãî àëôàâèòîâ. Êîãäà ðå÷ü èä¼ò îá îïåðàöèÿõ íàä ìíîæåñòâàìè, íóæíûå ìíîæåñòâà ïîêàçûâàþòñÿ øòðèõîâêîé. Íà ðèñóíêå 2 ìû ïðèâîäèì äèàãðàììû Ýéëåðà äëÿ âñåõ îñíîâíûõ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè. 3 Ðèñ. 1: Ïðèìåð äèàãðàììû Ýéëåðà, ïîêàçûâàþùåé áóêâû ëàòèíñêîãî, ãðå÷åñêîãî è ðóññêîãî àëôàâèòîâ Ðèñ. 2: Äèàãðàììû Ýéëåðà äëÿ îñíîâíûõ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè A∩B U A\B A∪B A B U A B A4B U A U A U B A 4 A B Óòâåðæäåíèå 7. Äëÿ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå òîæäå- ñòâà: a) Êîììóòàòèâíîñòü: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A, A4B = B4A; b) Àññîöèàòèâíîñòü: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (A4B)4C = A4(B4C); c) Äèñòðèáóòèâíîñòü: A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C), A∩(B ∪C) = (A∩B)∪(A∩C); d) Èäåìïîòåíòíîñòü: A ∪ A = A, A ∩ A = A; e) Çàêîíû äå Ìîðãàíà: (A ∪ B) = A ∩ B , (A ∩ B) = A ∪ B . Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäîå èç òîæäåñòâ ìîæíî äîêàçûâàòü ïðè ïîìîùè êðóãîâ Ýéëåðà èëè íåïîñðåäñòâåííî. Ìû ïðîäåìîíñòðèðóåì îáà ìåòîäà äëÿ òîæäåñòâà (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∪ (B ∩ C) = îñòàâèâ îñòàëüíûå â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ïðè ïîìîùè êðóãîâ Ýéëåðà. Ïîñìîòðèì âíà÷àëå íà ëåâóþ ÷àñòü C ðàâåíñòâà. Ìíîæåñòâî B ∩C A B . Ïîñëå îáú- èçîáðàæàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: C åäèíåíèÿ ñ A ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ êàðòèíà: A B . Òåïåðü ïîñìîòðèì íà ïðàâóþ C ÷àñòü. Ìíîæåñòâà A∪B è A∪C A C B èçîáðàæàþòñÿ êàê A è B ñîîòâåò- C A ñòâåííî.  ïåðåñå÷åíèè ïîëó÷àåòñÿ äèàãðàììà B , èäåíòè÷íàÿ ïîëó÷åííîé äëÿ ëåâîé ÷àñòè. Èäåíòè÷íîñòü äèàãðàìì è äîêàçûâàåò òîæäåñòâî. Íåïîñðåäñòâåííîå äîêàçàòåëüñòâî. ×òîáû äîêàçàòü ðàâåíñòâî äâóõ ìíîæåñòâ, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò êàæäîãî èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì äðóãîãî. Ïóñòü x ∈ A ∪ (B ∩ C). Ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ, ýòî çíà÷èò, ÷òî x ∈ A èëè x ∈ B ∩ C .  ïåðâîì ñëó÷àå x ∈ A ∪ B è x ∈ A ∪ C , îòêóäà x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Âî âòîðîì ñëó÷àå ïî îïðåäåëåíèþ ïåðåñå÷åíèÿ x ∈ B è x ∈ C . Çíà÷èò, x ∈ A ∪ B è x ∈ A ∪ C , à çíà÷èò x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Ïîëó÷èëè, ÷òî â ëþáîì ñëó÷àå x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Îáðàòíî, ïóñòü x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Òîãäà x ∈ A ∪ B è x ∈ A ∪ C . Åñëè x ∈ A, òî x ∈ A ∪ (B ∩ C). Åñëè æå x 6∈ A, òî ïîñêîëüêó x ∈ A ∪ B , âåðíî x ∈ B . Àíàëîãè÷íî x ∈ C . Çíà÷èò, x ∈ B ∩ C , îòêóäà x ∈ A ∪ (B ∩ C).  ëþáîì ñëó÷àå x ∈ A ∪ (B ∩ C).  èòîãå ëþáîé ýëåìåíò ëåâîé ÷àñòè ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ïðàâîé, è íàîáîðîò. Çíà÷èò, äâà ìíîæåñòâà ðàâíû, ÷òî è òðåáîâàëîñü. 5 5 Ïàðû è êîðòåæè. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå Êàê ìû óæå ãîâîðèëè, äëÿ ìíîæåñòâà íå âàæåí ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ýëåìåíòîâ. Ñòðóêòóðû, äëÿ êîòîðûõ ïîðÿäîê âàæåí, íàçûâàþòñÿ êîðòåæàìè. Íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, êîð- òåæ ýòî êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ. Ôîðìàëüíî èñïîëüçóþò ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå, îïèðàþùååñÿ ëèøü íà ïîíÿòèå ìíîæåñòâà: Îïðåäåëåíèå 8. êîðòåæ äëèíû íàçûâàåòñÿ Êîðòåæåì äëèíû 0 íàçûâàåòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî. Åñëè T n, òî (a, a1 , . . . , an ) = {a, {a, T }} n + 1. åñòü êîðòåæ = (a1 , . . . , an ) Êîðòåæ äëèíû 2 óïîðÿäî÷åííîé ïàðîé. Òàêèì îáðàçîì, óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà (a, b) ýòî ìíîæåñòâî {a, {a, {b, {b, ∅}}}}. Ìîæ- íî îïðåäåëÿòü óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó è äðóãèìè ñïîñîáàìè. Íàïðèìåð: • Îïðåäåëåíèå Âèíåðà: • Îïðåäåëåíèå Õàóñäîðôà: îò a, b (a, b) = {{{a}, ∅}, {{b}}}; (a, b) = {{a, 1}, {b, 2}}, ãäå 1 è 2 ñóòü îáúåêòû, îòëè÷íûå è äðóã îò äðóãà; • Îïðåäåëåíèå Êóðàòîâñêîãî: (a, b) = {{a}, {a, b}}; • Óïðîù¼ííîå îïðåäåëåíèå Êóðàòîâñêîãî: (a, b) = {a, {a, b}}. Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî îïðåäåëåíèå êîðòåæà ñîãëàñîâàíî ñ ïîñëåäíèì îïðåäåëåíèåì ïà- n + 1 åñòü óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà èç ñâîåãî ïåðâîãî n èç îñòàâøèõñÿ ýëåìåíòîâ. Äðóãèì äîñòîèíñòâîì ïîñëåäíå- ðû â òîì ñìûñëå, ÷òî êîðòåæ äëèíû ýëåìåíòà è êîðòåæà äëèíû ãî îïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ èíòóèòèâíûé ñìûñë: ÷òîáû îïðåäåëèòü óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó, íóæíî çàäàòü äâà ýëåìåíòà è ñêàçàòü, êàêîé èç íèõ ïåðâûé. Íåäîñòàòîê çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðè a=b Îïðåäåëåíèå 9. îíî âûðîæäàåòñÿ â Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð A {a, {a}}. A è B A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. Äåêàðòîâîé n ýëåìåíòîâ A. íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ñòåïåíüþ An ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî êîðòåæåé äëèíû Ïîíÿòèå äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ îáîáùàåò èäåþ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò: äåêàðòîâà ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ îñåé. À, íàïðèìåð, ïðÿìîóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ îòðåçêîâ. ×òîáû áûëî óäîáíåå îáðàùàòüñÿ ñ ïîíÿòèåì äåêàðòîâîé ñòåïåíè, íóæíî ââåñòè íåêî1 òîðûå îòîæäåñòâëåíèÿ. Âî-ïåðâûõ, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî òîæäåñòâî A = A, íóæíî (a) è ýëåìåíò a.3 Âî-âòîðûõ, åñëè n1 6 n2 6 · · · 6 nk íàòóðàëüíûå ÷èñëà, à T1 = (a1 , . . . , an1 ), T2 = (an1 +1 , . . . , an2 ), . . . , Tk = (ank−1 +1 , . . . , ank ) êîðòåæè, òî îòîæäåñòâèì êîðòåæ êîðòåæåé (T1 , . . . , Tk ) è êîðòåæ (a1 , . . . , ank ). Ïðè îòîæäåñòâèòü êîðòåæ òàêîì îòîæäåñòâëåíèè âûïîëíåíî ñëåäóþùåå Óòâåðæäåíèå 10. a) Ïðè âñåõ A, B , C , n, m âûïîëíåíû ðàâåíñòâà: A × (B × C) = (A × B) × C ; 3 Ìîæíî áûëî áû íà÷àòü îïðåäåëåíèå êîðòåæà íå ñ äëèíû 0, à ñ äëèíû 1, è ñêàçàòü. ÷òî êîðòåæ èç îäíîãî ýëåìåíòà ýòî ñàì ýëåìåíò. 6 b) c) d) An = A × A × · · · × A (n An × Am = An+m ; (An )m = Anm . ðàç); x ∈ An × Am . Òîãäà x = (y, z) äëÿ íåêîòîðûõ y ∈ A è z ∈ A . Òîãäà y = (a1 , . . . , an ) è z = (b1 , . . . , bm ), ãäå âñå ai è bj ëåæàò â A. Ñîãëàñíî íàøåìó îòîæäåñòâëåíèþ x = (a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ), òî n+m åñòü x åñòü êîðòåæ n + m ýëåìåíòîâ èç A. Çíà÷èò, x ∈ A . n+m Îáðàòíî, ïóñòü x ∈ A . Òîãäà x = (c1 , c2 , . . . , cn+m ), ãäå âñå ci ∈ A. Ñîãëàñíî n íàøåìó îòîæäåñòâëåíèþ x = ((c1 , . . . , cn ), (cn+1 , . . . , cn+m )), à ïîñêîëüêó (c1 , . . . , cn ) ∈ A m n m è (cn+1 , . . . , cn+m ) ∈ A , ïîëó÷àåì, ÷òî x ∈ A × A . Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðèìåðà äîêàæåì òðåòüå ðàâåíñòâî. Ïóñòü n m Çíà÷èò, êàæäîå ìíîæåñòâî âêëþ÷åíî â äðóãîå, è ïîòîìó îíè ðàâíû. Çàìå÷àíèå 11. Ôîðìàëüíî íàøå îòîæäåñòâëåíèå êîðòåæåé çàäà¼ò îòíîøåíèå ýêâè- âàëåíòíîñòè, à ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ íàäî ïîíèìàòü òàê, ÷òî äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà îäíîãî ìíîæåñòâà íàéä¼òñÿ ðîâíî îäèí ýëåìåíò äðóãîãî ìíîæåñòâà, ýêâèâàëåíòíûé x x. Áîëåå ïîäðîáíî îá îòíîøåíèÿõ ýêâèâàëåíòíîñòè ìû ïîãîâîðèì íà ÷åòâ¼ðòîé ëåêöèè. 7