тв (2)

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 1. Êîìáèíàòîðèêà
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
1 / 16
Ïëàí
1
2
3
4
5
6
7
Ïåðåñòàíîâêè.
Ðàçìåùåíèÿ.
Ñî÷åòàíèÿ.
Ïðàâèëî ïðîèçâåäåíèÿ.
Ïðàâèëî ñëîæåíèÿ.
Ïåðåñòàíîâêè ñ ïîâòîðåíèÿìè.
Ñî÷åòàíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
2 / 16
Ïåðåñòàíîâêè
Ïåðåñòàíîâêàìè íàçûâàþòñÿ êîìáèíàöèè, ñîñòîÿùèå èç îäíèõ è òåõ æå n ðàçëè÷íûõ
ýëåìåíòîâ è îòëè÷àþùèõñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì èõ ðàñïîëîæåíèÿ. ×èñëî âñåõ âîçìîæíûõ
ïåðåñòàíîâîê îáîçíà÷àåòñÿ Pn è ðàâíî Pn = n!.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
3 / 16
Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàññàäèòü 5 ÷åëîâåê íà 5 ìåñò?
.
.
120 ñïîñîáîâ.
Ñêîëüêî ÷åòûð¼õçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæíî ñîñòàâèòü èç ÷åòûð¼õ êàðòî÷åê ñ
öèôðàìè 0, 5, 7, 9?
???????????
Çàäà÷à 1.
Ðåøåíèå:
n = 5 P5 = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
Îòâåò:
Çàäà÷à 2.
Ðåøåíèå:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
4 / 16
Ðàçìåùåíèÿ
Ðàçìåùåíèÿìè íàçûâàþòñÿ êîìáèíàöèè, ñîñòîÿùèå èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïî m
ýëåìåíòîâ, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ ëèáî ñîñòàâîì ýëåìåíòîâ, ëèáî ïîðÿäêîì èõ
ðàñïîëîæåíèÿ. ×èñëî âñåõ âîçìîæíûõ ðàçìåùåíèé îáîçíà÷àåòñÿ Amn è ðàâíî
P
n!
Am
n = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − m + 1) = (n−m)! = (n−m)! .
n
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
5 / 16
Áîðÿ, Äèìà è Âîëîäÿ ñåëè èãðàòü â ¾î÷êî¿. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè èì
ìîæíî ñäàòü ïî îäíîé êàðòå? (êîëîäà ñîäåðæèò 36 êàðò)
36!
36!
= 34 · 35 · 36 = 42840.
n = 36, m = 3. A336 = (36−3)!
= 33!
42 840 ñïîñîáîâ.
 ñòóäåí÷åñêîé ãðóïïå 23 ÷åëîâåêà. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáðàòü
ñòàðîñòó è åãî çàìåñòèòåëÿ?
23!
23!
n = 23, m = 2. A223 = (23−2)!
= 21!
= 22 · 23 = 506.
506 ñïîñîáîâ.
Çàäà÷à 3.
Ðåøåíèå:
Îòâåò:
Çàäà÷à 4.
Ðåøåíèå:
Îòâåò:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
6 / 16
Ñî÷åòàíèÿ
Ñî÷åòàíèÿìè íàçûâàþòñÿ êîìáèíàöèè, ñîñòîÿùèå èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïî m
ýëåìåíòîâ, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ñîñòàâîì ýëåìåíòîâ. ×èñëî
âñåõ âîçìîæíûõ
P
n!
ñî÷åòàíèé îáîçíà÷àåòñÿ Cnm è ðàâíî Cnm = m!(n−m)!
= m!(n−m)!
= Am! .
Ñâîéñòâà ñî÷åòàíèé:
Cn0 = 1;
Cn1 = n;
Cnm = Cnn−m ;
m = C m + C m−1 ;
Cn+1
n
n
0
1
2
Cn + Cn + Cn + . . . + Cnn = 2n .
Ñâÿçü ñî÷åòàíèé, ðàçìåùåíèé, ïåðåñòàíîâîê:
n
m
n
1
2
3
4
5
m
Am
n = P m · Cn
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
7 / 16
Çàäà÷à 5.
äåòàëè?
Ðåøåíèå:
Îòâåò:
 ÿùèêå íàõîäèòñÿ 15 äåòàëåé. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âçÿòü 4
.
4 =
n = 15, m = 4 C15
15!
4!(15−4)!
=
15!
4!·11!
12·13·14·15
=
= 13 · 7 · 15 = 1365
3·4
1·2·
.
1 365 ñïîñîáîâ.
Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè èç êîëîäû â 36 êàðò ìîæíî âûáðàòü 3 êàðòû?
36!
36!
34·35·36
3 =
n = 36, m = 3. C36
3!(36−3)! = 3!·33! = 1·2·3 = 34 · 35 · 6 = 7140.
7 140 ñïîñîáîâ.
Çàäà÷à 6.
Ðåøåíèå:
Îòâåò:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
8 / 16
Ïðàâèëî ïðîèçâåäåíèÿ
Ïóñòü íåîáõîäèìî âûïîëíèòü îäíî çà äðóãèì R äåéñòâèé, ïðè÷¼ì ïåðâîå äåéñòâèå
ìîæíî âûïîëíèòü n1 ÷èñëîì ñïîñîáîâ, âòîðîå äåéñòâèå n2 ÷èñëîì ñïîñîáîâ, . . . ,
R-òîå äåéñòâèå nR ÷èñëîì ñïîñîáîâ, òîãäà âñå R äåéñòâèé ìîæíî âûïîëíèòü ÷èñëîì
ñïîñîáîâ N = n1 · n2 · . . . · nR .
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
9 / 16
Ïðàâèëî ñëîæåíèÿ
Ïóñòü íåîáõîäèìî âûïîëíèòü îäíî èç R äåéñòâèé áåç óêàçàíèÿ êàêîå èìåííî, ïðè÷¼ì
ïåðâîå äåéñòâèå ìîæíî âûïîëíèòü n1 ÷èñëîì ñïîñîáîâ, âòîðîå äåéñòâèå n2 ÷èñëîì
ñïîñîáîâ, . . . , R-òîå äåéñòâèå nR ÷èñëîì ñïîñîáîâ, òîãäà ëþáîå èç R äåéñòâèé, áåç
óêàçàíèÿ êàêîå èìåííî, ìîæíî âûïîëíèòü ÷èñëîì ñïîñîáîâ N = n1 + n2 + . . . + nR .
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
10 / 16
Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò òð¼õçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 5?
Òðåõçíà÷íîå ÷èñëî ñîñòîèò èç òð¼õ öèôð, óñëîâíî ïðåäñòàâèì èõ ***. Íà
ïåðâîì ìåñòå ìîæåò ñòîÿòü ëþáàÿ èç 9 öèôð (êðîìå íóëÿ), íà âòîðîì ìåñòå ìîæåò
ñòîÿòü àáñîëþòíî ëþáàÿ öèôðà (èõ 10), à òðåòüåì, äëÿ äåëèìîñòè íà 5, ìîæåò ñòîÿòü
òîëüêî 0 èëè 5. Ïîëó÷àåì N = 9 · 10 · 2 = 180.
180 ÷èñåë.
Ñòóäåí÷åñêàÿ ãðóïïà ñîñòîèò èç 23 ÷åëîâåê, ñðåäè êîòîðûõ 10 þíîøåé è 13
äåâóøåê. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáðàòü äâóõ ÷åëîâåê îäíîãî ïîëà?
Âûáðàòü äâóõ äåâóøåê ìîæíî ÷èñëîì ñïîñîáîâ nd = C132 = 78. Âûáðàòü
äâóõ þíîøåé ìîæíî ÷èñëîì ñïîñîáîâ ny = C102 = 45. Ïîëó÷àåì N = 78 + 45 = 123.
123 ñïîñîáà.
Ñêîëüêî ÷åòûð¼õçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæíî ñîñòàâèòü
èç ÷åòûð¼õ êàðòî÷åê ñ öèôðàìè 0, 5, 7, 9?
Ðåøåíèå: N = 3 · 3 · 2 · 1 = 18.
Îòâåò: 18 ÷èñåë.
Çàäà÷à 7.
Ðåøåíèå:
Îòâåò:
Çàäà÷à 8.
Ðåøåíèå:
Îòâåò:
Çàäà÷à 2.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
11 / 16
Ïåðåñòàíîâêè ñ ïîâòîðåíèÿìè
Êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ìîæíî ïåðåñòàâèòü n îáúåêòîâ (n = n1 + n2 + . . . + nk ),
ñðåäè êîòîðûõ 1-é îáúåêò ïîâòîðÿåòñÿ n1 ðàç, 2-é îáúåêò n2 ðàç, . . . , k-é îáúåêò nk ðàç, Pen = n !·n n!!·...·n ! .
1
2
k
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
12 / 16
Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ áóêâîñî÷åòàíèé ìîæíî ïîëó÷èòü ïåðåñòàíîâêîé
êàðòî÷åê ñî ñëåäóþùèìè áóêâàìè: Ê, Î, Ë, Î, Ê, Î, Ë, Ü, ×, È, Ê?
Áóêâà Ê âñòðå÷àåòñÿ 3 ðàçà, áóêâà Î 3 ðàçà, áóêâà Ë 2 ðàçà, áóêâà Ü 1 ðàç, áóêâà × 1 ðàç, áóêâà È 1 ðàç.
11!
6·7·8·9·10·11 = 2 · 5 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 = 554400.
n = 11. Pe11 = 3!·3!·2!·1!·1!·1!
= 4·5·
2·3·1·2·1·1·1
1·
554 400 ðàçëè÷íûõ áóêâîñî÷åòàíèé.
Àëåêñåé çàíèìàåòñÿ ñïîðòîì, ïðè÷¼ì 4 äíÿ â íåäåëþ ë¼ãêîé àòëåòèêîé,
2 äíÿ ñèëîâûìè óïðàæíåíèÿìè è 1 äåíü îòäûõàåò. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè îí ìîæåò
ñîñòàâèòü ñåáå ðàñïèñàíèå çàíÿòèé íà íåäåëþ?
7!
n = 7. Pe7 = 4!·2!·1!
= 5·6·7
1·2·1 = 5 · 3 · 7 = 105.
105 ñïîñîáîâ.
Çàäà÷à 9.
Ðåøåíèå:
Îòâåò:
Çàäà÷à 10.
Ðåøåíèå:
Îòâåò:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
13 / 16
Ñî÷åòàíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè
Äëÿ âûáîðà ïðåäëîæåíî n ìíîæåñòâ, êàæäîå èç êîòîðûõ ñîñòîèò èç îäèíàêîâûõ îáúåêòîâ.
Êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ìîæíî âûáðàòü m îáúåêòîâ çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé Cenm =
m
Cn+m−1
= (n+m−1)!
m!(n−1)! .
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
14 / 16
 ñòóäåí÷åñêîé ñòîëîâîé ïðîäàþò ñîñèñêè â òåñòå, âàòðóøêè è ïîí÷èêè.
Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïðèîáðåñòè ïÿòü ïèðîæêîâ?
Èç òð¼õ âèäîâ, âûáèðàåòñÿ 5 èçäåëèé, ñëåäîâàòåëüíî, n = 3, m = 5.
7!
7!
6·7
5
e5 = C 5
C
3
3+5−1 = C7 = 5!(7−5)! = 5!2! = 1·2 = 3 · 7 = 21.
21 ñïîñîá.
 êîøåëüêå íàõîäèòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî 1-, 2-, 5- è
10-ðóáë¼âûõ ìîíåò. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî èçâëå÷ü òðè ìîíåòû èç êîøåëüêà?
Èç ÷åòûð¼õ âèäîâ ìîíåò, âûáèðàåòñÿ 3 ìîíåòû ñ ïîâòîðàìè, ñëåäîâàòåëüíî,
n = 4, m = 3.
6!
6!
4·5·
6
3
e3 = C 3
C
4
4+3−1 = C6 = 3!(6−3)! = 3!3! = 1·
= 4 · 5 = 20.
2·3
20 ñïîñîáîâ.
Çàäà÷à 11.
Ðåøåíèå:
Îòâåò:
Çàäà÷à 12.
Ðåøåíèå:
Îòâåò:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
15 / 16
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êîìáèíàòîðèêà
16 / 16
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 2.1. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
1 / 14
Ïëàí
1
2
3
4
5
6
Ñîáûòèÿ.
Ïðîèçâåäåíèå.
Ñóììà.
Ðàçíîñòü.
Ñëåäñòâèå.
Âåðîÿòíîñòü.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
2 / 14
Ñîáûòèÿ
Ïðè îïûòå ñî ñëó÷àéíûì èñõîäîì èìååòñÿ ìíîæåñòâî Ω âñåõ âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà.
Êàæäûé ýëåìåíò ýòîãî ìíîæåñòâà ω ∈ Ω íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì, ñàìî
ìíîæåñòâî Ω ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé.
Ëþáîå ñîáûòèå A ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Ω: A ⊆ Ω. Ïðè÷¼ì, åñëè A = Ω, òî A
íàçûâàþò äîñòîâåðíûì ñîáûòèåì, à åñëè A = ∅, òî A íàçûâàþò íåâîçìîæíûì
ñîáûòèåì.
A
Ω
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
3 / 14
Ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå
Ïðîòèâîïîëîæíûì ñîáûòèåì ê ñîáûòèþ A íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå Ā, ñîñòîÿùåå â
íåâûïîëíåíèè ñîáûòèÿ A.
A
Ω
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
4 / 14
Ïðîèçâåäåíèå
Ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â âûïîëíåíèè
ñîáûòèé A è B îäíîâðåìåííî. Îáîçíà÷àåòñÿ êàê AB .
A
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
B
Ω
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
5 / 14
Ñóììà
Ñóììîé äâóõ ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â âûïîëíåíèè ñîáûòèÿ A
èëè ñîáûòèÿ B èëè ñîáûòèé A è B îäíîâðåìåííî. Îáîçíà÷àåòñÿ êàê A + B .
A
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
B
Ω
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
6 / 14
Íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ
A
è B íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ, åñëè AB = ∅.
A
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
B
Ω
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
7 / 14
Ðàçíîñòü
Ñîáûòèå A áåç ñîáûòèÿ B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â âûïîëíåíèè ñîáûòèÿ A è
íåâûïîëíåíèè ñîáûòèÿ B îäíîâðåìåííî. Îáîçíà÷àåòñÿ êàê A\B .
A
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
B
Ω
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
8 / 14
Ñëåäñòâèå
Ñîáûòèå A âëå÷¼ò ñîáûòèå B . Îáîçíà÷àåòñÿ êàê A ⊂ B .
A
B
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ω
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
9 / 14
Ïðè áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè, ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ
áóäåò Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ïðè áðîñàíèè äâóõ èãðàëüíûõ êîñòåé, ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ
èñõîäîâ áóäåò
Ω = { 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6;
2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6;
3,1; 3,2; 3,3; 3,4; 3,5; 3,6;
4,1; 4,2; 4,3; 4,4; 4,5; 4,6;
5,1; 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 5,6;
6,1; 6,2; 6,3; 6,4; 6,5; 6,6 }.
Ïðèìåð 1.
Ïðèìåð 2.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
10 / 14
Ñóììîé ñîáûòèé A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} è B = {3, 6, 9, 12} áóäåò
.
Ïðîèçâåäåíèåì ñîáûòèé A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} è B = {3, 6, 9, 12} áóäåò
AB = {3, 6}.
Ðàçíîñòüþ ñîáûòèé A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} è B = {3, 6, 9, 12} áóäåò
A\B = {1, 2, 4, 5} èëè B\A = {9, 12}.
Ïðèìåð 3.
A + B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12}
Ïðèìåð 4.
Ïðèìåð 5.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
11 / 14
Âåðîÿòíîñòü
Êàæäîìó ñîáûòèþ A ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå ÷èñëî P (A), íàçûâàåìîå
âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ. Ïîñêîëüêó ëþáîå ñîáûòèå ýòî ìíîæåñòâî, òî âåðîÿòíîñòü ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà.
Âåðîÿòíîñòè äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:
âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ çàêëþ÷åíà ìåæäó íóë¼ì è åäèíèöåé 0 ≤ P (A) ≤ 1;
P (∅) = 0;
P (Ω) = 1;
åñëè AB = ∅ (A è B íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ),
òî P (A + B) = P (A) + P (B).
1
2
3
4
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
12 / 14
Äîïîëíèòåëüíûå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè
1
2
3
Åñëè AB ̸= ∅ (A è B ñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ), òî
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB);
ñóììà âåðîÿòíîñòåé ïðîòèâîïîëîæíûõ ñîáûòèé ðàâíà åäèíèöå P (A) + P (Ā) = 1;
P (A\B) = P (A) − P (AB) (P (B\A) = P (B) − P (AB)).
A
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
B
Ω
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
13 / 14
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ
14 / 14
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 2.2. Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
1 / 11
Ôîðìóëà êëàññè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè
P (A) =
|A|
,
|Ω|
(1)
ìîùíîñòü ìíîæåñòâà A, |Ω| ìîùíîñòü ìíîæåñòâà Ω.
.
|A|
0 ≤ P (A) ≤ 1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
2 / 11
 óðíå íàõîäèòñÿ 15 áåëûõ, 5 êðàñíûõ è 10 ÷¼ðíûõ øàðîâ. Íàóãàä èçâëåêàåòñÿ
1 øàð, íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí áóäåò: à) áåëûì; á) êðàñíûì; â) ÷¼ðíûì.
Ïðèìåð 1.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
3 / 11
 óðíå íàõîäèòñÿ 15 áåëûõ, 5 êðàñíûõ è 10 ÷¼ðíûõ øàðîâ. Íàóãàä èçâëåêàåòñÿ
1 øàð, íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí áóäåò: à) áåëûì; á) êðàñíûì; â) ÷¼ðíûì.
Ïðèìåð 1.
Ðåøåíèå:
|Ω| = 15 + 5 + 10 = 30
à) |Aá| = 15
P (Aá ) = 15
30 = 0, 5;
|Aê | = 5
5
= 16 ;
P (Aê ) = 30
|A÷ | = 10
1
P (A÷ ) = 10
30 = 3 .
Îòâåò:
P (Aá ) = 0, 5;
á)
â)
à)
á) P (Aê) = 16 ; â) P (A÷) = 13 .
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
3 / 11
Âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ
(2)
 óðíå íàõîäèòñÿ 15 áåëûõ, 5 êðàñíûõ è 10 ÷¼ðíûõ øàðîâ. Íàóãàä èçâëåêàåòñÿ
1 øàð, íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí áóäåò: ã) íå áåëûì; ä) çåë¼íûì; å) íå çåë¼íûì.
P (A) = 1 − P (A).
Ïðèìåð 1.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
4 / 11
Âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ
(2)
 óðíå íàõîäèòñÿ 15 áåëûõ, 5 êðàñíûõ è 10 ÷¼ðíûõ øàðîâ. Íàóãàä èçâëåêàåòñÿ
1 øàð, íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí áóäåò: ã) íå áåëûì; ä) çåë¼íûì; å) íå çåë¼íûì.
ã) |Aá| = 15
P (A) = 1 − P (A).
Ïðèìåð 1.
Ðåøåíèå:
P (Aá ) = 1 − 15
30 = 0, 5;
|Aç | = 0
0
P (Aç ) = 30
= 0;
P (Aç ) = 1 − 0 = 1.
Îòâåò:
P (Aá ) = 0, 5;
ä)
å)
ã)
ä) P (Aç) = 0; å) P (Aç) = 1 − 0 = 1.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
4 / 11
Íàáèðàÿ íîìåð òåëåôîíà, àáîíåíò çàáûë äâå ïîñëåäíèå öèôðû, íî ïîìíèò,
÷òî îäíà èç íèõ íîëü, à äðóãàÿ íå÷¼òíàÿ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí íàáåð¼ò
ïðàâèëüíûé íîìåð.
íîëü ýòî ÷¼òíîå ÷èñëî (äåëèòñÿ íà 2 áåç îñòàòêà).
Ïðèìåð 2.
Ïðèìå÷àíèå:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
5 / 11
Íàáèðàÿ íîìåð òåëåôîíà, àáîíåíò çàáûë äâå ïîñëåäíèå öèôðû, íî ïîìíèò,
÷òî îäíà èç íèõ íîëü, à äðóãàÿ íå÷¼òíàÿ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí íàáåð¼ò
ïðàâèëüíûé íîìåð.
íîëü ýòî ÷¼òíîå ÷èñëî (äåëèòñÿ íà 2 áåç îñòàòêà).
Ïðèìåð 2.
Ïðèìå÷àíèå:
Ðåøåíèå:
|A| = 1
P (A) =
|Ω| = 1 · 5 · 2 = 10
1
10
= 0, 1.
Îòâåò:
P (A) = 0, 1.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
5 / 11
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè áðîñàíèè äâóõ èãðàëüíûõ êîñòåé â ñóììå
âûïàäåò: à) ïÿòü î÷êîâ; á) íå áîëåå ÷åòûð¼õ î÷êîâ; â) îò 3 äî 9 î÷êîâ âêëþ÷èòåëüíî.
Ïðèìåð 3.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
6 / 11
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè áðîñàíèè äâóõ èãðàëüíûõ êîñòåé â ñóììå
âûïàäåò: à) ïÿòü î÷êîâ; á) íå áîëåå ÷åòûð¼õ î÷êîâ; â) îò 3 äî 9 î÷êîâ âêëþ÷èòåëüíî.
Ïðèìåð 3.
|Ω| = 6 · 6 = 36
|A5 | = |{1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1}| = 4
4
= 19 ;
P (A5 ) = 36
B=
|B| = |{1 + 1; 1 + 2; 1 + 3; 2 + 1; 2 + 2; 3 + 1}| = 6
6
P (B) = 36
= 16 ;
C=
C = |{1 + 1; 4 + 6; 5 + 5; 5 + 6; 6 + 4; 6 + 5; 6 + 6}| = 7
7
29
P (C) = 1 − 36
= 36
.
Îòâåò:
P (A5 ) = 91 ;
P (B) = 16 ;
P (C) = 29
36 .
Ðåøåíèå:
à)
á)
íå áîëåå ÷åòûð¼õ î÷êîâ
â)
îò 3 äî 9 î÷êîâ âêëþ÷èòåëüíî
à)
á)
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
â)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
6 / 11
 ëèôò 20-ýòàæíîãî äîìà íà ïåðâîì ýòàæå çàøëè 3 ÷åëîâåêà. È ïîåõàëè.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) îíè âûéäóò íà ðàçíûõ ýòàæàõ; á) äâîå âûéäóò íà îäíîì
ýòàæå; â) âñå âûéäóò íà îäíîì ýòàæå.
Ïðèìåð 4.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
7 / 11
 ëèôò 20-ýòàæíîãî äîìà íà ïåðâîì ýòàæå çàøëè 3 ÷åëîâåêà. È ïîåõàëè.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) îíè âûéäóò íà ðàçíûõ ýòàæàõ; á) äâîå âûéäóò íà îäíîì
ýòàæå; â) âñå âûéäóò íà îäíîì ýòàæå.
Ïðèìåð 4.
Ðåøåíèå:
|Ω| = 19 · 19 · 19 = 6859
à) |Aà| = 19 · 18 · 17 = 5814
306
P (Aà ) = 5814
6859 = 361 ;
2
|Aá | = C3 · 19 · 18 = 1026
54
P (Aá ) = 1026
6859 = 361 ;
|Aâ | = 19
1
19
= 361
.
P (Aâ ) = 6859
Îòâåò:
P (Aà ) = 306
P (Aá ) =
361 ;
á)
â)
à)
á)
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
54
361 ;
â) P (Aâ) = 3611 .
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
7 / 11
Íà ñåìèìåñòíóþ ñêàìåéêó ñëó÷àéíûì îáðàçîì ðàññàæèâàåòñÿ 7 ÷åëîâåê.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâà îïðåäåë¼ííûõ ÷åëîâåêà îêàæóòñÿ ðÿäîì?
Ïðèìåð 5.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
8 / 11
Íà ñåìèìåñòíóþ ñêàìåéêó ñëó÷àéíûì îáðàçîì ðàññàæèâàåòñÿ 7 ÷åëîâåê.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâà îïðåäåë¼ííûõ ÷åëîâåêà îêàæóòñÿ ðÿäîì?
Ïðèìåð 5.
|Ω| = P7 = 7! = 5040
|A| = 6 · P2 · P5 = 1440
2
P (A) = 1440
5040 = 7 .
2
Îòâåò: P (A) =
7.
Ðåøåíèå:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
8 / 11
Íà ñåìèìåñòíóþ ñêàìåéêó ñëó÷àéíûì îáðàçîì ðàññàæèâàåòñÿ 7 ÷åëîâåê.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâà îïðåäåë¼ííûõ ÷åëîâåêà îêàæóòñÿ ðÿäîì?
Ïðèìåð 5.
|Ω| = P7 = 7! = 5040
|A| = 6 · P2 · P5 = 1440
2
P (A) = 1440
5040 = 7 .
2
Îòâåò: P (A) =
7.
Ðåøåíèå:
Íà øàõìàòíóþ äîñêó èç 64 êëåòîê ñòàâÿò íàóäà÷ó äâå ëàäüè, áåëîãî è
÷¼ðíîãî öâåòà. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ îíè íå áóäóò ¾áèòü¿ äðóã äðóãà?
øàõìàòíàÿ äîñêà èìååò ðàçìåð êëåòîê; ÷åðíàÿ è áåëàÿ ëàäüè ¾áüþò¿ äðóã
äðóãà, êîãäà ðàñïîëàãàþòñÿ íà îäíîé ãîðèçîíòàëè èëè íà îäíîé âåðòèêàëè.
Ïðèìåð 6.
Ñïðàâêà:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
8 / 11
Íà ñåìèìåñòíóþ ñêàìåéêó ñëó÷àéíûì îáðàçîì ðàññàæèâàåòñÿ 7 ÷åëîâåê.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâà îïðåäåë¼ííûõ ÷åëîâåêà îêàæóòñÿ ðÿäîì?
Ïðèìåð 5.
|Ω| = P7 = 7! = 5040
|A| = 6 · P2 · P5 = 1440
2
P (A) = 1440
5040 = 7 .
2
Îòâåò: P (A) =
7.
Ðåøåíèå:
Íà øàõìàòíóþ äîñêó èç 64 êëåòîê ñòàâÿò íàóäà÷ó äâå ëàäüè, áåëîãî è
÷¼ðíîãî öâåòà. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ îíè íå áóäóò ¾áèòü¿ äðóã äðóãà?
øàõìàòíàÿ äîñêà èìååò ðàçìåð êëåòîê; ÷åðíàÿ è áåëàÿ ëàäüè ¾áüþò¿ äðóã
äðóãà, êîãäà ðàñïîëàãàþòñÿ íà îäíîé ãîðèçîíòàëè èëè íà îäíîé âåðòèêàëè.
Ïðèìåð 6.
Ñïðàâêà:
|Ω| = 64 · 63 = 4032
|A| = 64 · (64 − 15) = 64 · 49 = 3136
7
P (A) = 3136
4032 = 9 .
7
Îòâåò: P (A) =
9.
Ðåøåíèå:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
8 / 11
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ÷åòûðåõ ñäàííûõ êàðòàõ áóäåò îäèí òóç è
îäèí êîðîëü?
Ïðèìåð 7.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
9 / 11
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ÷åòûðåõ ñäàííûõ êàðòàõ áóäåò îäèí òóç è
îäèí êîðîëü?
Ïðèìåð 7.
4 = 58905
|Ω| = C36
2 = 4 · 4 · 378 = 6048
|A| = 4 · 4 · C28
96
6048
.
P (A) = 58905 = 935
96
.
Îòâåò: P (A) =
935
Ðåøåíèå:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
9 / 11
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ÷åòûðåõ ñäàííûõ êàðòàõ áóäåò îäèí òóç è
îäèí êîðîëü?
Ïðèìåð 7.
4 = 58905
|Ω| = C36
2 = 4 · 4 · 378 = 6048
|A| = 4 · 4 · C28
96
6048
.
P (A) = 58905 = 935
96
.
Îòâåò: P (A) =
935
Ðåøåíèå:
Ñòóäåíò çíàåò îòâåòû íà 25 ýêçàìåíàöèîííûõ âîïðîñîâ èç 60. Êàêîâà
âåðîÿòíîñòü ñäàòü ýêçàìåí, åñëè äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî îòâåòèòü íå ìåíåå ÷åì íà äâà
èç òð¼õ âîïðîñîâ?
Ïðèìåð 8.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
9 / 11
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ÷åòûðåõ ñäàííûõ êàðòàõ áóäåò îäèí òóç è
îäèí êîðîëü?
Ïðèìåð 7.
4 = 58905
|Ω| = C36
2 = 4 · 4 · 378 = 6048
|A| = 4 · 4 · C28
96
6048
.
P (A) = 58905 = 935
96
.
Îòâåò: P (A) =
935
Ðåøåíèå:
Ñòóäåíò çíàåò îòâåòû íà 25 ýêçàìåíàöèîííûõ âîïðîñîâ èç 60. Êàêîâà
âåðîÿòíîñòü ñäàòü ýêçàìåí, åñëè äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî îòâåòèòü íå ìåíåå ÷åì íà äâà
èç òð¼õ âîïðîñîâ?
Ïðèìåð 8.
3 = 34220
|Ω| = C60
2 · (60 − 25) + C 3 = 300 · 35 + 2300 = 10500 + 2300 = 12800
|A| = C25
25
640
P (A) = 12800
34220 = 1711 .
640
Îòâåò: P (A) =
1711 .
Ðåøåíèå:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
9 / 11
 ÿùèêå íàõîäèòñÿ 15 êà÷åñòâåííûõ è 5 áðàêîâàííûõ äåòàëåé. Íàóäà÷ó
èçâëåêàþòñÿ 2 äåòàëè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) îáå äåòàëè áóäóò êà÷åñòâåííûìè;
á) îäíà äåòàëü áóäåò êà÷åñòâåííîé, à îäíà áðàêîâàííîé; â) îáå äåòàëè áðàêîâàííû.
Ïðèìåð 9.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
10 / 11
 ÿùèêå íàõîäèòñÿ 15 êà÷åñòâåííûõ è 5 áðàêîâàííûõ äåòàëåé. Íàóäà÷ó
èçâëåêàþòñÿ 2 äåòàëè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) îáå äåòàëè áóäóò êà÷åñòâåííûìè;
á) îäíà äåòàëü áóäåò êà÷åñòâåííîé, à îäíà áðàêîâàííîé; â) îáå äåòàëè áðàêîâàííû.
Ïðèìåð 9.
2 = 190
|Ω| = C20
2
|Aà | = C15 = 105
21
P (Aà ) = 105
190 = 38 ;
|Aá | = 15 · 5 = 75
75
P (Aá ) = 190
= 15
38 ;
|Aâ | = C52 = 10
1
10
= 19
.
P (Aâ ) = 190
Îòâåò:
P (Aà ) = 21
P (Aá ) =
38 ;
Ðåøåíèå:
à)
á)
â)
à)
á)
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
15
38 ;
â) P (Aâ) = 191 .
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
10 / 11
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
11 / 11
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 2.3. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
1 / 16
Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè îêàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíûì äëÿ ðåøåíèÿ öåëîãî
ñïåêòðà çàäà÷, íî ñ äðóãîé ñòîðîíû, îáëàäàåò è ðÿäîì îãðàíè÷åíèé. Îäíèì èç òàêèõ
îãðàíè÷åíèé ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî îíî íåïðèìåíèìî ê èñïûòàíèÿì ñ áåñêîíå÷íûì
êîëè÷åñòâîì èñõîäîâ.
Ïðîñòåéøèé ïðèìåð íà ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè:
Íà îòðåçîê [0; 1] íàóäà÷ó áðîñàåòñÿ òî÷êà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíà ïîïàä¼ò â
ïðîìåæóòîê [0, 4; 0, 7]?
Ïîñêîëüêó íà îòðåçêå áåñêîíå÷íî ìíîãî òî÷åê, òî çäåñü íåëüçÿ ïðèìåíèòü ôîðìóëó
êëàññè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè è ïîýòîìó íà ïîìîùü ïðèõîäèò äðóãîé ïîäõîä, íàçûâàåìûé
ãåîìåòðè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
2 / 16
Ôîðìóëà ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè
P (A) =
µ(A)
,
µ(Ω)
(1)
ìåðà ìíîæåñòâà A, µ(Ω) ìåðà ìíîæåñòâà Ω.
.
µ(A)
0 ≤ P (A) ≤ 1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
3 / 16
Ìåòðîâóþ ëåíòó ñëó÷àéíûì îáðàçîì ðàçðåçàþò íîæíèöàìè. Íàéòè
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëèíà îáðåçêà ñîñòàâèò íå ìåíåå 80 ñì.
èñêîìûé ðàçðåç ìîæíî ñäåëàòü êàê ñ îäíîãî êîíöà ëåíòû, òàê è ñ
äðóãîãî.
0,2 ì.
0,2 ì.
Ïðèìåð 1.
Ðåøåíèå:
ì.
1 ì.
µ(Ω) = 1
µ(A) = 0, 2 + 0, 2
ì.
P (A) = 0,4
1 ì. = 0, 4;
Îòâåò: P (A) = 0, 4.
ì.
ì. = 0, 4 ì.
Ìåòðîâóþ ëåíòó ñëó÷àéíûì îáðàçîì ðàçðåçàþò
íîæíèöàìè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëèíà îáðåçêà
ñîñòàâèò íå ìåíåå 40 ñì.
ÌÛÑËÜ.
Îòâåò:
P (A) = 1.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
4 / 16
 òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 9, 13, 16 âïèñàí êðóã. Òî÷êà M ïðîèçâîëüíî
ñòàâèòñÿ â òðåóãîëüíèê. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òî÷êà ïîïàä¼ò â êðóã.
Ïðèìåð 2.
Ðåøåíèå:
µ(A) = Sêðóã , µ(Ω) = Sòðåóãîëüíèê
Sêðóã
P (A) = Sòðåóãîëüíèê
ôîðìóëà Ãåðîíà] =
Sòðåóãîëüíèê = [
p=
a+b+c
2
=
9+13+16
2
√
=
38
2
p
p · (p − a) · (p − b) · (p − c)
= 19
√
Sòðåóãîëüíèê = 19√· 10 · 6 · 3 = 6 95
S
r = òðåóãîëüíèê
= 6 1995
p
√
√ 2
2
(6 95)
Sêðóã = πr2 = π 6 1995 = π 361
√
P (A) =
Îòâåò:
π
(6 95)2
361
√
6 95
P (A) =
√
2
π (6 95)
√
6 95
√ 361·
6 95π
.
361
=
=
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
√
6 95π
361
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
5 / 16
Äâå ãðóçîâûå ìàøèíû ìîãóò ïîäîéòè íà ïîãðóçêó â ïðîìåæóòîê âðåìåíè c
19:00 äî 20:30. Ïîãðóçêà ïåðâîé ìàøèíû äëèòñÿ 10 ìèíóò, âòîðîé 15 ìèíóò. Êàêîâà
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îäíîé ìàøèíå ïðèäåòñÿ æäàòü îêîí÷àíèÿ ïîãðóçêè äðóãîé?
âòîðàÿ ìàøèíà
Ïðèìåð 3.
Ðåøåíèå:
10
10
ïåðâàÿ ìàøèíà
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ω
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
6 / 16
Äâå ãðóçîâûå ìàøèíû ìîãóò ïîäîéòè íà ïîãðóçêó â ïðîìåæóòîê âðåìåíè c
19:00 äî 20:30. Ïîãðóçêà ïåðâîé ìàøèíû äëèòñÿ 10 ìèíóò, âòîðîé 15 ìèíóò. Êàêîâà
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îäíîé ìàøèíå ïðèäåòñÿ æäàòü îêîí÷àíèÿ ïîãðóçêè äðóãîé?
âòîðàÿ ìàøèíà
Ïðèìåð 3.
Ðåøåíèå:
S1
S2
10
10
ïåðâàÿ ìàøèíà
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
A
Ω
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
7 / 16
µ(Ω) = 90 · 90 = 8100
µ(A) = µ(Ω) − S1 − S2 = 8100 − 12 · 75 · 75 −
167
167
P (A) = 2087,5
8100 = 648 . Îòâåò: P (A) = 648 .
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
1
2
· 80 · 80 = 2087, 5
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
8 / 16
 êâàäðàò ñ âåðøèíàìè (0; 0), (1; 0), (1; 1), (0; 1) íàóäà÷ó áðîøåíà òî÷êà (x; y).
Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîîðäèíàòû ýòîé òî÷êè óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó
y < 2x.
Ïðèìåð 4.
Ðåøåíèå:
1
y
1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
x
Ω
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
9 / 16
 êâàäðàò ñ âåðøèíàìè (0; 0), (1; 0), (1; 1), (0; 1) íàóäà÷ó áðîøåíà òî÷êà (x; y).
Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîîðäèíàòû ýòîé òî÷êè óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó
y < 2x.
Ïðèìåð 4.
Ðåøåíèå:
1
y
S
1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
x
A
Ω
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
10 / 16
µ(Ω) = 1 · 1 = 1, µ(A) = µ(Ω) − S = 1 −
P (A) = 0,75
1 = 0, 75. Îòâåò: P (A) = 0, 75.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
1
2
· 1 · 0, 5 = 0, 75
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
11 / 16
Çàãàäûâàþòñÿ äâà ÷èñëà x è y â ïðîìåæóòêå îò 0 äî 5. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü,
÷òî xy > 2?
Ïðèìåð 5.
5
y
5
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
x
Ω
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
12 / 16
Çàãàäûâàþòñÿ äâà ÷èñëà x è y â ïðîìåæóòêå îò 0 äî 5. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü,
÷òî xy > 2?
Ïðèìåð 5.
5
y
5
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
x
A
Ω
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
13 / 16
Ðåøåíèå:
µ(Ω) = 5 · 5 = 25
1 ñïîñîá.5
R
µ(A) =
0,4
P (A) =
Îòâåò:
dx
R5
0,4
2
x
23+2 ln
25
R5
1dy =
5
(5− x2 )dx = (5x−2 ln |x|)
2
= 25−2 ln 5−2+2 ln 0, 4 = 23+2 ln 25
0,4
2
25
P (A) =
23+2 ln
25
2
25
.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
14 / 16
2 ñïîñîá.
y
5
S1
A
Ω
S2
5
x
µ(A) = µ(Ω) − S1 − S2 = 25 − 5 · 0, 4 −
R5
0,4
2
= 23 + 2 ln 25
P (A) =
23+2 ln
25
5
2
x dx
= 23 − 2 ln |x|
=
0,4
2
25
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
15 / 16
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
16 / 16
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 3.1. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, ïîëíàÿ ñèñòåìà ñîáûòèé,
íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
1 / 10
Ïëàí
1
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü.
2
Ïîëíàÿ ñèñòåìà ñîáûòèé.
3
Íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
2 / 10
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü A, B ñîáûòèÿ, ïðè÷¼ì P (B) ̸= 0, òîãäà
P (A|B) = PB (A) =
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
P (AB)
.
P (B)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
3 / 10
Ïðèìåð 1. Êóáèê áðîñèëè 1 ðàç. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûïàäåò
a. ¾4¿;
á. ¾4¿, åñëè èçâåñòíî, ÷òî âûïàëî ÷¼òíîå ÷èñëî.
Ðåøåíèå:
P (A) = 16
á. PB (A) =?
P (B) = 12
P (AB) = 16
a.
PB (A) =
Îòâåò:
1
6
1
2
=
1
3
à)P (A)
= 61 ;
á)
PB (A) = 13 .
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
4 / 10
Òåîðåìà (óìíîæåíèÿ)
Ïóñòü A, B ñîáûòèÿ, ïðè÷¼ì P (B) ̸= 0, òîãäà
P (AB) = P (B)PB (A).
Ïðèìåð 2.  óðíå íàõîäèòñÿ 3 áåëûõ è 4 ÷¼ðíûõ øàðà. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
îòòóäà äîñòàíóò 2 áåëûõ øàðà.
Ðåøåíèå:
P (B) =
3
7
PB (A) = 62
P (AB) = 37 · 62 = 17
1
Îòâåò: P (AB) =
7.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
5 / 10
Ñëåäñòâèå (èç òåîðåìû óìíîæåíèÿ)
Ïóñòü A1, A2, . . . , An ñîáûòèÿ, òîãäà
P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 )PA1 (A2 )PA1 A2 (A3 ) . . . PA1 A2 ...An−1 (An ).
Ïðèìåð 3.  óðíå íàõîäèòñÿ 3 áåëûõ è 4 ÷¼ðíûõ øàðà. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
îòòóäà äîñòàíóò: à) áåëûé è ÷¼ðíûé øàðû; á) 3 ÷¼ðíûõ øàðà; â) 1 áåëûé è 2 ÷¼ðíûõ
øàðà.
P (AB) = 37 · 46 + 47 · 63 = 74
4 3 2
4
á) P (ABC) = 7 · 6 · 5 = 35
4 3 3
18
â) P (ABC) = 3 · 7 · 6 · 5 = 35
4
4
Îòâåò: à) P (AB) =
7 ; á) P (AB) = 35 ;
Ðåøåíèå:
à)
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
â)
P (AB) =
18
35 .
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
6 / 10
Ïîëíàÿ ñèñòåìà ñîáûòèé
Îïðåäåëåíèå
ïîëíàÿ ñèñòåìà ñîáûòèé, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ
A1 , A2 , . . . , An ïîïàðíî íåñîâìåñòíû;
ǹ
Ω=
Ak .
A1 , A2 , . . . , An
1
2
k=1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
7 / 10
Íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ
Ñîáûòèÿ ÿâëÿþòñÿ
íåçàâèñèìûìè, åñëè âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ëþáîãî èç íèõ íå
çàâèñèò îò ïîÿâëåíèÿ / íåïîÿâëåíèÿ îñòàëüíûõ ñîáûòèé ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîæåñòâà
ñîáûòèé (âî âñåõ âîçìîæíûõ êîìáèíàöèÿõ).
Ïðèìåð 4. Ïðè ïîäáðàñûâàíèè äâóõ èëè áÎëüøåãî êîëè÷åñòâà ìîíåò âåðîÿòíîñòü
âûïàäåíèÿ îðëà èëè ðåøêè íà ëþáîé ìîíåòå íå çàâèñèò îò òîãî, ÷òî âûïàäåò íà
äðóãèõ ìîíåòàõ. Âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ ãðàíåé êóáèêà âî âòîðîì èñïûòàíèè íå
çàâèñÿò îò òîãî, êàêàÿ ãðàíü âûïàëà â ïåðâîì èñïûòàíèè.
Ñîáûòèå
A
íàçûâàþò
çàâèñèìûì, åñëè åãî âåðîÿòíîñòü P (A) çàâèñèò îò îäíîãî èëè
áÎëüøåãî êîëè÷åñòâà ñîáûòèé, êîòîðûå óæå ïðîèçîøëè.
Ïðèìåð 5. èç íåïîëíîé êîëîäû èãðîêó áóäåò ñäàíà êàðòà
÷åðâîâîé ìàñòè. Âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ çàâèñèò îò òîãî,
êàêèå êàðòû óæå áûëè èçâëå÷åíû èç êîëîäû.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
8 / 10
Ïðèìåð 7. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî íà ýêçàìåíå ñòóäåíòó äîñòàíåòñÿ ïðîñòîé áèëåò.
Åñëè èäòè íå ñàìûì ïåðâûì, òî ñîáûòèå áóäåò çàâèñèìûì, ïîñêîëüêó åãî âåðîÿòíîñòü
çàâèñèò îò òîãî, êàêèå áèëåòû óæå âûòÿíóëè îäíîêóðñíèêè.
Êàê îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü / íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé?
Èíîãäà îá ýòîì ïðÿìî ñêàçàíî â óñëîâèè çàäà÷è, íî ÷àùå ïðèõîäèòñÿ ïðîâîäèòü
ñàìîñòîÿòåëüíûé àíàëèç. Êàêîãî-òî îäíîçíà÷íîãî îðèåíòèðà òóò íåò, è ôàêò
çàâèñèìîñòè ëèáî íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé âûòåêàåò èç åñòåñòâåííûõ ëîãè÷åñêèõ
ðàññóæäåíèé.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
9 / 10
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
10 / 10
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 3.2. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ôîðìóëû Áàéåñà
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
1 / 11
Ïëàí
1
2
Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè.
Ôîðìóëû Áàéåñà.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
2 / 11
Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè
Òåîðåìà
Ïóñòü B ñîáûòèå, A1, A2, . . . , An ïîëíàÿ ñèñòåìà ñîáûòèé, òîãäà
P (B) =
n
X
P (Ak )PAk (B).
k=1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
3 / 11
Ïðèìåð 1. Èëüÿ Ìóðîìåö åäåò ïî ñòåïè, åäåò, åäåò, è òóò ãëÿäü, êàìåíü óêàçàòåëüíûé
ëåæèò, à íà í¼ì íàäïèñü:
"ïîéä¼øü íàëåâî, âåðîÿòíîñòü ïîòåðÿòü êîíÿ 13
ïîéä¼øü íàïðàâî, âåðîÿòíîñòü ïîòåðÿòü êîíÿ 89
ïîéä¼øü ïðÿìî, âåðîÿòíîñòü ïîòåðÿòü êîíÿ 21 "
Ïîêà Èëüÿ Ìóðîìåö ñ÷èòàë äà ïðîñ÷èòûâàë, êîíü ñàì ïðèíÿë ðåøåíèå è ïîø¼ë. Äà
òîëüêî êîíü âûáèðàòü íå óìååò è ïðÿìî õîäèò â 34 ñëó÷àÿõ, à íàëåâî èëè íàïðàâî â 81
ñëó÷àÿõ.
Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü ïîòåðÿòü êîíÿ.
Ðåøåíèå:
{Èëüÿ Ìóðîìåö ïîòåðÿë êîíÿ}.
Ïîëíàÿ ñèñòåìà ñîáûòèé:
A1 = {êîíü ïîø¼ë íàëåâî}, A2 = {êîíü ïîø¼ë ïðÿìî},
A3 = {êîíü ïîø¼ë íàïðàâî}.
B=
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
4 / 11
Îôîðìëåíèå ðåøåíèÿ:
1
P (B) = 24
+ 38 + 19 =
19
Îòâåò: P (B) =
36 .
Ak
P (Ak )
PAk (B)
P (Ak ) · PAk (B)
A1
1
8
1
3
1
24
A2
3
4
1
2
3
8
A3
1
8
8
9
1
9
19
36
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
5 / 11
Ôîðìóëû Áàéåñà
Òåîðåìà
Ïóñòü B ñîáûòèå, A1, A2, . . . , An ïîëíàÿ ñèñòåìà ñîáûòèé, òîãäà
PB (Aj ) =
P (Aj B)
n
P
P (Ak )PAk (B)
k=1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
=
P (Aj )PAj (B)
P (Aj )PAj (B)
P (Aj B)
=
.
=
n
P
P (B)
P (B)
P (Ak )PAk (B)
k=1
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
6 / 11
Ïðèìåð 2. Èëüÿ Ìóðîìåö åäåò ïî ñòåïè, åäåò, åäåò, è òóò ãëÿäü, êàìåíü óêàçàòåëüíûé
ëåæèò, à íà í¼ì íàäïèñü:
"ïîéä¼øü íàëåâî, âåðîÿòíîñòü ïîòåðÿòü êîíÿ 13
ïîéä¼øü íàïðàâî, âåðîÿòíîñòü ïîòåðÿòü êîíÿ 89
ïîéä¼øü ïðÿìî, âåðîÿòíîñòü ïîòåðÿòü êîíÿ 21 "
Ïîêà Èëüÿ Ìóðîìåö ñ÷èòàë äà ïðîñ÷èòûâàë, êîíü ñàì ïðèíÿë ðåøåíèå è ïîø¼ë. Äà
òîëüêî êîíü âûáèðàòü íå óìååò è ïðÿìî õîäèò â 34 ñëó÷àÿõ, à íàëåâî èëè íàïðàâî â 81
ñëó÷àÿõ.
Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîíü ïîø¼ë ïðÿìî, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êîíü áûë ïîòåðÿí.
Ðåøåíèå:
{Èëüÿ Ìóðîìåö ïîòåðÿë êîíÿ}.
Ïîëíàÿ ñèñòåìà ñîáûòèé:
A1 = {êîíü ïîø¼ë íàëåâî}, A2 = {êîíü ïîø¼ë ïðÿìî},
A3 = {êîíü ïîø¼ë íàïðàâî}.
B=
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
7 / 11
Îôîðìëåíèå ðåøåíèÿ:
+
3
8
19
36
3
8
P (Ak )
PAk (B)
P (Ak ) · PAk (B)
A1
1
8
1
3
1
24
A2
3
4
1
2
3
8
A3
1
8
8
9
1
9
1
19
9 = 36
= 27
PB (A2 ) =
38
27
Îòâåò: PB (A2 ) =
38 .
P (B) =
1
24
Ak
+
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
8 / 11
Ïðèìåð 3.  ãðóïïå èç 25 ÷åëîâåê, ïðèøåäøèõ ñäàâàòü ýêçàìåí ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé,
èìååòñÿ 5 îòëè÷íèêîâ, 12 ïîäãîòîâëåííûõ õîðîøî, 5 ïîäãîòîâëåííûõ óäîâëåòâîðèòåëüíî
è 3 ÷åëîâåêà ïëîõî ïîäãîòîâëåíû. Îòëè÷íèêè çíàþò âñå 30 âîïðîñîâ, õîðîøî ïîäãîòîâëåííû
25, ïîäãîòîâëåííûå óäîâëåòâîðèòåëüíî 15, ïëîõî ïîäãîòîâëåííûå 10. Âûáðàííûé
íàóäà÷ó ñòóäåíò îòâåòèë íà 2 çàäàííûõ âîïðîñà. Íàéäèòå àïîñòåðèîðíóþ âåðîÿòíîñòü
ãèïîòåçû ¾ñòóäåíò ïîäãîòîâëåí ïëîõî¿.
B = {ñòóäåíò îòâåòèë íà 2 çàäàííûõ âîïðîñà}.
Ïîëíàÿ ñèñòåìà ñîáûòèé:
A1 = {îòëè÷íèê}, A2 = {ïîäãîòîâëåí õîðîøî}, A3 = {ïîäãîòîâëåí óäîâëåòâîðèòåëüíî},
A4 = {ïëîõî ïîäãîòîâëåí}.
Íóæíî íàéòè âåðîÿòíîñòü PB (A4).
Ðåøåíèå:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
9 / 11
Âñïîìîãàòåëüíûå âåðîÿòíîñòè:
C
PA (B) = C = 20
29 ,
C
7
,
PA (B) = C = 29
C
3
PA (B) = C = 29
.
2
25
2
30
2
15
2
30
2
10
2
30
2
3
4
P (B) =
5
25
9
725
429
725
240
725
+
35
725
+
P (Ak )
A1
5
25
1
A2
12
25
20
29
240
725
A3
5
25
7
29
35
725
A4
3
25
3
29
9
725
9
725
=
5
25
429
725
3
143
3
PB (A4 ) = 143
.
PB (A4 ) =
Îòâåò:
+
PAk (B)
P (Ak ) · PAk (B)
Ak
=
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
10 / 11
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, . . .
11 / 11
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 4. Ñõåìà Áåðíóëëè, ïîëèíîìèàëüíàÿ ñõåìà.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ñõåìà Áåðíóëëè, . . .
1/9
Ïëàí
1
Ñõåìà Áåðíóëëè.
2
Ñõåìà Ïóàññîíà.
3
Ïîëèíîìèàëüíàÿ ñõåìà.
4
Ïðèìåðû.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ñõåìà Áåðíóëëè, . . .
2/9
Ñõåìà Áåðíóëëè
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ïðîèçâîäèòñÿ ñåðèÿ èç
n
íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, â êàæäîì èç êîòîðûõ âîçìîæíû
äâà èñõîäà óñëîâíî ¾óñïåõ¿ è ¾íåóäà÷à¿, ïðè÷åì âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ â êàæäîì
èñïûòàíèè îäèíàêîâà è ðàâíà
p ∈ (0; 1),
à âåðîÿòíîñòü ¾íåóäà÷è¿, ñîîòâåòñòâåííî,
q = 1 − p.
Ôîðìóëà Áåðíóëëè:
P {µn = m} = Cnm pm q n−m ,
ãäå
µn
÷èñëî óñïåõîâ â ñåðèè èç
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
n
èñïûòàíèé, à
Ñõåìà Áåðíóëëè, . . .
m = 0, 1, . . . , n.
3/9
Îáîñíîâàíèå.
Ïðîèçâîäèòñÿ ñåðèÿ èç 8 íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áûëî
5 óñïåõîâ.
,
,
,
,
,
,
,
Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Í, Í, Í
Íóæíî èç 8 ìåñò, âûáðàòü 5 äëÿ óñïåõîâ
C85 ,
à äàëüøå ïî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû
óìíîæåíèÿ è èç íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé íóæíî óìíîæèòü íà
p5 q 3 , ïîëó÷èòñÿ òðåáóåìàÿ
âåðîÿòíîñòü
P {µ8 = 5} = C85 p5 q 3 .
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ñõåìà Áåðíóëëè, . . .
4/9
Ñõåìà Ïóàññîíà
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ïðîèçâîäèòñÿ ñåðèÿ èç
n
íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, â êàæäîì èç êîòîðûõ âîçìîæíû
äâà èñõîäà óñëîâíî ¾óñïåõ¿ è ¾íåóäà÷à¿, âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ â i-îì èñïûòàíèè
ðàâíà
pi ,
à âåðîÿòíîñòü ¾íåóäà÷è¿ â i-îì èñïûòàíèè, ñîîòâåòñòâåííî,
qi = 1 − p i .
Ôîðìóëû:
P {µn = 0} = q1 q2 . . . qn
P {µn = 1} = p1 q2 . . . qn + q1 p2 . . . qn + · · · + q1 q2 . . . pn
...
P {µn = n} = p1 p2 . . . pn .
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ñõåìà Áåðíóëëè, . . .
5/9
Ïîëèíîìèàëüíàÿ ñõåìà
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, â êàæäîì èç êîòîðûõ âîçìîæíû
r , âåðîÿòíîñòè ýòèõ èñõîäîâ íå ìåíÿþòñÿ è ðàâíû
Ïðîèçâîäèòñÿ ñåðèÿ èç
r
èñõîäîâ 1, 2, . . . ,
äëÿ 1 äëÿ 2 p1 ,
p2 ,
...,
äëÿ r pr .
Ôîðìóëà:
P {µn = (n1 , n2 , . . . , nr )} = Cn(n1 ,n2 ,...,nr ) pn1 1 pn2 2 · · · · · pnr r
n!
=
pn1 pn2 . . . pnr r ,
n1 !n2 ! . . . nr ! 1 2
ãäå µn ÷èñëî ÷èñëî èñõîäîâ 1, 2, . . . , r â ñåðèè èç n
èñïûòàíèé, à n1 + n2 + · · · + nr = n.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ñõåìà Áåðíóëëè, . . .
6/9
Ïðèìåðû
Ïðèìåð 1. Ìîíåòà ïîäáðàñûâàåòñÿ 5 ðàç. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî 3 ðàçà âûïàäåò
îðåë.
Ðåøåíèå:
3 1 2
1
= 10 32
=
P {µ5 = 3} = C53 12
2
5
Îòâåò: P {µ5 = 3} =
.
16
10
32
=
5
16
Ïðèìåð 2. Êóáèê ïîäáðàñûâàåòñÿ 5 ðàç. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå
2 ðàçà âûïàäåò 6.
Ðåøåíèå:
P {µ5 ≥ 2} = P {µ5 = 2} + P {µ5 = 3} + P {µ5 = 4} + P {µ5 = 5} =
0 5 5
1 5 4
= 1 − (P {µ5 = 0} + P {µ5 = 1}) = 1 − (C50 16
+ C51 61
6
6 )=
3125
3125
763
1 − ( 7776
+ 3125
)
=
1
−
=
7776
3888
3888
763
Îòâåò: P {µ5 ≥ 2} =
.
3888
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ñõåìà Áåðíóëëè, . . .
7/9
Ïðèìåð 3. 4 ñòðåëêà ñòðåëÿþò ïî çàéöàì. Ïåðâûé ïîïàäàåò ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,1, âòîðîé 0,2, òðåòèé 0,3, ÷åòâåðòûé 0,4. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïîïàä¼ò ðîâíî îäèí
ñòðåëîê.
Ðåøåíèå:
P {µ4 = 1} = 0, 1 · 0, 8 · 0, 7 · 0, 6 + 0, 9 · 0, 2 · 0, 7 · 0, 6 + 0, 9 · 0, 8 · 0, 3 · 0, 6 + 0, 9 · 0, 8 · 0, 7 · 0, 4 =
= 0, 4404
Îòâåò: P {µ4 = 1} = 0, 4404.
Ïðèìåð 4. Êóáèê ïîäáðàñûâàåòñÿ 7 ðàç. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî 2 ðàçà âûïàäåò
2 è 3 ðàçà âûïàäåò 4.
Ðåøåíèå:
1 2 1 3
7!
P {µ7 = (2, 3, 2)} = 2!3!2!
6
6
35
Îòâåò: P {µ7 = (2, 3, 2)} =
2916 .
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
4 2
6
=
35
2916
Ñõåìà Áåðíóëëè, . . .
8/9
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ñõåìà Áåðíóëëè, . . .
9/9
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 5.1. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñõåìû Áåðíóëëè.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
1 / 12
Ïëàí
1
2
3
4
Òåîðåìà Ïóàññîíà.
Ëîêàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà Ëàïëàñà.
Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà Ëàïëàñà.
Ïðèìåðû.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
2 / 12
Ïëîõîé ïðèìåð.
Âåðîÿòíîñòü óñïåõà â îäíîì èñïûòàíèè ðàâíà 0,003. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç
1000 ïðîèçâåä¼ííûõ èñïûòàíèé áóäåò îò 1 äî 3 óñïåõîâ.
Ðåøåíèå:
1
2
3
P {1 ≤ µ1000 ≤ 3} = C1000
·0, 003·0, 997999 +C1000
·0, 0032 ·0, 997998 +C1000
·0, 0033 ·0, 997997 =
???
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
3 / 12
Òåîðåìà Ïóàññîíà äëÿ ñõåìû Áåðíóëëè
Òåîðåìà
Ïðîèçâîäèòñÿ ñåðèÿ èç
¾óñïåõà¿
n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ïî ñõåìå Áåðíóëëè, âåðîÿòíîñòü
p = p(n), ïðè÷åì, lim p(n) = 0.
Ïóñòü ñóùåñòâóåò
n→∞
lim np(n) = a, òîãäà ñóùåñòâóåò lim P {µn = m} =
n→∞
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
n→∞
Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
am −a
m! e .
4 / 12
Ëîêàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà Ëàïëàñà äëÿ ñõåìû Áåðíóëëè
2
φ(x) =
x
√1 e− 2
2π
φ(−x) =
√1 e−
2π
(−x)2
2
2
=
x
√1 e− 2
2π
= φ(x)
÷¼òíàÿ ôóíêöèÿ
Òåîðåìà
Ïðîèçâîäèòñÿ ñåðèÿ èç
n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ïî ñõåìå Áåðíóëëè, âåðîÿòíîñòü
m−np
¾óñïåõà¿ 0 < p < 1, q = 1 − p; σ 2 = npq, xm = √ 2 .
σ
Ïóñòü ñóùåñòâóåò lim xm < ∞, òîãäà ñóùåñòâóåò
n→∞
lim P {µn = m} =
n→∞
√ 1 e−
2πσ 2
x2
m
2
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
=
√1 φ(xm ).
σ2
Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
5 / 12
Φ(x) =
√1
2π
Rx
t2
e− 2 dt
−∞
Ñâîéñòâà ôóíêöèè Φ(x):
1◦. Φ(−∞) = 0;
2◦. Φ(0) = 0, 5;
3◦. Φ(+∞) = 1;
4◦. âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ.
Φ0 (x) =
√1
2π
Rx
t2
e− 2 dt
Ñâîéñòâà ôóíêöèè Φ0(x):
−x
R
Rx
1◦. Φ0(−x) = √12π e− dt = − √12π e−
0
0
2◦. Φ0(−∞) = −0, 5;
3◦. Φ0(0) = 0;
4◦. Φ0(+∞) = 0, 5;
5◦. âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ.
0
t2
2
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
t2
2
dt = −Φ0 (x)
Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
íå÷¼òíàÿ ôóíêöèÿ;
6 / 12
Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà Ëàïëàñà äëÿ ñõåìû Áåðíóëëè
Òåîðåìà
Ïðîèçâîäèòñÿ ñåðèÿ èç
n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ïî ñõåìå Áåðíóëëè, âåðîÿòíîñòü
¾óñïåõà¿ 0 < p < 1, q = 1 − p; σ 2 = npq .
n
o
Rb − x2
µn −np
√1
Ñóùåñòâóåò lim P a ≤ √
≤
b
=
e 2 dx = Φ0 (b) − Φ0 (a).
2
2π
n→∞
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
σ
a
Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
7 / 12
Îïðåäåëåíèå ïðàâèëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû
,
òåîðåìà Ïóàññîíà.
,
òåîðåìà Ìóàâðà Ëàïëàñà.
,
ÈËÈ ε = np2 ≥ 0, 05, σ2 < 10 ïîïðîáîâàòü ïîìåíÿòü
ìåñòàìè è , è ïðîâåðèòü åù¼ ðàç ε, σ2, åñëè âñ¼ ðàâíî íå ïîäõîäÿò óñëîâèÿ, òî
ïîñìîòðåòü íàñêîëüêî ìàëî ε, åñëè < 0,05, òî òåîðåìà Ïóàññîíà, èíà÷å, òåîðåìà
Ìóàâðà Ëàïëàñà.
ε = np2 < 0, 05 σ 2 < 10
ε = np2 ≥ 0, 05 σ 2 ≥ 10
ε = np2 < 0, 05 σ 2 ≥ 10
p q
Åñëè ïîëó÷èëàñü òåîðåìà Ïóàññîíà, òî áåç âàðèàíòîâ,
ñ÷èòàòü íóæíî â òî÷êå (òî÷êàõ).
Åñëè ïîëó÷èëàñü òåîðåìà Ìóàâðà Ëàïëàñà,
òî çàâèñèò îò çàäàíèÿ:
åñëè â òî÷êå, òî èñïîëüçóåì ëîêàëüíóþ òåîðåìó,
åñëè äàí ïðîìåæóòîê, òî èñïîëüçóåì èíòåãðàëüíóþ òåîðåìó.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
8 / 12
Ïðèìåðû
Ïðèìåð 1. Ïóñòü n = 1000, p = 0, 002. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî à) óñïåõ áóäåò â
äâóõ ñëó÷àÿõ, á) óñïåõ áóäåò îò äâóõ äî ÷åòûðåõ ñëó÷àåâ, â) áóäåò õîòÿ áû îäèí óñïåõ,
ã) áóäåò 995 íåóäà÷.
ε = np2 = 0, 004 < 0, 05, σ 2 = npq = 1, 996 < 10, ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíÿåì
òåîðåìó Ïóàññîíà.
Ðåøåíèå:
a = np = 2
2
2
P {µ1000 = 2} = a2! e−a = 22! e−2 = 2e−2 ≈ 0, 2707
2
3
4
P {2 ≤ µ1000 ≤ 4} = 22! e−2 + 23! e−2 + 24! e−2 = 4e−2 ≈ 0, 5413
0
P {µ1000 ≥ 1} = 1 − P {µ1000 = 0} = 1 − 20! e−2
0
= 1 − 21 e−2 = 1 − e−2 ≈ 0, 8647
5
P {µ1000 = 1000 − 995} = P {µ1000 = 5} = a5! e−a
5
4 −2
= 25! e−2 = 15
e ≈ 0, 0361
,
à)
á)
â)
ã)
,
,
.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
9 / 12
Îõîòíèê ñòðåëÿåò â çàéöåâ. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ðàâíà 0,8. Êàêîâà
âåðîÿòíîñòü, ÷òî èç 100 âûñòðåëîâ îí ïîïàä¼ò ðîâíî 75 ðàç.
ε = np2 = 64 ≥ 0, 05, σ 2 = npq = 16 ≥ 10, ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíÿåì òåîðåìó
Ìóàâðà
√
√ Ëàïëàñà.
σ 2 = 16 = 4, xm = m−np
= 75−80
= −1, 25
4
σ
1
P {µ100 = 75} = 4 φ(−1, 25) = 41 φ(1, 25) ≈ 14 · 0, 182649 ≈ 0, 0457.
P {µ100 = 75} ≈ 0, 0457.
Ïðèìåð 2.
Ðåøåíèå:
2
Îòâåò:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
10 / 12
Ïðèìåð 3. (126 Ãìóðìàí)
Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ â êàæäîì èç 2100 íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ðàâíà 0,7.
Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñîáûòèå ïîÿâèòñÿ à) íå ìåíåå 1470 è íå áîëåå 1500 ðàç,
á) íå ìåíåå 1470 ðàç, â) íå áîëåå 1469 ðàç.
ε = np2 = 1029 ≥ 0, 05, σ 2 = npq = 441 ≥ 10, ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíÿåì
òåîðåìó
√
√Ìóàâðà Ëàïëàñà.
Ðåøåíèå:
σ 2 = 441 = 21
h
√
√
= 1470−1470
= 0, b = 1500−np
= 1500−1470
= 30
P {1470 ≤ µ2100 ≤ 1500} = a = 1470−np
21
21
21 =
σ2 σ2
µ2100
−np
10
10
10
= 7 = P {0 ≤ √ 2 ≤ 7 } = Φ0 7 − Φ0 (0) ≈ Φ0 (1, 43) − Φ0 (0) ≈ 0, 423641 − 0 =
σ
0, 423641
hP {µ2100 ≥ 1470} = P {1470 ≤ µ2100i ≤ 2100} =
√
√
√ −np ≤ 30} =
= 0, b = 2100−np
= 30 = P {0 ≤ µ2100
= a = 1470−np
σ2
σ2
σ2
= Φ0 (30) − Φ0 (0) ≈ 0, 5 − 0 = 0, 5
P {µ2100 ≤ 1469} = 1 − P {µ2100 ≥ 1470} ≈ 1 − 0, 5 = 0, 5
à)
á)
,
â)
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
,
.
Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
11 / 12
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
12 / 12
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 5.2. Íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî óñïåõîâ,
âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû íàñòóïëåíèÿ
ñîáûòèÿ îò åãî âåðîÿòíîñòè.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðèëîæåíèÿ ñõåìû Áåðíóëëè
1/8
Ïëàí
1
2
3
Íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî óñïåõîâ.
Âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ îò åãî
âåðîÿòíîñòè.
Ïðèìåðû.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðèëîæåíèÿ ñõåìû Áåðíóëëè
2/8
Íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî óñïåõîâ
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ïðîèçâîäèòñÿ ñåðèÿ èç
n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, â êàæäîì èç êîòîðûõ âîçìîæíû
äâà èñõîäà óñëîâíî ¾óñïåõ¿ è ¾íåóäà÷à¿, ïðè÷åì âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ â êàæäîì
èñïûòàíèè îäèíàêîâà è ðàâíà
p ∈ (0; 1), à âåðîÿòíîñòü ¾íåóäà÷è¿, ñîîòâåòñòâåííî,
q = 1 − p.
Íàéäèòå íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî óñïåõîâ â ýòîé ñåðèè.
Íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî óñïåõîâ ëåæèò â îòðåçêå:
np − q ≤ m0 ≤ np + p,
ãäå m0 ∈ {0, 1, . . . , n} íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî óñïåõîâ
â ñåðèè èç n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðèëîæåíèÿ ñõåìû Áåðíóëëè
3/8
Âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû íàñòóïëåíèÿ
ñîáûòèÿ îò åãî âåðîÿòíîñòè
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ
îòêëîíèòñÿ îò åãî âåðîÿòíîñòè ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå áîëåå ÷åì íà
ε.
n µ
o
o
n
µn − np
µn
n
P
− p ≤ ε = P −ε ≤
− p ≤ ε = P −ε ≤
≤ε =
n
n
n
nε
µn − np
nε
nε
nε
nε
nε
= P −√ ≤ √
≤√
= Φ0 √
−Φ0 − √
= Φ0 √
+Φ0 √
=
σ2
σ2
σ2
σ2
σ2
σ2
σ2
nε
= 2Φ0 √
σ2
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðèëîæåíèÿ ñõåìû Áåðíóëëè
4/8
Ïðèìåðû
Èãðàëüíàÿ êîñòü áðîñàåòñÿ 16 ðàç. Íàéäèòå íàèâåðîÿòíåéøåå
÷èñëî ïîÿâëåíèé ÷èñëà î÷êîâ êðàòíîå òð¼ì.
Ïðèìåð 1 (193 Åìåëüÿíîâ).
Ðåøåíèå:
,
.
n = 16 p = 13
np − q ≤ m0 ≤ np + p
16 31 − 23 ≤ m0 ≤ 16 13 +
14
17
3 ≤ m0 ≤ 3
m0 = 5
1
3
.
íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî ïîÿâëåíèé ÷èñëà î÷êîâ
êðàòíîå òð¼ì ðàâíî ïÿòè.
Îòâåò:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðèëîæåíèÿ ñõåìû Áåðíóëëè
5/8
Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ â êàæäîì èç 900 íåçàâèñèìûõ
èñïûòàíèé ðàâíà 0,5. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ
ñîáûòèÿ îòêëîíèòñÿ îò åãî âåðîÿòíîñòè ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå áîëåå, ÷åì íà 0,02
Ïðèìåð 2 (132 Ãìóðìàí).
Ðåøåíèå:
√
n = 900 p = 0, 5 ε = 0, 02 σ 2 = npq = 900 · 0, 5 · 0,5 = 225 σ 2 = 15
900
= 2Φ0 (1, 2) ≈ 2 · 0, 384930 =
− 0, 5 ≤ 0, 02 = 2Φ0 900·0,02
P µnn − p ≤ ε = P µ900
15
0, 76986 µ900
Îòâåò: P
900 − 0, 5 ≤ 0, 02 ≈ 0, 76986
,
,
,
.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
,
.
.
Ïðèëîæåíèÿ ñõåìû Áåðíóëëè
6/8
Ïðèìåð 3. (137 Ãìóðìàí)
Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ â êàæäîì èç íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ðàâíà 0,2. Íàéäèòå
íàèìåíüøåå ÷èñëî èñïûòàíèé n, ïðè êîòîðîì ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,99 ìîæíî îæèäàòü, ÷òî
îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèé îòêëîíèòñÿ îò åãî âåðîÿòíîñòè ïî àáñîëþòíîé
âåëè÷èíå íå áîëåå ÷åì íà 0,04.
Ðåøåíèå:
,
.
p=
2 ε = 0, 04
0,
µn
P n − p ≤ ε ≥ 0, 99
P µnn − 0, 2 ≤ 0, 04 ≥ 0, 99
√ n·0,04
≥ 0, 99
√n·0,2·0,8
2Φ0 √n·0,04
≥ 0, 99
√ 0,16
n·0,04
Φ0
≥ 0, 495
0,4
√
n
10 ≥ 2, 58
√
2Φ0
n ≥ 25, 8
n ≥ 665, 64
n = 666
.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðèëîæåíèÿ ñõåìû Áåðíóëëè
7/8
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ïðèëîæåíèÿ ñõåìû Áåðíóëëè
8/8
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 6.1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèÿ, ñðåäíåå
êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
1 / 12
Ïëàí
1
2
3
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Äèñïåðñèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
2 / 12
Îïðåäåëåíèå
ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îíà íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé, åñëè îíà ïðèíèìàåò íå áîëåå,
÷åì ñ÷¼òíîå ÷èñëî çíà÷åíèé ñ íåíóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ.
Ïðèìåð
ξ ÷èñëî îðëîâ, âûïàäàþùèõ ïðè òð¼õ ïîäáðàñûâàíèÿõ ìîíåòû.
Èç ñõåìû Áåðíóëëè:
0
3
P {ξ
P {ξ
P {ξ
P {ξ
1
2
1 1
2
1 2
2
1 3
2
= 0} = C30 ·
= 1} = C31 ·
= 2} = C32 ·
= 3} = C33 ·
·
·
·
·
1
2
1 2
2
1 1
2
1 0
2
=
=
=
=
1
8
3
8
3
8
1
8
Ïîëó÷èëè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:
ξ 0 1 2 3
p
1
8
3
8
3
8
1
8
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
3 / 12
Îñíîâíûå äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ
Äèñêðåòíîå
ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè
P
P {ξ = k} = 1.
k
Âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå: P {ξ = c} = 1; P {ξ ̸= c} = 0, (c = const).
Ðàâíîìåðíîå äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå: P {ξ = m} = n1 , m = 1, 2, . . . , n.
Ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè: P {ξ = 0} = p; P {ξ = 1} = 1 − p.
:
m pm (1 − p)N −m ,
m = 0, 1, . . . , N .
P {ξ = m} = CN
(÷èñëî ¾íåóäà÷¿ äî ïåðâîãî ¾óñïåõà¿):
m
P {ξ = m} = (1 − p) p, m = 0, 1, . . . .
(÷èñëî ñîáûòèé, ïðîèçîøåäøèõ çà
ôèêñèðîâàííîå âðåìÿ, ïðè óñëîâèè, ÷òî äàííûå ñîáûòèÿ
ïðîèñõîäÿò ñ íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ñðåäíåé èíòåíñèâíîñòüþ
λ è íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà): P {ξ = m} = λm! e−λ , m = 0, 1, . . . .
1
2
3
4
Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
5
Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
6
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
m
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
4 / 12
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
Åñëè ξ äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òî P {ξ = ck } = pk , k = 1, 2, . . . .
Îïðåäåëåíèå
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåå (âçâåøåííîå ïî âåðîÿòíîñòÿì âîçìîæíûõ
çíà÷åíèé) çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû M ξ = P ck pk
k
Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:
1◦. a = const, M a = a;
2◦. a = const, M (aξ) = aM ξ;
3◦. a, b = constP
, M (aξ + bη) = aM ξ + bM η;
◦
4 . M (f (ξ)) = f (ck )pk .
k
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
5 / 12
Äèñïåðñèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
Äèñïåðñèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Dξ = M (ξ − M ξ)2 = M ξ2 − (M ξ)2.
Ñâîéñòâà äèñïåðñèè:
1◦. Dξ ≥ 0;
2◦. a = const, Da = 0;
3◦. a = const, D(aξ) = a2Dξ.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
6 / 12
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå
îòêëîíåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàäàåòñÿ
ôîðìóëîé σξ = √Dξ.
Êàê ìèíèìóì â 95% ñëó÷àåâ çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,
èìåþùåé íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, óäàëåíû îò å¼ ñðåäíåãî íå áîëåå ÷åì íà äâà
ñòàíäàðòíûõ îòêëîíåíèÿ, à â ïðèìåðíî 99,7% íå áîëåå ÷åì íà òðè.
Îäíî èç ïðèìåíåíèé.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
7 / 12
Ïðèìåð 1. Îò ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ 0 1 2 3
p
1
8
3
8
3
8
1
8
íàéäèòå ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû f (ξ) = (ξ − 2)2.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
8 / 12
Ïðèìåð 1. Îò ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ 0 1 2 3
p
1
8
3
8
3
8
1
8
íàéäèòå ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû f (ξ) = (ξ − 2)2.
Ðåøåíèå:
f (0) = (0 − 2)2 = 4, f (1) = (1 − 2)2 = 1, f (2) = (2 − 2)2 = 0, f (3) = (3 − 2)2 = 1.
(ξ − 2)2
0
p
3
8
Îòâåò:
(ξ − 2)2
p
1
3
8
+
1
8
4
=
1
2
1
8
0 1 4
3
8
1
2
1
8
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
8 / 12
Ïðèìåð 2. Îò ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ -1 0 8
p
1
4
1
2
1
4
íàéäèòå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
9 / 12
Ïðèìåð 2. Îò ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ -1 0 8
p
1
4
1
2
1
4
íàéäèòå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.
Ðåøåíèå:
,
M ξ = −1 · 14 + 0 · 12 + 8 · 14 = 1, 75
M ξ 2 = (−1)2 · 41 + 02 · 21 + 82 · 14 = 16, 25
Dξ =√
M ξ 2 − (M ξ)2 = 16, 25 − 1, 752 = 13, 1875
√
σξ = Dξ = 13, 1875 ≈ 3, 6315
Îòâåò: M ξ = 1, 75 Dξ = 13, 1875 σξ ≈ 3, 6315
,
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
.
,
,
,
.
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
9 / 12
Ïðèìåð 3.
Îò ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ çàðàáîòíûõ ïëàò â íåêîòîðîì ãîðîäå N
ξ 15 000 25 000 50 000 200 000
p
0,8
0,1
0,05
0,05
íàéäèòå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
10 / 12
Ïðèìåð 3.
Îò ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ çàðàáîòíûõ ïëàò â íåêîòîðîì ãîðîäå N
ξ 15 000 25 000 50 000 200 000
p
0,8
0,1
0,05
0,05
íàéäèòå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.
M ξ = 15000 · 0, 8 + 25000 · 0, 1 + 50000 · 0, 05 + 200000 · 0, 05 = 16200,
M ξ 2 = 150002 · 0, 8 + 250002 · 0, 1 + 500002 · 0, 05 + 2000002 · 0, 05 = 2367500000,
2
2
Dξ =√
M ξ 2 − (M
√ ξ) = 2367500000 − 16200 = 2105060000,
σξ = Dξ = 2105060000 ≈ 45880, 9329.
M ξ = 16200, Dξ = 2105060000, σξ ≈ 45880, 9329.
Ðåøåíèå:
Îòâåò:
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
10 / 12
Ïðèìåð 4.
Îò ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ -1 0 1 2
p
1
4
1
8
1
8
1
2
íàéäèòå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
11 / 12
Ïðèìåð 4.
Îò ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ -1 0 1 2
p
1
4
1
8
1
8
1
2
íàéäèòå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.
Ðåøåíèå:
,
M ξ = −1 · 14 + 0 · 18 + 1 · 18 + 2 · 21 = 87 = 0, 875
Dξ = (−1 − 87 )2 · 41 + (0 − 78 )2 · 81 + (1 − 78 )2 · 18 + (2 − 78 )2 ·
q
√
√
103
σξ = Dξ = 103
=
≈ 1, 2686
64
8
Îòâåò: M ξ = 0, 875 Dξ ≈ 1, 6094 σξ ≈ 1, 2686
,
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
,
.
1
2
=
103
64
,
≈ 1, 6094
.
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
11 / 12
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÄÑÂ
12 / 12
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 6.2. Âåðîÿòíîñòü, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ,
ìíîãîóãîëüíèê ðàñïðåäåëåíèÿ.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÄÑÂ
1/9
Ïëàí
1
Ïðèìåð íà ïîèñê âåðîÿòíîñòè.
2
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.
3
Ìíîãîóãîëüíèê ðàñïðåäåëåíèÿ.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÄÑÂ
2/9
Ïðèìåð íà ïîèñê âåðîÿòíîñòè
Ïðèìåð
Çàäà÷à:
 çíàìåíèòîé íàñòîëüíîé èãðå ¾Êîëîíèçàòîðû¿ èãðîê Âîâà ïîñòðîèë ãîðîäà ðÿäîì
ñî âñåìè ãåêñàìè ñ íîìåðàìè 2, 3, 4. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî â òåêóùèé õîä îí
ïîëó÷èò êàðòó (êàðòû) ñûðüÿ.
Ïðèìå÷àíèå: êàðòó (êàðòû) ñûðüÿ èãðîê ïîëó÷àåò, åñëè â ñóììå íà äâóõ êóáèêàõ
âûïàäàåò ÷èñëî î÷êîâ ðàâíîå ÷èñëó íà ãåêñå.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÄÑÂ
3/9
Ïðèìåð (Ðåøåíèå)
Ñîñòàâèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ ñóììà î÷êîâ íà äâóõ êóáèêàõ.
2: {1+1},
3: {1+2, 2+1},
4: {1+3, 2+2, 3+1},
5: {1+4, 2+3, 3+2, 4+1},
6: {1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1},
7: {1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1},
8: {2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2},
9: {3+6, 4+5, 5+4, 6+3},
10: {4+6, 5+5, 6+4},
11: {5+6, 6+5},
12: {6+6}
ξ 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p
1
36
2
36
3
36
P {2 ≤ ξ ≤ 4} =
4
36
1
36
+
5
36
2
36
+
6
36
3
36
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
=
5
36
6
36
=
4
36
3
36
2
36
1
36
1
6
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÄÑÂ
4/9
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
Îïðåäåëåíèå
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëåíà êàê Fξ (x) = P {ξ < x}.
Ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:
◦
1 .
◦
2 .
◦
3 .
◦
4 .
◦
5 .
0 ≤ Fξ (x) ≤ 1;
Fξ (−∞) = 0;
Fξ (+∞) = 1;
Fξ (x) íåóáûâàåò;
Fξ (x) íåïðåðûâíàÿ
ñëåâà.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÄÑÂ
5/9
Ïðèìåð 1.
Îò ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ
-1
0
1
2
p
1
4
1
8
1
8
1
2
íàéäèòå ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïîñòðîéòå å¼ ãðàôèê.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÄÑÂ
6/9
Ïðèìåð 1.
Îò ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ
-1
0
1
2
p
1
4
1
8
1
8
1
2
íàéäèòå ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïîñòðîéòå å¼ ãðàôèê.
Ðåøåíèå:
P {ξ
P {ξ
P {ξ
P {ξ
P {ξ
P {ξ
P {ξ
P {ξ
P {ξ
P {ξ
< −1, 5} = 0
< −1} = 0
< −0, 9999} = 14
< 0} = 14
< 0, 5} = 83
< 1} = 38
< 1, 000001} = 21
< 2} = 12
< 2, 0001} = 1
< 2000} = 1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÄÑÂ
6/9


0,





1


,

 4
3
Fξ (x) =
8,



 1,


2



 1,
x ≤ −1;
1
−1 < x ≤ 0;
3
4
0 < x ≤ 1;
1 < x ≤ 2;
1
2
x > 2.
1
4
-1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
0
1
2
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÄÑÂ
7/9
Ìíîãîóãîëüíèê ðàñïðåäåëåíèÿ
Ìíîãîóãîëüíèêîì ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äàííîé âåëè÷èíû íàçûâàþò ëîìàíóþ,
çâåíüÿ êîòîðîé ñîåäèíÿþò ñîñåäíèå òî÷êè
Ïðèìåð 2.
(ξi , pi ).
Ïîñòðîéòå ìíîãîóãîëüíèê ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ
-1
0
1
2
p
1
4
1
8
1
8
1
2
1
2
1
4
-1
0
1
2
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÄÑÂ
8/9
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÄÑÂ
9/9
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 6.3. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
1/9
Ïëàí
1
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè.
2
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
2/9
Îïðåäåëåíèå
Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå:
m pm (1 − p)N −m ,
P {ξ = m} = CN
m = 0, 1, . . . , N .
Ðÿä áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:
ξ
0
1
2
...
N
p
0 p0 (1 − p)N
CN
1 p1 (1 − p)N −1
CN
2 p2 (1 − p)N −2
CN
...
N pN (1 − p)0
CN
Äîêàçàòåëüñòâî (áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì)
N
P
m=0
m pm (1 − p)N −m = (p + (1 − p))N = 1N = 1
CN
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
3/9
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå:
Mξ =
N
P
m=0
N
P
m pm (1 − p)N −m = p
m · CN
N
P
m=1
m·
N!
m−1 (1
m!(N −m)! p
− p)N −m =
N
P
(N −1)!
m−1 (1 − p)N −m =
p
−
= pN
(m−1)!(N −m)! p
m=1
m=1

N−1
i=m−1
P (N −1)! i
N −i−1 = pN .

 = pN
i!(N −i−1)! p (1 − p)
i=0
m=i+1
N!
m−1 (1
(m−1)!(N −m)! p
p)N −m
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
4/9
Äèñïåðñèÿ:
M ξ2 =
N
P
m=0
N
P
m=1
N
P
m pm (1 − p)N −m =
m2 · CN
N
P
m·
m=1
N!
m
(m−1)!(N −m)! p (1
N!
m
N −m =
(m − 1 + 1) · (m−1)!(N
−m)! p (1 − p)
m=1
N!
m
N −m +
(m − 1) · (m−1)!(N
−m)! p (1 − p)
N
P
N!
m
N −m + Np =
(m − 1) · (m−1)!(N
−m)! p (1 − p)
m=1
m=2 

N
i=m−2
P
N!
m
N −m + N p = 
=
(m−2)!(N −m)! p (1 − p)
m=2
m=i+2
N−2
P (N −2)! i
N −i−2 + N p = p2 N (N − 1) + N p = p2 N 2 − p2 N + N p,
p2 N (N − 1)
i!(N −i−2)! p (1 − p)
N!
m
(m−1)!(N −m)! p (1
− p)N −m =
N
P
− p)N −m =
i=0
Dξ = p2 N 2 − p2 N + N p − (N p)2 = N p − N p2 = Np(1 − p).
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå:
σξ =
p
Np(1 − p)
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
5/9
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ:
Fξ (x) =









































0, x ≤ 0
0 p0 (1 − p)N , 0 < x ≤ 1
CN
0 p0 (1 − p)N + C 1 p1 (1 − p)N −1 , 1 < x ≤ 2
CN
N
0 p0 (1 − p)N + C 1 p1 (1 − p)N −1 + C 2 p2 (1 − p)N −2 , 2 < x ≤ 3
CN
N
N
...
0 p0 (1 − p)N + C 1 p1 (1 − p)N −1 + . . .
CN
N
N −1 N −1
· · · + CN
p
(1 − p)1 , N − 1 < x ≤ N
1, x > N
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
6/9
Íàïðèìåð,
N = 5, p =
1
4


0, x ≤ 0





243


1024 , 0 < x ≤ 1




648


,1 < x ≤ 2

 1024
918
Fξ (x) =
1024 , 2 < x ≤ 3



 1008 , 3 < x ≤ 4


1024




1023


1024 , 4 < x ≤ 5




1, x > 5
1
3
4
1
2
1
4
0
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
1
2
3
4
Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
5
7/9
Ìíîãîóãîëüíèê ðàñïðåäåëåíèÿ
Íàïðèìåð,
N = 5, p =
1
4
ξ
0
1
2
3
4
5
p
243
1024
405
1024
270
1024
90
1024
15
1024
1
1024
1
2
1
4
0
1
2
3
4
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
5
Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
8/9
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
9/9
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 6.4. Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
1/9
Ïëàí
1
2
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè.
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
2/9
Îïðåäåëåíèå
Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå:
P {ξ = m} = p(1 − p)m ,
m = 0, 1, . . .
Ðÿä ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:
ξ 0
1
2
...
p
p
p(1 − p)
p(1 − p)2
...
.
k
p(1 − p)k
...
...
Äîêàçàòåëüñòâî (ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì)
∞
P
m=0

p(1 − p)m = p
∞
P
(1 − p)m =
m=0
ñóììà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè 
1
=1
ïåðâûé ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè  = p 1−(1−p)
øàã ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè
b0
1−q
S=


 b0 = 1

q =1−p
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)

Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
3/9
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå:
∞
∞
P
P
mp(1 − p)m = p(1 − p)
m · (1 − p)m−1 = −p(1 − p)
((1 − p)m )′
m=0
m=1
m=1

b0
∞
′  S = 1−q
P

p)
(1 − p)m =  b0 = 1 − p

m=1
q =1−p
′
′
′
1−p
1
−p(1 − p) 1−(1−p)
= −p(1 − p) 1−p
=
−p(1
−
p)
−
1
=
p
p
= −p(1 − p) − p12 = 1−p
p
Mξ =
∞
P
= −p(1 −

ñóììà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè

ïåðâûé ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè  =
øàã ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
4/9
Äèñïåðñèÿ:
∞
∞
P
P
m2 p(1 − p)m = p(1 − p)
m2 · (1 − p)m−1 = −p(1 − p)
m · ((1 − p)m )′ =
m=0
m=1
m=1
∞
′
′
∞
P
P
m
m−1
−p(1 − p)
m · (1 − p)
= −p(1 − p) (1 − p)
m · (1 − p)
=
m=1
m=1
′
∞
′ ′
∞
P
P
′
m
m
p(1 − p) (1 − p)
((1 − p) )
= p(1 − p) (1 − p)
(1 − p)
=
m=1
m=1
′ ′
=
[
] = p(1 − p) (1 − p) 1−p
p
′
′
′
1
1
1
1
2
p(1 − p) (1 − p) − p2
= p(1 − p) − p2 + p = p(1 − p) p3 − p2 = p(1 − p) 2−p
=
p3
M ξ2 =
∞
P
ñóììà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè
,
(1−p)(2−p)
p2
Dξ = (1−p)(2−p)
p2
−
1−p
p
2
=
(1−p)(2−p−(1−p))
p2
=
1−p
p2
.
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå:
σξ =
q
1−p
p2
√
=
1−p
p
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
5/9
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå
Ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ:

0, x ≤ 0






p, 0 < x ≤ 1







p + p(1 − p)1 , 1 < x ≤ 2


Fξ (x) =
p + p(1 − p)1 + p(1 − p)2 , 2 < x ≤ 3





...





1
m


 p + p(1 − p) + · · · + p(1 − p) , m < x ≤ m + 1



...

 0, x ≤ 0
Fξ (x) =
 1 − (1 − p)m−1 , m < x ≤ m + 1, m ∈ N
0
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
6/9
Íàïðèìåð, p = 14


0, x ≤ 0





1


4, 0 < x ≤ 1




7


,1 < x ≤ 2

 16
37
Fξ (x) =
64 , 2 < x ≤ 3



 175 , 3 < x ≤ 4


256




781


1024 , 4 < x ≤ 5




...
1
...
3
4
1
2
1
4
0 1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
2
3
4
Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
5
7/9
Ìíîãîóãîëüíèê ðàñïðåäåëåíèÿ
Íàïðèìåð, p = 14
ξ 0 1
2 3
p
1
4
3
16
9
64
27
256
4
...
81
1024
...
1
2
1
4
0 1
2
3
4
...
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
5
Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
8/9
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
9/9
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 6.5. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
1/9
Ïëàí
1
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè.
2
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
2/9
Îïðåäåëåíèå
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà:
P {ξ = m} =
λm −λ
,
m! e
λ > 0,
m = 0, 1, . . .
.
ξ
0
1
2
...
k
...
p
e−λ
λe−λ
λ2 −λ
2 e
...
λk −λ
k! e
...
Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà:
Äîêàçàòåëüñòâî (ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì)
∞
P
m=0
ex
=
λm −λ
m! e
=
∞
P
= e−λ
∞
P
m=0
xm
m!
λm
m!
=
ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè
m=0
e−λ eλ = e−λ+λ
ex
=
= e0 = 1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
3/9
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå:
Mξ =
∞
P
m=0
m
m λm! e−λ = e−λ
∞
P
m=1
m
m λm! = λe−λ
∞
P
m=1

λm−1
(m−1)!
=
m−1=i
m=i+1

 = λe−λ
∞
P
i=0
λi
i!
=
λe−λ eλ = λ
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
4/9
Äèñïåðñèÿ:
M ξ2 =
∞
P
m=0
λe−λ
∞
P
m=1
m−1
∞
P
m
m2 λm! e−λ = e−λ
(m − 1 +
λm−1
1) (m−1)!
λ
1) (m−1)!
+ λ = λ2 e−λ
∞
P
m=2
m=1
=
m
m2 λm! = λe−λ
λm−2
(m−2)!
m=1
m−1
λ
=
m (m−1)!
∞
∞
P
P
λm−1
λm−1
−λ
(m − 1) (m−1)!
+ λe−λ
(m −
(m−1)! = λe
m=1
m=1
m=2

∞ i
m−2=i
P
λ
2
 = λ2 e−λ
+λ=
i! + λ = λ + λ,
i=0
m=i+2
λe−λ
∞
P
∞
P
Dξ = λ2 + λ − (λ)2 = λ.
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå:
σξ =
√
λ
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
5/9
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ:


0, x ≤ 0






e−λ , 0 < x ≤ 1







e−λ + λe−λ , 1 < x ≤ 2


2
Fξ (x) =
e−λ + λe−λ + λ2 e−λ , 2 < x ≤ 3





...




m


e−λ + λe−λ + · · · + λm! e−λ , m < x ≤ m + 1





...
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
6/9
Íàïðèìåð,
λ=2


0, x ≤ 0






e−2 , 0 < x ≤ 1





 (1 + 2)e−2 , 1 < x ≤ 2
Fξ (x) =


(1 + 2 + 2)e−2 , 2 < x ≤ 3






(1 + 2 + 2 + 34 )e−2 , 3 < x ≤ 4





...
1
...
3
4
1
2
1
4
0
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
1
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
2
3
4
5
7/9
Ìíîãîóãîëüíèê ðàñïðåäåëåíèÿ
Íàïðèìåð,
λ=2
ξ
0
1
2
3
...
p
e−2
2e−2
2e−2
4 −2
3e
...
1
2
1
4
...
0
1
2
3
4
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
5
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
8/9
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
9/9
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 7.1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèÿ, ñðåäíåå
êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÀÍÑÂ
1 / 11
Ïëàí
1
2
3
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Äèñïåðñèÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÀÍÑÂ
2 / 11
Îïðåäåëåíèå
ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îíà íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî
íåïðåðûâíîé, åñëè ñóùåñòâóåò
R
ρξ ≥ 0, ρξ : R → R, òàêàÿ ÷òî P {ξ ∈ B} = ρξ (x)dx.
B
Íåïðåðûâíîå
ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè
R
ρξ (x)dx = 1.
R
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÀÍÑÂ
3 / 11
Îñíîâíûå íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ
1.
Ðàâíîìåðíîå íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå
ρξ (x) =
2.


1
b−a , x
∈ [a, b]
a<b
:
Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå

 λe−λx , x > 0
ρξ (x) =
,
 0, x ≤ 0
3.
.
a, b ∈ R,
 0, x ∈
/ [a, b]
:
λ>0
.
Òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
ρξ (x) =





4(x−a)
,x ∈
(b−a)2
4(b−x)
,x ∈
(b−a)2
a,
a+b
2
a+b
2 ,b
:
a, b ∈ R,
a<b
.



 0, x ∈
/ [a, b]
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÀÍÑÂ
4 / 11
4.
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
ρξ (x) =
√ 1 e−
2πσ
(x−a)2
2σ 2
,
x ∈ R,
:
a ∈ R,
.
σ>0
Ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå:
ρξ (x) = √12π e− , x ∈ R.
x2
2
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÀÍÑÂ
5 / 11
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
Îïðåäåëåíèå
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåå (âçâåøåííîå ïî âåðîÿòíîñòÿì âîçìîæíûõ
çíà÷åíèé) çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû M ξ = x · ρξ (x)dx
−∞
Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:
1◦. a = const, M a = a;
2◦. a = const, M (aξ) = aM ξ;
3◦. a, b = const, M (aξ + bη) = aM ξ + bM η;
+∞
R
4◦. M (f (ξ)) = f (x) · ρξ (x)dx.
+∞
R
−∞
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÀÍÑÂ
6 / 11
Äèñïåðñèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
Äèñïåðñèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Dξ = M (ξ − M ξ)2 = M ξ2 − (M ξ)2.
Ñâîéñòâà äèñïåðñèè:
1◦. Dξ ≥ 0;
2◦. a = const, Da = 0;
3◦. a = const, D(aξ) = a2Dξ.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÀÍÑÂ
7 / 11
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå
îòêëîíåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàäàåòñÿ
√
ôîðìóëîé σξ = Dξ.
Êàê ìèíèìóì â 95% ñëó÷àåâ çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,
èìåþùåé íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, óäàëåíû îò å¼ ñðåäíåãî íå áîëåå ÷åì íà äâà
ñòàíäàðòíûõ îòêëîíåíèÿ, à â ïðèìåðíî 99,7% íå áîëåå ÷åì íà òðè.
Îäíî èç ïðèìåíåíèé.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÀÍÑÂ
8 / 11

 c√x, x ∈ (0, 4)
ρξ (x) =
 0, x ∈
/ (0, 4)
Ïðèìåð 1. Ïî çàäàííîé ïëîòíîñòè
Íàéäèòå 1) c, 2) M ξ, 3) Dξ, 4) σξ.
R
à) ρξ (x)dx = 1,
R
á) ρξ ≥ 0,
+∞
R4
R
R4
R
R0
à) ρξ (x)dx = 0dx+ c√xdx+ 0dx = cx
.
Ðåøåíèå:
−∞
R
16
3 c
16
3 c
0
0
4
1
2
3
dx =
4
cx 2
3
2
=
0
√
2
3c
4
= 32 c·23 − 23 c·0 =
x3
0
=>
3
= 1  c = 16
 3 √x, x ∈ (0, 4)
16
ρξ (x) =
 0, x ∈
/ (0, 4)
′
1
3 √ ′
3 12
3
x
=
x
= 16
· 21 x− 2 =
16
16
á)
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
3√
32 x
> 0,
(x ∈ (0, 4)).
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÀÍÑÂ
9 / 11
ρξ (x) =
R
Mξ =
5
3
x2
16
5
2
4


3 √
16 x, x
 0, x ∈
/ (0, 4)
x · ρξ (x)dx =
3
40
=
√
0
=
0
σξ =
R
48
7
q
Îòâåò:
3 5
40 2
−0=
R0
x2 · ρξ (x)dx =
R4
12
5
=
7
3
x2
16
7
2
4
=
3
56
√
3 √
16 xdx +
x2 · 0dx +
R4
x2 ·
0
0
=
0
3 7
56 2
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
R4
x·
0
3 21
16 x dx
=
R4
0
3 32
16 x dx
=
−0=
48
7
+
+∞
R
x2 · 0dx =
4
R4
0
x2 ·
3 12
16 x dx
=
;
;
48
12 2
144
192
5 √ = 7 − 25 = 175
8 21
192
175 = 35
3
c = 16
M ξ = 12
Dξ
5
.
, 2)
x · 0dx =
4
3 √
16 xdx
4
x7
+∞
R
;
−∞
−
1)
x·
0
0
3 52
16 x dx
Dξ =
x · 0dx +
4
x5
R
R4
R0
−∞
R
M ξ2 =
∈ (0, 4)
, 3)
=
192
175
√
, 4) σξ = 8 3521 .
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÀÍÑÂ
10 / 11
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ÀÍÑÂ
11 / 11
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 7.2. Âåðîÿòíîñòü, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ôóíêöèÿ
ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÀÍÑÂ
1 / 12
Ïëàí
1
Âåðîÿòíîñòü.
2
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.
3
Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÀÍÑÂ
2 / 12
Âåðîÿòíîñòü
P {ξ ∈ B} =
R
ρξ (x)dx
B
Ïðèìåð 1.
íàéäèòå 1)
Ïî çàäàííîé ïëîòíîñòè
P {ξ ≤ 2},
2)
ρξ (x) =
P {1 ≤ ξ ≤ 3},
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
3)


3 √
16 x, x
∈ (0, 4)
 0, x ∈
/ (0, 4)
P {−2 ≤ ξ ≤ 6}.
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÀÍÑÂ
3 / 12
Ðåøåíèå:
P {ξ ≤ 2} =
√
R2
ρξ (x)dx =
R0
0dx +
−∞
−∞
R2
0
3 √
16 xdx
=
R2
0
3 12
16 x dx
2
4
P {1 ≤ ξ ≤ 3} =
R3
ρξ (x)dx =
1
1
P {−2 ≤ ξ ≤ 6} =
R3
R6
ρξ (x)dx =
−2
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
3 √
16 xdx
R0
−2
=
0dx +
R3
1
R4
0
3 12
16 x dx
3
16
√
=
xdx +
R6
3
3
x2
16
3
2
=
3
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÀÍÑÂ
2
3
2
= 18 x 2
3
=
√
2 2
8
−0 =
0
0
3
= 18 x 2
=
√
3 3
8
−
1
8
=
√
3 3−1
8
1
1
0dx =
4
3
3
x2
16
3
2
R4
0
3
16
√
xdx = 1
4 / 12
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
Îïðåäåëåíèå
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëåíà êàê
Fξ (x) = P {ξ < x} =
Rx
ρξ (t)dt.
−∞
Ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (äëÿ íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé):
1◦ .
2◦ .
3◦ .
4◦ .
5◦ .
6◦ .
0 ≤ Fξ (x) ≤ 1;
Fξ (−∞) = 0;
Fξ (+∞) = 1;
Fξ (x) íåóáûâàåò;
Fξ (x) íåïðåðûâíàÿ;
ρξ (x) = (Fξ (x))′ .
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÀÍÑÂ
5 / 12
Ïðèìåð 2.
Ïî çàäàííîé ïëîòíîñòè
ρξ (x) =


3 √
16 x, x
∈ (0, 4)
 0, x ∈
/ (0, 4)
íàéäèòå ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïîñòðîéòå å¼ ãðàôèê.
Ðåøåíèå:
x≤0
Rx
Rx
0dt = 0
ρξ (t)dt =
Fξ (x) =
Åñëè
−∞
−∞
x ∈ (0, 4)
Rx
R0
Rx 3 √
3
Fξ (x) =
ρξ (t)dt =
0dt + 16
tdt = 18 t 2
Åñëè
−∞
−∞
0
x≥4
Rx
R0
R4
Fξ (x) =
ρξ (t)dt =
0dt +
−∞
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
0
3
3
= 18 x 2 − 0 = 18 x 2
0
Åñëè
−∞
x
3
16
√
tdt +
Rx
0dt = 1
4
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÀÍÑÂ
6 / 12
1
Fξ (x) =



0,


x ≤ 0;
3
4
3
1 2
0 < x < 4;
8x ,



 1, x ≥ 4.
1
2
1
4
-1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
0
1
2
3
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÀÍÑÂ
4
7 / 12
Ïðèìåð 2'.
Ïî çàäàííîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ



0, x ≤ 0;


1 32
Fξ (x) =
0 < x < 4;
8x ,



 1, x ≥ 4.
íàéäèòå ïëîòíîñòü.
Ðåøåíèå:
x≤0
ρξ (x) = (0)′ = 0
Åñëè x ∈ (0, 4)
Åñëè
3
′
ρξ (x) = 81 x 2 =
Åñëè x ≥ 4
ρξ (x) = (1)′ = 0
Ïîëó÷àåì

ρξ (x) =

1
8
3 √
16 x, x
1
· 32 x 2 =
3 12
16 x
∈ (0, 4)
 0, x ∈
/ (0, 4)
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÀÍÑÂ
8 / 12
Ïðèìåð 3.
Ïî çàäàííîé ïëîòíîñòè

 sin x, x ∈ 0, π 2
ρξ (x) =
 0, x ∈
/ 0, π
2
íàéäèòå ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïîñòðîéòå å¼ ãðàôèê.
Ðåøåíèå:
x≤0
Rx
Rx
0dt = 0
ρξ (t)dt =
Fξ (x) =
−∞
−∞
π
Åñëè x ∈ 0, 2
Rx
R0
Rx
Fξ (x) =
ρξ (t)dt =
0dt + sin tdt = − cos t
Åñëè
Åñëè
x
−∞
> π2
Rx
Fξ (x) =
−∞
ρξ (t)dt =
−∞
0
R0
R2
−∞
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
0
= −(cos x − 1) = 1 − cos x
0
π
0dt +
x
sin tdt +
Rx
0dt = 1
π
2
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÀÍÑÂ
9 / 12
1
Fξ (x) =



0,


x ≤ 0;
3
4
1 − cos x, 0 < x ≤ π2 ;



 1, x > π .
2
1
2
1
4
-1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
0
1
π 2
2
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÀÍÑÂ
3
4
10 / 12
Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ
Ïðèìåð 4.
Ïîñòðîéòå ãðàôèê ïëîòíîñòè
ρξ (x) =


3 √
16 x, x
∈ (0, 4)
.
 0, x ∈
/ (0, 4)
1
2
1
4
-1
0
1
2
3
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
4
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÀÍÑÂ
11 / 12
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ÀÍÑÂ
12 / 12
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 7.3. Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèÿ.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
1 / 14
Ïëàí
1
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ðàâíîìåðíîãî íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
2
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ðàâíîìåðíîãî íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
3
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
4
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
2 / 14
Îïðåäåëåíèå
Ðàâíîìåðíîå íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå:
ρξ (x) =


1
b−a , x
∈ [a, b]
 0, x ∈
/ [a, b]
a, b ∈ R.
Äîêàçàòåëüñòâî (ðàâíîìåðíîå íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ
ðàñïðåäåëåíèåì)
R
R
ρξ (x)dx =
Ra
−∞
0dx +
Rb
a
1
b−a dx
+
+∞
R
b
b
0dx =
x
b−a
=
b
b−a
−
a
b−a
=
b−a
b−a
=1
a
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
3 / 14
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ðàâíîìåðíîãî íåïðåðûâíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå:
Mξ =
b2 −a2
2(b−a)
R
x · ρξ (x)dx =
R
=
(b−a)(b+a)
2(b−a)
=
Ra
x · 0dx +
−∞
b+a
2 .
Rb
x·
a
1
b−a dx
+
+∞
R
x · 0dx =
b
x2
2(b−a)
b
=
a
b2
2(b−a)
−
a2
2(b−a)
=
Äèñïåðñèÿ:
M ξ2 =
R
x2 · ρξ (x)dx =
Ra
x2 · 0dx +
Rb
x2 ·
1
b−a dx
+
+∞
R
x2 · 0dx =
x3
3(b−a)
b
=
a
−∞
b
a
(b−a)(b2 +ba+a2 )
a3
b3 −a3
b2 +ba+a2
b3
−
=
=
=
,
3
2(b−a)
3(b−a)
3(b−a)
3(b−a)
2
2
2 +2ab+a2 )
b2 +ba+a2
b+a 2
b2 +ba+a2
b2 +2ab+a2
Dξ =
− 2
=
−
= 4(b +ba+a )−3(b
=
3
3
4
12
(b−a)2
b2 −2ab+a2
=
= 12 .
12
R
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå:
σξ =
q
(b−a)2
12
=
b−a
√ .
2 3
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
4 / 14
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ðàâíîìåðíîãî íåïðåðûâíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ:
x≤a
Rx
Rx
0dt = 0
ρξ (t)dt =
Fξ (x) =
Åñëè
−∞
−∞
x ∈ (a, b]
Rx
Ra
Rx 1
Fξ (x) =
ρξ (t)dt =
0dt + b−a
dt =
Åñëè
−∞
−∞
a
x>b
Rx
Ra
Rb
Fξ (x) =
ρξ (t)dt =
0dt +
x
t
b−a
=
x
b−a
−
a
b−a
=
x−a
b−a
a
Åñëè
−∞
−∞
a
1
b−a dt
+
Rx
0dt = 1
b
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
5 / 14
1



0, x ≤ a


x−a
Fξ (x) =
b−a , a < x ≤ b



 1, x > b
3
4
1
2
1
4
a
0
b
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
6 / 14
Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ
1
b−a
a
0
b
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
7 / 14
Îïðåäåëåíèå
Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå:

 λe−λx , x > 0
ρξ (x) =
,
 0, x ≤ 0
λ > 0.
Äîêàçàòåëüñòâî (ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì)
R
ρξ (x)dx =
R
− lim
x→+∞
R0
0dx +
−∞
−λx
e
+ e0
+∞
R
λe−λx dx =
0
+∞
R
0
e−λx d(λx) = −
+∞
R
+∞
e−λx d(−λx) = −e−λx
0
=
0
=0+1=1
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
8 / 14
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå:
Mξ =
R
x · ρξ (x)dx =
x · 0dx +
−∞
R
+∞
−xe−λx
+
0
− lim
R0
x
λx
x→∞ e
+∞
R
+∞
R

x · λe−λx dx = 
0
e−λx dx = − lim xe−λx + 0 −
0
x→∞
+∞
− λ1 e−λx
=0−
0
1
lim e−λx
λ x→∞
+
1
λ
1
λ
+∞
R
u = x,
du = dx,
dv = λe−λx ,
v = −e−λx

=
e−λx d(−λx) =
0
=0+
1
λ
=
1
λ.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
9 / 14
Äèñïåðñèÿ:
M ξ2 =
R
x2 · ρξ (x)dx =
R0
x2 · 0dx +
−∞
R
+∞
−x2 e−λx
+2
+∞
R
xe−λx dx = 
−λx
− lim x2 e−λx + 0 − 2x
λ e
x→∞

x2 · λe−λx dx = 
0

0
0
+∞
R
u = x,
du = dx,
u = x2 ,
dv =

λe−λx ,
v=
0
=0+0+
2
λ2
=
x→∞
2
,
λ2
x→∞
=
−e−λx
=
dv = e−λx , v = − λ1 e−λx
+∞
+∞
R −λx
2
+ λ2
e
dx = − lim exλx − λ2 lim xe−λx − λ22 e−λx
0
0 − lim λe2xλx − λ22 lim e−λx + λ22
x→∞
2 x→∞
Dξ = λ22 − λ1 = λ22 − λ12 = λ12 .

du = 2xdx,
+∞
=
0
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå:
σξ =
q
1
λ2
=
1
λ.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
10 / 14
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ:
x≤0
Rx
Rx
0dt = 0
ρξ (t)dt =
Fξ (x) =
Åñëè
−∞
−∞
x>0
Rx
R0
Rx
Rx
Fξ (x) =
ρξ (t)dt =
0dt + λe−λt dt = − e−λt d(−λt) = −e−λt
Åñëè
1−
−∞
e−λx
−∞
0
0
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
x
= −e−λx + 1 =
0
11 / 14
Íàïðèìåð, ïðè
λ = 2,
1

 0, x ≤ 0
Fξ (x) =
 1 − e−2x , x > 0
3
4
1
2
1
4
-1
0
1
2
3
4
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
5
12 / 14
Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ
Íàïðèìåð, ïðè

 2e−2x , x > 0
λ = 2, ρξ (x) =
 0, x ≤ 0
,
2
1
0
1
2
3
4
5
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
13 / 14
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ) Ðàâíîìåðíîå è ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåä-ÿ
14 / 14
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 7.4. Òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
1 / 10
Ïëàí
1
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè òðåóãîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
2
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå òðåóãîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
2 / 10
Îïðåäåëåíèå
Òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå:
ρξ (x) =





4(x−a)
,x ∈
(b−a)2
4(b−x)
,x ∈
(b−a)2
a, a+b
2
a+b
,
b
2
a, b ∈ R,
a < b.



 0, x ∈
/ [a, b]
Äîêàçàòåëüñòâî (òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì)
R
ρξ (x)dx =
a+b
2
R
a+b
2
R
0dx +
−∞
R
a
Ra
4(x−a)
d(x
(b−a)2
2
2( a+b
−a)
2
(b−a)2
−
a
Rb
− a) −
2(a−a)2
(b−a)2
a+b
2
−
4(x−a)
dx
(b−a)2
4(b−x)
d(b
(b−a)2
2(b−b)2
(b−a)2
+
Rb
a+b
2
− x) =
4(b−x)
dx
(b−a)2
4(x−a)2
2(b−a)2
2
+
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
2(b− a+b
2 )
(b−a)2
=
+∞
R
+
a+b
2
−
a
2(b−a)2
22 (b−a)2
0dx =
b
+
4(b−x)2
2(b−a)2
2(b−a)2
22 (b−a)2
Òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
b
=
a+b
2
=1
3 / 10
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè òðåóãîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå:
R
Mξ =
x · ρξ (x)dx =
R
a
4x2
dx
(b−a)2
4x3
3(b−a)2
4
(b−a)2
R
x · 0dx +
−∞
R
a+b
2
a+b
2
Ra
a+b
2
a+b
2
−
R
a
4ax
dx
(b−a)2
4ax2
2(b−a)2
−
a a+b 3
( 2 )
3
−
a3
3
a+b
2
+
a
−
x·
a
+
Rb
a+b
2
4bx
dx
(b−a)2
4bx2
2(b−a)2
a( a+b
2 )
2
2
+
b
−
a+b
2
a·a2
2
3
+
4(x−a)
dx
(b−a)2
−
Rb
a+b
2
b(
−
3
Rb
x·
a+b
2
4x2
dx
(b−a)2
4x3
3(b−a)2
b·b2
2
+
4(b−x)
dx
(b−a)2
+
+∞
R
x · 0dx =
b
=
b
=
a+b
2
a+b 2
2
)
2
−
b3
3
3
+
( a+b
2 )
3
=
3
3
(a+b)3
(a+b)3
b3
4
b
+ (a+b)
+ a6 = (b−a)
+ a6 =
2
6 −
8
12
6 −
24
(a+b)(4a2 −4ab+4bb −(a2 +2ab+b2 ))
3(a+b)(a−b)2
4
4
= (b−a)
= a+b
2
24
24
2 .
(b−a)2
4
(b−a)2
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
4 / 10
Äèñïåðñèÿ:
4x4
4(b−a)2
a+b
2
4ax3
3(b−a)2
a+b
2
3
b
4
4bx
4x
=
· ρξ (x)dx = · · · =
−
+ 3(b−a)
− 4(b−a)
2
2
a+b
a
a
2
R a+b 4
3
3
4
a( a+b
b( a+b
( 2 )
( a+b
4
a4
a·a3
b·b3
b4
2 )
2 )
2 )
−
−
+
+
−
−
+
=
2
4
4
3
3
3
3
4
4
(b−a)
4
(a+b)4
(a+b)4
(a+b)4
(a+b)4
b
b4
4
1
a4
a4
=
=
−
+
+
−
+
+
2
2
24
32
12
3
6
8
3
(b−a)
(b−a)
124
4
4
4
3
2
2
3
4
4
4
(a+b)
1
b
1
−a −4a b−6a b −4ab −b +8a +8b
+ a3 = (b−a)
=
2 ·
3 −
24
24
(b−a)2
M ξ2
R
x2
b
=
a+b
2
7a4 −4a3 b−6a2 b2 −4ab3 +7b4
,
24(b−a)2
4
3
2 2 −4ab3 +7b4 −6(b2 −a2 )2
4
3
2
2
b −4ab3 +7b4
b+a 2
Dξ = 7a −4a b−6a
−
= 7a −4a b−6a b24(b−a)
=
2
2
2
24(b−a)
2
(b−a)4
7a4 −4a3 b−6a2 b2 −4ab3 +7b4 −6b4 +12a2 b2 −6a4
a4 −4a3 b+6a2 b2 −4ab3 +b4
=
= 24(b−a)2 = (b−a)
24 .
24(b−a)2
24(b−a)2
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå:
σξ =
q
(b−a)2
24
=
b−a
√ .
2 6
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
5 / 10
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå òðåóãîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ:
x≤a
Rx
Rx
0dt = 0
ρξ (t)dt =
Fξ (x) =
−∞
−∞
a+b
Åñëè x ∈ a,
2
Rx
Ra
Rx 4(t−a)
Rx 4(t−a)
Fξ (x) =
ρξ (t)dt =
0dt + (b−a)
d(t − a) =
2 dt =
(b−a)2
Åñëè
−∞
−∞
a
a
4(t−a)2
2(b−a)2
x
=
a
2(x−a)2
(b−a)2
−0=
2(x−a)2
(b−a)2
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
6 / 10
Åñëè
a+b
2 ,b
x∈
Fξ (x) =
Rx
ρξ (t)dt =
4(t−a)2
2(b−a)2
a+b
2
0dt+
−∞
−∞
t) =
Ra
a+b
2
a
2
4(b−t)
− 2(b−a)
2
R
a
x
a+b
2
4(t−a)
dt+
(b−a)2
2
Rx
a+b
2
= 21 − 2(b−x)
+
(b−a)2
4(b−t)
dt
(b−a)2
2
2(b− a+b
2 )
(b−a)2
x>b
a+b
R2 4(t−a)
Rx
Ra
Rb
dt
+
Fξ (x) =
ρξ (t)dt =
0dt +
2
(b−a)
a+b
2
=
R
a
4(t−a)
d(t−a)−
(b−a)2
2
Rx
a+b
2
2
4(b−t)
d(b−
(b−a)2
2
2(b−x)
= 21 − 2(b−x)
+ 22(b−a)
2 (b−a)2 = 1 − (b−a)2
(b−a)2
Åñëè
−∞
−∞
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
a
a+b
2
4(b−t)
dt
(b−a)2
Òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
+
Rx
0dt = 1
b
7 / 10
1
Fξ (x) =


0, x ≤ a





 2(x−a)2 , a < x ≤
(b−a)2
3
4
a+b
2
2(b−x)2 a+b


1
−
, 2 <x≤b

(b−a)2



 1, x > b
1
2
1
4
a
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
0
Òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
b
8 / 10
Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ
2
b−a
a
0
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
b
Òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
9 / 10
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
10 / 10
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ìîäóëü 7.5. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
1 / 10
Ïëàí
1
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè.
2
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
2 / 10
Îïðåäåëåíèå
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå:
ρξ (x) =
√ 1 e−
2πσ
(x−a)2
2σ 2
,
x ∈ R,
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
a ∈ R,
.
σ>0
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
3 / 10
Äîêàçàòåëüñòâî (íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì)
R
+∞
R
ρξ (x)dx =
√ 1 e−
2πσ
−∞
R
(x−a)2
2σ 2
dx =

+∞
R
2
e−x dx
√
=
0
√1
π
√1
π
+∞
R
e
−t2
−∞
+∞
R
0
dt =
2
π
2
èíòåãðàë Ýéëåðà Ïóàññîíà
√1
π
e−t dt +
+∞
R
R0
−t2
e
dt +
+∞
R
−∞
2
−t
e dt =
0
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
√2
π
!
−t2
e
0
+∞
R
0
dt
2
=
e−t dt =
√1
π
t=

x−a
√ ,
σ 2

√

=  x = σt 2 + a,

√
dx = 2σdt


=

−∞
+∞
R −t2
R −t2
−
e dt +
e dt =
0
0
√
π
√2
π 2
=1
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
4 / 10
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå:

Mξ =
R
x · ρξ (x)dx =
−∞
R
√
+∞
R
√1
π
σ 2
√1
π
−σ2 2
√1
π
+∞
R
te
−t2
dt + a
−∞
√
+∞
R
√ x e−
2πσ
+∞
R
e
dt
!
√
2
e−t d(−t2 ) + a π
√ 2
−σ2 2
lim e−t
t→+∞
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)


=

√1
π
+∞
R
√
2
σt 2 + a e−t dt =
−∞
!
=
√1
π
√ +∞
R −t2 2
√
σ 2
e dt + a π
2
−∞
!
+∞
√
√
2
− σ 2 2 e−t
+a π =
−∞
= √1π
√
−t2
− lim e
+a π =
t→−∞

x−a
√ ,
σ 2

√

dx =  x = σt 2 + a,

√
dx = 2σdt
!
−t2
−∞
−∞
(x−a)2
2σ 2
t=
√
√1 a π
π
=
= a.
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
5 / 10
Äèñïåðñèÿ:
+∞
√
2
R
2
σt 2 + a e−t dt =
dx = · · · = √1π
−∞
−∞
R


+∞
√
u = t, du = dt,
R
2
=
√1
2σ 2 t2 + 2 2σat + a2 e−t dt = 
π
2
1 −t2
−t
−∞
dv = te , v = − 2 e
!
+∞
+∞
R −t2
√
2
2
2
2
2
2σ
σ
2
−t
−t
−t
√
+
e dt + a = √π − lim te
−te
+ lim te
+ π + a2 =
2 π
M ξ2 =
R
x2 · ρξ (x)dx =
−∞
σ2
+∞
R
2
√x e−
2πσ
(x−a)2
2σ 2
t→+∞
−∞
t→−∞
a2 ,
+
Dξ = σ 2 + a2 − (a)2 = σ 2 .
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå:
σξ =
√
σ2 = σ.
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
6 / 10
Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ:

Rx
Rx
y=
(t−a)2
2σ 2

x−a
σ ,


1
√
ρξ (t)dt =
Fξ (x) =
dt =  x = σt + a,
e
2πσ

−∞
−∞
dx = σdt



x−a
−∞
R0 − y2
Rσ − y2
R − y2
1 
√1 
2 dy +
2 dy  = √
e
−
e
e 2 dy +
2π
2π
−∞

√1
2π

+∞
R
−
0
2
− y2
e
x−a
σ
dy +
0
= 0, 5 + Φ0
R
x−a
σ
0
R

2
− y2
e
dy  =
0

2
− y2
e
dy  = Φ0 (+∞) + Φ0
0
x−a
σ
x−a

Rσ 1 − y2

√ e 2 dy =
=
 −∞ 2π
x−a
σ
=
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
7 / 10
1
3
4
Fξ (x) = 0, 5 + Φ0
x−a
σ
1
2
1
4
0
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
a
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
8 / 10
Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ
√1
2πσ
0
a
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
9 / 10
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå
Áîéêî Êñåíèÿ Âëàäèìèðîâíà (×åëÃÓ)
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
10 / 10