Ýêâèâàëåíòíîñòü ôîðìóë è ïðåíåêñíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà
Îïðåäåëåíèå. Ôîðìóëû Φ è Ψ ýêâèâàëåíòíû (Φ ∼ Ψ), åñëè îíè ÿâëÿþòñÿ ëîãè÷åñêèìè ñëåäñòâèÿìè äðóã äðóãà, òî åñòü Φ |= Ψ è Ψ |= Φ.
 ñèëó ïîëíîòû ÈÏ Φ ∼ Ψ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äîêàçóåìû
ñåêâåíöèè Φ ` Ψ è Ψ ` Φ.
Òåîðåìà î çàìåíå. Åñëè Φ ïîäôîðìóëà Ψ, Φ ∼ Φ0 , è Ψ0 ïîëó÷åíà
çàìåíîé Φ íà Φ0 â Ψ, òî Ψ ∼ Ψ0.
Îïðåäåëåíèå. Ôîðìóëà Φ íàõîäèòñÿ â ïðåíåêñíîé íîðìàëüíîé ôîðìå, åñëè îíà èìååò âèä
Q1 x1 Q2 x2 . . . Qn xn Θ,
ãäå Qi ∈ {∀, ∃} êâàíòîðû, à ôîðìóëà Θ íå ñîäåðæèò êâàíòîðû.
Òåîðåìà î ïðåíåêñíîé íîðìàëüíîé ôîðìóëå. Êàæäàÿ ôîðìóëà ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå, íàõîäÿùåéñÿ â ïðåíåêñíîé íîðìàëüíîé ôîðìå
Äîêàçàòåëüñòâî.
1. Â ñèëó ýêâèâàëåíòíîñòè Φ → Ψ ∼ ¬Φ ∨ Ψ êàæäàÿ ôîðìóëà ýêèâèâàëåíòíà ôîðìóëå áåç èìïëèêàöèé.
2. Â ñèëó ýêâèâàëåíòíîñòåé
¬(Φ & Ψ) ∼ ¬Φ ∨ ¬Ψ,
¬(Φ ∨ Ψ) ∼ ¬Φ & ¬Ψ,
¬∀xΦ ∼ ∃x¬Φ,
¬∃xΦ ∼ ∀x¬Φ
è ¬¬Φ ∼ Φ êàæäàÿ ôîðìóëà ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå áåç èìïëèêàöèé, â
êîòîðîé îòðèöàíèÿ ñòîÿò ëèøü ó àòîìàðíûõ ïîäôîðìóë (èëè, ïî êðàéíåé
ìåðå, òîëüêî ó áåñêâàíòîðíûõ ïîäôîðìóë).
3. Ïîñêîëüêó ∀xΦ ∼ ∀yΦyx è ∃xΦ ∼ ∃yΦyx ìîæåì ñ÷èòàòü ÷òî â ôîðìóëàõ èç 2 ïåðåìåííàÿ êàæäîãî êâàíòîðà îòëè÷àåòñÿ îò ïåðåìåííûõ äðóãèõ
êâàíòîðîâ.
4. Åñëè Φ íå ñîäåðæèò ïåðåìåííóþ x, òî
Φ & ∀xΨ ∼ ∀x(Φ & Ψ),
Φ ∨ ∀xΨ ∼ ∀x(Φ ∨ Ψ),
Φ & ∃xΨ ∼ ∃x(Φ & Ψ),
Φ ∨ ∃xΨ ∼ ∃x(Φ ∨ Ψ).
Ïîýòîìó, êàæäàÿ ôîðìóëà ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå, íàõîäÿùåéñÿ â ïðåíåêñíîé íîðìàëüíîé ôîðìå.
1
