Рябушко 13.3 (1 вариант) решения

Задачник Рябушко. ИДЗ 13.3. Вариант 1
1.1) Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной заданными
линиями, если поверхностная плотность в каждой её точки    ( x , y ) .
y2  x
x 3   x
у
0
x
3
M   dx
0

xdy   xdx
 x
5
x
3
0

 x
3
3
3
х
3
3
2
dy   x ( x  x )dx   x  2 xdx  2  x dx 
0
0
0
3
2
4
4
36 3
 2  x 2   35   9 3 
5 0 5
5
5
2.1) Вычислить статистический момент однородной пластины, ограниченной
данными линиями относительно указанной оси, используя полярные
координаты.
x 2  y 2  2ay  0 x  y  0 OX
Преобразуем уравнение окружности.
x 2  y 2  2ay  0
x 2  ( y  a)2  a 2
Центр в точке (0, a ) радиус R  a
Перейдём к полярным координатам
x   cos  y   sin  x 2  y 2   2
Уравнение окружносте запишется в виде:
 2  2a  sin   0    2a sin 
0    2a sin 

M x   sin  d

2 a sin 

0
2 a sin 

1
 d    sin  d   3
3 0

2
4
4


4
4

1
  sin  d (8a 3 sin 3  ) 
3
4
8
8
1  cos 2 2
 a 3  sin 4  d  a 3  (
) d 
3 
3 
2


8
8
1 2 1
 a 3  (1  2cos 2  cos 2 2 )d  a 3 (  sin 2  (  sin 4 )) 

3 
3
2 2 4
4
4

8
3
1
8
3
1
3 
 a 3 (   sin 2  sin 4 )  a 3 (    sin 2  sin 4   

3
2
8
3 2
8
2 4
4
 sin

1
8 3
3
8 9
 sin  )  a 3 (  0  0 
 1  0)  a 3 (  1)
2 8
3
2
8
3
8
3.1) Вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего
область V, ограниченного указанными поверхностями.
x  6( y 2  z 2 ) y 2  z 2  3 x  0
Строим данное тело.
z
у
х
Тело имеет ось симметрии ОХ, значит координаты у и z центра тяжести равны
нулю. Найдём координату х.
xdxdydz
x0  
V
Перейдём к цилиндрическим координатам.
y   cos  z   sin  x  x
y2  z2   2
Радиус проекции линии пересечения поверхностей
x  6( y 2  z 2 ) y 2  z 2  3
x  6  3  18
y2  z2  3    3
2
V
62
3
 d   d  
0
0
0
2
2
3
3
2
3
1
dx   d   d  (6  )  6  d   d   6  d (  4 ) 
4
0
0
0
0
0
0
2
3
1
1
 6   ( 3) 4  2  6   9  2  27
4
4
2
62
3
 xdxdydz   d   d  
0
2
0
0
2
1
xdx   d   d   x 2
2 0
0
0
2
3
1
  d   d   (36  4 ) 
20
0
3
2
3
62
3
1
1
1
 18  d   d   18  d (  6 )  18   ( 3)6  2  18   27  2  162
6
6
6
0
0
0
0
5
162
6
O(6,0,0) - центр тяжести
27
4.1) Вычислить момент инерции относительно указанной оси координат
однородного тела, занимающего область V, ограниченного данными
поверхностями. Плотность тела принять равной 1.
y 2  x 2  z 2 y  4 Oy
Строим данное тело.
z
x0 
у
х
Перейдём к цилиндрическим координатам.
x   cos  z   sin  y  y
Конус запишется в виде: y  
2
4
3
4
3
M y    d  d dy   d   d   dx 
0
4
2
0

2
2
4
4
3
 d   d  (4   )   d  (4 
0
0
0
3
  4 )d  
0
1
1
1024
256
512
  d (    5 )  (44   45 )  2  (256 
)  2 
 2 

5
5
5
5
5
0
0
4