ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ РЕАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ

ПРИМЕРЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КУРСУ
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ
РЕАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
КРИСТАЛЛОВ
Д.ф.-м.н., проф. Э.В.Суворов
№1. Плоскость отсекает на осях
координат отрезки 5, 3, 8
соответственно в параметрах
элементарной ячейки a,b,c.
Определить индексы Миллера таких
плоскостей.
z
8c
y
3b
5a
a
h r
5a
b
k r
3b
c
l r
8c
x
a b c
1 1 1
1 1 1
, ,  , ,   5  3  8   , ,   24  40 15 
5a 3b 8c
5 3 8
5 3 8
z
z
5b
y
a b c
, ,   501
1a  5c
1a
z
2c
x
a b c
 021  , ,
 1b 2c
1b
x
y
Обратная решетка. Её свойства
rj  am  bn  cp
a,b,c



a ,b ,c
Здесь m,m,p–целые числа
H  ha  kb  lc
Здесь h,k,l – тоже целые числа

(a,a* ) = (b,b* ) = (c,c* )  1

*
*
*
*
*
*
(a,b
)
=
(a,c
)
=
(b,a
)
=
(b,c
)
=
(c,a
)
=
(c,b
)0

Например, равенство (a,b*)=(c,b*)=0 говорит о том, что вектор b* перпендикулярен к плоскости, в
которой лежат вектора a и c. Соответственно равенство (a,c*)=(b,c*)=0 указывает на то, что вектор
c* перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора, a и b. Ну а равенство (b,a*)=(c,a*)=0
свидетельствует о том, что вектор a* - перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора b c.
Следовательно, можно записать
 a*  1 bc 
 *
b   2 ca 
c*   ab 
3

Здесь 1,2,3 неизвестные коэффициенты пропорциональности.
Воспользуемся первым условием для векторов обратной решетки.
Подставим в него полученные нами значения векторов обратной
решетки
 a,a  = b,b  = c,c  = a,  bc = b,  ca  = c,  ab   1
*
*
*
1
2
3
Последние три равенства можно переписать так
1  a, bc   2  b, ca    3  c, ab   1
Однако из векторной алгебры известно, что смешанное произведения трех векторов a,b,c
образующих параллелепипед равно объему этого параллелепипеда. Т.е.
V   a bc  =  b ca  =  c ab 
Тогда
1   2   3 
1
V
 * 1
a  V bc 

 * 1
b  ca 
V

 * 1
c  V ab 

№2. Чему в прямой решетке соответствует
точка в обратной решетке
1
d
H
d
Z
Z*
H
y*
y
x*
x
№3. Показать, что вектор обратной
решетки Hhkl перпендикулярен
плоскости прямой решетки с
индексами (hkl).
Введем в обратной решетке вектор H  ha*  kb*  lc*
Этот вектор обладает чрезвычайно важным
свойством – он всегда перпендикулярен
плоскостям прямой решетки с индексами (hkl).
Рассмотрим, например, плоскость ABC в прямой
решетке с индексами (hkl). Если вектор H
перпендикулярен к этой плоскости (hkl), то
скалярное произведение любого вектора лежащего
в этой плоскости, будет равно нулю. Возьмем для
простоты рассмотрения вектор AB. Он будет
определяться как разность двух других векторов .
AB  OB - OA 
b a

k h
Если вектор H перпендикулярен этой плоскости, скалярные
произведения (H,AB), (H,AC), (H,CB) должны быть равны нулю.
a
 b a  *
*
* b
 H,     ha  kb  lc ,    1  1  0
k h
 k h 
№4. Показать, что модуль вектора обратной
решетки равен обратной величине
межплоскостного расстояния для
плоскосей с индексами (hkl) т.е. H 
1
d
Другим важнейшим свойством вектора H является то, что его
модуль всегда равен обратной величине межплоскостного
расстояния для плоскостей с индексами (hkl).
H 
1
d hkl
Атомную решетку любой симметрии можно
представить как набор семейств плоскостей с
индексами (hkl), (h1k1l1), (h2k2l2), ….
R  ma  nb  pc
R – текущий радиус-вектор точек одной из плоскостей с
индексами (hkl)
Тогда уравнение любой такой плоскости можно записать в виде

H
 R ,
  sd
H

Здесь d - межплоскостное расстояние для этой системы плоскостей, s – целое число
(например, для плоскости, проходящей через начало координат s=0)
H
H
sd 
- единичный вектор нормали к плоскости.
1
1
1
 R, H   (ma  nb  pc, ha*  kb*  lc* )   mh  nk  pl 
H
H
H
Вспоминая, что (mh+nk+pl)=s - уравнение плоскости, получим
1
d
H
№5. Рассчитать структурную
амплитуду для гранецентрированной
кубической решетки. Определить закон
погасания рефлексов для этой
структуры.
Для гранецентрированной кубической решетки базис записывается, как
000, 0
11 11 1 1
,
0, 0
22 22 2 2
Если положить, что все атомы, входящие в кристаллическую решетку,
одинаковые, можно записать, что f1=f2=f3=f4=f и структурная амплитуда
F  hkl    f j  exp 2 i  hx j  ky j  lz j 
Подставляя в это выражение координаты базиса гранецентрированной
решетки, получим
F  hkl   f 1  exp  i  k  l   exp  i  h  k   exp  i  h  l   
или, вспоминая формулы Эйлера –
 f 1  cos   k  l   cos   h  k   cos   h  l  
Следовательно, правила погасания будут выглядеть как:
если hkl одновремнно четные или нечетные, то F=4f;
если hkl смешанные, то F=0.
№6. Рассчитать структурную амплитуду
для объемоцентрированной
кубической решетки.
Определить закон погасания
рефлексов для этой структуры.
Объемоцентрированная решетка
1 1 1
000,  
2 2 2
F  f 1  exp  i  h  k  l    f 1  cos   h  k  l  
0, если  h  k  l  2n  1
F 
 2 f , если  h  k  l  2n
№7. Рассчитать структурную амплитуду,
структурный фактор и определить законы
погасаний для решетки алмаза.
Решетка алмаза это две
гранецентрированные решетки сдвинутые
по телесной диагонали на 1.4 ее длины.
Координаты базиса [[000; 1/2,1/2,0; 1/2,0,1/2;
0,1/2,1/2; 1/4,1/4,1/4; 3/4,3/4,1/4; 3/4,1/4,3/4; 1/4,3/4,3/4]].
[[000; 1/2,1/2,0; 1/2,0,1/2; 0,1/2,1/2; 1/4,1/4,1/4; 3/4,3/4,1/4; 3/4,1/4,3/4; 1/4,3/4,3/4]]
F  hkl    f j exp 2 i  u j h  v j k  w j l  
j
f
j
2

j
 cos  2  u j h  v j k  w j l    i  f j  sin  2  u j h  v j k  w j l  
j
 r,s - s0   2 r, H 
F  hkl   fF1F2
F1  1  e
F  hkl   F1  F1  e
i  h  k 
F2  1  e
i

2
e
i  h l 
e
i  k  k 
 h  k l 
F1=0 для h+k+l=4n+2 –
F2=0 Если hkl – числа разной четности.
F(hkl)=0 для 200, 222, 410, 600 и т.д.
2 i  r,H 

 F1  1  e
2 i  r,H 
  F F
1
2
-гранецентрированная решетка
№8 На щель шириной a падает плоская
волна. Рассчитать распределение излучения
за этой щелью. (Дифракция на узкой щели).
f  x
F  f  x   F  u  
f  x   F 1  F  f  x  


 


f  x   e 2 iux dx
F  u  e 2 iux dx
Запишем выражение, описывающее щель, в виде функции
f(x)
1
x
0
f  x  
1
x  a/2
x  a/2
F u  
-a/2 a/2
a /2

Фурье-образ такой функции
будет описываться
f  x   e 2 iux dx 
 a /2
a /2

e 2 ux dx
 a /2
1
Вспоминая, что  eax dx  eax , и обозначая a  2 iu , можно записать значение
a
интеграла, описывающего Фурье-образ,
 a /2
a
a
2 iu 
2 iu  

1
2 iux
2
e
dx 
 e 2  e


2

iu


 a /2
или, используя формулы Эйлера, интеглал преобразутся к виду
1
 cos  ua   i sin  ua   cos  ua   i sin  ua   
2 iu
1
  2i sin  ua   
2 iu
sin  ua 

 u 

№9. Определить число атомов в
элементарной ячейке железа,
кристаллизующегося в кубической
системе; ребро куба а=2,87Å, атомный
вес железа 55,84; плотность =7,8г/см3;
mH=1,65x10-24г
Применяя формулу плотности к элементарной ячейке, находим
N
N
 a
3
A  mH
 a
A  mH
7,8   2,87  10
3

3
24
55,84 1, 65 1024
 г 3  см3 
2
  см


г


т.е. на элементарную ячейку приходится 2 атома. Здесь A – атомный
вес, mH – масса атома водорода.
№10. Рассчитать необходимую ширину
щели коллиматора для выделения К1
линии в методе Ланга. Исследуемый
кристалл - кремний, а=5,4306Å; отражение
(220); расстояние от источника до
выходной щели коллиматора 450мм;
источник - точечный. Длины волн
K1=0,70926Å; K2=0,71354Å
Ширина щели, формирующая пучок, определяет
величину расходимости падающего на кристалл
пучка. Для того, чтобы исследуемый кристалл
отражал только одну длину волны K1,
необходимо, чтобы угловая ширина падающего на
кристалл пучка была меньше углового интервала
между отражениями K1 и K2 (см.рисунок).
Запишем условия Брэгга для этих длин волн 2d  sin 1  K1
2d  sin 2  K 2
Отсюда легко найти разницу между угловыми положениями 1 и 2 т.е.


2d cos         


 tg
2d cos  cos 

sin 
Следовательно, угловая и линейная ширина щели соответственно равны
    2  1
    D
Определяя значение тангенса угла Брэгга и подставляя его в
приведенное выше выражение, получим
tg 
sin 

cos 
0.711 2

5.4306 1  0.711 2 / 5.4306
и, следовательно, ширина щели равна


2
 0.188
(0.71354  0.709926)
 0.188  450  0.509mm
0.711
Основные идеи диаграмм Дю Монда
DuMond J.W. Phys. Rev. (1937), 52, p.872
№11. Определить экстинкционную длину для
отражения (220) кремния (излучения MoK1 и
CuK1). Фурье-компонента поляризуемости для
этого случая (MoK) (220)=(2.04+i0.017)10-6.
Фурье-компонента поляризуемости для этого
случая (CuK) (220)=(9.74+i0.340)10-6. Параметр
решетки для кремния а=5,4306Å, длины волн
соответственно равны MoK1=0.70926Å,
CuK1=1.54051Å

Экстинкционная длина определяется соотношением
2
 cos 

,
K c  H  H
где  H и  H - Фурье–компоненты поляризуемости кристалла для данной
H  H
системы плоскостей. Если кристалл центросимметричный,
Параметр с – фактор поляризации . Если вспомнить, что sin  

2d
, а d для
2
2
2
кубического кристалла определяется квадратичной формой – 1  h  k  l
2
2
cos   1  sin 2   1 
2
4d 2
 1

 2 h2  k 2  l 2
4a 2
,
d
2
тогда для излучения MoK cos   1  0.711  8  0.902 и соответственно
4  5.4306
экстинкционная длина будет равна
  0.711
0.902
2.04 106
 3.144 105 Å = 3.144 10-5 м  31, 44 мкм
Для излучения CuK ,
а экстинкционная длина будет равна
  1.54
0.355
9.74 106
1.542  8
cos   1 
 0.355
4  5.4306
 5.615 103 Å = 5.615 10-7 м  0.5615 мкм
a
№12. Оценить толщину кристалла кремния, при
которой соотношение амплитуд нормальной и
аномальной волн для симметричного отражения (220)
на излучении MoK будет составлять 1/10. Фурьекомпонента поляризуемости кристалла для этого
случая (220)=(2.04+i0.017)10-6. Нулевой член Фурьекомпоненты поляризуемости кристалла для этого
случая 0=(3.156+i0.0162)10-6. Параметр решетки для
кремния составляет а=5,4306Å.
Величины поглощения для нормальной и аномальной волн задаются
соотношением
 
 
1,2  0  1  c ih 
cos  
i 0 
2
Знак плюс относится к поглощению нормальной моды. Здесь 0   i 0

- фотоэлектрическая часть поглощения.
Запишем интенсивности нормальной и аномальной волн в зависимости от
толщины кристаллов
Тогда
I1  I0  exp 1t I 2  I0  exp 2t


ln  I1 / I2    2  1   t
t
ln  I1 / I 2 
 2  1 


и следовательно искомая толщина равна
Числитель этого выражения задан условием задачи.
Знаменатель задается выражением
2i 0
2  1 
 cos 



 1  c ih  1  c ih
i 0
i 0


ln 10   0,711 1  0,1852
6
t
 7,53110 A
6
4  0,017 10

4 c

 ih

  cos 
7,53110-4м=7.531102мкм
№13. Определить все элементы симметрии куба.
Изобразить это на стереографической проекции
Элементы симметрии кубического кристалла