Обратная решетка. Основные аксиомы. Основные свойства 10.

10. Обратная решетка. Основные аксиомы. Основные свойства
обратной решетки. Связь прямой и обратной решеток. Фурьеанализ и обратное пространство.
Обратная решетка
a,b,c
rj  am  bn  cp
Здесь m,m,p–целые числа
a , b , c
H  ha  kb  lc
Здесь h,k,l – тоже целые числа

(a,a* ) = (b,b* ) = (c,c* )  1

*
*
*
*
*
*
(
a
,b
)
=
(
a
,c
)
=
(
b
,a
)
=
(
b
,c
)
=
(
c
,a
)
=
(
c
,b
)0

Эти два тождества определяют положения векторов обратной решетки
О чем говорит последнее тождество. Например, равенство (a,b*)=(c,b*)=0 говорит о
том, что вектор b* перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора a и c.
Соответственно равенство (a,c*)=(b,c*)=0 указывает на то, что вектор c*
перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора, a и b. Ну а равенство
(b,a*)=(c,a*)=0 свидетельствует о том, что вектор a* - перпендикулярен к плоскости, в
которой лежат вектора b c. Следовательно, можно записать
 a*   bc
1


 *
b   2 ca 

c*   ab 
3


  
Здесь α1, α2, α3 неизвестные коэффициенты
пропорциональности. Воспользуемся первым условием для
векторов обратной решетки. Подставим в него полученные
нами значения векторов обратной решетки
  


a,a* = b,b* = c,c* =  a,1 bc  = b,2 ca =  c,3 ab   1



Последние три равенства можно переписать так




1  a, bc   2



b, ca





 3  c, ab   1



Из векторной алгебры известно, что смешанное произведения
трех векторов a,b,c образующих параллелепипед равно объему
этого параллелепипеда. Т.е.
V   a bc =  b ca =  c ab
c
b
a
Тогда
1
1   2   3 
V
и следовательно
 * 1
a  V bc 

 * 1
b  ca 
V

 * 1
c  V ab 

Свойства вектора обратной решетки
H  ha*  kb*  lc*
z
C
H
c/l
y
b/k
O
B
a/h
A
x
1. Вектор обратной решетки H
всегда перпендикулярен
плоскости прямой решетки
с индексами (hkl).
Если две любых прямых линии лежащих в любой
плоскости перпендикулярны какому либо вектору
не лежащему в этой плоскости - этот вектор
обязательно перпендикулярен этой плоскости
Выберем три вектора AB, CB, CA
лежащих в плоскости ABC
и определим их величины
b a
b c
a c
AB  OB - OA  
CB  OB - OC   CA  OA - OC  
k h
k l
h l
Два вектора перпендикулярны друг другу,
если их скалярное произведение равно нулю

  *

b
a
b
a
*
*
 H,     ha  kb  lc ,    11  0
k h 
k h


  *

b
c
b
c
*
*
 H,     ha  kb  lc ,    11  0
k l 
k l



  *
a
c
b
c
*
*
 H,     ha  kb  lc ,    11  0
h l 
k l


(a,a* ) = (b,b* ) = (c,c* )  1

*
*
*
*
*
*
(a,b ) = (a,c ) = (b,a ) = (b,c ) = (c,a ) = (c,b )  0
Определение векторов обратной решетки
Следовательно вектор обратной решетки H всегда перпендикулярен
плоскости прямой решетки с индексами (hkl) !!!
2. Модуль вектора обратной решетки H всегда равен
обратной величине межплоскостного расстояния
для плоскостей прямой решетки с индексами (hkl)
z
Трехмерную решетку любой
симметрии можно представить как
набор семейств плоскостей с
индексами (hkl), (h1k1l1), (h2k2l2), ….
(hkl)
y
x
1
H 
d hkl
Выберем в прямом пространстве любую плоскость ABC с идексами Миллера
(hkl). Пусть вектор n - единичны вектор нормали к этой плоскости, а вектор R текущий радиус-вектор точки лежащей на плоскости ABC. Пусть также s –
кратчайшее расстояние от начала координат до плоскости ABC.
Тогда уравнение любой такой плоскости можно
записать в виде
 R,n   s
или

H
 R ,
  Sd
H

s=Sd
Здесь d межплоскостное расстояние для этой
системы плоскостей, S – целое число (например,
для плоскости проходящей через начало координат
S=0)
n
H
H
- единичный вектор нормали к плоскость
R  ma  nb  pc
Запишем текущий радиус-вектор плоскости ABC
Тогда уравнение плоскости можно переписать в виде
Sd 
1
1
1
*
*
*
R,
H

(
m
a

n
b

p
c
,
h
a

k
b

l
c
)



 mh  nk  pl 
H
H
H
Вспоминая, что выражение (mh+nk+pl)=S это уравнение плоскости, получим
1
d
H
или
1
H 
d hkl