Глава II
Прямая на плоскости.
Плоскость и прямая в пространстве.
§ 8. Преобразование декартовых прямоугольных координат (ДПК).
8.1. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости.
Теорема 8.1. Для любых двух одинаково ориентированных декартовых прямоугольных
систем координат в 2 переход от одной из них к другой может быть осуществлен с
помощью параллельного переноса и поворота на некоторый угол.
#
Пусть в
2
Возьмем в
2
и O, i, j :
даны две ДПСК (правые) O, i , j
любую точку M , которая будет иметь
координаты M ( x, y ) в ДПСК O, i , j
и – координаты
M ( x, y ) в ДПСК O, i, j , т.е. OM x, y x i y j
и OM x, y x i y j .
Разложим i , j по базису [ i , j ] : i 11 i 12 j и j 21 i 22 j
Пусть OO a, b a i b j .
()
Тогда из равенства OM OO OM получаем x i y j a i b j x(11 i 12 j )
y( 21 i 22 j ) (a 11 x 21 y) i (b 12 x 22 y) j .
x a 11 x 21 y
Следовательно,
.
y b 12 x 22 y
Определим km , k , m 1,2 , умножив равенства () скалярно на i , потом на j ,
11 i i cos , 21 i j cos( 2 ) sin , 12 j i cos( 2 ) sin ,
22 j j cos .
Итак,
x a x cos y sin
y b x sin y cos
.
(10)
x a x
При 0 будет параллельный перенос по формулам:
,
y b y
x x cos y sin
а при a b 0 будет поворот на угол :
.
y x sin y cos
#
Замечание 8.1. Аналогично доказывается, что при преобразовании правой ДПСК в
левую координаты точки M преобразуются по формулам:
x a x cos y sin
.
y b x sin y cos
Следствие 8.1. При переходе от одной ДПСК к другой такой же ориентации
координаты точки преобразуются по формуле (10).
8.2. Преобразование декартовых прямоугольных координат в пространстве.
Пусть в V3
3
даны две ДПСК O, i , j , k и O, i, j, k одной ориентации, для
которых OO a, b, c .
Тогда координаты точки M ( x, y , z ) преобразуются по формулам:
x a 11 x 21 y 31 z
y b 12 x 22 y 32 z ,
z c x y z
13
23
33
где 11 cos( i , i) , 21 cos( j , i) , 31 cos( k , i) 31 cos( k , i) м, 12 cos( i , j) ,
22 cos( j , j) , 32 cos( k , j) , 13 cos( i , k ) , 23 cos( j , k ) , 33 cos( k , k ) .
Замечание 8.2. Часто ДПСК обозначают Oxyz вместо O, i , j , k , где O x , Oy , O z –
оси с ортами i , j , k соответственно.
§ 9. Уравнения линий и поверхностей.
9.1. Уравнения линий на плоскости.
Пусть в 2 дана ДПСК Oxy и линия L . Любую точку M
координатами, т.е. M ( x, y ) .
2
можно задать
Определение 9.1. Уравнение вида ( x, y ) 0 называется уравнением линии L
(относительно ДПСК Oxy ), если координаты любой точки M 0 L удовлетворяют этому
уравнению, а координаты любой точки M 1 L ему не удовлетворяют, т.е. для любой
точки M 0 ( x0 , y0 ) L следует ( x0 , y0 ) 0 , а для любой точки M 1 ( x1 , y1 ) L следует
( x1 , y1 ) 0 .
Определение 9.2. Запись L : ( x, y)
задания линии L на плоскости.
2
: ( x, y) 0 называется неявным видом
Пример 9.1.
(1) L : ( x y ) 2 1 0 – две параллельные прямые.
(2) L : x 2 y 2 R 2 0 – окружность радиуса R с центром в точке (0, 0 ) .
Замечание 9.1. Одна и та же линия может быть задана по-разному.
Пример 9.2.
(1) L : ( x y )4 1 0 – две параллельные прямые.
Определение 9.3. Запись L : ( x, y)
2
: y f ( x) называется явным видом задания
линии L на плоскости.
Пример 9.3.
(1) L : { y x 1 и y x 1 } – две параллельные прямые.
x g (t )
Определение 9.4. Запись L :
, t [ , ] , g , h C ([ , ]) называется
y h(t )
параметрическим заданием линии L на плоскости, где t – параметр.
Пример 9.4.
x R cos t
(2) L :
, t [0, 2 ) – окружность радиуса R с центром в
y R sin t
точке (0, 0 ) .
Задача 9.1. Найти точку пересечения двух линий:
L1 : ( x, y) 2 : 1 ( x, y) 0 и L2 : ( x, y) 2 : 2 ( x, y) 0 .
1 ( x, y ) 0
.
2 ( x, y ) 0
Решение: Координаты точки пересечения M найдем, решив систему:
9.2. Уравнения поверхностей в пространстве.
Пусть в
3
дана ДПСК Oxyz и поверхность S . Любую точку M
3
можно задать
координатами, т.е. M ( x, y, z ) .
Определение 9.5. Уравнение вида ( x, y, z ) 0 называется уравнением поверхности S
(относительно ДПСК Oxyz ), если для любой точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) S следует
( x0 , y0 , z0 ) 0 , а для любой точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) S следует ( x1 , y1 , z1 ) 0 .
Определение 9.6. Запись S : ( x, y, z )
3
: ( x, y, z) 0 называется неявным видом
задания поверхности S в пространстве .
Пример 9.6. (3) S : x 2 y 2 z 2 R 2 0 – сфера радиуса R с центром в точке (0, 0, 0 ) .
(4) S : ( x y z ) 2 1 0 – две параллельные плоскости.
Определение 9.7. Запись S : ( x, y, z )
3
: z f ( x, y) называется явным видом
задания поверхности S в пространстве .
Пример 9.7.
(4) S : z x y 1, z x y 1 – две параллельные плоскости.
x f (u, v )
2
Определение 9.8. Запись S : y g (u, v ) (u, v ) D ; f , g , h C ( D) называется
z h(u, v )
параметрическим заданием поверхности S в пространстве, где u, v – параметры.
x R cos u sin v
Пример 9.8. (3) S : y R sin u sin v , u [0, 2 ), v [0, ] – сфера радиуса R с
z R cos v
центром в точке (0, 0, 0 ) .
Замечание 9.3. Поверхности в пространстве могут быть заданы для удобства в других
системах координат.
Пример 9.9. Сфера радиуса R с центром в точке (0, 0, 0 ) в сферических координатах
имеет вид: (3) ρ - R 0 .
9.3. Уравнения линий в пространстве.
Пусть в
3
дана ДПСК Oxyz и линия L .
x f (t )
Определение 9.9. Запись L : y g (t ) , t [ , ] ,
z h(t )
f , g , h C ([ , ])
называется параметрическим заданием линии L в пространстве, где t – параметр.
x sin t
Пример 9.10. (5) L : y sin t , t [0, 2 ) – уравнение окружности радиуса
z 2 cos t
с центром в точке (0, 0, 0 ) , лежащая в плоскости x y 0 .
Определение 9.10. Пусть поверхности S1 : ( x, y, z )
S2 : ( x, y, z )
3
3
: 1 ( x, y, z ) 0 и
: 2 ( x, y , z ) 0 пересекаются по линии L , т.е. L S1
1 ( x, y , z ) 0
, ( x, y , z )
Тогда запись L :
2 ( x, y , z ) 0
3
2
S2 .
называется заданием линии L в
пространстве, в виде пересечения двух поверхностей.
x2 y 2 z 2 2 0
, ( x, y, z ) 3 – уравнение окружности
(5) L :
x y 0
2 с центром в точке (0, 0, 0 ) , лежащая в плоскости x y 0 .
Пример 9.10.
радиуса
9.4. Алгебраические линии и алгебраические поверхности.
Определение 9.11. Линия L на плоскости называется алгебраической порядка n , если
существует ДПСК Oxy , в которой L : ( x, y) 2 : Pn ( x, y) ak l x k y l 0 ;
k l n
при этом существует коэффициент ako lo 0 , где ko , lo такие, что ko lo n .
Определение 9.12. Поверхность S в пространстве называется алгебраической порядка
n , если существует ДПСК Oxyz , в которой
S : ( x, y, z )
3
: Pn ( x, y, z )
ak l m x k y l z m 0 ;
k l m n
при этом существует коэффициент ako lo mo 0 , где
ko , lo , mo такие, что ko lo mo n .
Обозначим: n deg Pn .
Теорема 9.1. Порядок алгебраической линии (алгебраической поверхности) не меняется
при изменении ДПСК, т.е. deg Pn есть инвариант относительно изменения ДПСК .
#
Пусть в ДПСК Oxy линия L задана в виде L : ( x, y)
2
: Pn ( x, y)
a
k l n
kl
xk yl 0 .
x a 11 x 21 y
Рассмотрим ДПСК Oxy . По теореме 8.1
. Тогда в ДПСК Oxy
y
b
x
y
12
22
линия L имеет вид L : ( x, y) : Pn ( x, y) ak l (a 11 x 21 y) k (b 12 x 22 y)l 0 .
k l n
Следовательно, deg Pn ( x, y) deg Pn ( x, y) , т.к. k l n .
Поменяв местами ДПСК, получим deg Pn ( x, y) deg Pn ( x, y) .
Итак, окончательно, deg Pn ( x, y) deg Pn ( x, y) .
#
(Для поверхностей доказательство проводится аналогично.)
§ 10. Прямая на плоскости. Плоскость в пространстве.
10.1. Общее уравнение прямой на плоскости (плоскости в пространстве).
Определение 10.1. Прямой l на плоскости (плоскостью П в пространстве),
проходящей через точку M 0 ортогонально некоторому вектору n будем называть
геометрическое место точек (г.м.т.) M ( x, y )
2
( M ( x, y , z )
3
) таких, что M 0 M n .
При этом вектор n называется нормалью к прямой l (к плоскости П).
Следствие 10.1. Пусть r , r0 – радиус-векторы точек M , M 0 соответственно,
n – вектор в
2
(в
3
).
Тогда
( r r0 ) n 0
(11)
– векторное уравнение прямой на плоскости (плоскости в пространстве), проходящей
через точку M 0 ортогонально вектору n .
Теорема 10.1. Линия L в 2 (поверхность S в 3 ) может быть задана линейным
уравнением ( deg 1 ), т.е. L : ( x, y) 2 : Ax By D 0, A2 B 2 0
( S : ( x, y, z)
3
: Ax By Cz D 0, A2 B 2 C 2 0 ) тогда и только тогда, когда
L – прямая ( S – плоскость).
#
Необходимость. Пусть в
2
L : ( x, y)
2
: Ax By D 0, A2 B 2 0 .
Предположим, что A 0 , тогда точка M 0 (- DA , 0) L . Представим линию L в виде
Положив n A, B , r x, y и r0 - DA , 0 ,
L : A( x DA ) By 0 .
получаем
L : n ( r r0 ) 0 это означает, что L – прямая на плоскости, проходящая через
точку M 0 ортогонально n .
Достаточность. Пусть L – прямая в
Тогда L : ( x, y)
2
2
.
Возьмем ДПСК Oxy : i L , j L .
: y 0 . Но уравнение y 0 – уравнение первого порядка, т.е.
линейное. А по теореме 9.1 оно останется линейным при переходе к ДПСК Oxy .
#
Для плоскости доказательство проводится аналогично.
Замечание 10.1. Прямая в
2
(плоскость в
3
) может быть задана уравнением
порядка больше 1. Например, линия x( y 2 4) 0 . С геометрической точки зрения это
уравнение эквивалентно уравнению x 0 , которое описывает прямую.
Определение 10.2. Уравнение l : ( x, y)
( П : ( x, y, z )
3
2
: Ax By D 0, A2 B 2 0
(12)
: Ax By Cz D 0, A2 B 2 C 2 0 ) называется общим
уравнением прямой на плоскости (плоскости в пространстве).
x y
Определение 10.3. Уравнение l : ( x, y) 2 :
1, a 2 b2 0
a b
x y z
( П : ( x, y, z ) 3 :
1, a 2 b2 c 2 0 ) называется уравнением прямой на
a b c
плоскости (плоскости в пространстве) в отрезках.
Определение 10.4. Если хотя бы один из коэффициентов уравнения (12) зануляется,
то такое уравнение называется неполным.
Пример 10.1. (Неполные уравнения прямой на плоскости.)
1) Если в уравнении (12) A 0 , B 0 , то это уравнение описывает прямую параллельную
оси Ox , т.е. l Ox .
2) Если в уравнении (12) B 0 , A 0 , то это уравнение описывает прямую параллельную
оси Oy , т.е. l Oy
3) Если в уравнении (12) D 0 , A2 B 2 0 , то это уравнение описывает прямую,
проходящую через начало координат O (0, 0 ) , т.е. O l .
Упражнение 10.1. Исследовать неполные уравнения плоскости в пространстве.
Задача 10.1. Найти угол между двумя плоскостями:
П1 : ( x, y, z )
П2 : ( x, y, z )
3
: A1 x B1 y C1 z D1 0, A12 B12 C12 0 и
: A2 x B2 y C2 z D2 0, A2 2 B2 2 C2 2 0 .
3
Решение. Выписываем нормали заданных плоскостей n1 { A1 , B1 , C1} и n2 { A2 , B2 , C2 }
Находим косинус cos
n1 n2
| n1 | | n2 |
A1 A2 B1 B2 C1C2
A1 B12 C12 A2 2 B2 2 C2 2
2
k.
Отсюда получаем arccos | k | .
Следствие 10.1. Пусть две плоскости заданы уравнениями
П1 : ( x, y, z ) 3 : A1 x B1 y C1 z D1 0, A12 B12 C12 0 и
П2 : ( x, y, z )
: A2 x B2 y C2 z D2 0, A2 2 B2 2 C2 2 0 .
3
Тогда справедливы следующие соотношения
1) эти плоскости ортогональны, т.е. П1 П 2 тогда и только тогда, когда n1 n2 или
A1 A2 B1 B2 C1C2 0 ;
2) эти плоскости параллельны, т.е. П1
П 2 тогда и только тогда, когда n1
n2 или
A1 B1 C1
.
A2 B2 C2
Упражнение 10.2. Найти угол между прямыми на плоскости и вывести условия
перпендикулярности и параллельности прямых, заданных общими уравнениями.
Лемма 10.1. Пусть в ДПСК Oxyz две плоскости заданы общими уравнениями
П1 : ( x, y, z )
П2 : ( x, y, z )
3
: A1 x B1 y C1 z D1 0, A12 B12 C12 0 и
3
: A2 x B2 y C2 z D2 0, A2 2 B2 2 C2 2 0 . Если П1 П2 , то
существует число 0 такое, что A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 , D1 D2 .
#
Пусть П1 П2 , тогда n1
n2 , откуда в силу следствия 10.1
т.е. A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 () .
Возьмем точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) П1 , тогда M 0 П2 .
A1 B1 C1
,
A2 B2 C2
A1 x0 B1 y0 C1 z0 D1 0,
. Умножив второе уравнение на (- ) и сложив
A2 x0 B2 y0 C2 z0 D2 0
Следовательно,
с первым, получим ( A1 A2 ) x0 ( B1 B2 ) y0 (C1 C2 ) z0 ( D1 D2 ) 0 .
Итак, в силу равенств () первые три слагаемых зануляются, остается равенство
D1 D2 0 или D1 D2 .
#
Лемма 10.2. Пусть в ДПСК Oxy две прямые заданы общими уравнениями
l1 : ( x, y)
2
: A1 x B1 y D1 0, A12 B12 0 и
l2 : ( x, y)
2
: A2 x B2 y D2 0, A2 2 B2 2 0 . Если
l1 l2 , то существует число
0 такое, что A1 A2 , B1 B2 , D1 D2 .
#
Доказательство этой леммы проводится аналогично доказательству леммы 10.1.
#
10.2. Нормальное уравнение прямой на плоскости.
Пусть в
2
даны ДПСК Oxy и прямая l : ( x, y)
2
: Ax By D 0, A2 B 2 0 .
Возьмем вектор n такой, что | n | 1 и n
ON ; | ON | p .
Тогда n {cos , sin } и N ( p cos , p sin ) . В силу
формулы (11) l : cos ( x p cos ) sin ( y p sin ) 0 ,
а после преобразования получаем уравнение:
l : x cos y sin p 0 .
(13)
Определение 10.5. Уравнение (13) называется нормальным уравнением прямой на
плоскости.
Лемма 10.3. Пусть в ДПСК Oxy прямая l : ( x, y)
: Ax By D 0, A2 B 2 0 .
2
- sgnD при D 0
такое, что уравнение
A B любой знак при D 0
l : ( A) x ( B ) y D 0 является нормальным уравнением прямой на плоскости.
Тогда существует число
#
1
2
Пусть в ДПСК Oxy l : ( x, y)
2
2
: Ax By D 0, A2 B 2 0 .
Нужно нормальное уравнение этой прямой, т.е. l : x cos y sin p 0 .
По лемме 10.2 существует число такое, что A cos , B sin , D p .
Возведем в квадрат первые два равенства и сложим, тогда получим
1
2 ( A2 B 2 ) cos 2 sin 2 1 или
.
A2 B 2
- sgn D
Поскольку p 0 , то D 0 . Следовательно,
при D 0 .
A2 B 2
Если же D 0 , то знак у можно взять любым.
Итак, получено нормальное уравнение прямой l : ( A) x ( B ) y D 0 , где
вычисляется по формуле
- sgn D при D 0
1
.
(14)
2
2
A B любой знак при D 0
Определение 10.6. Число (M 0 , l ) x0 cos y0 sin p называется отклонением
точки M 0 ( x0 , y0 ) от прямой l : x cos y sin p 0 .
#
Теорема 10.2. Расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 ) до прямой l вычисляется по
формуле:
( M 0 , l ) | (M 0 , l ) || x0 cos y0 sin p |
#
(15)
1) Точка M 0 ( x0 , y0 ) и начало координат O (0, 0 ) лежат по разные стороны от прямой l .
( M 0 , l ) Прn OM 0 p n OM 0 p x0 cos
Тогда
y0 sin p (M 0 , l ) 0 .
2) Точка M 0 ( x0 , y0 ) и начало координат O (0, 0 ) лежат по одну
сторону от прямой l . Тогда (M 0 , l ) p Прn OM 0
p n OM 0 p x0 cos y0 sin (M 0 , l ) 0 . Следовательно, (M 0 , l ) 0 .
Итак, ( M 0 , l ) | (M 0 , l ) | .
#
Следствие 10.3. Отклонение (M 0 , l ) 0 , если точка M 0 и начало координат O
лежат по разные стороны от прямой l , и отклонение (M 0 , l ) 0 , если точка M 0
и начало координат O лежат по одну сторону от прямой l .
Следствие 10.4. Если даны прямая l : Ax By D 0 и точка M 0 ( x0 , y0 ) , то
| Ax0 By0 D |
(16)
(M 0 , l )
A2 B 2
10.3. Нормальное уравнение плоскости.
Пусть в
3
П : ( x, y, z )
3
даны ДПСК Oxyz и плоскость
: Ax By Cz D 0, A2 B 2 C 2 0 .
Возьмем вектор n такой, что | n | 1 и n
Тогда n cos , cos , cos и
ON , где | ON | p .
N ( p cos , p cos , p cos ) .
В силу формулы (11) получаем уравнение:
П : cos ( x p cos ) cos ( y p cos ) cos ( z p cos ) 0
или в силу равенства cos 2 cos 2 cos 2 1 получим уравнение плоскости П вида:
П : x cos y cos z cos p 0 .
(17)
Определение 10.7. Уравнение (17) называется нормальным уравнением плоскости.
Лемма 10.4. Пусть в ДПСК Oxyz плоскость П задана общим уравнением
П : ( x, y, z )
3
: Ax By Cz D 0, A2 B 2 C 2 0 .
- sgn D при D 0
такое, что уравнение
A2 B 2 C 2 любой знак при D 0
П : ( A) x ( B ) y ( C ) z D 0 является нормальным уравнением плоскости П .
Тогда существует число
#
1
Пусть в ДПСК Oxyz П : ( x, y, z )
3
: Ax By Cz D 0, A2 B 2 C 2 0 .
Найти нормальное уравнение этой плоскости, т.е. П : x cos y cos z cos p 0 .
По лемме 10.2 существует число такое, что A cos , B cos , C cos ,
D p . Возведем в квадрат первые три равенства и сложим, тогда получим
2 ( A2 B 2 C 2 ) cos2 cos2 cos2 1 или
Поскольку p 0 , то D 0 . Следовательно,
1
.
A B2 C 2
- sgn D
при D 0 .
A2 B 2 C 2
2
Если же D 0 , то знак у можно взять любым.
Итак, получено нормальное уравнение плоскости П : ( A) x ( B ) y ( C ) z D 0 ,
где вычисляется по формуле:
- sgn D при D 0
.
A2 B 2 C 2 любой знак при D 0
1
Определение 10.8. Пусть в ДПСК Oxyz даны точка M0 ( x0 , y0 , z0 )
#
(18)
3
и плоскость
П : x cos y cos z cos p 0 , тогда число (M 0 , П ) x0 cos y0 cos z0 cos p
называется отклонением точки M 0 от плоскости П .
Теорема 10.3. Расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) до плоскости П , заданной
нормальным уравнением П : x cos y cos z cos p 0 вычисляется по формуле:
( M 0 , П ) | (M 0 , П ) || x0 cos y0 cos z0 cos p |
#
(19)
Доказательство данной теоремы аналогично доказательству теоремы 10.2.
#
Следствие 10.5. Отклонение (M 0 , П ) 0 , если точка M 0 и начало координат O
лежат по разные стороны от плоскости П , и отклонение (M 0 , П ) 0 , если точка
M 0 и начало координат O лежат по одну сторону от плоскости П .
Следствие 10.6. Если даны плоскость П : Ax By Cz D 0 и точка M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ,
| Ax0 By0 Cz0 D |
тогда
(20)
(M 0 , П )
A2 B 2 C 2
Задача 10.2. Построить биссекторную плоскость П б двугранного угла, образованного
плоскостями П1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 и П2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 , D1 0 , D2 0 ,
смежного с двугранным углом, содержащим начало координат O (0, 0, 0 ) .
Решение. 1) Для любой точки M ( x, y , z ) , принадлежащей двугранному углу,
смежному с двугранным углом содержащим начало координат O (0, 0, 0 ) , выполняются
либо (M , П1 ) 0, а (M , П2 ) 0
.
либо (M , П1 ) 0, а (M , П2 ) 0
следующие неравенства:
2) Для любой точки M ( x, y , z ) , принадлежащей биссекторной плоскости справедливо
равенство: | (M , П1 ) || (M , П2 ) | .
Из 1) и 2) следует (M , П1 ) (M , П2 ) .
Итак, если M ( x, y, z ) Пб , то 1 ( A1 x B1 y C1 z D1 ) 2 ( A2 x B2 y C2 z D2 )
или ( 1 A1 2 A2 ) x ( 1 B1 2 B2 ) y ( 1C1 2C2 ) z ( 1 D1 2 D2 ) 0 .
Следовательно, Пб : Ax By Cz D 0 , где A ( 1 A1 2 A2 ) , B (1 B1 2 B2 ) ,
sgn D2
sgn D1
C ( 1C1 2C2 ) , D (1 D1 2 D2 ) , 1
, 2
.
2
2
2
A22 B22 C22
A1 B1 C1
10.4. Пучок прямых на плоскости и пучок плоскостей в пространстве.
I. Пусть в 2 даны две пересекающиеся прямые l1 : A1 x B1 y D1 0 и
l2 : A2 x B2 y D2 0 , т.е. l1 l2 M 0 ( x0 , y0 ) .
Определение 10.9. Уравнение вида ( A1 x B1 y D1 ) ( A2 x B2 y D2 ) 0 ,
(21)
, : 2 2 0 называется уравнением пучка прямых, проходящих через
точку M 0 , называемую центром пучка прямых .
Теорема 10.4. 1) Для любых фиксированных ,
задает прямую, проходящую через точку M 0 .
: 2 2 0 уравнение (21)
2) Для любой прямой l , проходящей через точку M 0 , существуют 1 , 1 : 12 12 0
такие, что уравнение (1 A1 1 A2 ) x (1 B1 1 B2 ) y (1 D1 1 D2 ) 0 описывает
прямую l .
#
1): Очевидно, что порядок уравнения (21) 1 . Докажем, что для любых
фиксированных , : 2 2 0 уравнение (21) первого порядка.
Доказательство проведем от противного. Пусть в уравнении (21), переписанном в виде:
Ax By D 0 , где A 1 A1 1 A2 , B 1 B1 1 B2 , D 1 D1 1 D2 ; A B 0 и,
A1
B
A
B
и 1 , т.е. 1 1 . А это означает, что l1
A2
B2
A2 B2
Получено противоречие тому, что прямые l1 и l2 должны пересекаться в точке M 0 .
Значит уравнение (21) первого порядка, т.е. оно описывает прямую.
например, 0 . Тогда
Проверим, что эта прямая проходит через точку M 0 . Действительно, подставим
координаты точки M 0 в уравнение (21) ( A1 x0 B1 y0 D1 ) ( A2 x0 B2 y0 D2 ) 0 ,
тогда в силу того, что l1 и l2 проходят через точку M 0 ( x0 , y0 ) , т.е. A1 x0 B1 y0 D1 0
и A2 x0 B2 y0 D2 0 , получим тождество 0 0 1 , 1 : 12 12 0 .
Итак, пункт 1) доказан.
2): Пусть дана прямая l , проходящая через точку M 0 . Найти 1 , 1 такие, что
прямая l будет описываться уравнением l : 1 ( A1 x B1 y D1 ) 1 ( A2 x B2 y D2 ) 0 ,
при этом 12 12 0 .
Возьмем точку M ( x, y) l и M M 0 , тогда
1 ( A1 x B1 y D1 ) 1 ( A2 x B2 y D2 ) 0 или, обозначив u1 A1 x B1 y D1 ,
u2 A2 x B2 y D2 , получим 1u1 1u2 0 , при этом u12 u22 0 , т.к. не может
одновременно выполняться M l1 и M l2 при M M 0 . Предположим, что u1 0 ,
A x B2 y D2
т.е. A1 x B1 y D1 0 . Тогда 1 2
. Взяв 1 0 , найдем и 1 .
A1 x B1 y D1 1
Итак, пункт 2) доказан. А вместе с ним и доказана вся теорема.
#
l2 .
II. Пусть в 3 даны две пересекающиеся плоскости П1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 и
П2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 , т.е. П1 П2 l0 .
Определение 10.10. Уравнение вида
( A1 x B1 y C1 z D1 ) ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0 ,
, : 2 2 0
(22)
называется уравнением пучка плоскостей, проходящих через прямую l0 . При этом
прямая l0 называется осью пучка плоскостей.
Теорема 10.5. 1) Для любых фиксированных , : 2 2 0 уравнение (22)
задает плоскость, проходящую через прямую l0 .
2) Для любой плоскости П , проходящей через прямую l0 , существуют числа
1 , 1 : 12 12 0 такие, что уравнение
(1 A1 1 A2 ) x (1 B1 1 B2 ) y (1C1 1C2 ) z (1D1 1D2 ) 0 описывает заданную
плоскость П .
#
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 10.4.
#
Задача 10.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения
плоскостей П1 : x 2 y 3z 5 0 , П2 : 3x 2 y z 1 0 и начало координат O (0, 0, 0) .
Решение. Искомая плоскость П принадлежит пучку плоскостей
( x 2 y 3z 5) (3x 2 y z 1) 0 .
Выберем из этого пучка ту плоскость, которая проходит через точку O (0, 0, 0) .
Тогда получим уравнение 5 0 или 5 . Положив 1 , найдем 5 .
Итак, окончательно П : 2 x y z 0 .
10.5. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.
Пусть в
l : ( x, y)
2
2
даны ДПСК Oxy и прямая
: Ax By D 0, A2 B 2 0 .
Если B 0 , то, положив k
A
D
, b ,
B
B
получим уравнение вида y kx b
(23)
Определение 10.11. Уравнение (23) называется уравнением прямой на плоскости с
угловым коэффициентом k tg .
Геометрический смысл: Рассмотрим угол между прямой l и осью абсцисс Ox .
При этом угол называется углом наклона прямой l к оси Ox .
Проведем исследование уравнения (23):
1) Если прямая l будет параллельна оси Ox , т.е. l Ox , то k 0 .
2) Если прямая l будет параллельна оси Oy , т.е. l Oy , то будем считать k .
Задача 10.4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М (1,2) под углом
к оси Ox .
3
Решение. Запишем уравнение прямой l в общем виде: A( x 1) B ( y 2) 0 ,
A
откуда y 2 ( x 1) k ( x 1) , но k tg 3 . Итак, y 3 x (2 3 ) .
B
§ 11. Прямая в пространстве.
11.1. Общее уравнение прямой в пространстве (прямая, как пересечение двух
плоскостей).
Пусть в
3
даны ДПСК Oxyz и плоскости П1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 ,
П2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 такие, что П1
П2 l .
A x B1 y C1 z D1 0,
Определение 11.1. Система уравнений l : 1
A2 x B2 y C2 z D2 0
называется общим уравнением прямой l в пространстве.
(24)
Задача 11.1. Составить уравнение плоскости П , проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 )
A x B1 y C1 z D1 0,
ортогонально прямой l : 1
.
A2 x B2 y C2 z D2 0
Решение. Возьмем любую точку M x, y, z П и составим направленный отрезок
M 0 M x x0 , y y0 , z z0 . Далее выпишем нормали n1 A1 , B1 , C1 и n2 A2 , B2 , C2 .
Тогда векторы M 0 M , n1 , n2 лежат в плоскости П , т.е. эти векторы компланарны. Тогда
в силу свойства 2 о теоремы 6.1 получим M 0 M n1 n2 0 или перепишем в координатах
x x0 y y0
П : A1
B1
A2
B2
плоскости П .
z z0
C1 0 , раскрыв этот определитель, получим общее уравнение
C2
11.2. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
Пусть в
3
дана ДПСК Oxyz .
Задача 11.2. Вывести уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 )
параллельно вектору , , .
Решение. Для любой точки M x, y, z направленный отрезок
M 0 M x x0 , y y0 , z z0 параллелен вектору , , .
Следовательно, по критерию коллинеарности в координатах получим соотношения:
x x0 y y0 z z0
l:
(25)
Определение 11.2. Уравнение (25) называется каноническим уравнением прямой l
в пространстве 3 .
x x0 y y0
Замечание 11.1. В 2 каноническое уравнение прямой l имеет вид: l :
.
Упражнение 11.1. Написать уравнение прямой l , проходящей две точки M 1 x1 , y1 , z1
и M 2 x2 , y2 , z2 .
11.3. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.
Пусть в
3
даны ДПСК Oxyz и прямая l :
Вводя параметр t
x x0
y y0
z z0
x x0 t
x x0
y y0
z z0
.
, получим систему уравнений вида:
l : y y0 t , t
z z t
0
.
(26)
Определение 11.3. Уравнение (26) называется параметрическим уравнением прямой l
в пространстве
3
.
Замечание 11.2. Параметрическое уравнение прямой l в
x x0 t
l:
, t .
y y0 t
2
имеет вид:
Задача 11.3. Найти проекцию точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) на плоскость
П : Ax By Cz D 0 .
Решение. Найдем уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 ортогонально
плоскости П .
Запишем уравнение этой прямой в каноническом с учетом, что
l nП ,
x x0 At
x x0 y y0 z z0
l:
, а затем и в параметрическом виде: l : y y0 Bt , t . ()
A
B
C
z z Ct
0
Далее найдем точку M 1 пересечения этой прямой l и плоскости П . Тогда получим
следующее уравнение A( x0 At ) B( y0 Bt ) C ( z0 Ct ) D 0 , из которого найдем
Ax By Cz D
t0 . Подставив значение t0 этого параметра
параметр t 0 2 0 2 02
A B C
в систему () , получим координаты точки пересечения M 1 x0 At0 , y0 Bt0 , z0 Ct0
прямой l и плоскости П . Она же является проекцией точки M 0 на плоскость П .
11.4. Некоторые задачи на тему «Прямая и плоскость в пространстве».
Задача 11.4. Найти расстояние от точки M 1 x1 , y1 , z1 до прямой
l:
x x0
y y0
z z0
Решение. Из уравнения прямой видно, что эта прямая проходит через точку
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) в направлении вектора , , .
Тогда, взяв направленный отрезок M 0 M 1 и вектор ,
построим на них параллелограмм, высота h которого
и будет искомым расстоянием.
/ M 0 M 1 /
h (M 1 , l )
/ /
Найдем эту высоту.
.
(26)
Задача 11.5. Найти расстояние между двумя прямыми l1 и l2 в 3 , если
x x1 y y1 z z1
x x2 y y2 z z2
и l2 :
.
l1 :
1
2
1
1
2
2
Прямые l1 и l2 не пересекаются.
Решение. Рассмотрим 2 случая.
1) Направляющие векторы 1 и 2 – неколлинеарные.
На векторах
1 , 2 , M 1 M 2 построим параллелепипед.
Из вершины опустим высоту H на основание, которая и будет
задавать расстояние между данными прямыми.
Итак, вычисляем высоту H по следующей формуле:
/ M 1M 2 1 2 / .
H (l1 , l2 )
/ 1 2 /
2) Направляющие векторы 1 и 2 коллинеарны, т.е. 1
(27)
2 . Следовательно, прямые
будут параллельными.
Тогда эта задача сводится к задаче 11.4, т.е. найти расстояние от точки M 2 до прямой l1 .
Итак, это расстояние вычисляется по формуле:
/ M 1M 2 1 /
H ( M 2 , l1 )
/ 1 /
Следствие 11.1. Для того, чтобы две прямые l1 и l2 в
неколлинеарных
.
(28)
3
пересекались при
1 и 2 , необходимым и достаточным условием является следующее
равенство: M 1 M 2 1 2 0 .
Упражнение 11.2. Построить общий перпендикуляр к двум скрещивающимся
прямым l1 и l2 .
