Системы счисления

Запись числа в десятичной
системе счисления
Система счисления – язык для
наименования и записи чисел и
выполнения действий над ними.
• Непозиционные системы счисления
характеризуются тем, что каждый знак
всегда обозначает одно и тоже число.
• Например, в римской системе
счисления:
• I – один
• III – один да один, да один равно три
• IV, VIII, IX, XII, CXXI, MMXI
• В России до XVII в. Использовалась
славянская непозиционная нумерация.
• Числа в такой нумерации обозначались
буквами славянского алфавита, над
которыми ставили особый знак – титло.
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII в. При
Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой
мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранялась
только в богослужебных книгах.
• В позиционных системах один и тот же
знак может обозначать различные
числа в зависимости от места(позиции)
• Например: 1111,
343434,
2342342
Запись чисел в десятичной
системе счисления
Десятичная система счисления
класс миллиардов
разряд
сотен
разряд
десятко
в
разряд
единиц
класс миллионов
разряд
сотен
разряд
десятко
в
разряд
единиц
класс тысяч
разря
д
сотен
разря
д
десятк
ов
разряд
единиц
класс единиц
разря
д
сотен
разря
д
десят
ков
разряд
единиц
1
1
3
5
2
0
4
1
0
1
0
0
8
4
7
Правила нумерации
• Правило прочтения чисел:
• 1. Раздели число на классы справа налево. Каждый класс должен содержать
три разряда. Только старший класс
может быть неполным.
• 2. Сначала называем разряды старшего
класса и название класса. Затем
называем разряды и название
следующего класса и т. д.
Правило записи числа
• 1. Записываем цифры старшего класса.
• 2. Затем, цифры младших классов,
помня о том, что каждый следующий
класс должен быть полным.
• Например:
• Три миллиона двести сорок пять тысяч
шестнадцать.
3___ ___
3 245
016
• Основа записи чисел в десятичной
системе
1  1  10
0
10  1  10
1
100  1  10
2
10
...

0  1  10
n
n
Определение
• Десятичной записью натурального
числа х называется представление в
виде:
n
n

1
x

a

10

a

10

...

a

10

a
n
n

1
1
0
где коэффициенты аi принимают значения
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и аn ≠0
Теорема 1
• Любое натуральное число х можно
представить в виде суммы разрядных
слагаемых.
n

1
x

a

10

a

10

...

a

10

a
n
n

1
1
0
n
Доказательство существования записи
числа
• Пусть
n
n

1
x

a

10

a

10

...

a

10

a
n
n

1
1
0
n
n1
10
x10
тогда
Разделим число x : 10 n
Имеем
где
n
x10
a
x
n
1
n
1
n
10
x110
• Продолжим деление.
где
n

1
x

10
a
x
1
n

1
2
n

2
n

1
10
x

10
2
В результате имеем
n
n

1
x

10
a

10
a

x
n
n

1
2
Процесс деления конечен, так как xx
...
1 x
2
Последний неравный нулю остаток
обозначим a0.
ч.т.д.
Доказательство единственности
• Старшая степень числа x определяется
однозначно.
• Деление с остатком также однозначно.
• Следовательно, представление числа в
виде суммы разрядных слагаемых
также однозначно.
Сравнение натуральных
чисел
Теорема 2
• Пусть x и y – натуральные числа,
запись которых дана в десятичной
системе счисления:
n
n

1
n

2
x

a

10

a

10

a

10

...

a

10

a
n
n

1
n

2
1
0
m
m

1
b

2
y

b

10

b

10

b

10

...

b

10

b
m
m

1
m

2
1
0
Тогда число х меньше числа y, если выполнено
одно из условий:
1.
nm
2.
nm
,an bn
3.
n

m
,a
b
...
a
b
n
n
k
k
• Например:
• 34 < 341
• 628 < 828
• 65734 < 65794
Доказательство
1) Если
n

1
n

m
,
10 
10
n

1
m
x

10

10

y
Следовательно x < y
m;то
2) Если n=m,
тогда
Значит,
но
a n  bn
то
an 1bn
n
n
a
10
1

b
10
n
n
n
n


x

a

1

10

b

10

y
n
n
Следовательно x < y
3) Докажите самостоятельно.
Задание. Сравните пары чисел, свой выбор
обоснуйте.
1) x=54267; y=5426
2) x= 345; y= 2314
3) a=6789; b=5789
4) a=1245; b=3245
5) m=3456; n=3421
6) m=1454; n=1458
Алгоритм сложения
•
•
•
•
•
•
x=345; y=598. Найдем сумму чисел х+y:
345+ 598= (300+40+5)+(500+90+8)=
(300+500)+(40+90)+(5+8)=
800+130+13=
800+(100+30)+(10+3)=
(800+100)+(30+10)+3 =900+40+3=943
В основе алгоритма сложения многозначных
чисел лежат следующие теоретические
факты:
1. Способ записи чисел в десятичной
системе счисления;
2. Коммутативный и ассоциативный
законы сложения натуральных чисел;
3. Дистрибутивный закон умножения
относительно сложения;
4. Таблица сложения однозначных чисел.
Рассмотрим алгоритм сложения многозначных
чисел в общем виде (для чисел x и y)
• Пусть числа x и y в общем виде:
x

a
10

a
10

a
2
1
0
2
y

b
10

b
10

b
2
1
0
2
• Сумму чисел x и y можно представить:
x

y

(
a

b
)

10

(
a

b
)

10

(
a

b
)
2
2
1
1
0
0
2
• Но a

b

10
;
a

b

10
1
1
0
0
a
b
10c
1
1
1
a
b
10

c
0
0
0
2
x

y

(
a

b
)

10

(
10

c
)

10

(
10

c
)
22
1
0
• Применив дистрибутивный закон, имеем:
2 2
x

y

(
a

b
)

10

10

c

10

10

c
22
1
0
Применив дистрибутивный закон для 1 и 2 , а так же
для 3 и 4 слагаемых, имеем:
2
x

y

(
a

b

1
)

10

(
c

1
)

10

c
2 2
1
0
• Так как
и
то
a
b
110
1
1
c1 110
2 /
x

y

с

10

c

10

c
1
2
0
Тем самым получена десятичная
запись числа
Алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в
десятичной системе счисления
1. Записывают второе слагаемое под
первым так, чтобы соответствующие
разряды находились друг под другом.
2. Складывают единицы первого
разряда. Если сумма меньше 10,
записывают ее в разряде единиц
ответа и переходят к следующему
разряду (десятков)
1. Если сумма единиц больше или равна
10, то представляют ее в виде
a
b
1
10

c
0
0
0
где c 0
однозначное число
1. Повторяют те же действия с
десятками, потом с сотнями и т.д.
Процесс этот конечен.
Схема алгоритма сложения
x+y
да
ai bi 10
10  ci
ответ
переход
Сумма ст.
разрядов
конец
нет
ci
-ответ
10 переносим в
старший разряд
Алгоритм вычитания
• x=492; y=368. Найдем разность чисел
х-y:
• 492 - 368= (400+90+2)-(300+60+8)=
• (400+80+12)-(300+60+8)=
• (400-300)+(80-60)+(12-8)=
• 100+20+4=124
В основе алгоритма вычитания многозначных
чисел лежат следующие теоретические
факты:
1. Способ записи чисел в десятичной
системе счисления;
2. Правила вычитания числа из суммы и
суммы из числа;
3. Дистрибутивный закон умножения
относительно вычитания;
4. Таблица сложения однозначных чисел.
Алгоритм вычитания натуральных чисел, записанных в
десятичной системе счисления
1. Записывают вычитаемое под уменьшаемым
так, чтобы соответствующие разряды
находились друг под другом.
2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого
не превосходит соответствующей цифры
уменьшаемого, вычитаем ее из цифры
уменьшаемого, записываем разность в
разряд единиц искомого числа, после чего
переходим к следующему разряду.
Если же цифра единиц вычитаемого
больше единиц уменьшаемого,
т.е. b0>a0, а цифра десятков
уменьшаемого отлична от нуля, то
уменьшаем цифру десятков
уменьшаемого на 1, одновременно
увеличив цифру единиц уменьшаемого
на 10, после чего вычитаем из числа
10 + a0 число b0 и записываем разность
в разряде единиц искомого числа,
далее переходим к следующему
разряду.
Если цифра единиц вычитаемого больше
цифры единиц уменьшаемого, а цифры,
стоящие в разряде десятков, сотен и т.д.
уменьшаемого, равны нулю, то берем первую
отличную от нуля цифру в уменьшаемом
(после разряда единиц), уменьшаем ее на 1,
все цифры в младших разрядах до разряда
десятков включительно увеличиваем на 9, а
цифру в разряде единиц на 10:
вычитаем b0 из 10 + a0, записываем разность
в разряде единиц искомого числа и
переходим к следующему разряду