Исследование функции: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 1. Область определения функции (все значения «х»). Обозначается D(y). 2. Область значений функции (все значения «у»). Обозначается Е(у). 3. Наименьшее и наибольшее значения функции (решить квадратное уравнение относительно «х», подставив значение «у»=0). 4. Точки пересечения с осями координат (вместо «х» и «у» подставить 0). 5. Нули функции (найти «у» при «х»=0). 6. Указать промежутки на которых функция принимает положительные и отрицательные значения, в каких координатных четвертях располагается график. 7. Четность, нечетность функции (использовать правила если y(x)=y(-x) функция четная, если y(x)=-y(x) функция нечетная, в остальных случаях говорят, что функция «ни четная, ни нечетная». Симметричность функции. 8. Промежутки убывания и возрастания функции. Точки экстремума функции (у’=0). 9. Периодичность функции (характерна для тригонометрических функций в основном) 10. График функции. Пример 1. 𝑦 = 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 1. Область определения: 𝐷(𝑦) ∈ 𝑅 (все действительные числа). 2. Область значений функции Е(у) ∈ [−0,25; +∞)] 3. 𝑎 = 1 следовательно, ветви параболы направлены вверх: максимальное значение функции отсутствует, а минимальным является значение функции в вершине параболы Для нахождения вершины параболы найдем производную 𝑦 ′ = (𝑥 2 − 5𝑥 + 6)′ = 2𝑥 2−1 − 5 ∙ 1𝑥 1−1 + 0 = 2𝑥 − 5 𝑦′ = 0 2𝑥 − 5 = 0; 2𝑥 = 5; 𝑥 = 2.5 𝑦(2.5) = 2.52 − 5 ∙ 2.5 + 6 = −0.25 Вершина параболы в точке (2,5; -0,25) 𝑦𝑚𝑖𝑛 = −0.25 4. Точки пересечения с осями координат: с осью Ох: (y=0) 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 3 (2; 0), (3; 0) с осью Оу: (х=0) 𝑦 = 02 − 5 ∙ 0 + 6 = 6 (0; 6) 5. Нули функции: х=2; 3 (проще говоря, это корни уравнения) 6. График располагается в 1, 2 и 4 четвертях. Принимает положительные значения (−∞; 2) ∪ (3; +∞) отрицательные значения (2; 3) 7. Четность/нечетность функции 𝑦(−𝑥) = (−𝑥)2 − 5(−𝑥) + 6 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 𝑦(−𝑥) ≠ 𝑦(𝑥) ≠ −𝑦(𝑥) Функция ни четная, ни нечетная. Симметрична относительно прямой 𝑥 = 2.5 (вершины параболы) 8. Точка экстремума функции 𝑦 ′ = 0 x=2.5 – точка экстремума функции (точка перегиба) Функция убывает на промежутке (−∞; 2,5) Функция возрастает на промежутке (2,5; +∞) 9. Функция не периодична 10. График функции Пример 2. 𝑦 = −𝑥 2 + 5𝑥 − 6 1. Область определения: 𝐷(𝑦) ∈ 𝑅 (все действительные числа). 2. Область значений функции Е(у) ∈ [(−∞; 0,25)] 3. 𝑎 = −1 следовательно, ветви параболы направлены вниз: минимальное значение функции отсутствует, а максимальным является значение функции в вершине параболы Для нахождения вершины параболы найдем производную 𝑦 ′ = (−𝑥 2 + 5𝑥 − 6)′ = −2𝑥 2−1 + 5 ∙ 1𝑥 1−1 − 0 = −2𝑥 + 5 𝑦′ = 0 −2𝑥 + 5 = 0; 2𝑥 = 5; 𝑥 = 2.5 𝑦(2.5) = −2.52 + 5 ∙ 2.5 − 6 = 0.25 Вершина параболы в точке (2,5; 0,25) 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 0.25 4. Точки пересечения с осями координат: с осью Ох: (y=0) −𝑥 2 + 5𝑥 − 6 = 0 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 3 (2; 0), (3; 0) с осью Оу: (х=0) 𝑦 = −02 + 5 ∙ 0 − 6 = −6 (0; -6) 5. Нули функции: х=2; 3 (проще говоря, это корни уравнения) 6. График располагается в 1, 3 и 4 четвертях. Принимает положительные значения (2; 3) отрицательные значения (−∞; 2) ∪ (3; +∞) 7. Четность/нечетность функции 𝑦(−𝑥) = −(−𝑥)2 + 5(−𝑥) − 6 = −𝑥 2 − 5𝑥 − 6 𝑦(−𝑥) ≠ 𝑦(𝑥) ≠ −𝑦(𝑥) Функция ни четная, ни нечетная. Симметрична относительно прямой 𝑥 = 2.5 (вершины параболы) 8. Точка экстремума функции 𝑦 ′ = 0 x=2.5 – точка экстремума функции (точка перегиба) Функция убывает на промежутке (2,5; +∞) Функция возрастает на промежутке (−∞; 2.5) 9. Функция не периодична 10. График функции
