тоэ 16в

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
Кафедра теоретических основ электротехники
Теоретические основы электротехники
«РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ»
Вариант № 16
Санкт-Петербург
2022
Задача 1.2.2.
В момент t = 0 в цепи замыкается (размыкается) ключ К. Определить
независимые начальные условия и найти для указанной реакции f2 (0+), f2в,
f2(t) при t > 0; построить график f 2 (t).
Цепь: 114 – ИН u1 = 36; 212 – R2 = 2; 325 – R3 =2; 423 – R4 = 1; 534 – R5 = 1;
634 – L6 = 0.25; 745 – К, размыкается. Найти i5.
Рисунок 1. Заданная схема цепи.
Так как воздействия в цепи постоянны, то для анализа можно использовать
схемы замещения.
1. Определяем независимые начальные условия, т.е. iL ( 0 ) .
Рисунок 2. Схема замещения для расчета независимого начального условия.
iL ( 0 ) 
u1( 0 )
36

 13.5 A
R3  R4
2 1
R2 
2
R3  R4
2 1
Для заданной реакции: i5( 0 )  0 A
2. Находим вынужденные составляющие реакций. При постоянных
воздействиях эти составляющие будут также постоянны (установившийся
режим, t=∞). Используем схему замещения.
Рисунок 3. Схема замещения для расчета вынужденной составляющей реакции.
Для заданной реакции: i5 B  0 A - сопротивление R5 в обоих установившихся
режимах
(до
и
после
размыкания
ключа)
закорочено
катушкой
индуктивности.
3. Находим зависимое начальное условие – значение заданной реакции в
момент времени t  0  .
Составляем схему замещения, в которой вместо L-элемента исходной схемы
включен ИТ iL ( 0 )  iL ( 0 )  13.5 A .
Рисунок 4. Схема замещения для расчета зависимого начального условия реакции.
Для расчета используем метод двух узлов:
u1
36
 iL ( 0 )
 13.5
R2  R4
2

1
u34 ( 0 ) 

 1.125 B
1
1
1
1


R2  R4 R5
2 1 1
Для заданной реакции: i5 ( 0 ) 
u34 ( 0 )
1.125

 1.125 A
R5
1
4. Определяем постоянную времени цепи, для чего составляем схему
замещения и по ней определяем эквивалентное сопротивление цепи
относительно катушки индуктивности:
Рисунок 5. Схема замещения для расчета эквивалентного сопротивления постоянной
времени.
RЭ 
( R2  R4 )  R5 ( 2  1 )  1

 0.75 Ом
R2  R4  R5
2 11
Постоянная времени:  
L 0.25 1


RЭ 0.75 3
5. Выражение заданной реакции при переходном процессе представляем как
сумму вынужденной и свободной составляющих.
i5 ( t )  i5 B  i5CB  i5 B  A  e

t

Постоянную интегрирования находим по начальным условиям:
i5 ( 0 )  i5 B  A, откуда A  i5 ( 0 )  i5 B  1.25  0  1.125 .
Таким образом, получаем выражение для заданной реакции:
i5 ( t )  1.125  e3t A
По этому выражению строим график заданной реакции.
Рисунок 6. График заданной реакции i3.
Задача 1.2.3.
При t=0 в цепи замыкается (размыкается) ключ К. Найти независимые
начальные условия, составить уравнения состояния. Для t>0 найти uC и iL,
использовав аналитическое решение уравнений состояния, а также численное
– по методу Эйлера. Затем найти uL и iC, использовав уравнения связи, и
провести проверку полученных результатов (по ВАХ накопителей).
Заданная цепь:
115 - L  0.5; 212 - K - замыкается; 312 - R3  1; 452 - ИT i4  6;
525 - R5  1; 623 - R6  1; 743 - C  0.5; 845 - ИР u8  6
1. По заданным параметрам составляем расчетную схему цепи.
Рисунок 1. Заданная схема цепи.
2. Определяем независимые начальные условия – напряжение на
конденсаторе и ток через катушку в режиме до коммутации (замыкания
ключа):
uC ( 0 )  u8  i4 
iL ( 0 )  i4 
R3  R5
11
 6  6
 3 B;
R3  R5
11
R5
1
 6
3 A
R3  R5
11
3. Для цепи после коммутации составляем систему дифференциальных
уравнений, описывающих состояние цепи.
u L  i5  R5  u8  uC  u6  u8  uC  iC  R6
i4  iC  iL  i5 ; iC  iL 
u L  u8  uC  ( iL 
uL  ( 1 
uL
 i4
R5
uL
 i4 )  R6
R5
R6
)  iL  R6  uC  u8  i4  R6
R5
u L  iL 
R5  R6
R5
R5
R R
 uC 
 u8 
 i4  5 6
R5  R6
R5  R6
R5  R6
R5  R6
iC  R6  u8  uC  u L 
 u8  uC  iL 
 uC  (
R5  R6
R5
R5
R R
 uC 
 u8 
 i4  5 6
R5  R6
R5  R6
R5  R6
R5  R6
R5
R R
R5
R R
 1 )  iL  5 6  u8  ( 1 
)  i4  5 6
R5  R6
R5  R6
R5  R6
R5  R6
iC  uC 
1
R5
1
R5

 iL 
 u8 
 i4 
; iC  C  ( uC )
R5  R6
R5  R6
R5  R6
R5  R6
t
u L  iL 
R5  R6
R5
R5
R R

 uC 
 u8 
 i4  5 6 ; u L  L  ( iL )
R5  R6
R5  R6
R5  R6
R5  R6
t
1
R5
1
R5

(
u
)


u


i


u


i

C
C
L
8
4
 t
C  ( R5  R6 )
C  ( R5  R6 )
C  ( R5  R6 )
C  ( R5  R6 )


R5
R5  R6
R5
R5  R6
  ( i )  u 

i


u


i

C
L
8
4
 t L
L  ( R5  R6 )
L  ( R5  R6 )
L  ( R5  R6 )
L  ( R5  R6 )
После постановки числовых значений, получаем:

 t ( uC )  uC  iL  6  6

  ( i )  u  i  6  6
C
L
 t L

 t ( uC )  uC  iL

  ( i )  u  i  12
C
L
 t L
По полученной системе составляем и решаем характеристическое уравнение
p 1
1
1
p 1
 ( p  1 )2  1  p 2  2  p  2  0
2  22  4  2
p1,2 
 1  j  1    j  0 - комплексно-сопряженные корни
2
4. Так как получены комплексно-сопряженные корни, то законы изменения
тока катушки и напряжения конденсатора будем искать в виде:
iL  iLпр  A1  e t  sin( 0  t  1 )  iLпр  A1  et  sin( t  1 );
uC  uCпр  A1  e t  sin( 0  t  1 )  uCпр  A2  et  sin( t  2 )
5. Определяем принужденные составляющие – параметры цепи в
установившемся режиме после коммутации.
После коммутации источник тока закорочен катушкой индуктивности,
поэтому
uCпр  u8  6; iLпр  i4  6
6. Расчет постоянных интегрирования производим исходя из параметров
цепи в момент коммутации t=0.
Расчет тока катушки индуктивности.
iL ( 0 )  iL ( 0 )  3  iLпр  A1  e 0  sin( 0  0  1 )  6  A1  sin( 1 );


( iL )  ( iLпр  A1  e t  sin( 0  t  1 )) 
t
t
 t
 A1  e  (   sin( 0  t  1 )  0  cos( 0  t  1 ))

( iL ( 0 ))  A1  e 0  (   sin( 0  0  1 )  0  cos( 0  0  1 )) 
t
 A1  ( 1  sin( 1 )  1  cos( 1 ))

( iL ( 0 ))  uC ( 0 )  iL ( 0 )  12  3  3  12  6
t
 A1  sin( 1 )  3  6  3

 A1  ( 1  sin( 1 )  1  cos( 1 ))  6
3
  45 ; A1  
 3 2
sin( 45 )
iL ( t )  6  3  2  e  t  sin( t  45 )
Проверка: iL ( 0 )  6  3  2  e 0  sin( 0  45 )  6  3  2  ( 
Расчет напряжения конденсатора.
1
)3
2
uC ( 0 )  uC ( 0 )  3  uCпр  A2  e 0  sin( 0  0  2 )  6  A2  sin( 2 );


( uC )  ( uCпр  A2  e t  sin( 0  t  2 )) 
t
t
 t
 A2  e  (   sin( 0  t   2 )  0  cos( 0  t   2 ))

( uC ( 0 ))  A2  e 0  (   sin( 0  0  2 )  0  cos( 0  0  2 )) 
t
 A2  ( 1  sin( 2 )  1  cos( 2 ))

( uC ( 0 ))  uC ( 0 )  iL ( 0 )  3  3  0
t
 A2  sin( 2 )  3  6  3

 A2  (-1  sin( 1 )  1  cos( 1 ))  0
3
  225 ; A2  
 3 2
sin( 225 )
uC ( t )  6  3  2  e t  sin( t  225 )
Проверка: uC ( 0 )  6  3  2  e 0  sin( 0  225 )  6  3  2  ( 
1
)3
2
Численное решение по методу Эйлера производим с помощью ПЭВМ в
программе MathCad.
Рисунок 2. Графики напряжения конденсатора и тока катушки по методу Эйлера.
7. Используя уравнения связи находим законы изменения напряжения
катушки и тока конденсатора.
uL  L 


( iL )  0.5  ( 6  3  2  e t  sin( t  45 )) 
t
t
 0.5  3  2  e t  (  sin( t  45 )  cos( t  45 )) 
 1.5  2  e t  (  sin( t  45 )  sin( t  45 ))
e  j45  e j45  (
uL  1.5  2 
1
1
1
1
2
2
 j
)(
 j
) j

 e j90
2
2
2
2
2
2
2 t
 e  sin( t  90 )  3  e t  sin( t  90 )
2
uC ( t )  6  3  e t  sin( t  225 )


( uC )  0.5  ( 6  3  e  t  sin( t  225 )) 
t
t
t
 0.5  3  e  ( 1  sin( t  225 )  1  cos( t  225 )) 
iC  C 
 1.5  e  t  (  sin( t  225 )  sin( t  45 ))
e j225  e  j45  ( 1  j )  ( 1  j )  2
iC  1.5  2  e  t  sin( t )  3  e  t  sin( t )
Производим проверку полученных результатов:
uL ( 0 )  3  e 0  sin( 0  90 )  3


( iL ( 0 ))  6; L  ( iL ( 0 ))  6  0.5  3 B
t
t
iC ( 0 )  3  e 0  sin( 0 )


( uC ( 0 ))  0; C  ( uC ( 0 ))  0.5  0  0 A
t
t
Строим графики изменения во времени рассчитанных параметров:
Рисунок 3. Графики напряжений и токов конденсатора и катушки по методу переменных
состояния.