2021 Теоретический минимум для получения 62 баллов Профиль – мат При вычислениях стараться обратить знаменатель в 10, 100, и так далее Операция «вычитание» нет - Всё – алгебраическое сложение ! Каждый столбик таблицы умножения в течение 10 сек При вычислениях по возможности сокращать Не производить умножение больших чисел в ходе решения – умножать только в окончательном решении. При умножении удобных чисел (вида 19, 29, 99 и тд) на другое – устно 29*120=30*120-120 При нахождении общего знаменателя: Взять большее число из знаменателей – проверить – делиться ли оно на остальные знаменатели –если не делиться, взять в два раза большее число, дальше в три раза большее и так далее Если процесс усложняется – разложить каждое число на простые множители При взятии 1% 2%, 5%, 10 %, 20 %, 25%, 50% от удоб. чис- по возможности рассчитать устно Часто при работе со степенями переводить степени из знаменателя в числители – при переводе меняется знак показателя При вычислениях производной стараться упрощать в начале вид функции y(x) – корни представлять в виде степеней – дроби в виде произведения функций 1 БЛОК Арифметика 31=3 Признаки делимости Степени числа 4 32=9 На 2 чётные На 3 сумма цифр делится на 3 На 4 число из посл-х 2 цифр делится на 4 34=81 На 5 в конце 0 или 5 35=243 На 6 Степени числа 5 Степени числа 3 41=4 33=27 42=16 43=64 44=256 6 3 =729 если делится и на 2 и на 3 5 4 =1024 На 7 Утроенное число десятков+посл цифра дел на 7 На 8 число из 3 последних чисел делится на 8 На 9 сумма цифр делится на 9 52=25 53=125 54=625 Степени числа 7 71=7 72=49 Степени числа 6 На 10 последняя цифра 0 73=343 61=6 На 11 Разность сумм чисел на чётн и неч поз делиться на 11 62=36 На 12 Число делиться на 4 и 3 На 25 В конце 00 25 50 51=5 63=216 75 21=2 Для любого – постараться представить число в виде x=mn (m и - n взаимно просты) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 a2 - b2 = (a -b) (a+b)\ a2 + b2 = нет (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) Степени числа 2 22=4 Корни ½ =0,5 √2 ≈ 1,41 ¼=0,25 √3 ≈ 1,73 1/8=0,125 25=32 √5 ≈ 2,24 3/8=0,375 26=64 ¾=0,75 21=2 2/5=0,4 27=128 1/5 = 0,2 28=256 3/5=0,6 29=512 4/5 = 0,8 210=1024 ln(1+x)≈> 𝑥 𝑥2 ln(1+x)≈< 𝑥- 2 23=8 24=16 252=625 242=576 II Блок 2 Основные свойства степеней и корней a1 = а a0 = 1, 𝒏 am/n = √𝒂m (a ≠ 0), a-n = 1/an Операции с разрядными единицами 1000 𝟏 𝟏𝟎−𝟑 𝟏 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 Если дано целое число – то Знак √ даёт положительное число И всегда- корень чётной степени даёт положительное число – Если корень нечётной степени – то его значение может быть и + и – (√А ) = А 𝟑 На 103 – перенос запятой на 3 позиции вправо 10-3 перенос запятой на 3 позиции влево 103 𝟐 Умножение на разрядную единицу 𝟑 запятая считается в конце 54=54, ( √А ) = А Функция y=f(x) Первой степени Y=kx+b y Второй степени k>0 b>0 k>0 b<0 x1`<0 x2>0 a>0 y Парабола x 00 Y=ax2+bx+c x 0 K<0 b>0 Третьей степени y Произвольная степени – В первой четверти –для любого y=x3 Кубическая парабола y y=xa 0 x Если a – рацион вида 0<a<1 a<0 x 𝑚 Если a – иррац или вида Если a – рацион вида a>1 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛 − (𝑛 − чётн расширения нет – m –чётн график симметр типа y=x2 – m –нечётн график симметр типа y=x3 Блок 3 Основные свойства показательных выражений y=ax ОДЗ – x ∈R axbx=(ab)x a>1 y 1 a>0 и a ≠1 область значений y ∈(0 ;∞) 𝒂𝒙 𝒃𝒙 𝒂 = ( 𝒃 )𝒙 0<a<1 0 x Основные свойства логарифмов loga b = x, (ax)y=axy ax = b. loga b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) lg b (Логарифм по основанию 10, а = 10). – ln b (Логарифм по основанию e, а = e). Логарифм числа b по основанию a – Формулы и свойства логарифмов y= logax a>1 Десятичный логарифм – Натуральный логарифм 0 1 Главная формула logax=b →x=ab Простые формулы logaa=1 loga1=0 y= logax 1 0<a<1 loga =-1 𝑎 log a = -1 1 a Cредние формулы logaxy = logax+ logay logaxn=n logax 1 log x= loga x an 𝑛 1 log 𝑎 = − log 𝑎 𝑥 𝑥 Сложные 𝑥 loga = logax - logay 𝑦 logan xm = log 𝑎 𝑏 = 𝑚 𝑛 loga x 1 log𝑏 𝑎 𝑎log𝑎 𝑥 =x 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 =𝐥𝐨𝐠 𝒚 𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒚 𝑎log𝑏 𝑐 = 𝑐 log𝑏 𝑎 log 𝑎 𝑏 log 𝑐 𝑑 = log с 𝑏 log а 𝑑 Блок 3 А Простые уравнения Уравнения первой степени – Все неиз в одну сторону - а известные в другую 6x+4-12x=26-2-2x 6x-12x+2x=26-2-4 -4x=20 x=20/(-4)=-5 Уравнения второй степени – Неполные 2x2=50 x2=25 4x2+5x= x(4x+5)=0 полные 3x2+4x-5=0 (Всегда выгодно иметь знак D=b2 -4ac = 16+60=76 −𝒃± √𝑫 x1,2=±5 уС −𝟒±√𝟕𝟔 x1 = 0, 4x+5=0 x12 = = 𝟐𝒂 𝟔 4x=-5 Во всех уравнениях других степеней желательно всё переместить влево x2=-5/4 Теорема Виета (для привид x1×x2=c Показательные 3×5x=129 x1+x2=-b Логарифмическое 4 log5x=8 5x=43 log5x=2 log55x=log543 x=52 = 25 x= log543 Методы упрощения: 1. Умножение на число в обеих частях 2 Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число 3 Перемена знака в обеих частях уравнения 𝟑 𝟐 Например 𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝟎 = 𝟎 Выгодно сперва умножить на 7. Получаем 𝟕 𝟐 𝟑𝒙 + 𝟐𝟏𝒙 − 𝟔𝟎 = 𝟎 𝟑𝟐 𝟑𝟐 ∗ 𝟒 𝟏𝟐𝟖 = = = 𝟏. 𝟐𝟖 𝟐𝟓 𝟐𝟓 ∗ 𝟒 𝟏𝟎𝟎 Перевод углов в градусы Блок 4 Тригонометрия Значения тригонометрических функций некоторых углов α 𝝅 𝟔 𝝅 𝟒 sin α 𝟏 𝟐 √𝟐 𝟐 cos α √𝟑 𝟐 √𝟐 𝟐 tg α 1/√𝟑 1 ctg α √𝟑 1 sin α= 𝒂 cos α= 𝒃 tgα= 𝒄 𝒂 𝒃 ctgα= 𝒄 𝒃 𝒂 45, 135, -45, -135 225 это биссектрисы коорд четвертей У них синусы и косинусы в модуле дают определить √𝟐 𝟐 знак надо У них тангенсы и котангенсы в модуле дают 1 - знак надо определить (отношение противолежащего катета к гипотенузе 𝜋 − 1800 𝜋 90 2 𝜋 60 3 𝜋 30 6 2𝜋 120 3 𝜋 45 4 Периоды (отношение прилежащего катета к гипотенузе). (отношение противолежащего катета к прилежащему). Sin и cos 3600 или 2π (отношение прилежащего катета к противолежащему). tg и ctg 1800 или sin(900+x)=±cos(x) знак надо определить по кругу sin(1800+x)= ±sin(x) знак надо определить по круг 2. Функция меняется на кофункцию, если 90 , и не меняется, если 180 cos(-α) = cos α; sin(-α) = - sin α; sin(-α) = - sin α; ctg(-α) = - ctg α tg (-α) =-tg(α). sin2α=2 sinα cosα cos2α=cos2α – sin2α cos2α=cos2α – sin2α =2 cos2α-1 = 1-2 sin2α sin(x±y)=sinx cosy ± cosx siny cos(x±y)=cosx cosy - sinxsiny + + sin2x+cos2x=1 sin2x=1-cos2x cos2x=1- sin2x tg x=1/ctgx tg x ctgx =1 Определение значений углов 900 1800 2700…. ось ctg 0 ctg α Sin и cos – это IиндагI – когда свет падает сверху ось sin sin α ось cos tg α 0 α 0 ось tg cos α Следовательно – Если угол лежит на определяемой оси (sin или cos) его значение равно 1 или -1 Если между углом и определяемой осью равен 900 то значение любых триг функций = 0 Знаки надо определять! Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов с2 = a2 + b2 Теорема. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет равный половине гипотенузы. 𝟏 Если угол α=30°, т о a= 𝟐 c Дополнительные углы sin100 = cos 800 sin ے1 = cos ے2 cos ے1=sin ے2 sin ے3=sin ے2 cos ے3= −cos ے2 или tg 30=ctg870 или sin(90-x)=cos x Если катет, лежит против угла 30°, он равен половине гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна половине гипотенузы и является радиусом описанной около этого треугольника окружности. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы. Высота, проведенная к гипотенузе, - есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу ( т.е. между проекциями катетов на гипотенузу) • Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. При решении прямоугольных треугольников использовать метод «Знание двух элементов в треугольнике решает всё !) Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника Квадрат любой стороны треугольника равен C сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Теорема косинусов. A a2= Теорема синусов. + с2 B – 2bc cosα Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. 𝐚 𝐛 𝐬𝐢𝐧𝛂 Теорема. b2 𝐜 = 𝐬𝐢𝐧𝛃 = 𝐬𝐢𝐧𝛄= 2R Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° · ( n– 2 ) АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа d, называемого разностью этой арифметической прогрессии. Формула n-го члена: Формулы суммы n первых членов: ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, каждое из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной прогрессии число q, называемое знаменателем этой геометрической прогрессии. Формула n-го члена: Формулы суммы n первых членов: Решение простейших тригонометрических уравнений sin x=0 Решение x=𝝅к 𝝅 sin x=1 Решение x= 𝟐 + 𝟐𝝅𝒌 𝝅 cos x=0 Решение x= 𝟐 + 𝝅к cos x=1 Решение x= 𝟐𝝅𝒌 tg x=0 Решение x=𝝅к 𝝅 tg x=1 Решение x= 𝟒 + 𝝅𝒌 sin x = a cos x=-1 Решение x= 𝝅 + 𝟐𝝅𝒌 𝝅 tg x=-1 Решение x= = - 𝟒 + 𝝅𝒌 cos x = a если a>1, то уравнение не имеет решений; в остальных случаях x = (-1)k arcsin a + k, kZ; если a>1, то уравнение не имеет решений; в остальных случаях то x = arccos a + 2n, nZ; tg x = a x = arctg a + n, 𝝅 sin x=-1 Решение x= − 𝟐 + 𝟐𝝅𝒌 ctg x = a nZ; 1 ; tg x = a x = arctg 1 + n, a nZ; Блок 5 Геометрия Формула Пика 𝑺 = внутренние + внешние 𝟐 - 1 Площадь треугольника: 1) 2) 3) 4) 𝟏 S = 𝟐 a·h S = (abc)/(4R) S = pr 𝟏 S = 𝟐 b ·c ·sinA 5) Формула Герона: S = √𝐩(𝐩 − 𝐚)(𝐩 − 𝐛)(𝐩 − 𝐜) R – радиус описанной окруж r – радиус вписанной окружности Радиус вписан в прямоуг треуг окр = (a+b-c)/2 , p= a+b+c 2 Площадь произвольного четырёхугольника Площадь прямоугольника: Площадь параллелограмма: S a·b P=2(a+b) Площадь ромба: 1 S = 2 ·d1 ·d2 = Площадь трапеции: S= a+b 2 S = 𝝅R2 Длина окружности: L=2𝝅R Призма V=Sосн.·h Sполн.=2Sосн.+Sбок. Sбок.= Pосн.·h (для прямой призмы) Цилиндр V=Sосн.·h= 𝝅R2h Sполн.=2Sосн.+Sбок.= =2𝝅R2+2𝝅Rh Sбок.= Lокр.·h= 2𝝅Rh Прямоугольный параллелепипед V= abc Sполн.=2(ab+bc+ac) d2 = a2 + b2 +c2 a b ·h Средняя линия трапеции: MN = Площадь круга: b 1) S = a·h 2) S = a·b·sinA a+b 2 a Шар Sсферы=4𝝅R2 4 V= 3𝝅R3 Пирамида 1 V= 3 Sосн.·h Sполн.=Sосн.+Sбок. 1 Sбок.= 2 Pосн.·l (для прав. пирамиды) Конус 1 1 V= 3 Sосн.·h= 3 𝝅R2h Sполн.=Sосн.+Sбок.= 1 Sбок.= 2 Lокр.·l= 𝝅Rl Куб V= a3 Sполн.=6а2 d2 = 3a2 =𝝅R2+𝝅Rl α α+β=1800 β Углы Смежные Сумма смежных равно 1800 α Вертикальные - Вертикальные углы равны β Углы образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей Правило : Если углы кажутся равными – они равны Если не кажутся равными – их сумма 1800 Сумма углов треугольника 1800 Сумма углов 4-угольника – 3600 n-угольн – 1800(n-2) K Углы при окружности А β α -центральный угол β- вписанный угол α 0 C α =А B β β =𝑲𝑳+𝑴𝑵 𝐂𝑫 B β= L 𝟐 𝟐 β M N D 𝑲𝑳−𝑴𝑵 β = 𝟐 Треугольник имеет - медианы, биссектрисы и высоты Все три медианы пересекаются в одной точке – она делит медиану в отношении 2×1 Средняя линия треугольника равна половине основания. Средняя линия трапеции равна a Пполусумме оснований a=b/2 c=(a+b)/2 c b Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований. C Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, сторону (считая от вершины). О равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую A F B Блок 6 Производная, первообразная, интеграл ∆𝒚 y`= Математическое определение производной Физический смысл производной. Геометрический смысл производной Это скорость изменения функции Это тангенс угла наклона касательной Уравнение касательной y-y0 = y`(x-x0) при ∆𝒙 → 𝟎 Определение производной сложной функции y= f(x) y(x)=4 sin (x2) y`=4* 2x cos (x2) = 8xcos(x2) 𝟏𝟐𝒙𝟐 +𝟐 y`(x0)=k X0 ∆𝒙 y(x)=10 tg(6x3+2x) y` =10𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝟔𝒙𝟑 +𝟐𝒙) Экстремум – это точка где производная =0 следовательно это и максимум и минимум Функция Производ y=xn Первообраз ная 𝒙𝒏+𝟏 y`= nxn-1 y= 𝟏 y`= - 𝒙 y=√𝒙 𝟏 𝑏 Фор. Ньют − Лейб ∫ 𝑓(𝑥) = 𝐹(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑎 𝟐√𝒙 y`= 𝟏 y=𝑪 y`= 𝟎 y`= e Основные типы заданий 1 – Определение скорости y`= a lnx F= + y`= y=sin(x) y=cos(x) y=tg(x y=ctg(x y`= 2 – задан график функции F= ex + C x x y=loga x Неопр интеграл ∫ 𝑓(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶 +C 𝒙𝟐 y=𝒙 y=ln x 𝒏+𝟏 𝟏 y`= y=ex y=ax F= 𝒂𝒙 𝐥𝐧𝐚 𝟏 y +C (u±v)`=u`±v` x3 min 𝒙 𝟏 F=-cos(x)+ C F=sin(x)+ C x2 3 – задан график производной y убывает + - y=f(x) y a b max min + y=f`(x) max 4 – задан график первообразной y=Fx) x (uv)`=u`v+v`u 𝒖 (𝒗 ) ` = 𝒖`𝒗−𝒗`𝒖 𝒗𝟐 (Cu)` = C u` Площадь между a и b равна F(b)-F(a) x x1 и x3 - точки максимума x2 точка минимума min Правила вычисления производной max x1 𝒙𝒍𝒏𝒂 y`= cos(x) y`= -sin(x) 𝟏 y`= 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝟏 y`= 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 y=f(x) max Сколько экстремумов – столько и решений имеет уравнение f(x)=0 x Определение площади – задан график функции – найти F(10)-F(5) y А B y=f(x) 20 10 D C 5 10 x Решение – оно равно площади трапеции ABCD S=F(b)-F(a)=F(10)-F(5) Искомая фигура – трапеция s= 10+20 2 5 = 75 Основные типы заданий для квадратичной функции 1 - Прямая абсциссу точки касания. является касательной к графику функции Решение: Приравнять производные этих функций Найдите 2 - Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a. Решение: Приравнять значения функций и выразить дискриминант уравнения. Так как прямая и кривая имеют только одну общую точку D=0 3 - Прямая является касательной к графику функции Найдите Решение: Приравнять значения функций и определить квадратное уравнение. Так как прямая и кривая имеют только одну общую точку – Дискриминант D=0 4 Прямая является касательной к графику функции учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. Найдите , Решение: Приравнять значения функций и найти дискриминант. Он должен быть равен 0 (Так как прямая и кривая имеют только одну общую точку. Если в ответе получаются 2 решения – идти дальше – приравнять производную квадратичной функции значению производной прямой и смотреть условие – (абсцисса точки касания больше 0) Задание 8 № 27209Объем параллелепипеда равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды Решение. Искомый объем равен разности объемов параллелепипеда и четырех пирамид, основания которых являются гранями данной треугольной пирамиды. Объём каждой из этих пирамид равен одной трети произведения площади основания на высоту, а площадь основания вдвое меньше площади основания параллелепипеда: О т в е т : 1,5. Задание 8 № 27215 Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра. Решение. Искомая поверхность состоит из четырёх пар равных треугольников, каждый из которых имеет площадь равную с четверти площади грани исходного тетраэдра. Поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 6. О т в е т : 6. a f1 a g1 7) f 2 a a g2 f1 g1 0, 0 f2 g2 a 0, a 1; f1 g1 f g 0, 2 2 log a f1 log a g1 8) 0 f i , g i 0, log a f 2 log a g 2 a 0, a 1.
