Ответы на задания для самоконтроля

ОТВЕТЫ НА ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Раздел 1. Теория пределов
1. Вычислить пределы
x 2  3x  2
а) lim f(x)  lim 3
.
x  1
x  1 x  3 x 2  3 x  3
2


 f (1)   (31)  3(2 1)  2    1  3  2    0   0 .
 (1)  3(1)  3(1)  3    1  3  3  3   2 
Функция f(x) непрерывна в точке x = –1, lim f ( x)  f (1)  0 .
x  1
x  3x  2
 0. 
x  1 x  3 x 2  3 x  3
2
Ответ: lim
3
x 3  3x  2
.
x  1
x  1 x 2  4 x  3
 (1) 3  3(1)  2    1  3  2   0 
 f (1)   2

   .
 (1)  4(1)  3   1  4  3   0 
Введем новую переменную t = x–(–1) = x+1, при x → –1 t→0, x = t – 1.
(t  1) 3  3(t  1)  2
t 3  3t 2  3t  1  3t  1
t 3  3t 2
t 2  3t
lim
 lim
 lim 2
 lim
0
t 0 (t  1) 2  4(t  1)  3
t 0
t  0 t  2t
t 0 t  2
t 2  2t  1  4t  1
б) lim f ( x)  lim
x 3  3x  2
0. 
Ответ: lim 2
x  1 x  4 x  3
в) lim f ( x)  lim
x 
x 
sin 4 x
.
x
1

 f ( )   0  .
0
Введем новую переменную t = x–π, t→0, x = t+π.
sin 4(t   )
sin( 4t  4 )  
sin( 4t )  
4t  
lim
 lim
 lim
 lim
 lim 4  4 .
t 0
t 0
t 0
t 0
t 0
t 
t




t
t
1

Ответ: lim
x 
sin 4 x
 4 .
x
1

г) lim(3 x  3 x  1) .
x 
Неопределенность вида ;  . Выносим бесконечно большую величину x под корнем.
1
1
11
lim(3 x  3 x  1)  lim(3 x  3 x(1  ) )  lim 3 x (1  3 (1  ) )  lim 3 x (1  (1 
)) 
x 
x 
x 
x 
x
x
3x
11
1
1
 lim 3 x (
)   lim 2  0
x


x 
3x
3
x3
Ответ: lim(3 x  3 x  1)  0 . 
x 
1
x
д) lim( x  e ) x
x0
 
Неопределенность вида 1
1
x
1
x
lim( x  e )  lim( x  1  x)  e
x
x0
1

lim  ln(1 2 x ) 
x

x 0 
x0
e
1

lim  2 x 

x 0  x
e
1
x
2
Ответ: lim( x  e )  e .
x
x 0
е) lim
x 0
ln(cos 2 x)
.
ln(cos3x)
0
Неопределенность вида   .
0
4x2
4x2
ln(1 
)

2
ln(cos 2 x)
2  lim 2  lim 4 x  4
lim
 lim
x  0 ln(cos3 x )
x 0
x 0
9x2
9 x 2 x 0 9 x 2 9
ln(1 
)

2
2
ln(cos 2 x) 4
Ответ: lim
 .
x  0 ln(cos3 x)
9
2x 3  2x 2
x 0 5 x 3  3 x 2
Применить теорему о пределе дроби (частного) нельзя, т.к. при х0
lim (5х3 – 3х2)=0
До перехода к пределу следует упростить данную дробь:
2 x 3  2 x 2 2 x 2 ( x  1) 2( x  1)


5 x 3  3x 2 x 2 (5 x  3) 5 x  3
Предел знаменателя
lim(5 x  3)  lim(5 x)  3  0  3  3
-3  0
ж) lim
x 0
x 0
Применяя теперь теорему о пределе дроби (частного), получим:
2(x  1 ) 2 lim (x  1 )
2x3  2x 2
2 x 2(x  1 )
2(x  1 ) lim
2
x 0
lim 3

lim

lim

 x 0

2
2
x 0 5 x  3 x
x 0 x ( 5 x  3 )
x 0 5 x  3
lim 5 x  3 5 lim (x  3 )
3
x 0
Ответ: 
2
3
5
3x  1
5
5
5
5
lim


 0
x  3 x  1
lim 3x  1 3 lim x  1 
з) lim
x 
x 
Ответ: 0.
x3  1
x  2 x 3  1
и) Найти lim
x 
x 0
lim  2 
x 0
 e2 .
Числитель и знаменатель дроби превращаются в бесконечность, а их отношение не имеет
смысла. Поэтому преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель дроби на
наивысшую степень аргумента, т.е. на х3.
1
1
1 3
lim(1  3 )
x


x3  1
x 
x 1
lim 3
 lim
x  2 x  1
x 
1
1
2
2  3 lim(2  3 )
x


x
x
1
Ответ: .
2
sin 4 x
x 0
x
Применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю.
Перепишем данное выражение так:
sin 4 x
4 sin 4 x
sin 4 x
lim
 lim
 4 lim
.
x 0
x 0
x 0
x
4x
4x
sin x
1,
Применяя формулу lim
x 0
x
sin 4 x
sin 4 x
lim
 4 lim
 4 1  4
получим:
x 0
x

0
x
4x
Ответ: 4.
к) lim
x 5
x 5 x  x  20
Решение. применить теорему о пределе частного нельзя, т.к. при х=5 числитель и
знаменатель обращаются в нуль. Перепишем данную дробь в виде
x 5
x 5
( x  5 )( x  5 )
x5



,
2
x  x  20 ( x  4)( x  5) ( x  4)( x  5)( x  5 ) ( x  4)( x  5)( x  5 )
Переходя к пределу, получим:
x 5
0
1
1
5
lim 2
  lim


x 5 x  x  20
x

5
0
( x  4)( x  5 ) 18 5 90
л) lim
2
.
Ответ:
5
90
м) lim
x  2 0
x2
1
1
    lim
 lim
 .
2
x  4  0  x 2 x  2 x  2 x 2 x  2 4
x2
н) lim
x 0
sin 3x  0 
sin 3x cos 5 x
sin( 3x) 3x 5 x cos(5 x)
3x cos 5 x 3
    lim
 lim
 lim
 .
x 0
x 0
tg 5 x  0  x0
sin 5 x
3x sin( 5 x) 5 x
5x
5
3x 2  1   
 lim
о) lim 2
x  5 x  2 x   
  x 
1
x2  3.
2
5
5
x
3
5
1 2
x 3  5x   
x  1  .
    lim
п) lim
x  x  10
   x 1  10 0
x2 x3
1
6
 4
2
x  6  
x  0  0.
    lim x
р) lim 4
x  x  10
1
   x 1  10
4
x
2
2. Исследовать непрерывность в точке х = 0 заданной функции: y  x 2 .
Решение:
В точке x = 0 функция y = f(x) непрерывна, так как выполнены все три условия
непрерывности lim f ( x)  f ( x 0 )  0.
x 0
x3  x2
3. Исследовать функцию y 
на непрерывность. Определить характер разрывов
x 1
функции, если они существуют. Выполнить чертёж.
Решение:
1) Под прицел попадает единственная точка x  1, в которой функция не определена.
2) Вычислим односторонние пределы:
x3  x2 0
x 2 ( x  1)
lim
  lim
 lim ( x 2 )  1
x 10 x  1
x

1

0
x 10
0
x 1
x3  x2 0
x 2 ( x  1)
lim
  lim
 lim ( x 2 )  1
x 1 0 x  1
x 1 0
0 x10 x  1
Односторонние пределы конечны и равны.
Таким образом, в точке x  1 функция терпит устранимый разрыв.
Как выглядит график данной функции?
x 3  x 2 x 2 ( x  1)

 x 2 и вроде бы получается
Хочется провести упрощение f ( x) 
x 1
x 1
обычная парабола, но исходная функция не определена в точке x  1, поэтому обязательна
следующая оговорка:
f ( x)  x 2 , если x  1.
,
Выполним чертёж:
Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки x  1, в которой она
терпит устранимый разрыв.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление
1. Вычислить производную функции:
а) у  (4 x3  2x 2  3)  4  3x31  2  2x 21  0  12x 2  4x


 1

б) y    2  4 x    x  2   4 x    2 x  21  4  2 x 3  4
 x

6 
5
в) y  x 2  5 x  8  6  x 2  5 x  8  2 x  5

г)




y   ln x 2  3 

1
x 3
1
x

 2x  2
2
2 x 3
x 3


2






x2  3 
1

1
x 3 2 x 3
2
2
x
2

3 

1

1
x  3 2 x2  3
2
 2x 




д) y   3x 2 cos x  3x 2  cos x  3x 2  cos x   6 x  cos x  3x 2   sin x   6 x cos x  3x 2 sin x

 x3
( x 3 )
( x) 
x
2
5 
е) f ( x)    4 x   14 x  e  
 4( x 2 ) 
 14( x )  ( e 5 ) 
3
9
3
 9


  
3 x2
1
1
x2
1 7
.

 4  2 x   14 
0
 8x  
9
3
3
3
x
2 x

4
9
 4

 1

 5  5   
5
4
1
1


   x 5      x 5
ж) f ( x)  
.
 1 x 5  



 5 4 4 
9
5 9
4  5

x


 4 x 


x5


2
 2
3ex

3  e x

x


 ctgx 
 2  2  6  log x   ctgx  
 2  2 x  6  log3 x  
з) f ( x) 
3
5

4
5
4


2 
1  3 ex
1
2
3e x
6
x
.
 


2

2

ln
2

6




 2  2 x  ln 2 

2
2
4
x  ln 3
5  sin x 
4
x  ln 3
5 sin x
 


и) f ( x)  cos x  4 x   sin x  4 x 

1
4 x
4
3
 cos x   sin x  4 x 
 
cos x
4 x
4
3
.
 4x 
4 x  ln 4  3 sin x  3 cos x  4 x
4 x  3  (sin x  ln 4  4 x  cos x)
 

к) f ( x)  

(3 sin x) 2
9 sin 2 x
 3 sin x 
4 x  (sin x  ln 4  4 x  cos x)
.

3 sin 2 x

 x 2  2x  1 
(2 x  2)( x  3)  1  ( x 2  2 x  1) 2 x 2  6 x  2 x  6  x 2  2 x  1
 

л) f ( x)  

( x  3) 2
( x  3) 2
 x3 
x 2  6 x  7 ( x  7)( x  1)


.
( x  3) 2
( x  3) 2


1
2
1
3


 13   14 
1 3 1
1 4 1
2
1
3





м) y   6 x    4 x   6  x  4  x  2 x  x 4 

.
2
3
4
3
4
x
x3


 
н) у = (х2+3)10
Это сложная функция. Пусть х2 + 3 = u, тогда у = u10. Производная находится по формуле
дифференцирования сложной функции:
у'=(u10)'=10u9 u'x,
u'x=(x2+3)' = 2x,
y'=10(x2+3)92x,
y' = 20x(x2+3)9.
о) y = sin8x.
Пусть 8х = u, тогда у = sinu.
y' = (sinu)' = cosu·u'x;
u'x = (8x)' = 8
y' = cosu·8 или y' = 8cos8x
п) Найти производную функции y  arctg 4 x  1
Пусть
4 x 1  u , тогда y  arctgu, и
1
 u x' ,
1 u2

1
4
2
,
u  4x  1 
(4 x  1) 

2 4x  1
2 4x  1
4x  1
1
2
2
1
y 



2
1  ( 4 x  1)
4x  1 4x 4x  1 2x 4x  1
y   (arctgu) 


р) Продифференцировать функцию у= ln sinx
sin x = u, y = ln u, тогда
1
y   (ln u )   u x'
u x'  (sin x)  cos x,
u
1
y 
 cos x  ctgx,
sin x
2.
а) Дана функция y  x 4  2 x 3  5x 2  3 . Найти у 

y   x 4  2 x 3  5 x 2  3  4 x 3  6 x 2  10x

y   4 x 3  6 x 2  10  12x 2  12x

y   12x 2  12x   24x  12  искомая функция
б) Дана функция y  x  sin 2 x . Найти у 


y    x  sin 2 x   x   sin 2 x  sin 2 x   x  sin 2 x  2 x cos 2 x




y   sin 2 x  2 x cos 2 x   sin 2 x   2 x   cos 2 x  cos 2 x   2 x  2 cos 2 x  2 cos 2 x  4 sin 2 x
4 cos 2 x-4 sin 2 x
d2y
 4 cos 2 x  4 sin 2 x
dx 2
x2 1
3. Составить уравнение касательной к графику функции у 
 x , проходящей через
8 2
точку x0 = 2.
22 1
3
  2  , затем
8 2
2

 x2 1 
2x 1 x 1
f ( x)  
 x  
  
8
2
8
2 4 2


Находим у 0 
f ( x0 )  f (2) 
2 1

1
4 2
Тогда составим уравнение прямой
y  y 0  f (x)(x  x0 )
3
 1  x  2
2
2y  3  x  2
y
x  2 y  1  0  искомое уравнение
4. Найти предел функции, используя правило Лопиталя.
а) lim
x 
log a x
xk
1
loga x
(loga x)
 
x ln a
lim
    lim
 lim

x 
x   kxk 1
xk
   x   ( x k )

1
1
a
lim x ln
 0.
k 1
x


k ln a
x
б) Имеем неопределенность вида 0   . Переписываем данное выражение в виде
ln x
 
lim  0    lim
, получим неопределенность вида   . Применяя правило
x 0 
x 0  1
 
x
Лопиталя, получим
1
ln x   
lim
    lim x  lim ( x)  0 .
x 0  1
x 0 
   x 0   1
x
x2
в) Если применять правило Лопиталя, т.е.
x  sin x   
( x  sin x)
1  cos x
,
    lim
 lim
x


x


x  sin x   
( x  sin x)
1  cos x
то можно сделать ошибочный вывод о том, что предел данной функции не существует,
так как не существует lim cos x .
lim
x 
x 
sin x
x  sin x
x  1, так как lim sin x  0.
 lim
На самом деле lim
x  x  sin x
x 
x 
sin x
x
1
x
1
5. Исследовать функцию y  2 xe
 x2
2
и построить ее график.
Решение.
1. Область определения (;) .
2. Функция нечетная, так как f ( x)   f ( x) и график ее симметричен относительно
начала координат.
3. Вертикальных асимптот нет, так как функция определена при всех действительных
значениях х.
4. Поведение функции в бесконечности:


2x   
2x
2
lim f ( x)  lim
    lim
 lim
 0.
2
2

x
x  
x  
  x     x 2   x   x

e 2
xe 2
e 2 




В силу нечетности функции lim f ( x)  0 , т.е. прямая у = 0 (ось абсцисс) – горизонтальная
x  
асимптота.
5. Экстремумы и интервалы монотонности:
 x2
2
 x2
2
 x2
2
y   2e
 2 xe ( x)  2e (1  x 2 );
y   0 при x  1 , т.е. критические точки x1 = -1, x 2 = 1. Знаки производной изображены на
рисунке.
Таким образом, х = -1 есть точка минимума; х = 1 – точка максимума и
2
f min  f (1)  
 1,21;
e
2
f max  f (1) 
 1,21.
e
Функция убывает на интервалах (;1) и (1;) и возрастает на интервале (1;1) .
6. Интервалы выпуклости и точки перегиба:
y   2e
 x2
2
( x)(1  x )  2 xe
2
 x2
2
(2 x)  2 xe
 x2
2
(3  x 2 );
y   0 при х = 0 и x   3. Знаки второй производной изображены на рисунке.
Таким образом, функция выпукла вниз на интервалах ( 3;0) и ( 3;) и выпукла вверх
на интервалах (; 3 ) и (0; 3 ) , а x1   3, x 2  0, x 3  3 – точки перегиба.
7. f ( 0 ) = 0. Уравнение f ( х ) = 0 имеет единственное решение х = 0, т.е. график функции
пересекает оси в начале координат (0; 0).
График функции изображен на рисунке.
Раздел 3. Интегральное исчисление
1. Вычислите неопределенные интегралы:
а)  (2 x 3  5 x 2  7 x  3) dx = 2 x 3 dx  5 x 2 dx  7  x dx  3 dx = 2
x4
x3
x2
5  7  3 x  С 
4
3
2
x4 5 3 7 2

 x  x 3 x C
2 3
2

1
4 
dx
dx
б)   5 cos x  2  3 x 2   2  dx = 5  cos x dx  2  dx  3 x 2 dx    4  2
x
x x 1 
x 1

5 cos x dx  5 (sin x  C1 )  5 sin x  5 C1 ;
2  dx  2 ( x  C 2 )  2 x  2 C 2 ;
 x 2 1

3 x 2 dx  3 
 C   x 3  3 C 3 ;
 2 1

dx
 x  ln x  C 4 ;
dx
4 2
 4 (arctg x  C 5 )  4 arctg x  4 C 5
x 1
Таким образом,

1
4 
2
  5 cos x  2  3 x  x  x 2 1  dx =
5 sin x  2 x  x 3  ln x  4 arctg x  (5 C1  2C 2  3 C 3  C 4  4 C 5 )
Обычно все произвольные постоянные суммируют, результат обозначают одной буквой
С = 5 С1  2 С2  3 С3  С4  4 С5 , поэтому окончательно получаем

  5 cos x  2  3 x
2
1
4 
  2  dx = 5 sin x  2 x  x 3  ln x  4 arctg x  С
x x 1 
в) Интеграл табличный, поэтому можно переходить к непосредственному вычислению
dx
x
 16  x 2  аrc sin 4  C
г) Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как sin 2 x  cos2 x 1 , то
умножив подынтегральное выражение на (sin2 x cos2 x) , получим
 1
sin 2 x  cos2 x
1
dx
dx

=
  cos2 x  sin 2
 sin 2 x cos2 x  sin 2 x cos2 x

 1
1 
 dx =  
 2  dx 
2
x
 cos x sin x 
dx
dx
dx
dx
dx

 2 = 2

 tg x  ctg x  C
= 
2
2
2
cos x
sin x
cos x
sin 2 x
sin x cos x
д) Сделаем подстановку 3 x 5  t . Найдем дифференциал от обеих частей подстановки:
d (3 x  5)  dt
(3 x  5) dx  dt
1
3 dx  dt, откуда dx  dt
3
Следовательно,
1 7
1 t8
1
7 1
7
=
(
3
x

5
)
dx
t
dt

t
dt

C  t8 C

 3 3
38
24
Заменив t его выражением из подстановки, получим
1
8
7
 (3 x  5) dx = 24 (3 x  5)  C
е) Полагая
u  x,
dv  e dx
x
найдем
du  ( x) dx  dx
 dv   e
x
dx  v  e x
По формуле интегрирования по частям получаем:
x
x
x
x
x
 x e dx = x e   e dx  x e  e  C
1
ж) Положим 4 x  3  t , тогда 4 dx dt , или dx  dt .
4
Следовательно,
1
1
1
 sin (4 x  3) dx = 4  sin t dt   4 cos t  C   4 cos (4 x  3)  C
з) Положим
u  ln x
dv  dx
Тогда
1
du  d (ln x)  dx
x
v   dx  x
Следовательно,  ln x dx  x ln x   x
1
dx  x ln x   dx  x ln x  x  C
x
2. Вычислите определенные интегралы:
2
а)

1
9
б)

1
dx
= ln x 12  ln 2  ln1  ln 2  0  ln 2
x
9
1
1
9
 2 32

 
 21
 x
1 
2

2 


dx   

dx    x  x dx   x  2 x 2    x x  2 x  
x
x
x
1
1
1

3
1 3
x 1
9
4
1
2
 2

  9 9  2 9    1 1  2 1   12   13 .
3
3
3
 3

9
t  cos x,
t1  cos 0  1
0
t3
 
2
2
sin
x
cos
xdx
в) 
= dt   sin xdx, t 2  cos   0    t dt  
3
2
1
0
sin xdx  dt

2
4
dx
г) 
x 1
1

x  t2
t1  1  1
dx  2tdt t 2  4  2
0
1
1
1
   (0 3  13 )  .
3
3
2
2tdt

t 1
1

(t  1)  1
1 
2

2
dt  2 1 
dt  2t  ln(t  1) 1 
t 1
t  1
1
1
2
 2(2  ln 3)  2(1  ln 2)  2  2 ln .
3
2
2

д)

1
 cos 2 xdx  sin 2 x
 (sin 2  sin 0)  0 .
2
2
0
0
2
е)  (( x  1) 2  2( x  2) 3 )dx =
1
 ( x  1)3  2  ( x  2) 4  2
 3

4

 1
9
34
63
 .
2
2
ж)
3
3 x
3 ( x  1)  1
3 1
3 1
1
1
dx  
dx  
dx  
dx  


3
3
2
3
x  1 1 2( x  1) 2
1 ( x  1)
1 ( x  1)
1 ( x  1)
1 ( x  1)
1 1 1 1 5
     .
4 2 32 8 32
3

1
з) Применяя формулу понижения степени, получаем
2
1  1  cos 2 x 
1
4
2
cos  
  (1  2 cos 2 x  cos 2 x) ,
4
2
4

1  cos 4 x
2
где cos 2 x =
.
2
Следовательно, cos4 x 





1 3
1
 2 cos 2 x  cos 4 x ,
4 2
2
 


2
4 x  2 1 3  2 cos 2 x  1 cos 4 x  1 3 x  sin 2 x  1 sin 4 x 2  3  0  3 .
cos


2
4 2
8
16
16
0
0
04 2
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y  x 2  1 , x  2 , y  0 , x  0 .
Построим линии, ограничивающие фигуру.
y  x2  1 – парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;1).
x  2 – прямая, проходящая через точку (2;0), параллельная оси оу.
y  0 – аналитическое выражение оси ох.
x  0 – аналитическое выражение оси оу.
Построенная фигура является криволинейной трапецией с основанием на оси ох, поэтому
её площадь вычисляется по формуле
b
S   f ( x)dx .
a
f ( x)  x  1 , a  0 , b  2 .
2
2
2
x3
8
2
2
2
 x 0   2  2  2  4 (кв. ед.).
Тогда S   ( x  1)dx 
3 0
3
3
3
0
2
б) x  2 y  8  0 , y  1 , y  3 , x  0 .
Построим линии ограничивающие фигуру.
x  2 y  8  0 – прямая; если x  0 , то 2 y  8  0  y  4 ,
если y  0 , то x  8  0  x  8 .
Прямая проходит через точки (0; 4), (8; 0).
y  1 – прямая, параллельная оси ох.
y  3 – прямая, параллельная оси ох.
x  0 – ось оу.
d
Фигура является криволинейной трапецией с основанием на оси оу, поэтому S    ( y )dy .
x  2 y  8  0  x  8  2 y  y  8  2 y
c  1, d  3
c
3
Тогда S   (8  2 y )dy  8 y 1  2
3
1
y2
2
3
2
 8(3  1)  (32  12 )  16  8  8 (ед ).
1
в) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y  x 2  4 x, y  0 .
Построим линии ограничивающие фигуру.
y  x 2  4x – парабола, симметричная относительно оси OY.
Т.к. y  x 2  2  2 x  4  4  x  2  4 , то вершина 2; 4 .
Координаты вершины также можно определить по формуле
b
4
x0  

 2,
2a
2 1
y0  22  4  2  4.
y  0 – ось OX.
Найдем координаты точек пересечения графиков (рис.9) функций.
 y  x 2  4 x,
 x2  4 x  0

y  0
x( x  4)  0
x  0, x  4
2
b
Т.о. 0  x  4 , на этом отрезке функция x  4 x  0 , поэтому S    f ( x)dx .
2
a
f ( x)  x  4 x, a  0, b  4 .
2
4
Тогда
x3
S    ( x  4 x)dx  
3
0
4
2
0
x2
4
2
4

0
64
2
2
 32  10 (ед ).
3
3
г) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y  x2 , y  x  2
Построим линии, ограничивающие фигуру.
y  x 2 – парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0; 0).
y  x  2 – прямая, если x  0 , то y  2 ,
если y  0 , то x  2 .
Найдём точки пересечения линий:
x2  x  2
2
y  x ,
 x2  x  2  0

y  x  2
x  1, x  2
Т.о.,  1  x  2, a  1, b  2
f 1 ( x)  x 2 , f 2 ( x)  x  2, f 2 ( x)  f 1 ( x) .
b
2
x2
S   ( f 2 ( x)  f1 ( x))dx   ( x  2  x )dx 
2
a
1
2
2
x3
 2 x 1  
3
1
1
1
3
 (4  1)  2(2  1)  (8  1)   6  3  4,5 (ед2).
2
3
2
2

2
1
Раздел 4. Линейная алгебра
1. Найдите матрицу.
2 3 5
а) A+B, если A  
1 4 2
2 1 3  3 5  4
A  B  
1  2 4  1 2  3
7
1  3
, B  
3
2 1
7  0 3 0 9

3  2   3 5 5
 1 2 3
0 1
, B  
б) 5 A  3B , если A  
 2 1 1
1 2
 1 2 3
 0 1 1   5 10
  3  
  
5 A  3B  5  
 2 1 1
 1 2 3  10 5
0 
.
3  2 
4
7
.
1 
1
.
3 
15   0 3 3   5 7 12 


.
5   3 6 9   7  1  4 
2. Найти произведение А  В, если
2 0
1 2 3 
 1




A   4 1 3  B    2  1 4.
 2 7  1
 3
2 1 



1 2 3   1 2 0

 

A  B   4 1 3     2 1 4  
 2 7  1  3 2 1 

 

1 2  2  (1)  3  2
 1 1  2  (2)  3  3

  4 1  1  (2)  3  3
4  2  1 (1)  3  2
 2 1  7  (2)  (1)  3 2  2  7  (1)  (1)  2

6
 1 4  9 2  2  6 0  8  3   6

 
  4  2  9 8  1  6 0  4  3    11 13
 2  14  3 4  7  2 0  28  1   15  5

 
1  0  2  4  3 1 

4  0  1  4  3 1  
2  0  7  4  (1) 1
11 

7
27 
3. Вычислить определитель третьего порядка по формуле.
1 1 1
2
1
1
1
1
2
1 1 1
 3  A3  2
1
1  1  1  2  2  1  1  (1)  1  1  1  1  1  2  (1)  2  1  1  1 
1
1
2
 2  2  1  1  4  1  5.
4. Вычислить определитель третьего порядка разложением определителя по
элементам первой строки.
1 1 7
1 2 5
7 5 13
1 1
7
3  1 2
5  1 
7 5 13
2
5
5 13
 1
1
5
7 13
 7
1 2
7 5

 1  (26  25)  1  (13  35)  7  (5  14) 
 1  1  1  (22)  7  (9)  1  22  63  40
 3 1 3


5. Дана матрица А   5  2 2  .
 2 2 3


1
Найдите матрицу А и выполнить проверку.
Решение:
3 1 3
1.Вычислим определитель:   5  2 2  18  4  30  12  12  15  1 .
2 2 3
2.Вычислим алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы А:
А11  (1)11 
А12  (1)1 2 
А13  (1)13 
А31  (1) 31 
А32  (1) 3 2 
А33  (1) 3 3 
2 2
3
А21  (1) 2 1 
1 3
2
 6  4  10,
5 2
 (15  4)  11,
А22  (1) 2  2 
3 3
А23  (1) 2 3 
3 1
2 3
5 2
2
2
1
3
2 2
3 3
5 2
3
 10  4  14,
 (3  6)  3,
2 3
2 3
2 2
 9  6  3,
 (6  2)  4,
 2  6  8,
 (6  15)  9,
1
5 2
 6  5  11.
 А11
1
3.Обратная матрица будет иметь вид: А   А12

 А13
Тогда обратная матрица имеет вид:
8    10 3
8 
  10 3
 

1
1
А    11 3
9     11 3
9 
1
 

 14  4  11  14  4  11 .
4.Выполним проверку:
1
А21
А22
А23
А31 

А32  .
А33 
8 
 3 1 3    10 3

 

А  А   5  2 2     11 3
9 
 2 2 3   14  4  11

 

  30  11  42  50  22  28 24  9  33   1 0 0 

 

  9  3  12
15  6  8
40  18  22    0 1 0   Е
 24  9  33
6  6  12
16  18  33   0 0 1 

5. Вывод. Матрица А 1 является обратной матрице А, т.к. А  А 1  Е .
8 
  10 3


1
Ответ. А    11 3
9 
 14  4  11


1
6. Решить системы линейных уравнений по правилу Крамера
2 x  3 y  8
4 x  2 y  0
а) 
Решение. Определить системы  
x 
8
y 
2
3
0 2
2
3
4 2
 2  (2)  3  4  4  12  16;
 8  (2)  3  0  16;
8
 2  0  8  4  32;
4 0
 32
 16
x
 2.
 1; y 
 16
 16
Ответ: (1; 2).
 x1  x2  2 x3  1

б) 2 x1  x3  0
x  x  0
 2 3
Решение. Определитель системы
1 1 2
0 1
2 1
2
 1
 2
  2 0  1 =1
1 1
0 1
0
0 1 1
1·(‒2) + + 2·2 = 7  0.
Система имеет единственное решение.
1 1 2
0 1 0 1
0
‒1
+2
 x 2 = 0 0  1 =1
1 1 0 1
0
0 1 1
1 1
2
0
1
0
1
=1·(0 ‒ (‒1)) ‒1·(‒2 ‒ 0)+2·(2–0) = 1·1‒
=1·1 ‒ 1·0 + 2·0 = 1;
0 1 2 1
2 0
‒1
+2
=0+2+0=2;
 x 2 = 2 0  1 =1
0 1 0 1
0 0
0 0 1
1 1 1
0 0
2 0
2 0
‒1
+2
=0‒0+4=4;
 x3 = 2 0 0 =1
1 0
0 0
0 1
0 1 0
2
4
1
x1= ; x2= ; x3= .
7
7
7
1
2
4


Ответ:  ; ;  .
7 7 7
7. Решите системы линейных уравнений методом Гаусса.
 5,
4 х1  х 2

а) 2 х1  х 2  х3  1,
3х  х  х  3.
2
3
 1
Решение:
4 1 0 5 


 2  1  1  1 
 3 1 1 3 


4 х1  х2  0 х3  5,

2 х1  х2  х3  1,
3х  х  х  3.
2
3
 1
 4 1 0 5
4 1 0 5 




0 3 2 7  0 3 2 7  
 0 1 4 3 
 0 0 14 16 




 4 х1  х2  0 х3  5,

 
3х2  2 х3  7, 

14х3  16.

16 8

 х3  14  7 ,

16

7
8

7  11 ,
 3 х2  2   7  х2 
7
3
7

11

5

11
7  6.
4 х1   0  5  х1 
7
4
7

6
11
8
Ответ: х1  , х2  , х3  .
7
7
7
 5x  3 y  z  7

б) 2 x  3 y  2 z  9
 x  2 y  3z  1

 5x  3 y  z  7

2 x  3 y  2 z  9 
 x  2 y  3z  1

8

 х3  7 ,

11

  х2  ,
7

6

 х1  7 .

 x  2 y  3z  1
 x  2 y  3z  1
 x  2 y  3z  1



2 x  3 y  2 z  9    7 y  16z  2    7 y  16z  2

 5x  3 y  z  7
  7 y  4z  7
12 z  5



5
Из последнего уравнения z  . Подставляем это значение z во втрое уравнение
12
системы и находим y :
5
 7 y  16   2
12
26
.
21
В первое уравнение подставляем значения
y
5
 26 
x  2    3 1
12
 11 
187
.
x
84
26
5
187
Ответ: x 
; y ; z  .
12
21
84
z и y , получаем
Раздел 5. Комплексные числа
1. Решить квадратное уравнение: x2 – 6х + 13 = 0.
Решение: а=1, b= ‒6, с=13.
Найдем D = b2 ‒ 4ac;
D = (‒6)2‒ 4·1·13 = 35 ‒ 52 = ‒16
Корни уравнения находим по формулам x1, 2
 b  b 2  4ac
.

2a
 6   16 6  4i

 3  2i ; таким образом
2
2
х1=3+2i
x2=3 – 2i
Ответ: х1=3+2i; x2=3 – 2i.
x1, 2 
2. Найти значения х и у из равенства (2x + 3y) + (x ‒ y)i = 7 + 6i
Решение: из условия равенства комплексных чисел следует
2 x  3 y  7,

x  y  6
Умножив второе уравнение на 3, и сложив результат с первым уравнением, получим
5х = 25, т.е. х = 5.
Подставим это значение во второе уравнение: 5 – у = 6,откуда
у = ‒1.
Итак, получаем ответ: х = 5, у = ‒1.
3. Даны комплексные числа z1 = 5 + 3i , z2 = 7 – 4i
Найти
а) z1+z2
б) z1‒z2
в) z1∙z2
Решение:
а) z1+z2 = (5 + 3i) + (7 ‒ 4i) = 5 + 3i + 7 ‒ 4i =12 ‒ i.
б) z1‒z2 = (5 + 3i) ‒ (7 ‒ 4i) = 5 + 3i ‒ 7 + 4i = ‒2 + 7i.
в) z1·z2 = (5 + 3i) · (7 ‒ 4i) = 35 ‒ 20i + 21i ‒ 12i2= 35 + i + 12= 47 + i.
4. Выполнить деление
3  2i
а) z 
7  5i
Решение:
3  2i 3  2i   7  5i  21  15i  14i  10i 2 11  29i 11 29
z




 i.
7  5i 7  5i   7  5i 
49  25i 2
74
74 74
2  7i
3  4i
Решение:
2  7i 2  7i   3  4i  6  8i  21i  28i 2  22  29i
22 29
z



   i.
2
3  4i 3  4i   3  4i 
49  16i
25
25 25
б) z 
5. Записать число z  3  3i 3 в тригонометрической и показательной формах.
Решение:


2
Так как а = 3, b =  3 3 , то r  a 2  b 2  32   3 3  9  27  6.
Геометрически определяем, что числу z соответствует точка Z, лежащая в 4 четверти.
b 3 3  3
a 3 1

Составим отношения cos    , sin   
.Отсюда следует,
r
6
2
r 6 2
 5
что   360  60  300 или   2  
3
3
5
5 

Итак, z  6 cos
 i sin
 ‒ тригонометрическая форма числа
3
3 

5
z  6e 3 ‒ показательная форма числа.



6. Даны комплексные числа z1  3 cos 330  i sin 330 z2  2 cos 60  i sin 60
z
Найти: а) z1∙z2
б) 1
в) z 24 г) 3 z1
z2
Решение:
а) z1  z2  2  3 cos 330  60  i sin 330  60  6 cos 390  i sin 390 
 


 


 3
1
 6 cos 30  i sin 30  6
 i   3 3  3i.
2
 2


 





z1 2
2
 cos 330  60  i sin 330  60  cos 270  i sin 270 
z2 3
3
 1,5  0  i  (1)   1,5i
б)




в) z24  2cos 60  i sin 60   24 cos(60  4)  i sin(60  4)  16cos 240  i sin 240 
Используем формулы приведения
4
1
2
3
sin 240  sin(180  60 )   sin 60  
2
 1
3
  8  8 3i
z 24  16 cos 240  i sin 240  16   i

2
2






330  360 k
330  360 k 
 ,
 i sin
г) 3 z1  3 3 cos
3
3


где k принимает значение 0,1,2.
(1)
Если k=0, то z1  3 3 cos110  i sin110 
cos 240  cos(180  60 )   cos 60  


( 2)
Если k=1, то z1
( 3)
1
Если k=2, то z

3 cos 350

 i sin 350 
 3 3 cos 230  i sin 230

3


Раздел 6. Элементы дискретной математики
1.
Объединение
1. Пусть А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}. Тогда А  В = {2, 4, 5, 6}.
2. Пусть А – множество чисел, которые делятся на 2, а В – множество чисел, которые
делятся на 3: А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}. Тогда А  В – множество чисел, которые
делятся на 2 или на 3: А  В = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, …}.
Пересечением
1. Пусть А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}. Тогда А  В = {4, 6}.
2. Пусть А – множество чисел, которые делятся на 2, а В – множество чисел, которые
делятся на 3: А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}. Тогда А  В – множество чисел, которые
делятся и на 2, и на 3: А  В = {6, 12, 18, …}.
Разностью
1. А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}. А \ В = {5}, В \ А= {2}.
2. А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}. Тогда А \ В – множество чисел, которые делятся
на 2, но не делятся на 3, а В \ А – множество чисел, которые делятся на 3, но не делятся
на 2: А \ В = {2, 4, 8, 10, 14, …}. В \ А = {3, 9, 15, 21, 27, …}.
Симметрической разностью
1. А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}. А \ В = {5}, В \ А= {2}, А + В = {2, 5}.
2. А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}, А \ В = {2, 4, 8, 10, 14, …}.
В \ А = {3, 9, 15, 21, 27, …}, А + В = {2, 3, 4, 8, 9, …}.
2.
а) Пусть А = {1, 2, 5, 6}, тогда A  3,7 .
б) Пусть В = {2, 3, 4, 6}, тогда A  1,5,7 .
Раздел 7. Элементы теории вероятности и математической статистики
1. На экзамене 40 вопросов, Коля не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что
ему попадется выученный вопрос.
Решение: Вероятность события определятся формулой:
, где m – число
благоприятных событий (исходов), n – число всех возможных событий.
Из 40 вопросов (число всевозможных исходов) Коля выучил вопросов (число
благоприятных исходов).
Тогда вероятность того, что Коле попадется выученный вопрос – это .
Ответ: 0,9.
2. В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых
и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к
заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
Решение: Вероятность того, что к заказчице приедет зеленое такси равна
Ответ: 0,2.
3. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность
того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
Решение:
В сумме выпадет 7 очков в следующих вариантах:
5+1+1 (3 комбинации)
1+2+4 (6 комбинаций)
1+3+3 (3 комбинации)
2+2+3 (3 комбинации)
Всего вариантов.
Каждый из трех кубиков может выпасть шестью гранями, поэтому общее число
исходов равно.
Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков, равна 0,07 Ответ:
0,07.
4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите
вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
Решение:
Благоприятный исход: орел-орел-орел-орел.
Всего исходов –
Значит, вероятность того, что решка не выпадет ни разу – есть
Ответ: 0,0625.
5. Два орудия стреляют по цели; вероятности попадания в цель при одном выстреле
для них равны соответственно 0,7 и 0,8. Для случайной величины Х (числа попаданий в
мишень при одном залпе) составить ряд распределения и найти математическое
ожидание.
Решение.
Случайная величина Х (Х- число попаданий в цель) может принимать лишь три
значения: 0, 1, 2. Найдем вероятности, с которыми эти значения принимаются. Случайная
величина Х принимает значение 0, если оба орудия не попали в цель. Значит,
P( X  0)  (1  0,7)(1  0,8)  0,06 .
Случайная величина Х принимает значение 1, если в цель попало ровно одно
орудие. Значит, P( X  1)  0,7  (1  0,8)  (1  0,7)  0,8  0,14  0,24  0,38 . Наконец, Х=2,
если только оба орудия попали в цель. Значит, P( X  2)  0,7  0,8  0,56.
Составляем ряд распределения.
Х
0
0,0
р
6
1
0
,38
2
0,56

Математическое ожидание M (X ) находим по формуле M  X    xi pi используя
i 1
полученный ряд распределения.
M ( X )  0  0,06  1 0,38  2  0,56  1,5 .
Ответ: M ( X )  1,5 .
6. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две
партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?
Решение. Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша
р = 1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях
вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут
выиграны партии, то применима формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:
P4 (2)  C42 p 2 q 2  4  3 /(1 2)  (1/ 2) 2  (1/ 2) 2  6 / 16 .
Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:
P6 (3)  C63 p 3q 3  6  5  4 /(1  2  3)  (1 / 2)3  (1 / 2)3  5 / 16 .
Так как Р4(2) > Р6(3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из
шести.
7. Дискретная случайная величина распределена по закону:
X
p
–1
0,2
0
0,1
1
0,3
Найти D(X ) .
Решение. Сначала находим M (X ) .
M ( X )  1 0,2  0  0,1  1 0,3  2  0,4  0,9 ,
А затем M ( X 2 ) .
M ( X 2 )  (1) 2  0,2  02  0,1  12  0,3  22  0,4  2,1.
По формуле D( X )  M ( X 2 )  (M ( X ))2 имеем
D( X )  2,1  (0,9) 2  2,1  0,81  1,29 .
2
0,4