Решения 3

Пример решения заданий студенческой интернет-олимпиады 2014
3 КУРС ( и старше).
1. Пусть M n (R) – множество вещественных матриц n -го порядка. Укажите все
значения n , при которых существует матрица A  M n (R) такая, что A2   E , где E
– единичная матрица.
Решение. Так как определитель произведения матриц равен произведению
определителей матриц, то имеем: A 2   E   1n  A
2
2
Следовательно, при нечетном значении n должно выполняться равенство A  1 , что
невозможно, так как квадрат определителя матрицы A  M n (R) – вещественное
положительное число. Остается вариант n – четное число, тогда искомые матрицы
существуют.
В качестве примера можно рассмотреть матрицу, все элементы имеют вид:
(1) i , если i  j  n  1,
aij  
 0, если i  j  n  1.
Тогда элемент сij матрицы A2 при i  j имеет вид
сii  ai1  a1i  ai 2  a2i  ...  ai ( n1i )  a( n1i )i  ...  ain  ani  0  0  ...  (1) i  (1) n1i  0  ...  0  1,
при i  j имеет вид
сij  ai1  a1 j  ...  ai ( n1 j )  a( n1 j ) j  ...  ai ( n1i )  a( n1i ) j  ...  ain  anj 
 0  ...  0  (1) n1 j  ...  (1) i  0  ...  0  0.
0, если i  j ,
1, если i  j,
Таким образом, сij  
2
т.е. A   E .
Пример подобной матрицы 4-го порядка:
0 0

0 0
A
0 1

1 0

0  1

1 0
0 0

0 0 
2. Найти наименьшее значение a, при котором сумма 204 n  a  199 n делится на 2015
при всех нечетных n.
Решение. Число 2015 можно разложить на множители 5 и 403. Сумма 204 n  a  199 n
будет делиться на 2015, если она будет делиться на 5 и на 403.
Преобразуем исходную сумму:
204 n  a 199 n  199  5n  a 199 n  5k  199 n  a 199 n  5k  (a  1) 199 n .
Поскольку 5 и 199 взаимно простые числа, то исходная сумма будет делиться на 5,
если a  1 будет кратно 5, т.е. a  5 p  1.
С другой стороны,
204 n  a 199 n  403  199 n  a 199 n  403t  199 n  a 199 n  403t  (a  1) 199 n .
Таким образом, поскольку 403 и 199 взаимно простые числа, исходная сумма будет
делиться на 403, если a  1 будет кратно 403, т.е. a  403s  1 .
Равенство 5 p  1  403s  1 возможно при наименьшем значении s  1. Таким
образом, наименьшее значение a , при котором сумма 204 n  a  199 n делится на 2015,
равно 404.
3. Найти сумму ряда

x 3n1
 n  1!
n 1
Решение.
 
n 1
 
k
 x 2  x 3( n 1)
 x3

3
x 3n 1
x3
2
2

x 
x 
 x2  ex .

n 1 n  1! n 1 n  1!
n 1 n  1!
k 0 k !


4 x11  6 x 7  5 x  3 cos x
4. Вычислить 
dx .
1  sin 2 x

3

3
Решение.



3
4 x  6 x  5 x  3 cos x
4 x  6 x  5x
cos x
dx

dx

3
dx



2
1  sin 2 x
1  sin 2 x


 1  sin x
3

11
7
3

3
11
7

3
3
Первый интеграл в полученной разности равен 0 как интеграл от нечетной функции по
симметричному относительно 0 промежутку.



3
3
cos x
1
dx  
d (sin x)  arctg (sin x)


2
2
 1  sin x
 1  sin x
 .



3
3
3
3
 3
 
.
 2arctg  sin   2arctg 
3
2




Таким образом,

 3
4 x11  6 x 7  5 x  3 cos x

 .
dx


6
arctg

2
2
1  sin x




3
3
5. Функция y  y(x) является решением дифференциального уравнения y  
1
с начальным условием y (0)  1 . Пусть y (1)  a . Вычислить
x
3
y( x)dx .
0
Решение.
1
1
  
1
1 4
4
x
y
(
x
)
dx

y
(
x
)
d
x

x  y ( x)


4
4
0
0
3
1

0
11 4
  x  y( x)dx 
40
1
1 1 x4
a 1 1 
y 3 
 y (1)   4
dx    1  4
dx 
4
4 0 x  y3
4 4 0  x  y 3 
1
a x
11 3
a 1 1a 3
a  1 a4  1
 
  y  ydx     y dy 

.
4 4
40
4 4 41
4
16
0
1
x  y3
4

 1 
6. Вычислить lim  x  x 2  ln 1   .
x   
 x 
Решение.

 1 
lim  x  x 2  ln 1      
x   
 x 
Используя разложение в ряд Маклорена функции y  ln(1  x) , получим:
1
1
1


 1 
1


 1
lim  x  x 2  ln 1    lim  x  x 2    2  3  ...  lim  x  x   o( x)  .
x   
2
3x
 x  x   
 x 2x
 x   
 2
7. Пусть λ – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0;1]. Какова
вероятность того, что из отрезков с длинами λ, 1–λ, ½ составится треугольник с
тупым углом.
1 
Решение. Пусть, для определенности    ;1 , тогда сторона длины  2 
наибольшая. Треугольник будет тупоугольным (тупой угол напротив стороны длины
 ), если   1   
2
2
1
 
2
2
и 1  
1
  . Решением полученной системы
2
неравенств, с учетом ограничения для  , является промежуток
5 3
 ; .
8 4
Функция распределения НСВ  имеет вид:
 0, x  0,

F ( x)   x, 0  x  1,
 1, x  1.

5 3
Тогда вероятность того, что  будет принимать значения в промежутке  ;  ,
8 4
что равносильно тому, что треугольник будет тупоугольным, равна
3
5
3
5 3 5 1
P      F    F      .
4
8
4
8 4 8 8
1 4
8. Известно, что  4 
.Вычислить
90
n 1 n


x3
0 e x  1 dx .
РЕШЕНИЕ:
Воспользуемся формулой суммы членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии:
n
1
1
1
1   1 



   
e x  1 e x 1  e  x e x n 0  e x 


 1 
 x
n 0  e 

n 1


e
 nx
n 1
Вычисляем интеграл, применяя формулу интегрирования по частям и учитывая, что
функция e  nx имеет больший порядок малости при x  , чем степенная функция:

x3
dx 
ex 1
0

 
x e
0 n 1
3  nx
dx 
 
 x e
n 1 0
3  nx


 e nx 6  6nx  3n 2 x 2  n 3 x 3
dx 
n4
n 1



0

6 4


4
15
n 1 n
