Контрольная работа №1 Исходные данные E1 E2 E3 R1 R2 R3 R4 R5 R6 36 10 25 4 8 3 1 2 7 1.1 Уравнения по законам Кирхгофа. 1. Намечаем произвольно направления токов во всех ветвях (см схему) 2. Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. Для нашей схемы с четырьмя узлами нужно составить три уравнения I5 + I6 - I3 = 0 - для узла 1 I1 + I4 - I5 = 0 - для узла 2 I3 - I1 - I2 = 0 - для узла 4 3. выбираем произвольно направление обхода каждого контура цепи и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. Контуры, для которых составляются уравнения, нужно выбрать так, чтобы каждый из них включал в себя хотя бы одну ветвь не вошедшую в другие контуры. Только при этом условии уравнения, составленые по второму закону Кирхгофа, будут независимыми друг от друга. Поэтому и контуры, выбранные с соблюдением приведенного выше условия , принято называть независимыми. Таким образом, число уравнений, составленых по второму закону Кирхгофа должно быть равно числу независимых контуров: I 3× R 3 + I 1× R 1 + I 5× R 5 = E 3 + E 1 I 2× R 2 - I 1× R 1 + I 4× R 4 = E 2 - E 1 I 6× R 6 - I 4× R 4 - I 5× R 5 = 0 В этих уравнениях все ЭДС и токи, совпадающие с направлением обхода, записываются со знаком "+" , нправленные навстречк обходу - со знаком "-" . Как видно из данного примера, общее число уравнений, составленных по первому и второму законам кирхгофа равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей. Решив эту систему уравнений с шестью неизвестными, определим искомые токи. Если какой либо ток получился отрицательным, то это означает, что его действительное направление противоположно направлению выбранному в п.1. I5 + I6 - I3 = 0 I1 + I4 - I5 = 0 I3 - I1 - I2 = 0 I 3× R 3 + I 1× R 1 + I 5× R 5 = E 3 + E 1 I 2× R 2 - I 1× R 1 + I 4× R 4 = E 2 - E 1 I 6× R 6 - I 4× R 4 - I 5× R 5 = 0 Рассмотреный метод расчета в подавляющем большинстве случаев является достаточно громоздким и потому практически нецелесообразным. Задача практически упрощается при использовании метода контурных токов и метода узловых потенциалов, в основу которых положены уравнения Кирхгофа. 1.2 Метод контурных токов. 1.Вводим понятие фиктивных контурных токов: I11 , I 22 , I33 и выбераем произвольно направление каждого из них. Значения контурных токов должны быть равны по абсолютной величине значениям токов в несмежных ветвях, т.е. I11 = I3 I22 = I2 I33 = I6 Тогда токи во всех ветвях схемы определяются из выражений(1) I1 = I11 - I22 I4 = I22 - I33 I2 = I22 I5 = I11 - I33 I3 = I11 I6 = I33 Таким образом, при использовании методом контурных токов уравнения, составвленные по первому закону Кирхгофа, обращаются в тождества, т.е. этот закон удовлетворяет при любых значениях контурных токов. Значит для решения задачи этим методом достаточно уравнений, составленых по 2-му закону Кирхгофа. 2. Составляем уравнение по 2-му закону Кирхгофа для контурных токов. Для этого подставим в первое из уравнений значения токов в ветвях вриведенное в уравнениях (3) Подсавив числовые данные ЭДС и сопротивлений полусим: I3× R 3 + I1× R 1 + I5× R 5 = E 3 + E 1 ® I 11× ( 3 + 0) + I11 - I22 × ( 4 + 0) + I11 - I33 × 2 = 25 + 36 ( ) ( ) ( ( ) ) I2× R 2 - I1× R 1 + I4× R 4 = E 2 - E 1 ® I 22× 8 - I11 - I 22 × 4 + I22 - I33 × 1 = 10 - 36 ( ) ( ) I6× R 6 - I4× R 4 - I5× R 5 = 0 ® I 33× 7 - I22 - I 33 × 1 - I11 - I33 × 2 = 0 Получим систему уравнений ......... ® 9× I11 - 4× I22 - 2× I33 = 61 ......... ® 13× I22 - 4× I11 - I33 = -26 ......... ® 10× I33 - I 22 - 2× I 11 = 9 -4 -2 Δ= -4 -2 13 -1 -1 10 0 = 9× ( 13× 10 - -1× -1) - -4× ( -4× 10 - -2× -1) + -2× ( -4× -1 - -2× 13) = 933 Так как Δ не равен 0, то система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители ΔI 11 = ΔI 22 61 -26 0 -4 -2 13 -1 = 61× ( 13× 10 - -1× -1) - -4× ( -26× 10 - 0× -1) + -2× ( -26× -1 - 0× 13) = 6.777 ´ 103 -1 10 9 61 -2 -4 -26 -1 = 9× ( -26× 10 - 0× -1) - 61× ( -4× 10 - -2× -1) + -2× ( -4× 0 - -2× -26) = 326 -2 0 10 = 9 -4 -2 ΔI 33 = -4 61 3 13 -26 = 9× ( 13× 0 - -1× -26) - -4× ( -4× 0 - -2× -26) + 61× ( -4× -1 - -2× 13) = 1.388 ´ 10 -1 0 Воспользовавшись формулами Крамера, получим I11 = ΔI 11 Δ = 6777 = 7.26 933 I22 = I33 = ΔI 22 Δ ΔI 33 Δ = 326 = 0.349 933 = 1388 = 1.49 933 Значения токов в ветвях определяется из выражения I1 = I11 - I22 I2 = I22 I3 = I11 I4 = I22 - I33 I5 = I11 - I33 I6 = I33 I1 = 6.914 А I2 = 0.349 А I3 = 7.264 А I4 = -1.138 А I5 = 5.776 А I6 = 1.488 А Метод узловых потенциалов Преобразуем сопротивления R4 , R5 , R6 из схемы "треугольник" в схему "звезда" R 5× R 6 2× 7 R 56 = = = 1.4 Ом R4 + R5 + R6 1+2+7 R 46 = R 45 = R 4× R 6 R4 + R5 + R6 R 4× R 5 R4 + R5 + R6 = 1× 7 = 0.7 1+2+7 Ом = 1× 2 = 0.2 1+2+7 Ом поводимости ветвей 1 1 g1 = = = 0.238 R 1 + R 01 + R 45 4 + 0 + 0.2 1 1 1 1 Сим g2 = = = 0.115 R 2 + R 02 + R 46 8 + 0 + 0.7 Сим g3 = = = 0.227 R 3 + R 03 + R 56 3 + 0 + 1.4 Напряжение Ток E 1× g1 + E 2× g2 + -E 3× g3 Uab = g1 + g2 + g3 Сим = 36× 0.238 + 10× 0.115 + ( -25) × 0.227 = 6.9707 0.238 + 0.115 + 0.227 I'1 = E 1 - Uab × g1 = ( 36 - 6.9707) × 0.238 = 6.909 ( ) A I'2 = E 2 - Uab × g2 = ( 10 - 6.9707) × 0.115 = 0.34837 A I'3 = E 3 + Uab × g3 = ( 25 + 6.9707) × 0.227 = 7.2573 A ( ) ( ) Проверим правильность решения по 1 закону Кирхгофа -I'1 - I'2 + I'3 = -6.909 - 0.34837 + 7.2573 = -0 Расчет верен Баланс моностей 2 ΣE × I = ΣI × R Мощность, генерируемая источниками, Вт ΣEI = I1× E 1 + I 2× E 2 + I3× E 3 ΣEI = 6.91× 36 + 0.349× 10 + 7.26× 25 = 433.75 Суммарная мощность приемников ,Вт ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ΣP пр = I 1 × R 1 + R 01 + I2 × R 2 + R 02 + I3 × R 3 + R 03 + I4 × R 4 + I5 × R 5 + I6 × R 6 2 2 2 2 2 2 ΣP пр = 6.91 × ( 4 + 0) + 0.349 × ( 8 + 0) + 7.26 × ( 3 + 0) + ( -1.14) × 1 + 5.78 × 2 + 1.49 × 7 ΣP пр = 433.747 Построим потенциальную диаграмму. B Построим потенциальную диаграмму. Примем потенциал точки 4 равным 0 φ4 = 0 В φ3 = I2× R 2 + R 02 - E 2 = 0.349× ( 8 + 0) - 10 = -7.208 ( ) φ1 = φ3 + I 6× R 6 = -7.208 + 1.49× 7 = 3.22 В В φ4 = φ1 + I 3× R 3 + R 03 - E 3 = 3.22 + 7.26× ( 3 + 0) - 25 = 0 ( ) В Потенциальная диаграмма 5 φ,B φ1 φ4 0 5 10 -5 φ3 - 10 ΣR , Ом φ4 15 20
