ЛЕКЦИЯ 3 МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ НА ПРИМЕРАХ ЦЕПЕЙ

ЛЕКЦИЯ 3
МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ НА
ПРИМЕРАХ ЦЕПЕЙ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Метод расчета цепей с
использованием законов
Кирхгофа
Решение системы уравнений,
составленных по законам Кирхгофа,
позволяет определить все токи и
напряжения в рассматриваемой цепи
Пример расчета цепи
R1
1к
R3
E1
a
I1
R4
R2
d
I3
I4
E2
R5
b
I5
3к

UJ
I2
2к
J
c
ЗАДАНО: ВСЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ, Э.Д.С. И
ИСТОЧНИК ТОКА
ТРЕБУЕТСЯ: ОПРЕДЕЛИТЬ ТОКИ ВО ВСЕХ ВЕТВЯХ (6
шт.) И ПАДЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ НА ЭЛЕМЕНТАХ
ПОРЯДОК РАСЧЕТА
* РАССТАВЛЯЕМ НАПРАВЛЕНИЯ ТОКОВ В ВЕТВЯХ
* ОПРЕДЕЛЯЕМ КОЛИЧЕСТВО УЗЛОВ (nУ
= 4).
Из них количество независимых узлов n= nу-1
* ОПРЕДЕЛЯЕМ КОЛИЧЕСТВО ВЕТВЕЙ (nB
= 6)
* ОПРЕДЕЛЯЕМ КОЛИЧЕСТВО независимых
КОНТУРОВ (К З = nB –
nУ + 1= 3)
* СОСТАВЛЯЕМ УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА ТОКОВ
ДЛЯ ЗНАЧИМЫХ УЗЛОВ ПО ПЕРВОМУ ЗАКОНУ
КИРХРОФА
a:
I1  I 4  J  0
b :  I3  I4  I5  0
c:
I2  I5  J  0
* СОСТАВЛЯЕМ УРАВНЕНИЯ ПО ВТОРОМУ
ЗАКОНУ КИРХГОФА ДЛЯ ЗНАЧИМЫХ КОНТУРОВ
R1I1  R 3I 3  R 4I 4  E1
2к :  R 2I 2  R 3I 3  R 5I 5   E 2
1к :
3к :  R 4I 4  R 5I 5  U J
Уравнения в матричной форме:
a
b
c
1к
2к
3к
I1 I 2 I 3 I 4 I 5
0
0 1
0
1
0
0 1
1
1

1
0 0 1
0
R 0 R R 0
3
4
 1
0  R 2  R 3 0  R 5

0
0  R4 R5
0
UJ
0   I1   J 





I
0
0
2
   

0  I 3    J 
   


0  I 4 
E
 1
0  I 5    E 2 
   

 1  U J   0 
Или: А·Х = В, тогда Х =А-1·В
0
0 1
0
1
0
0 1
1
1

0
1
0
0 1
А= 
R3 R4 0
 R1 0
0  R2  R3 0  R5

0
0  R4 R5
0
0
 I1 

I 
0
 2 
 I3 
0
 Х=   В=
0 
I4 
I 
0 
5



U J 
 1
 J
 0


 J 


 E1 
  E2 


 0 
ТЕОРЕМА ТЕЛЛЕДЖЕНА
Для любого момента времени
сумма вырабатываемых
мощностей источников равна
сумме потребляемых
мощностей во всех
пассивных элементах
рассматриваемой цепи
Математическая запись закона
  ek i k    U J q J q   u n i n
ИЛИ
PВ  PП
Пояснение
Эта теорема является законом
сохранения энергии в
электрической цепи и
применяется как баланс
мощностей для проверки
правильности расчетов
Потенциальная диаграмма
Потенциальная диаграмма это графическое изображение
второго закона Кирхгофа,
которая применяется для
проверки правильности
расчетов в линейных
резистивных цепях
Потенциальная диаграмма
строится для контура без
источников тока, причем
потенциалы точек начала и
конца диаграммы должны
получиться одинаковыми
Схема контура
E1
к
R2
в
I1
c
I2
E2
R1
а
R3
I3
d
Потенциалы точек контура:
a  0
к  а  I1R 1
в  к  Е1
c  в  I 2 R 2
d  c  E 2
a  d  I 3 R 3  0
Потенциальная диаграмма
B 
в
в
с
c
R2
R1
R3
a
a
к
d
к
d
R
Ом
Расчет цепей методом
контурных токов
В расчет вводятся контурные
токи – это фиктивные
токи, которые замыкаются
в независимых замкнутых
контурах,
отличающихся друг от друга
наличием хотя бы одной
новой ветви
Например
Например
:
I 22
R1
I1
Е1
a
I 44
I3
I11
R2
в
R3
Е2
I2
с
I 33
I11 , I 22 , I 33 , I 44 
контурные
токи
I1  I11  I 22
I 2   I11  I 44 
I 3  I 33  I11
токи ветвей
контура
По второму закону Кирхгофа:
R1I1  R3 I3  R2 I 2  E1  E2
или
R1 ( I11  I 22 )  R3 ( I33  I11 ) 
 R2 ( I11  I 44 )  E1  E2
Тогда
( R1  R2  R3 ) I11  R1I 22 
 R3 I33  R2 I 44  E1  E2
В общем виде
Rкк I кк   Rкm I mm  Eкк
Rкк 
суммарное
к-контура
I кк 
контурный ток к-контура
сопротивление
Rкm 
общее
сопротивление
между
к-контуром
и
m -контуром
I mm 
соседний контурный ток
m-контура
Eкк 
суммарная ЭДС к-контура
Контурный ток
рассматриваемого
контура умножается на сумму
сопротивлений своего контура,
причем перед этим
произведением
ставится знак “+”
Соседний контурный ток
умножается на общее сопротивление
между соседним и рассматриваемым
контурными токами, причем
перед этим произведением ставится
знак “+” если направления
этих контурных токов в общем
сопротивлении совпадают между
собой и ставится знак “-”
если направления их не совпадают
В правой части уравнения
записывается алгебраическая
сумма ЭДС рассматриваемого
контура, причем со знаком “+”
берутся те ЭДС, направления
которых совпадают с
направлением
рассматриваемого контурного
тока
Для контура с источником тока
контурное уравнение не
составляется,
так как контурный ток этого
контура
известен и равен току источника
тока, причем через источник тока
должен проходить только
один контурный ток
Пример 1
R1
E1
I11
E2
I1
I2
R5
I 33
I5
R3
UJ
+
J
I3
I 22
R4
I4
Контурные уравнения
I33  J
( R1  R3 ) I11  R3 I 22  0  I33  E1  E2
 R3 I11  ( R5  R3  R4 ) I 22  R5 I33  E2
( R1  R3 )
( R3 )
( R3 ) ( R5  R3  R4 )

I11
I 22

E1  E2
E2  R5 J
матрица симметрична
относительно главной диагонали
I1  I11
I 2  I 22  I 33  I11
I3  I 22  I11
I 4   I 22
I 5  I 22  I 33
по 2 закону Кирхгофа
U J  R4 I 4  R3 I 3