Экзамен по курсу “ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ”.
Осенний семестр 2020/2021 учебного года. Лектор проф. К.Л.Козлов
Экзамен будет проведен в письменном виде. В билете (образец ниже) будут
2 темы. Каждая состоит из Задачи (А), Задачи (Б) и теоретического вопроса
(В).
Предполагаемые оценки (при правильном решении задачи или полном ответе
на теоретический вопрос):
(А)+(А) (решены обе задачи (А); (Б) и (В) не требуются) — отлично;
(А)+(Б) (решены задача (А) и задача (Б) из другой темы; (Б) и (В) не требуются) — хорошо или отлично;
(А)+(В) (решена задача (А) и написан вопрос (В) из другой темы; (Б) и (В)
не требуются) — хорошо;
(Б)+(Б) (решены обе задачи (Б); (В) не требуются) — хорошо;
(Б)+(В) (решена задача (Б) и написан вопрос (В) из другой темы; (В) не
требуется) — удовлетворительно или хорошо;
(В)+(В) (написаны оба вопроса (В)) — удовлетворительно.
Теоретические вопросы из программы курса. Задачи из списков заданий (без дополнительных задач в заданиях).
ПРОГРАММА КУРСА “ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ”.
1. Упорядочение, линейное упорядочение, вполне упорядочение.
2. Равномощность множеств. Мощность множества. Кардинальные числа. Теорема Кантора–Бернштейна. Ординалы. Трансфинитная индукция.
3. Аксиома выбора. Лемма Куратовского–Цорна. Теорема Цермело. Вполне
упорядоченность кардиналов. Множество счетных трансфинитов. Гипотеза континуума.
4. Топологические пространства. Сравнение топологий. Подпространство. База
топологии. Предбаза топологии. Примеры топологий на прямой.
5. Топология линейного порядка.
6. Метрические пространства. Нормированные пространства. Топология метрического пространства.
7. Замыкание, внутренность и граница подмножества. Точки прикосновения,
внутренние, граничные и предельные точки подмножества.
8. Непрерывные отображения топологических пространств. Критерий непрерывности отображений. Правила построения непрерывных отображений. Непрерывные отображения метрических пространств.
9. Гомеоморфизм. Примеры гомеоморфных пространств.
10. Слабая (инициальная) топология относительно семейства отображений.
Критерий инициальности топологии.
1
11. Декартово произведение семейства множеств. Тихоновская топология произведения. Произведение отображений, его непрерывность. Диагональное произведение отображений, его непрерывность.
12. Канторово совершенное множество.
13. Финальная топология относительно семейства отображений. Критерий финальности топологии.
14. Сумма пространств и суммы отображений. Их непрерывность.
15. Факторпространства и факторные отображения. Примеры.
16. Аксиомы счетности. Сепарабельность. Сохранение аксиом счетности и сепарабельности произведениями. Равносильность сепарабельности выполнению второй аксиомы счетности для метризуемых пространств.
17. Аксиомы отделимости. Хаусдорфовость, регулярность, нормальность. Сохранение аксиом отделимости произведениями.
18. Лемма Урысона.
19. Теорема Брауэра–Титце–Урысона о продолжении функций.
20. Пример регулярного не нормального пространства.
21. Кривая Пеано.
22. Тихоновские пространства. Вложение тихоновского пространства в тихоновский куб.
23. Метризуемые пространства. Нормальность метризуемого пространства. Метризуемость суммы и счетного произведения метризуемых пространств.
24. Метризационная теорема Урысона.
25. Топологические свойства, определяемые покрытиями. Компактные, финально компактные и паракомпактные пространства. Нормальность хаусдорфова
паракомпактного пространства. Паракомпактность линделефова пространства.
26. Лемма об ужатии. Разбиение единицы.
27. Компактные пространства. Непрерывная биекция компактного пространства на хаусдорфово пространство — гомеоморфизм.
28. Лемма Александера. Первая Теорема Тихонова о компактности произведения компактных пространств. Критерий компактности подмножеств Rn .
29. Компактификация пространства. Стоун-Чеховская компактификация.
30. Локальная компактность. Критерий локальной компактности хаусдорфова
пространства. Одноточечная компактификация Александрова.
31. Метризуемые компактные пространства. Условия компактности метризуемых пространств (секвенциальная компактность, псевдокомпактность).
32. Полные метрические пространства. Примеры. Теорема Бэра о категории.
33. Вполне ограниченные метрические пространства. Примеры. Критерий компактности метризуемого пространства в терминах метрик.
2
34. Равномерная непрерывность отображений на метризуемых компактных пространствах.
35. Равномерная метрика на произведении, ее полнота. Топология равномерной
сходимости. Подмножества ограниченных и непрерывных отображений.
36. Пополнение метрического пространства.
37. Теорема Стоуна–Вейерштрасса.
38. Компактно-открытая топология на C(X, Y ). Ее связь с топологиями поточечной сходимости и равномерной сходимости.
39. Связь отображений X × Y → Z и X → C(Y, Z).
40. Связность. Свойства связности.
41. Компонента связности. Квазикомпонента. Их совпадение в хаусдорфовых
компактных пространствах.
42. Вполне несвязные пространства. Нульмерность. Совпадение свойств вполне
несвязности и нульмерности хаусдорфовых компактных пространств.
43. Линейная связность. Свойства линейной связности. Пример связного не
линейно связного пространства. Путь. Умножение путей. Петля.
44. Гомотопия непрерывного отображения. Гомотопические классы отображений. Связанные гомотопии.
45. Гомотопическая эквивалентность топологических пространств. Гомотопические типы пространств. Стягиваемые пространства.
46. Гомотопность путей. Фундаментальная группа.
47. Изоморфизм, порождаемый путем. Зависимость фундаментальной группы
от отмеченной точки. Односвязность.
48. Индуцированный гомоморфизм. Фундаментальная группа — гомотопический инвариант.
49. Накрытия. Поднятие отображения. Теорема о накрывающем пути. Теорема
о накрывающей гомотопии. Отображение поднятия.
50. Фундаментальная группа окружности. Ретракция замкнутого диска на граничную окружность. Теорема Брауэра о неподвижной точке.
Досрочный экзамен. Оценка отлично за правильное решение 2 задач из
каждого задания (всего 8 задач). Решения присылаются в письменном виде на
адрес edstpg@yandex.ru (с указанием Ф.И.О., номера группы; файл .pdf )
Задачи I.
1. Существует ли на прямой счетное число попарно дизъюнктных множеств,
имеющих одну и ту же границу?
2. Две кривые f (x, y) = 0 и g(x, y) = 0 2-ого порядка на плоскости назовем hэквивалентными, если существует гомеоморфизм плоскости, отображающий множество {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = 0} на множество {(x, y) ∈ R2 : g(x, y) = 0}.
3
Докажите, что h-эквивалентность — отношение эквивалентности, найдите его
классы эквивалентности.
3. Выясните какие из пространств попарно гомеоморфны:
• счетная степень рациональных чисел QN ;
• счетная степень иррациональных чисел PN ;
• пространство Бэра X N , где X — счетное множество (Задача 20 Задания 2);
• счетная степень счетного дискретного пространства DN .
4. Докажите, что любое непустое открыто–замкнутое подмножество канторова
множества гомеоморфно канторову множеству.
5. Докажите, что факторпространство X/R пространства X, удовлетворяющего второй аксиоме счетности, удовлетворяет второй аксиоме счетности в том и
только том случае, если оно удовлетворяет первой аксиоме счетности.
Задачи II.
1. Докажите что любой метризуемый компакт является непрерывным образом
канторова совершенного множества C.
Какова мощность метризуемого компакта без изолированных точек?
Будет ли компакт ”две стрелки Александрова” непрерывным образом C?
2. Можно ли задать кривую Пеано (непрерывное сюръективное отображение
ϕ : I → I 2 , ϕ(t) = (x(t), y(t))) гладким отображением (функции x(t) и y(t) непрерывно дифференцируемы)?
3. n-Мерным топологическим многообразием называется хаусдорфово пространство X со счетной базой, для любой точки x которого существует окрестность,
гомеоморфная открытому подмножеству евклидова пространства Rn .
Докажите, что n-мерное компактное топологическое многообразие X вкладывается в евклидово пространство Rm для некоторого m ∈ N.
4. Пусть T1 = T (ω1 )∪{ω1 } — компактификация пространства счетных трансфинитов. T0 = { n1 : n ∈ N}∪{0} ⊂ R — сходящаяся последовательность. Пространство
ΠT ych = T1 × T0 \ {(ω1 , ω0 )} называется плоскостью Тихонова.
Докажите, что плоскость Тихонова ΠT ych — хаусдорфово не нормальное, локально компактное пространство, которое псевдокомпактно, но не компактно. Докажите, что β(ΠT ych ) = α(ΠT ych ) (Стоун-Чеховская компактификация совпадает с
одноточечной компактификацией Александрова).
5. Докажите, что нарост N∗ = βN \ N Стоун-Чеховской компактификации натуральных чисел (счетного дискретного пространства) является компактным не
секвенциально компактным пространством.
Задачи III.
1. Докажите компактность метризуемого пространства X, если любая метрика
на X полна.
4
2. Докажите, что паракомпактное псевдокомпактное пространство компактно.
Докажите, что паракомпактное секвенциально компактное пространство компактно.
3. Какая мощность полного метрического пространства?
4. Докажите, что нульмерный метризуемый компакт без изолированных точек
гомеоморфен канторову множеству.
5. Докажите, что компактное связное и локально связное топологическое пространство является непрерывным образом отрезка.
Задачи IV.
1. Докажите, что верхняя полуплоскость {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0} не гомеоморфна
2
R.
2. Пусть A — матрица 3 × 3, все элементы которой положительны. Тогда у A
существует положительное собственное значение.
3. Докажите, что не существует ретракции ленты Мебиуса на ее граничную
окружность.
4. Пусть K компакт на плоскости R2 такой, что R2 \ K связно. Докажите, что
K связно в том и только том случае, если граница K связна.
5. Существует ли на плоскости R2 односвязное подмножество, дополнение до
которого несвязно?
Образец билета.
Экзаменационный билет N 1
1. А. Найдите мощность евклидовой топологии прямой R.
Б. Докажите, что любое открытое подмножество прямой является не более чем
счетным объединением попарно дизъюнктных интервалов.
В. Упорядочение, линейное упорядочение, вполне упорядочение. Аксиома выбора. Лемма Куратовского–Цорна. Теорема Цермело.
2. А. Вычислите фундаментальную группу проективного пространства RP n ,
n ≥ 2.
Б. Пусть p : X → B — накрытие, и p(x0 ) = b0 . Докажите, что если X односвязно, то соответствие поднятия p? биективно.
В. Теорема о накрывающей гомотопии.
5
