Введение Актуальность темы “Производная в школьном курсе математики” следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций. Тема “Производная в школьном курсе математики” является одним из основных разделов начал математического анализа. В связи с недостаточной разработкой данной темы в методическом плане эта тема интересует многих методистов в настоящее время. Кроме того, материал по выбранной теме интересен с точки зрения истории. Данной темой и ее разработкой занимались такие великие ученые, как Лейбниц и Ньютон основоположники дифференциального исчисления. В связи с перечисленными выше фактами эта тема интересна и мне. Цель работы: изучить научно-методическую литературу и адаптировать наиболее интересный материал к процессу обучения учащихся. Объектом исследования явилась производная в школьном курсе математики. Предметом исследования является методика обучения учащихся по выбранной теме исследования. Объект исследования и цель исследования обусловили выбор следующих частных задач исследования: провести реферативно-исследовательский анализ теоретических основ изучения производной в школьном курсе математики; разработать факультативный курс по теме исследования курсовой работы; составить систему упражнений, обеспечивающих прочное усвоение учащимися основным приемам решения задач. Структура курсовой работы следующая: она состоит из одной главы, которая содержит три пункта. Первый пункт содержит пояснительную записку, где обосновываются цели и задачи факультативного курса. Далее приведено тематическое планирование. В третьем пункте содержатся разработки занятий факультативного курса. Весьма существенное место на занятиях по математике должно занимать решение задач, для наиболее полного Предполагается, что изучение любой усвоения темы учебного сопровождается материала. решением значительного их числа. Большое количество однотипных упражнений по всем узловым темам позволяет выработать у учащихся необходимые практические навыки. Поэтому в данной работе разработана система задач, для наиболее полного усвоения учебного материала. Глава 1. Разработка факультативного курса по теме “Производная в школьном курсе математики ” .1 Пояснительная записка Данный факультативный курс разработан по теме: “Производная в школьном курсе математики”. Он представляет собой систему занятий, предназначенных для работы с учащимися старших классов общеобразовательных учреждений, а также может быть использован для изучения студентами обучающихся на математических факультетах педагогических университетов и просто людей, увлекающихся математикой. Факультативный курс призван помочь всем желающим пополнить и углубить свои знания в области математического анализа. Данный факультативный курс состоит из 10 занятий. После изучения данного курса учащиеся должны научиться находить производные функций, решать задачи на экстремум с помощью производной, находить уравнение касательной, исследовать функции. Для того чтобы математические понятия, теоремы, законы, правила стали бы предметом учебной деятельности учащихся, необходимо представить их в виде задач, которые бы направляли и систематизировали их активность. 1.2 № п.п. 1 2 Тематическое планирование Тема Формы контроля визуальный визуальный 3 Понятие производной Производные основных элементарных функций. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции 4 5 6 Касательная к графику функции Приближенные вычисления с помощью производной Признак возрастания и убывания функций 7 Критические точки функции, минимумы и максимумы 8 Применение производной к исследованию функций самостоятельная работа визуальный визуальный самостоятельная работа самостоятельная работа самостоятельная Количество часов 1 1 1 1 1 1 1 1 9 Наибольшее и наименьшее значения функции 10 Текстовые задачи на экстремум, решаемые с помощью производной Итого работа самостоятельная работа визуальный 1 1 10 1.3 Материал к занятиям Урок 1. Тема: Понятие производной. Цели: образовательная: рассмотреть понятие производной функции; развивающая: расширить кругозор учащихся; воспитательная: формирование математической грамотности. Тип занятия: изучение нового материала. Вид занятия: практикум. Материал к занятию. Пусть мы имеем функцию y f (x) , определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента x из этого промежутка функция y f (x) имеет определенное значение. Пусть аргумент x получил некоторое приращение x . Тогда функция получит некоторое приращение y . Таким образом: при значении аргумента x будем иметь y f (x) ; при значении аргумента x x будем иметь y y f ( x x) . Найдем приращение функции y : y f ( x x) f ( x) . Составим отношение приращения функции к приращению аргумента: y f ( x x) f ( x) x x . Найдем предел этого отношения при x 0 . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f (x) и обозначают f ' ( x ) . Таким образом, по определению, f ' ( x) lim x 0 y x или f ' ( x) lim x 0 f ( x x) f ( x) x 2 Задача 1. Дана функция y x найти ее производную y ' . Решение. При значении аргумента, равном x , имеем y x . При значении 2 аргумента, равном x x , имеем y y ( x x) . Находим приращение функции: 2 y ( x x) 2 x 2 2 xx (x) 2 . y Составляем отношение x : y 2 xx (x) 2 2 x x x x . Переходя к пределу, найдем производную от данной функции: y lim (2 x x) 2 x x 0 x x 0 . y ' lim 2 Итак, производная от функции y x в произвольной точке равна y' 2 x . y 1 x , найти ее производную y ' . Задача 2. Дана функция Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем примере, получаем: 1 1 y y x x , x, 1 1 x x x x y x x x x( x x) x( x x) , y y 1 x x( x x) , y 1 1 y' lim lim 2 x( x x) x . x 0 x x 0 Задача 3. Дана функция y cos x , найти ее производную y ' . Решение. Дадим аргументу x приращение x , тогда y y cos( x x) , y cos( x x) cos x 2 sin x x x x x x x x sin 2 sin sin x 2 2 2 2 , x y 2 sin x x x x 2 2 , x sin y x 2 sin x x y ' lim lim sin x lim x 2 2 x 0 x x 0 x 0 2 , sin Учитывая, что sin x есть непрерывная функция, окончательно получим: y ' sin x . Задача 4. Дана функция y sin x . Найти ее производную y ' . Решение. Дадим аргументу x приращение x , тогда y y sin( x x) , y sin( x x) sin x 2 sin x x x x x x x x cos 2 sin cos x 2 2 2 2 x 2 cjs x x x 2 2 x sin y x 2 y ' lim lim cos x lim x x0 2 x 0 x x 0 2 y x sin Но так как x 2 1 x 2 , sin lim x 0 то y ' lim cos( x x) cos x x 0 . Урок 2. Тема: Производные основных элементарных функций. Основные правила дифференцирования. Цели: образовательная: рассмотреть таблицу производных основных элементарных функций и правила дифференцирования; развивающая: углубить знания по теме; воспитательная: формирование математически грамотной речи. Тип занятия: комбинированный. Вид занятия: практикум. Материал к занятию. Укажем, вначале, производные основных элементарных функций: n . Производная функции y x , где n - любое действительное число n 1 равна y' nx ; x x . Функция y a имеет производную y' a ln a , причем, если дана x x функция y e , то ее производная равна y' e ; 1 y' y log x a x ln a , . Производная логарифмической функции равна 1 y' x; причем, производная функции y ln x равна . Производные тригонометрических функций y sin x и y cos x равны соответственно y ' cos x и y ' sin x ; . Производные тригонометрических функций y tgx и y ctgx равны y' 1 1 y' 2 cos x и sin 2 x . соответственно Доказательство первой формулы выходит за рамки школьного курса математики. Следующие две формулы доказываются по правилу дифференцирования сложной функции. Производные синуса и косинуса были найдены нами ранее. Последние две формулы докажем ниже, после того как рассмотрим правила дифференцирования. Основные правила дифференцирования: 1) ) производная постоянной равна нулю, т.е. (C )' 0, где C const ; константу можно выносить за знак производной, т.е. (Cf ( x))' Cf ' ( x), C const ; 3) производная суммы равна сумме производных, т.е. ( f ( x) g ( x))' f ' ( x) g ' ( x) ; f ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) , g ( x) 0 2 g ( x ) g ( x ) производная частного: . ) Доказательство этих свойств приводить не будем, отметим лишь, что все они доказываются на основании определения производной функции. Задача 1. Найти производную функции y x cos x ln x Решение. На основании таблицы производных, а также правил 3 y ' ( x 3 )'(cos x)'(ln x)' 3x 2 sin x дифференцирования находим, что Задача 2. Найти производную функции y tgx . Решение. Как известно частного, получим: tgx sin x cos x . Тогда по правилу дифференцирования 2 2 1 sin x (sin x)' cos x (cos x)' sin x cos x sin x y' 2 2 cos x cos x cos 2 x . cos x ' Задача 3. Вычислите значение производной функции f ( x) x 2 3x e x 1 x. 3 x 2 x при x 0 . Решение. Найдем производную данной функции: f ' ( x) 2 x 3 e x 5 (2 x) 2 Теперь найдем значение производной при x 0 . f ' (0) 2 0 3 e 0 5 13 2 4 (2 0) x Задача 4. Решите неравенство f ' ( x) 0 , если f ( x) 2 (8 ln 2) x . Решение. Найдем производную данной функции: f ' ( x) 2 x ln 2 8 ln 2 Теперь решаем неравенство: 2 x ln 2 8 ln 2 0 , 2x 8 x 3 . Ответ: 3; . Урок 3. Тема: Производная сложной функции. Цели: образовательная: рассмотреть правило нахождения производной сложной функции; развивающая: расширить кругозор учащихся; воспитательная: воспитание внимания и умения анализировать полученное решение, участвовать в диалоге с товарищами, учителем. Тип занятия: комбинированный. Вид занятия: практикум. Материал к занятию. На предыдущих занятиях мы рассмотрели производные рациональных функций, в частности многочленов. Однако задача вычисления производной функции f ( x) (2 x 3) , хотя и сводится к нахождению производной многочлена, требуется очень большого объема работы: надо представить (2 x 3)100 в виде многочлена и продифференцировать 101 слагаемое полученной суммы. Можно заметно упростить решение этой и других задач, доказав правило вычисления производной сложной функции. Если функция f имеет производную в точке x 0 , а функция g имеет 100 производную в точке y0 f ( x0 ) , то сложная функция h( x) g ( f ( x)) также имеет производную в точке x 0 , причем h' ( x0 ) g ' ( f ( x0 )) f ' ( x0 ) . h Для доказательства формулы надо при x 0 рассмотреть дробь x и h g ' ( y 0 ) f ' ( x0 ) установить, что x при x 0 . Введем обозначения: y f ( x0 x) f ( x0 ) f Тогда h h( x0 x) h( x0 ) g ( f ( x0 x)) g ( f ( x0 )) g ( y0 y) g ( y0 ) g . y 0 при x 0 , т. к. f дифференцируема в точке x 0 . Далее доказательство проведем только для таких функций f , у которых f 0 в некоторой окрестности точки x 0 . Тогда h h y g f f g ' ( y 0 ) f ' ( x0 ) f ' ( x0 ) x y x y y при x 0 , т. к. x при g g ' ( y0 ) x 0 , а y при y 0 , что выполнено при x 0 . Задача 1. Найти производную функции f ( x) cos x . Решение. По правилу дифференцирования сложной функции получаем: f ' ( x) (cos x)' 2 cos x sin x 2 cos x . Задача 2. Найти производную показательной функции y a . Решение. Представим показательную функцию в следующем виде: x y e x ln a . x x x Докажем вначале, что (e )' e . Найдем приращение функции y e : y e x x e x e x (e x 1) . Теперь найдем производную этой функции, пользуясь определением: y e x (e x 1) lim ex x 0 x x 0 x y' lim Теперь по правилу дифференцирования сложной функции имеем: y' (e x ln a )' e x ln a ln a a x ln a . Задача 3. Найти производную логарифмической функции y log a x . ln' x 1 x . По основному Решение. Покажем вначале, что ln x логарифмическому тождеству x e , т.е. в этом равенстве справа и слева стоит ln x одна и та же функция. Поэтому производные x и e равны, т.е. x' (e ln x )' Известно, что x' 1 . Производную правой части вычисляем по правилу ln x ln x дифференцирования сложной функции: (e )' e ln' x x ln' x . Подставляя ln' x 1 x. найденные производные в равенство x' (e )' , получим Теперь используя формулу перехода к другому основанию, получим: ln x log a x ln x ln a . Теперь найдем производную этой функции: ' 1 ln x x ln a . ln a 8 1 y x 7 (1 2 x) 4 4 Задача 4. Найти производную функции . Решение. По правилу дифференцирования сложной функции получаем: 7 ' 7 1 1 1 y ' 8 x 7 x 7 4(1 2 x) 3 (1 2 x)' 2 x 7 8(1 2 x) 3 4 4 4 Задания для самостоятельной работы: найти производные функций: а) y cos( x ) 2 ; б) y 2 sin cos x 2x 1 y tg x 2 ; г) y ln sin( 2 x 3) ; д) ; в) y cos 3 (2 x sin 2 4 x) ; Урок 4. Тема: Касательная к графику функции. Цели: образовательная: рассмотреть понятие касательной и ее уравнение; развивающая: углубить знания по теме; воспитательная: формирование умения анализировать. Тип занятия: комбинированный. Вид занятия: практикум. Материал к занятию. Пусть мы имеем кривую и на ней фиксированную точку M 0 . Возьмем на кривой точку M 1 и проведем секущую M 0 M 1 (рис. 1). Если точка M 1 неограниченно приближается по кривой к точке M 0 , то секущая M 0 M 1 занимает различные положения M 0 M 1 ' , M 0 M 1 " и т.д. Рис. 1 Если при неограниченном приближении точки M 1 по кривой к точке M 0 с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой M 0T , то прямая M 0T называется касательной к кривой в точке M 0 . Кроме того, нетрудно установить, что значение производной f ' ( x) , где f (x ) - функция, задающая данную кривую, при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f (x) в соответствующей точке M 0 ( x, y) . В этом заключается геометрический смысл производной. Выведем теперь уравнение касательной к графику функции f в точке A( x0 , f ( x0 )) . Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: y f ' ( x0 ) x b . Для вычисления b воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A : f ( x0 ) f ' ( x0 ) x0 b , откуда b f ( x0 ) f ' ( x0 ) x0 , значит, уравнение касательной имеет вид: y f ' ( x0 ) x f ( x0 ) f ' ( x0 ) x0 или y f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) . 2 Задача 1. Найти тангенсы углов наклона касательной к кривой y x в 1 M1 ; 2 точках 1 ; M 2 (1; 1) 4 Решение. Используя геометрический смысл производной, получим: tg1 y' x 1 1 M 2 1 для точки : ; для точки M 2 : tg 2 y' x1 2 . Задача 2. Найти уравнение касательной к касательной к графику функции f ( x) x 3 2 x 2 1 в точке с абсциссой 2. x0 2, f ( x0 ) f (2) 2 3 2 2 2 1 1, f ' ( x) 3x 2 4 x, f ' (2) 4 Решение. Здесь Подставляя эти числа в уравнение касательной, получим: y 1 4( x 2) . т.е. y 4x 7 . 2 Задача 3. вывести уравнение касательной к параболе y x в точке с абсциссой x 0 . 2 Решение. Имеем y ( x0 ) x0 , а y' ( x0 ) 2 x0 . Подставляя эти значения в уравнение касательной, получаем y x0 2 x0 ( x x0 ) , т.е. y 2 x0 x x0 . Например, при x0 1 получаем касательную, имеющую уравнение y 2 x 1 . Найдем координаты точки T пересечения касательной к параболе в точке 2 A( x0 , x02 ) 2 осью абсцисс. Если ( x1 ;0) - координаты точки T , то, поскольку T 0 2 x0 x1 x02 x x1 0 x 0 2 . . Если 0 , то принадлежит касательной, имеем Полученный результат дает простой способ построения касательной к параболе к любой ее точке A (кроме вершины): достаточно соединить точку A с точкой T , делящий отрезок оси Ox с концами 0 и x 0 пополам; прямая A T искомая касательная. При x0 0 касательная - ось абсцисс. Урок 5. Тема: Приближенные вычисления с помощью производной. Цели: образовательная: рассмотреть приближенные вычисления с помощью производной; развивающая: развитие алгоритмического мышления; воспитательная: воспитание умения анализировать полученное решение. Тип занятия: комбинированный. Вид занятия: практикум. Материал к занятию. Пусть, например, требуется вычислить приближенное значение функции f ( x) x 7 2 x 6 3 x 2 x 3 в точке x 2,02 . Значение f в близкой к 2,02 точке x0 2 находится легко: f (2) 13 . График f в окрестности точки 2 близок к прямой y f ( x0 f ' ( x0 )( x x0 ) - касательной к нему в точке с абсциссой 2. Поэтому f (2,02) y (2,02) . Имеем f ' ( x) 7 x 6 12 x 5 6 x 1, f ' ( x0 ) f ' (2) 75, f ( x) y ( x) 13 75 0,02 14,5 Вычисление на калькуляторе дают результат f (2,02) 14,57995 . . Вообще для дифференцируемой в точке x 0 функции f при x , мало отличающихся от нуля, ее график близок к касательной (проведенной в точке графика с абсциссой x 0 ), т. е. при малых x f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )x Если точка x 0 такова, что значения f ( x0 ) и f ' ( x0 ) нетрудно вычислить то формула позволяет находить приближенные значения f (x) при x , достаточно близких к x 0 . Так, при вычислении значения 4,08 естественно взять в f ( x0 ) x0 качестве x 0 число 4, так как 4,08 близко к 4 и значения f ' ( x0 ) 1 при x0 0 нетрудно найти: формуле при x 0,08 получаем: 2 x0 4,08 2 f (4) 4 2, и f ' (4) 1 2 4 1 0,08 2,02 4 . Задача 1. Выведем из формулы приближенную формулу 1 x 1 1 x 2 . Решение. Возьмем f ( x) x , x0 1, x x0 x 1 x . Имеем f ( x0 ) 1 1, f ' ( x) 1 2 x , откуда f ( x) 1 x 1 В частности, f ' ( x0 ) f ' (1) 1 2 . По формуле 1 x 2 . 1,06 1 0,06 1 1 0,06 1,03 2 . 4,08 также можно найти по формуле: 1 4,08 2 1,02 21 0,02 2,02 2 . Значение Задача 2. Выведем из формулы приближенную формулу 1 4 . По (1 x) n 1 nx . n Решение. Полагаем f ( x) x , x0 1 и x x0 x 1 x . Находим f ( x0 ) 1, f ' ( x) nx n 1 , откуда f ' ( x0 ) n . По формуле f ( x) (1 x) n 1 nx . 100 100 100 Например, 1,001 (1 0,001) 1 100 0,001 1,1 . Значение 1,001 , вычисленное на калькуляторе, равно 1,10512. 1 30 Задача 3. Для вычисления значения 0,997 удобно воспользоваться формулой при n 30, x 0,003 : 1 (1 0,003) 30 1 (30)( 0,003) 1 0,09 1,09 30 0,997 . 0 Задача 4. Вычислить sin 1 . Решение. Для вычисления удобно взять f ( x) sin x, x0 0 , при этом x 180 . Имеем f ( x0 ) sin 0 0, f ' ( x.0 ) cos 0 1 sin x f ( x0 ) f ' ( x0 )x 0 1x x sin 10 0,017453 180 Т. е. 0 получаем sin 1 0,0174525 . и , 0 . Вычисляя значение sin 1 на калькуляторе, Урок 6. Тема: Признак возрастания и убывания функций. Цели: образовательная: рассмотреть признак возрастания и убывания функций; развивающая: расширить кругозор учащихся; воспитательная: поддержание интереса к урокам математики. Тип занятия: комбинированный. Вид занятия: практикум. Материал к занятию. . Достаточный признак возрастания функции :Если f ' ( x) 0 в каждой точке интервала I , то функция f возрастает на I . . Достаточный признак убывания функции : Если f ' ( x) 0 в каждой точке интервала I , то функция f убывает на I . Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа. Возьмем два любых числа x1 и x 2 из интервала. Пусть x1 x2 . По формуле Лагранжа существует число c ( x1 ; x2 ) , такое, что f ( x2 ) f ( x1 ) f ' (c ) x 2 x1 . Число c принадлежит интервалу I , т. к. все x1 и x 2 принадлежат I . Если f ' ( x) 0 для x I , то f ' (c) 0 , и поэтому f ( x1 ) f ( x2 ) , т. к. x2 x1 0 . Этим доказано возрастание функции f на I . Если же f ' ( x) 0 для x I , то f ' (c ) 0 , и поэтому f ( x1 ) f ( x2 ) , т. к. x2 x1 0 . Доказано убывание функции f на I. Задача 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции f ( x) x x 3 . Решение. Данная функция определена на множестве всех действительных 2 2 чисел. Из равенства f ' ( x) 1 3x следует, что f ' ( x) 0 , если 1 3x 0 . Решая это неравенство методом интервалов, получим, что f ' ( x) 0 на интервале 1 1 ; 3 3 , и, значит, на этом интервале f возрастает. 1 ; f ' ( x ) 0 3 и Аналогично на интервалах 1 ; 3 , поэтому на этих интервалах f убывает. Задача 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции f ( x) 2 x 1 x2 . Решение. Имеем f ' ( x) 2 2 x3 f ' (1) 0 Точки 0 и 1 разбивают область определения на три интервала: При x ;0 функция возрастает; При x 0;1 функция убывает; При x 1; функция возрастает. Задача 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции f ( x) 2 x sin x . Решение. Функция определена на всей числовой прямой и ее производная: f ' ( x) 2 cos x Поскольку cos x 1 , легко получаем, что f ' ( x) 0 для всех действительных x . x3 y 12 3 Задача 4. Найти промежутки возрастания и убывания функции . Решение. Производная функции равна: y' x 2 12 Находим корни производной: x 2 12 0 x 2 3 При x 2 3 имеем y ' 0 , т.е. на ;2 3 функция возрастает. При 2 3 x 2 3 имеем y ' 0 , т.е. на 2 3;2 3 функция убывает. При x 2 3 имеем y ' 0 , т.е. на 2 3; функция возрастает. Задания для самостоятельной работы: найти промежутки возрастания и x 4 3 2 убывания указанных функций: а) y xe ; б) y x x ; в) y cos x ; г) y x 3 2x 2 x 4 . Урок 7. Тема: Критические точки функции, минимумы и максимумы. Цели: образовательная: рассмотреть метод нахождения максимальных и минимальных значений функций; развивающая: расширить кругозор учащихся; воспитательная: формирование математической грамотности. Тип занятия: изучение нового материала. Вид занятия: практикум. Материал к занятию. Рассмотрим вначале понятия максимума и минимума функции. Определение. Функция f (x) в точке x1 имеет максимум, если значение функции f (x) в точке x1 больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала содержащего точку x1 . Иначе говоря, функция f (x) имеет максимум при x x1 , если f ( x1 x) f ( x1 ) при любых x , достаточно малых по абсолютной величине. Так, например, функция y f (x) , график которой изображен на Рис. 1, имеет максимум при x x1 Рис. 2 Определение. Функция f (x) имеет минимум при x x2 , если f ( x2 x) f ( x2 ) при любых x , достаточно малых по абсолютной величине. Например, функция y x (Рис 3) при x 0 имеет минимум, так как y 0 при x 0 и y 0 при других значениях x . 4 Рис. 3 В связи с определениями максимума и минимума следует обратить внимание на следующие обстоятельства: . Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только при значениях x , заключенных внутри рассматриваемого отрезка; . Не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке: в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума - наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума. Так, на рис. 3 изображена функция, определенная на отрезке a, b , которая на этом отрезке при x x1 и x x3 имеет максимум, при x x2 и x x4 имеет минимум, но минимум функции при x x4 больше максимума функции при x x1 . При x b значение функции больше любого максимума функции на рассматриваемом отрезке. Рис. 4 Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции или экстремальными значениями функции. Экстремальные значения функции и их расположение на отрезке a, b в известной степени характеризуют изменение функции в зависимости от изменения аргумента. Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция y f (x) имеет в точке x x1 минимум или максимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т.е. f ' ( x1 ) 0 . Из этой теоремы следует следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и минимума функция f (x) в этих точках параллельна оси Ox . Действительно, из того, что f ' ( x1 ) tg 0 , где - угол между касательной и осью Ox , следует, что 0 . (рис. 4) Рис. 5 Из теоремы 1 непосредственно вытекает следствие: если при всех рассматриваемых значениях аргумента x функция f (x) имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль. Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует максимум или минимум. Кроме того, функция может достигать максимума или минимума в тех точках, где производная терпит разрыв. Заметим, что если производная не существует в какой-либо точке (но существует в близлежащих точках), то в этой точке производная терпит разрыв. Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю; либо в тех точках, где производная не существует. Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль или не существует, называются критическими точками или критическими значениями. 3 Задача 1. Найти точки экстремума функции y 3x x . 2 Решение. Производная этой функции равная 3 3x , определена во всех точках и обращается в нуль при x 1 и x 1. В точке x 1 производная меняет знак с минуса на плюс. В точке x 1 производная меняет знак с плюса на минус. Значит, при x 1 функция имеет минимум, а при x 1 - максимум. Задача 2. Исследовать на максимум и минимум функцию y x3 2 x 2 3x 1 3 . Решение. Находим первую производную: y' x 2 4 x 3 Находим ее корни: x 2 4 x 3 0 x1 1, x2 3 При переходе через значение x1 1 производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, при x 1 функция имеет максимум. При переходе через значение x2 3 производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при x 3 функция имеет минимум. f ( x) x4 x2 4 ,x 0 x . Задача 3. Найти наименьшее значение функции Решение. Эту задачу можно решить, используя производную функции. Однако эту задачу можно решить и элементарным способом, тем более применяемый здесь прием приемлем для решения многих типов задач. Функцию f (x) представим в виде: f ( x) x 3 x Числа x3 x x 3 , x, 1 1 1 1 x x x x. 1 x являются положительными, поэтому 1 1 1 1 x x x x n x3 x 1 1 1 1 1 7 x x x x . Отсюда следует, что f ( x) min , когда все члены равны между собой x3 x 1 x4 x2 1 x 1 x Тогда f min f (1) 6 . Задания для самостоятельной работы: найти минимумы и максимумы функций: а) y x2 x 2 1 ; б) y sin ; в) ln( x 4) ; г) 3x 2 y 1 3 1 2 x x 2x 1 3 2 ; Урок 8. Тема: Применение производной к исследованию функций. Цели: образовательная: рассмотреть применение производной к исследованию функций; развивающая: углубить знания по теме; воспитательная: воспитание внимания и умения анализировать полученное решение, участвовать в диалоге с товарищами, учителем. Тип занятия: изучение нового материала. Вид занятия: практикум. Материал к занятию. Задача 1. Исследовать функцию y ( x 1)3 x 2 . Решение. 1) Находим первую производную: y' 3 x 2 2) 2( x 1) 3 3 x 5x 2 33 x . Находим критические значения аргумента: a) находим точки, в которых функция обращается в нуль: 5x 2 y' 3 3 x 0 x1 2 5. b) находим точки, в которых производная терпит разрыв (в данном случае обращается в бесконечность). Такой точкой будет, очевидно, точка: x2 0 . (отметим, что при x2 0 рассматриваемая функция определена и непрерывна). Других критических точек нет. 3) Исследуем характер полученных критических точек. Исследуем точку x1 2 5. Заметим, что y' x 2 5 0 y' , x 2 5 0 . Заключаем, что при точке минимума равно ( y) 2 x 3 x1 2 5 функция имеет минимум. Значение функции в 3 4 2 4 13 3 5 25 5 25 . Исследуем вторую критическую точку x2 0 . Заметив, что ( y ' ) x 0 0 , ( y ' ) x 0 0 , Заключаем, что при x2 0 функция имеет максимум , причем ( y ) x 0 0 . График исследуемой функции изображен на (рис. 6). Рис. 6. Задача 2. Исследовать функцию y 2 sin x cos 2 x . Решение. Так как функция является периодической периода 2 , то достаточно исследовать функцию на отрезке 0;2 . ) Находим производную: y ' 2 cos x 2 sin 2 x 2(cos x 2 sin x cos x) 2 cos x(1 2 sin x). 2) Находим критические значения аргумента: 2 cos x(1 2 sin x) 0. x1 x2 6, 2, x3 5 3 x4 6 , 2 . ) Исследуем характер каждой критической точки: ( y' ) x1 0; y' 6 x ; 6 2 0 . Следовательно, в точке ( y) x x 2 6 x1 6 имеем максимум: 1 1 3 2 2 2. Далее, аналогично: в точке x2 2 имеем минимум: 5 6 функция имеет максимум: при 3 x4 2 имеем минимум: в точке x3 На основании этих данных можем построить эскиз графика (рис. 7) Рис. 7 Задания для самостоятельной работы: исследовать функции и построить 2 3 2 3 их графики: а) y sin x cos x ; б) y cos 2 x sin 3x ; Урок 9. Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции. Цели: образовательная: рассмотреть нахождение наибольших и наименьших значений функции; развивающая: расширить кругозор учащихся; воспитательная: формирование способности анализировать, вести диалог с учителем, классом. Тип занятия: комбинированный. Вид занятия: практикум. Материал к занятию. Пусть функция y f (x) непрерывна на отрезке a, b . Тогда на этом отрезке имеет место следующая теорема: если функция y f (x) непрерывна на некотором отрезке a, b, то на отрезке a, b найдется, по крайней мере, одна точка x x1 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f ( x1 ) f ( x) , где x - любая другая точка отрезка, и найдется, по крайней мере, одна точка x 2 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f ( x2 ) f ( x) . Тогда, по только что приведенной теореме, функция достигает на этом отрезке своего наибольшего значения. Будем предполагать, что на этом отрезке функция y f (x) имеет конечное число критических точек. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка, то очевидно, что это значение будет одним из максимумов (если имеется несколько максимумов), а именно, наибольшим максимумом. Но может случиться, что наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Итак, функция на отрезке a, b, достигает своего наибольшего значения либо на одном из концов отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является точкой максимума. То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции: оно достигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой минимума. Из предыдущего вытекает следующее правило: если требуется найти наибольшее значение функция на отрезке a, b , то надо: 1. найти все максимумы на отрезке; 2. определить значения функции на концах отрезка a, b , т.е. вычислить f (a ) и f (b) ; . из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее; оно и будет представлять собой наибольшее значение функции на отрезке a, b . Аналогичным образом следует поступать и при определении наименьшего значения функции на отрезке. 3 3, 2 наибольшее и наименьшее Задача 1. Определить на отрезке значения функции y x 3 3x 3 . Решение. 1) Находим минимумы и максимумы функции на отрезке 3 3, 2 : y ' 3x 2 3, 3x 2 3 0, x1 1 , x2 1 В точке x 1 имеет место минимум: ( y) x 1 1 . В точке x 1 имеет место максимум: ( y ) x 1 5 . ) Определяем значение функции на концах отрезка: ( y) x 3 2 15 , 8 ( y ) x 3 15. Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функции на 3 3, 2 есть отрезке ( y ) x 1 5 , а наименьшее значение есть ( y) x 3 15. График рассматриваемой функции изображен на рис. 8. Рис. 8. Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y x 1,5 x 2 6 x 1 на отрезке [2; 0] . 3 Решение. Сначала найдем критические точки. Так как производная y' 3x 3x 6 определена для любого x , остается решить уравнение 3 x 2 3 x 6 0 . Его корни x 1 и x 2 . Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел y (2) 1 , 2 y (1) 4,5 и y (0) 1. Ясно, что наименьшее значение достигается в точке 2 и равно -1, а наибольшее - в точке -2 и равно 4,5, т.е. max y y(1) 4,5; min y y(2) 1 [ 2;0] [ 2;0] Задания для самостоятельной работы: найти наибольшее и наименьшее x значение функций на указанных отрезках: а) y xe на 1; 2 ; б) y sin 2 x на 3 2 ; 6 ; 2 ; в) y ln( x x) на 2; 3 ; г) y cos 3x на 2 2 ; Урок 10. Тема: Текстовые задачи на экстремум, решаемые с помощью производной. Цели: образовательная: рассмотреть некоторые типы задач, которые решаются с помощью производной; развивающая: расширить кругозор учащихся; воспитательная: поддержание интереса к урокам математики. Тип занятия: изучение нового материала. Вид занятия: практикум. Материал к занятию. С помощью теории максимума и минимума решаются многие задачи механики, динамики и т.д. Рассмотрим конкретный пример решения одной из таких задач. Задача 1. Дальность R OA (рис. 14) полета ядра (в пустоте), выпущенного с начальной скоростью v0 из орудия, наклоненному под углом к горизонту, определяется формулой v02 sin 2 R g . ( g - ускорение силы тяжести). Определить угол , при котором дальность R будет наибольшей при начальной скорости v0 . Решение. Рис. 9 Величина R представляет собой функцию переменного угла . 0, Исследуем эту функцию на максимум на отрезке 2 . dR 2v02 cos 2 2v02 cos 2 , 0 d g g критическое значение 4v02 sin 2 d 2R g d 2 , 2 2 d R v 2 0 0 g d x 4 ( R) x 4 4; . Следовательно, при v02 g . 4 дальность полета R имеет максимум 0, Значения функции R на концах отрезка 2 равны: ( R) 0 0, ( R) 0 . Таким образом, найденный максимум и есть искомое наибольшее значение дальности полета R . До сих пор мы находили наименьшие и наибольшие значения на отрезках, однако встречаются задачи, в которых требуется находить экстремальные значения на бесконечных интервалах, либо просто на интервалах. Рассмотрим различные случаи. x a, b. В этом случае поступать следует, так как это описано выше, . т.е. а) найти значение функции на концах отрезка и в критических точках; 2 б) если на отрезке одна критическая точка, то ее подвергают исследованию на максимум и минимум и делают вывод. x a, b . В этом случае следует поступать следующим образом: 2. а) вместо интервала берут отрезок a, b и поступают, так как в п. 1а и если наибольшее значение достигается в концевой точке, то наибольшего значения нет; б) если на a, b наибольшее значение достигается внутри отрезка, то оно и будет наибольшим значением на интервале; в) если на интервале одна критическая точка, то поступаем как в случае 1б. . x [a,) x (, b) x (,) Пусть x [a,) , тогда: а) если на этом промежутке более одной критической точки, то бесконечный интервал разбивается на два: конечный и бесконечный. На бесконечном промежутке помещают только одну критическую точку. Все остальные помещаются в конечный. Рис. 10 б) если на бесконечном интервале одна критическая точка, то ее подвергают исследованию на минимум и максимум и делают вывод. Задача 2. Какие размеры нужно придать цилиндру, чтобы при данном объеме v его полная поверхность была наименьшей. Решение. Обозначая через r радиус основания цилиндра и через h высоту цилиндра, будем иметь S 2r 2 2rh . Так как объем цилиндра задан, то при данном радиусе величина h определяется формулой v r 2 h откуда h v r 2 . Подставляя это выражение h в формулу для S , получим S 2r 2 2r v v 2 r 2 2 r r Здесь v - заданное число. Таким образом, мы представили S как функцию одного независимого переменного r . Найдем наименьшее значение этой функции в промежутке 0 r : dS v 2 2r 2 , dr r v v 2 2r 2 0, r1 3 2 r 2 d S 2v 2 2 2 3 0 r r r1 dr r r1 . Следовательно, в точке r r1 функция S имеет минимум. Заметив, что lim S lim S и r , т.е. что при стремлении r к нулю или к бесконечности поверхность S неограниченно возрастает, приходим к выводу, что в точке r r1 функция S имеет наименьшее значение. r 0 Но если h r3 v 2 , то v v 23 2r 2 2 r . Таким образом, для того, чтобы при данном объеме v полная поверхность цилиндра была наименьшей, высота цилиндра должна равняться диаметру. Часто также встречаются текстовые задачи на экстремумы, особенно на вступительных и выпускных экзаменах и, в частности ЕГЭ. Алгоритм решения таких задач выглядит так: 1. укажите в задаче все постоянные величины, переменные величины и величину, которая исследуется; 2. из всех переменных величин одну выбрать за независимую и указать область ее изменения; . величину исследуемую задачей выразить через выбранную независимую переменную 4. найдите критические точки полученной функции на области изменения е аргумента . найдите наибольшее или наименьшее значение этой функции . выбрав наименьшее или наибольшее значение, ответьте на вопрос задачи. Задача 3. Корабль отстает от берега (точка А) на расстоянии 3 км. С корабля отправлен гонец с донесением в штаб В, находящегося от точки А по берегу на расстоянии 10 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы донесение в штаб было доставлено в кратчайшее время. Если v2 5 км ч . Решение. Рис. 11. 1) v1 4 км ,а ч АВ, АК, v гон , v лод ; АМ, МВ, КМ - переменные величины; 2) AM x,0 x 10 ; ) 9 x 2 10 x t ( x) , x 0,10 4 5 ; 4) Находя производную и приравнивая ее к нулю, находим критическую точку x 4 . Явно видно, что эта точка минимума. Ответ 4 км. Заключение В данной курсовой работе были рассмотрены основные положения, связанные с производной в школьном курсе математики. Производная, как отмечалось выше, представляет собой одним из мощных орудий исследования, поэтому данная работа спланирована таким образом, чтобы изложенный материал представлял собой интересный и освобожденный от излишних трудностей для учащихся. Считаю, что выполнил поставленные перед собой задачи, а именно: проведен полный анализ теоретической основы изучения производной; разработан факультативный курс по данной теме исследования курсовой работы; подобрана гибкая система упражнений, обеспечивающее прочное усвоение учащихся основных приемов решения задач. В целом можно говорить о том, что поставленная цель исследования, сформулированная, как изучение научно-методической литературы и адаптация наиболее интересного материала к процессу обучения учащихся была достигнута. Курсовая работа содержит теоретический материал на доступном языке для учащихся, но в то же время на высоко научном языке. Кроме этого, разработанный факультативный курс, отражающий методику изучения данной темы, может быть использован в качестве основного при рассмотрении на занятиях данной темы. Данная работа может быть полезна не только учащимся, но и студентам физико-математических ВУЗов, учителям, преподавателям ВУЗов, а так же просто интересующемуся читателю. обучение тематический производная Библиографический список используемой литературы 1. Аверьянов Д.И., Алтынов П. И. Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в ВУЗы. - М.: Дрофа,2002 г. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М.Высшая математика.- Т3.- М.: Дрофа, 2003 г. . Виноградова А.И. Сборник задач по математическому анализу. - Т2.- М.: Просвещение, 2000 г. . Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - Элиста: Джангар,1986г. . Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - Ч1. - М., 1999 . Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М., 1990 . Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов/ Под ред. Демидовича Б.П., - М., 2002 . Никольский С.М. Курс математического анализа. - М., 2001 . Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Т1.- М.: Интеграл - пресс, 2004 г. . Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа.-Т1. - СПб.: Лань,1999 г.
